Nghiên cứu tính ổn định và số mũ Lyapunov của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính. Luận án nghiên cứu tính ổn định và số mũ Lyapunov của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính. Luận án gồm 3 chương: Chương I giới thiệu tổng quan về phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô. Chương II, phần đầu của chương chúng tôi giới thiệu các khái niệm ổn định ngẫu nhiên của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô. Tiếp đó, chúng tôi chứng minh được một số mối liên hệ giữa các loại ổn định ngẫu nhiên của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính. Trong chương III, chúng tôi chứng minh một số tính chất của số mũ trung tâm, số mũ bổ trợ.
Tóm tắt Luận án nghiên cứu tính ổn định số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Luận án gồm chương Chương I giới thiệu tổng quan phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô Chương II, phần đầu chương giới thiệu khái niệm ổn định ngẫu nhiên nghiệm tầm thường phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Tiếp đó, chúng tơi chứng minh số mối liên hệ loại ổn định ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Trong chương III, chúng tơi chứng minh số tính chất số mũ trung tâm, số mũ bổ trợ Chỉ trùng số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính thỏa mãn điều kiện khơng suy biến Cuối đề cập đến dáng điệu tiệm cận số mũ Lyapunov lớn phương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên Itơ nhỏ Abstract The thesis studies the stability and Lyapunov exponents of linear Ito stochastic differential equations The thesis consists of three chapters Chapter I introduces an overview of Ito stochastic differential equations Chapter II, in the first part we introduce the concept of stability of the trivial solution of Ito stochastic differential equations Next, we prove some type of relationship between the stability of linear Ito stochastic differential equations In chapter III we prove some properties of the central exponents, auxiliary exponents We indicate that under a nondegeneracy condition Lyapunov exponents and central exponents of linear Ito stochastic differential equations coincide Finally we mention asymptotic behaviour of the biggest Lyapunov exponent of differential equations with Ito small random noise Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Thúy Quỳnh Một số ký hiệu dùng luận án R+ : [0, +∞), |x| : giá trị tuyệt đối số thực x, Rn : không gian véc tơ Euclide n chiều, U∗ : tập véc tơ khác véc tơ không không gian véc tơ U, Φ|U : hạn chế toán tử Φ Rn lên không gian véc tơ U, Gr : đa tạp Grassmannian gồm tất không gian véc tơ r − chiều Rn , x : chuẩn véc tơ x, < x, y > : tích vơ hướng hai véc tơ x y, A ◦ B : hợp hai toán tử A B, A∗ : ma trận chuyển vị ma trận A, A : chuẩn ma trận A, A−1 : ma trận nghịch đảo ma trận A, (Ω, F, P) : không gian xác suất, P(C) : xác suất biến cố C, EX : kỳ vọng biến ngẫu nhiên X, DX : phương sai biến ngẫu nhiên X, L2 (Ω) : khơng gian biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, P(X|N ) : xác suất có điều kiện biến ngẫu nhiên X σ − đại số N , Ft = σ(X(s))0≤s≤t : σ − đại số sinh trình ngẫu nhiên X Mục lục Tóm tắt Lời cam đoan Một số ký hiệu dùng luận án Lời nói đầu Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ 14 1.1 Những lớp trình ngẫu nhiên quan trọng 15 1.2 Tích phân Itơ 20 1.2.1 Ví dụ 20 1.2.2 Định nghĩa tích phân Itơ cho q trình đơn giản 21 1.2.3 Định nghĩa tích phân Itô 22 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô 24 1.3 Sự ổn định nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ 30 2.1 Các định nghĩa ổn định nghiệm tầm thường phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô 2.1.1 Ổn định theo xác suất 32 2.1.2 Ổn định tiệm cận theo xác suất 33 2.1.3 2.2 32 p-ổn định 34 Mối liên hệ loại ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính 36 Số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính 3.1 46 Các định nghĩa số mũ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính 49 3.2 Một số tính chất số mũ trung tâm số mũ bổ trợ 51 3.3 Sự trùng số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính thỏa mãn điều kiện không suy biến 3.4 63 Dáng điệu tiệm cận số mũ Lyapunov lớn phương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên Itô nhỏ 79 Kết luận Luận án 81 Danh mục cơng trình cơng bố 83 Tài liệu tham khảo 84 Lời nói đầu Năm 1892, trường Đại học tổng hợp Kharkov, A M Lyapunov công bố bảo vệ thành công luận án tiến sĩ có nhan đề "Bài tốn tổng qt tính ổn định chuyển động" Luận án có nhiều kết ý tưởng vơ sâu sắc Nó đặt tảng tạo bước ngoặt cho lý thuyết ổn định chuyển động Ông đưa định nghĩa đặt toán nghiên cứu ổn định nghiệm phương trình vi phân thường cách chặt chẽ tốn học Ơng giải tốn ổn định hai phương pháp, phương pháp số mũ Lyapunov (hay gọi phương pháp thứ nhất) phương pháp sử dụng hàm số Lyapunov (hay gọi phương pháp thứ hai) Các phương pháp trở thành công cụ sơ sở nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân ứng dụng ngành liên quan Những ý tưởng ông đưa nhà khoa học nghiên cứu, phát triển thành ngành khoa học chuyên sâu thu nhiều kết có ý nghĩa nhiều lĩnh vực Có thể kể nghiên cứu ổn định với nhiễu lớn, ổn định khoảng thời gian hữu hạn, ổn định với nhiễu ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên, lý thuyết ergodic, phương pháp tính số mũ Lyapunov tính hàm Lyapunov máy tính, Lý thuyết số mũ Lyapunov phát triển mạnh có nhiều ứng dụng quan trọng ngành khác toán học, vật lý, học, sinh học Các vấn đề lý thuyết số mũ Lyapunov nhiều nhà khoa học giới nghiên cứu như: phổ Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu Millionshchikov, Demidovich, Bylov, Vinograd, Nemytskii, Erugin, Persidskii (Liên Xô cũ), phổ Lyapunov hệ động lực (hệ động lực độ đo hệ động lực sinh phương trình vi phân ôtônôm) nghiên cứu Oseledets, Sinai, Pesin, Katok (Nga), Young, Bowen (Mỹ), Ruelle, Ledrapier (Pháp), Arnold (Đức), Johnson (Italy) Ngày có nhiều nhóm nghiên cứu Đức, Mỹ, Tây Ban Nha quan tâm nghiên cứu phổ Lyapunov hệ động lực không ôtônôm Các nghiên cứu có nhiều điểm liên quan tới nghiên cứu cổ điển Lyapunov nhà khoa học Liên Xơ cũ lý thuyết định tính phương trình vi phân thường khơng ơtơnơm Ở Việt Nam nhiều nhà toán học sử dụng số mũ Lyapunov để nghiên cứu toán khác toán ổn định chuyển động, toán sinh thái, lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên đạt nhiều kết có ý nghĩa, cụ thể nghiên cứu Hoàng Hữu Đường, Vũ Tuấn, Nguyễn Thế Hồn, Trần Văn Nhung, Nguyễn Đình Cơng, Nguyễn Hữu Dư, Trịnh Tuấn Anh Lý thuyết số mũ Lyapunov phát triển cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ có nhiều cơng trình nghiên cứu số mũ Lyapunov hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ, đặc biệt phương trình ơtơnơm (xem [11], [23]) Lý thuyết số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô không ôtônôm phát triển thời gian gần (xem Nguyễn Đình Cơng [17], [18], [19]) Các vấn đề nhiều 10 nhà toán học quan tâm nghiên cứu tính chất số mũ Lyapunov hệ phương trình vi phân có nhiễu ngẫu nhiên nhỏ (xem Nguyễn Đình Cơng [19], Pardoux Wihstutz [31], Pinsky Wihstutz [32], Wihstutz [37]) Tuy nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ nghiên cứu lý thuyết số mũ Lyapunov hạn chế so với nghiên cứu lý thuyết hàm Lyapunov (các kết cổ điển lý thuyết hàm Lyapunov số kết số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ xem Khasminskii [23] Kunita [25]), nhiều vấn đề quan trọng thuộc lý thuyết số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ cịn mở, cần nghiên cứu phát triển Với lý chúng tơi chọn "nghiên cứu tính ổn định số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính" làm đề tài luận án tiến sĩ Các kết luận án chủ yếu dựa toán đặt Millionshchikov cho phương trình vi phân ngẫu nhiên khúc (xem [29], [41]) Nguyễn Đình Cơng phát triển phương trình vi phân có nhiễu nhỏ ngẫu nhiên Itơ tuyến tính, hệ số phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính (xem [13], [14], [15], [17], [19]) Luận án cấu trúc sau Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận án chia làm ba chương Chương giới thiệu tổng quan phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Chương giới thiệu khái niệm ổn định ngẫu nhiên nghiệm tầm thường phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Trình bày số kết nghiên cứu mối liên hệ loại ổn định ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính 75 ta có Bm,t ⊃ Am,t Bm,t ⊃ Am,t Suy √ ω : Ulm (ω) ≥ lt t+1 √ t ω : Ulm (ω) ≥ l t+1 P(Am,t ) ≤ P(Bm,t ) ≤ P ≤ P ≤ (20c2 )2 −1 −2t t+1 = (20c2 )2 −1 −t+1 l ν l ν l c1 c1 Lấy t∗ , t1 ∈ N, t∗ < t1 lt1 +1 < m t1 t1 P(Am,t ) ≤ t=t∗ c1 (20c2 )2 ν P(Bm,t ) = [l−t ∗ +1 ∗ + l−t + + l−t1 +1 ] t=t∗ ≤ = c1 (20c2 )2 ν c1 (20c2 )2 ν ∗ +1 [1 + l−1 + l−2 + + l−(t1 −t ) + ] ∗ +1 − l−1 l−t l−t ∗ (3.28) Từ (3.28) suy với ϑ > tồn t0 ∈ N đủ lớn cho k > t0 , m = lk + 1, ta có k−1 P(Fm ) ≤ P(Am,t ) < ϑ, t=t0 k−1 Fm := Am,t , m = lk + (k ≥ t0 + 1) t=t0 Đặt +∞ Hm := Ω \ Fm , +∞ ˆ Ht0 := Hlk +1 , r=t0 +1 k=r P(Hm ) = − P(Fm ) > − ϑ Hlk +1 ⊃ Hlk+1 +1 ⊃ Hlk+2 +1 ⊃ · · · nên ˆ P(Ht0 ) = lim P(Hlk +1 ) ≥ − ϑ k→+∞ 76 Ta đặt +∞ ˆ H := ˆˆ Ht ˆ t=t0 ˆ Từ (3.28) suy P(Ht0 ) tiến đến t0 → ∞ Do ˆˆ ˆ P(H) = lim P(Ht ) = ˆ t→+∞ ˆ ˆˆ ˆ Với ω0 ∈ H bất kỳ, tồn t ∈ N cho ω0 ∈ Ht Do định nghĩa ˆˆ ˆ Ht suy tồn dãy k1 , k2 , ∈ N thỏa mãn t + < k1 < k2 < cho ω0 ∈ Hlki +1 với i = 1, 2, Cho trước j0 ∈ N, ta xét trường ˆ hợp m = lkj0 + 1, ω0 ∈ Hlkj0 +1 nên với t ∈ [t, kj0 − 1] ta có ˆ ω0 ∈ Am,t Do với u ∈ [lt , lkj0 − 1] ta có √ m m |Su (ω0 ) − ESu (ω)| < 2u nên √ m m Su (ω0 ) > ESu (ω) − u u Từ (3.26) ta có m−1 √ m Su (ω0 ) ≥ Eζim (ω) − u u i=m−u ≥ √ √ δ( ) ln − 2c1 − T Mặt khác ta có m−1 m Su (ω0 ) = ζim (ω0 ) u u i=m−u u−1 = − j=0 ln ΦjT,(j+1)T (ω0 ) uT u−1 + j=0 Φ0,jT (ω0 )◦ΦmT,0 (ω0 )U ln dk ΦjT,(j+1)T (ω0 )] uT 77 ˆ ˆ Vì vậy, với ω0 ∈ H u ∈ [lt , lki − 1] (i = 1, 2, ) ta có u−1 ln ΦjT,(j+1)T (ω0 ) uT − j=0 Φ0,jT (ω0 )◦Φ(lki +1)T,0 (ω0 )U u−1 + √ 1 δ( ) ln dk ΦjT,(j+1)T (ω0 )] ≥ ln − (2c1 + 1) uT T j=0 (3.29) Vì đa tạp Grassmann Gn−k+1 compac nên dãy điểm nằm đa tạp Φ(lki +1)T,0 (ω0 )U , i = 1, 2, chứa dãy hội tụ đến điểm thuộc đa tạp Để đơn giản cho ký hiệu ta giả sử dãy Φ(lki +1)T,0 (ω0 )U , i = 1, 2, hội tụ đến U ∈ Gn−k+1 Sử dụng hội tụ ý k1 < k2 < tiến +∞, từ (3.29) ta có bất đẳng thức sau với ˆ u ≥ lt u−1 j=0 ln ΦjT,(j+1)T (ω0 ) uT u−1 ≤ j=0 Φ0,jT (ω0 )U √ 1 δ( ) ln dk [ΦjT,(j+1)T (ω0 )] − ln + (2c1 + 1) uT T (3.30) Vì biến ngẫu nhiên dk [ΦjT,(j+1)T (ω)] độc lập có moment bậc hai bị chặn c1 > nên đẳng thức sau có với xác suất m−1 lim sup m→+∞ j=0 ln dk [ΦjT,(j+1)T (ω)] = lim sup mT m→+∞ m−1 j=0 ln Edk [ΦjT,(j+1)T (ω)] mT ˆ Vì P(H) = 1, từ (3.30) định nghĩa Ωk suy với T > m−1 Ωk ≤ lim sup m→+∞ j=0 m−1 ≤ lim sup m→+∞ j=0 √ 1 δ( ) ln dk ΦjT,(j+i)T (ω) + (2c1 + 1) − ln mT T √ 1 δ( ) ln Edk ΦjT,(j+i)T (ω) + (2c1 + 1) − ln mT T ≤ γk (T ) + (2c1 + 1) √ − δ( ) ln T (3.31) 78 Từ Định lý 3.2.4, Định lý 3.2.5 bất đẳng thức (3.24), (3.31) suy √ δ( ) ln T √ δ( ) |Θk − γk (T )| ≤ (2c1 + 1) ln − T |Ωk − γk (T )| ≤ (2c1 + 1) − Định lý chứng minh Định lý 3.3.5 Nếu phương trình (1.3) thỏa mãn điều kiện khơng suy biến (3.16) với k ∈ {1, 2, , n} giới hạn sau tồn với số mũ bổ trợ γk := lim γk (T ) = γk (ω) T →+∞ (3.32) Hơn ta có đẳng thức sau Ωk = λk = Θk = γk Chứng minh Với ∈ (0, 1) chọn T ∈ R, T > đủ lớn để cho với T ≥ T ta có | √ δ( ) ln |< T Từ (3.17) (3.18) suy |γk (T1 ) − γk (T2 )| ≤ (4c1 + 6) √ với T1 , T2 ∈ R, T1 ≥ T T2 ≥ T Do giới hạn (3.32) tồn Vì ta chọn T > đủ lớn để số hạng T ln δ( ) bé tùy ý γk (T ) gần tới γk tùy ý nên ta có bất đẳng thức sau: |Ωk − γk | ≤ 3(c1 + 1) |Θk − γk | ≤ 3(c1 + 1) √ √ , 79 Vì ∈ (0, 1) tùy ý nên suy Ωk = γk = Θk (3.33) Theo Định lý 3.2.4 Định lý 3.2.5 ta có Θk ≤ λk ≤ Ωk nên Ωk = λk = Θk = γk (3.34) Định lý chứng minh 3.4 Dáng điệu tiệm cận số mũ Lyapunov lớn phương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên Itơ nhỏ Xét phương trình vi phân tuyến tính tất định n-chiều dX(t) = F0 (t)X(t)dt, (3.35) j t ∈ R+ , F0 (t) = (fi0 )n×n ma trận hàm, liên tục, bị chặn số K Ta xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính n-chiều có dạng m dX(t) = F0 (t)X(t)dt + σ r=1 Fr (t)X(t)dW r (t), (3.36) X(t0 ) = x0 , j Fr (t) = (fir (t))n×n (r = 1, 2, , m) ma trận hàm, liên tục, bị chặn số K phương trình (3.36) thỏa mãn điều kiện khơng suy biến (3.16) Ta coi phương trình (3.36) phương trình vi phân tất định (3.35) nhiễu tiếng ồn trắng có dạng ngẫu nhiên Itơ tuyến tính thỏa mãn điều kiện khơng suy biến (3.16) Khi ta có định lý sau 80 Định lý 3.4.1 Số mũ Lyapunov lớn phương trình (3.36) tiến đến số mũ trung tâm lớn phương trình (3.35) σ tiến đến Chứng minh định lý tương tự chứng minh Định lý báo "Tính ổn định ngẫu nhiên số mũ Lyapunov lớn nhất" Nguyễn Đình Cơng [13] Kết luận Luận án Luận án nghiên cứu tính ổn định số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Những kết luận án Luận án số mối liên hệ loại ổn định ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Luận án chứng minh số tính chất số mũ trung tâm, số mũ bổ trợ Chỉ trùng số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính thỏa mãn điều kiện khơng suy biến Các vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Các nghiên cứu thực Luận án thuộc hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Các kết bước đầu phổ Lyapunov phổ liên quan phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính tạo sở để tác giả tiếp tục nghiên cứu hệ có cấu trúc phức tạp hệ suy biến hệ có tính khơng 81 82 suy biến yếu so với giả thiết đặt luận án (hệ số khơng suy biến µ1 , µ2 khơng phụ thuộc vào t chẳng hạn) Sử dụng kết cơng cụ luận án tác giả tiếp tục nghiên cứu tính chất ổn định phổ Lyapunov, tính chất ổn định nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính; nghiên cứu tính chất định tính phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô phi tuyến Một hướng phát triển thú vị nghiên cứu tính chất định tính hệ đặc biệt (hệ vật lý, hệ học, hệ sinh học) mơ hình ngẫu nhiên dạng phương trình vi phõn ngu nhiờn Itụ: phng trỡnh Schorădinger ngu nhiờn, phng trình hệ sinh thái thú-mồi mơi o trường ngẫu nhiên Danh mục cơng trình cơng bố Nguyễn Thị Thúy Quỳnh (2004), Using some Financial Mathematical Methods for Analysing Vietnam stock’s Market, Journal of Science and Technique, No 108, 86-93 Nguyễn Thị Thúy Quỳnh (2009), On the stability of solutions of Ito differential equations, Acta Math Vietnamica, Vol 35, No 2, 253261 Nguyễn Đình Cơng, Nguyễn Thị Thúy Quỳnh (2009), Lyapunov exponents and central exponents of linear Ito stochastic diferential equations, Acta Math Vietnamica (đã nhận đăng) Nguyễn Đình Cơng, Nguyễn Thị Thúy Quỳnh (2009), Coincidence of Lyapunov exponents and central exponents of linear Ito stochastic differential equations with nondegenerate stochastic term, preprint,Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, 09/09 gửi đăng 83 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Đình Cơng (1999) Tổng quan lý thuyết số mũ Lyapunov, Bài giảng cho sinh viên cao học Viện Tốn học [2] Nguyễn Đình Cơng (2002) Lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [3] Nguyễn Văn Đạo, Hoàng Hữu Đường dịch (1979), Phương trình vi phân, hệ động lực đại số tuyến tính, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [4] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000) Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004) Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [6] Nguyễn Đình Phư (2002) Phương trình vi phân, NXB Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [7] Trần Hùng Thao (2000) Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học Kỹ thuật 84 85 [8] Nguyễn Duy Tiến (2001) Các mơ hình xác suất ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [9] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2001) Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [10] Trần Đức Vân (2005) Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [11] L Arnold (1988) Random dynamical systems SpringerVerlag, Berlin [12] D G Aronson (1967), Bounds for the fundamental solution of a parabolic equation, Bull Amer Math Soc 73, 890-896 [13] Nguyễn Đình Cơng (1988), Stochastic stability test for the highest Lyapunov exponent, Mat Zametki, No 1, (82-97); English transl in Math 43 Notes, 43, No 1, 49-57 [14] Nguyễn Đình Cơng (1990), On central and auxiliary ex- ponets of linear systems with coefficients perturbed by a white noise, Diffrentsial’nye Uravneniya, Vol 26, No 3, 420-427, English transl in Differential equation, Vol 26, No 3, 307-313 [15] Nguyễn Đình Cơng (1990), On Lyapunov exponents and central exponents of linear systems of differential equations with almost 86 periodic coefficients under random perturbation, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 15, No 1, 69-73 [16] Nguyễn Đình Cơng (1991), Lyapunov exponents and central exponents of systems with weakly varying coefficients under small random perturbation, Differensial’nye Uravneniya, Vol 27, No 10, 1712–1720; English transl in Differential Equations, 27(1991), # 10, 1208–1213 [17] Nguyễn Đình Cơng (1993), A property of systems of differential equations perturbed by white noises and its applications to the stochastic continuity of Lyapunow exponents, Stochastic Anal Appl Vol 11, 423-439 [18] Nguyễn Đình Cơng (1997), Lower estimation for the Lya- punov exponents of linear systems of differential equations perturbed by white noise, Vietnam Journal of Mathematics, No 25, 253-265 [19] Nguyễn Đình Cơng (2001), Lyapunov Spectrum of Nonau- tonomous Linear Stochastic Differential Equations, Stochastics and Dynamics, Vol 1, No 1, 127-157 [20] R L Dobrushin (1956) The central limit theorem for nonhomogeneous Markov chains Teor Verojatn Primen 1, 72-89, 365425 English translation: Theory of Probability and Applications Vol 1, 65-80, 329-383 [21] Avner Friedman (1964), parabolic type, Prentice-Hall Partial differential equations of 87 [22] I I Gikhman and A B Skorokhod (1982), Stochastic Differenttial Equation and their Applications, Naukova Dumka, 1982, in Russian [23] R Z Khasminskii (1980), Stochastic stability of differential equations, Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn, The Netherlands Rockville, Maryland, USA [24] P E Kloeden, E Platen (1992), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [25] H Kunita (1990), Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations, Cambridge Univ Press [26] O A Ladyzenskaja, V A Solonnikov, N N Ural’ceva (1968), Linear and Quasi-linear Equations of Parabolic Type, American Mathematical Society [27] V M Millionshchikov (1970), Theory of characteristic Lyapunov indices, Mat Zametki, Vol 7, No 4, 503-513; English transl in Math Notes, Vol 7, 305-311 [28] V M Millionshchikov (1983), Typical properties of conditional exponential stability I, Differentsial’nye Uravneniya, Vol 19, No 8, 1344-1356; English transl in Differential equations, Vol 19(1983), 1008-1018 [29] V M Millionshchikov (1986), Formulae for the Lyapunov exponents of a family of endomorphirms of a metrized vector bundle, 88 Mat Zametki, Vol 39, No 1, 29-51; English transl in Math Notes, Vol 39, No1-2, 17-30 [30] Oseledets V I (1968), A multiplicative ergodic theorem Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems Trans Moscow Math Soc., No 19, 197-231 [31] Pardoux E and Wihstutz V (1988), Lyapunov exponents and rotation number of two-dimesional linear stochastic systems with small diffusion SIAM Journal of Applied Mathematics, Vol 48, 442457 [32] Pinsky M A and Wihstutz V (1988), Lyapunov exponents of nilpotent Itô systems Stochastics, Vol 25, 43-47 [33] M Rosenblatt-Roth (1963), Some Theorems Concerning the Law of Large Numbers for Non-Homogeneous Markoff Chains, Z Wahrscheinlichkeitstheorie 1, 433-445 [34] M Rosenblatt-Roth (1964), Some Theorems Concerning the Strong Law of Large Numbers for Non-Homogeneous Markoff Chains, Annals of Mathematical Statistics, 566-576 [35] A N Shiryaev (1996), Probability, 2nd Edition SpringerVerlag, Berlin [36] Daniel W Stroock (2005), An Introduction to Markov Processes, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [37] Wihstutz V (1986), Parameter dependence of the Lyapunov exponent for linear stochastic systems A survey In: Arnold L and 89 Wihstutz V (eds) Lyapunov exponents Proccedings of a conference, Bremen, Vol 1186 of Lecture Notes in Mathematics Springer Verlag, 200-215 [38] David Williams (1991), Probability with martingales, Cambridge University Press Tiếng Nga [39] B F BYLOV, R E VINOGRAD, D M GROBMAN, V V NEMYCKI (1966), Teori pokazatele L punova, Nauka, Moskva [40] B P DEMIDOVIQ (1967), Lekcii po matematiqesko teorii usto qivosti, Nauka, Moskva [41] V M MILLIONWIKOV (1987), Formuly dl pokazatele L punova sistem line nyh differentia nyh uravneni , Trudy Instituta prikladno matematiki imeni I N Vekua, 22(1987), 150-179 Tbilisski sitet, Tbilisi, Gruzi Gosudarstvenny Univer- ... thuyết số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ cịn mở, cần nghiên cứu phát triển Với lý chúng tơi chọn "nghiên cứu tính ổn định số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính" ... Chương trình bày kết nghiên cứu chúng tơi tính chất số mũ trung tâm số mũ bổ trợ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Sự trùng số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên. .. khái niệm ổn định ngẫu nhiên nghiệm tầm thường phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Trình bày số kết nghiên cứu mối liên hệ loại ổn định ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính 11