Ổn định các hệ phương trình vi phân suy biến có trễ

45 1.4K 3
Ổn định các hệ phương trình vi phân suy biến có trễ

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ổn định các hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật. Các công trình nghiên cứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học người Nga A. M. Lyapunov khi ông nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động.

Mục lục Ký hiệu toán học 3 Mở đầu 4 1 Cơ sở toán học 7 1.1 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . 10 1.2.1 Bài toán ổn định cho hệ có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Bài toán ổn định cho hệ suy biến có trễ . . . . . . . . . . . 12 1.3 Các mệnh đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với trễ hằng 15 2.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với trễ hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên 1 với nhiễu phi tuyến 24 3.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên với nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 2 Ký hiệu toán học R n Không gian Euclid n chiều với chuẩn . x, y Tích vô hướng của hai vectơ x, y ∈ R n R m×n , C m×n Không gian các ma trận thực, phức cỡ (m × n) 0 n×r Ma trận 0 có chiều n × r A T Ma trận chuyển vị của ma trận A A T =A Ma trận đối xứng A ∗ Ma trận liên hợp chuyển vị của ma trận A A ≥ 0, A > 0 Ma trận nửa xác định dương, xác định dương ||A|| Chuẩn Euclid cảm sinh của A ∈ C m×n ||A|| = max i [λ i (A ∗ A)] 1/2 λ min (A) min{Reλ : λ ∈ λ(A)} λ max (A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)} µ(A) Độ lớn của ma trận A ∈ C m×n : µ(A) = 1 2 λ max (A ∗ + A) ∗ Các phần tử đối xứng trong ma trận C 1 ([−h, 0], R n ) Không gian Banach các hàm liên tục trên [−h, 0] nhận giá trị trong R n với chuẩn ϕ = sup −h≤t≤0 {ϕ(t),  ˙ϕ(t)}. diag{a 1 , . . . , a n } Ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính là a 1 , . . . , a n . 3 Mở đầu Lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật. Các công trình nghiên cứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học người Nga A. M. Lyapunov khi ông nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động. Do lý thuyết ổn định được nghiên cứu xuất phát từ những đòi hỏi thực tiễn và nhu cầu phát triển của một số ngành khoa học nên đã hơn một thế kỷ trôi qua nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được quan tâm và có nhiều kết quả được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý toán, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học . Có hai phương pháp chính để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Trong đó phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu sự ổn định và ổn định hóa của hệ phương trình vi phân. Hầu hết các quá trình vật lý, sinh học, hóa học, kinh tế đều liên quan đến độ trễ thời gian. Không những thế, độ trễ thời gian còn là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của các hệ động lực. Do đó lớp hệ phương trình vi phân có trễ thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Mặt khác, các bài toán xuất phát từ thực tế thường được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân suy biến. Vì thế, giải quyết được bài toán về sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ sẽ góp phần 4 giải quyết được hàng loạt các bài toán thực tiễn có tính ứng dụng cao. Vì các hệ phương trình vi phân suy biến có trễ là sự ghép thành của các hệ phương trình với ma trận trễ với các hệ phương trình đại số nên việc nghiên cứu các hệ như vậy phức tạp hơn việc nghiên cứu các hệ phương trình vi phân thông thường. Đặc trưng chính của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ là phương trình đặc trưng của các hệ đó có vô hạn nghiệm nên việc kiểm tra tính ổn định nghiệm của hệ suy biến có trễ rất khó khăn. Cũng giống như với hệ phương trình vi phân thông thường, người ta cũng dùng hai phương pháp đã nêu ở trên để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ suy biến có trễ. Trong luận văn này chúng tôi sử dụng hai phương pháp đó để nghiên cứu tính ổn định cho một số lớp hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. Đó là hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ hằng và hệ phương trình suy biến có trễ biến thiên và có nhiễu phi tuyến. Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và ba chương với nội dung như sau. Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về bài toán ổn định, phương pháp hàm Lyapunov, bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trình bày lại một số mệnh đề bổ trợ được sử dụng trong việc chứng minh các định lý ở chương sau. Chương hai trình bày về điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến với trễ hằng. Trong đó, Định lý 2.2 sử dụng phương pháp phổ để đánh giá tính ổn định cho hệ phương trình vi phân trong trường hợp trễ hằng với tốc độ mũ α. Kết quả của chương này được chúng tôi tham khảo trong bài báo [13] trong danh mục tài liệu tham khảo. Chương ba nghiên cứu mở rộng kết quả trong bài báo [10] về tính α−ổn định mũ của hệ phương trình vi phân suy biến với trễ biến thiên để đưa ra điều kiện đủ về tính α−ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có 5 trễ với nhiễu phi tuyến. Điều kiện này được cho dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và các bất đẳng thức này được giải dễ dàng bằng phần mềm Matlab. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát. Thầy đã nghiêm khắc hướng dẫn, chỉ bảo, và truyền đạt cho tôi niềm đam mê lý thuyết ổn định và điều khiển. Tôi xin trân trọng cảm ơn tới Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tôi học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau Đại học - Viện Toán học, Phòng Tối ưu và Điều khiển, cùng toàn thể các thầy cô giáo của Viện Toán học, các anh các chị và các bạn lớp cao học K19 đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại đây. Cuối cùng tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến bố mẹ, anh chị và cháu gái tôi, những người luôn ở bên cạnh chia sẻ và giúp đỡ tôi trong lúc tôi gặp khó khăn nhất để tôi có thể hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Huyền Thư 6 Chương 1 Cơ sở toán học Trong chương này, chúng tôi trình bày kiến thức cơ sở về tính ổn định của lớp hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân có trễ và hệ phương trinh vi phân suy biến có trễ. Ngoài việc trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov, chúng tôi cũng nhắc đến một số mệnh đề bổ trợ cho việc chứng minh các định lý ổn định trong các chương tiếp theo. 1.1 Bài toán ổn định 1.1.1 Bài toán ổn định Xét một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân ˙x(t) = f (t, x(t)), t ∈ R + , (1.1) ở đó x(t) ∈ R n là véctơ trạng thái, f : R + × R n → R n là hàm cho trước. Giả thiết rằng hàm f(·) thỏa mãn điều kiện sao cho với mọi (t 0 , x 0 ) ∈ R + × R n thì hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t 0 , x 0 ) và nghiệm kéo dài được trên [t 0 , +∞). Nghiệm này được ký hiệu là x(t; t 0 , x 0 ). Giả sử f(t, 0) = 0, với mọi t ∈ R + nghĩa là ta luôn giả thiết hệ có nghiệm cân bằng x = 0. Khi đó ta có các định nghĩa về tính ổn định của nghiệm như sau. 7 Định nghĩa 1.1 (xem [1, 15]). Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là (i) ổn định nếu với mọi  > 0, t 0 ≥ 0 đều tồn tại δ = δ(t 0 , ) > 0 sao cho với nghiệm x(t; t 0 , x 0 ) bất kỳ của hệ (1.1) thỏa mãn x 0  < δ thì x(t; t 0 , x 0 ) < , ∀t ≥ t 0 ; (ii) ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với mỗi t 0 ≥ 0, tồn tại δ 0 = δ 0 (t 0 ) > 0 sao cho với nghiệm x(t; t 0 , x 0 ) bất kỳ của hệ (1.1), nếu x 0  < δ 0 thì lim t→+∞ x(t; t 0 , x 0 ) = 0; (iii) ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số α > 0, N ≥ 1 sao cho với mọi x 0 ∈ R n , t 0 ∈ R + , nghiệm x(t; t 0 , x 0 ) bất kỳ của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện x(t; t 0 , x 0 ) ≤ Nx 0 e −α(t−t 0 ) , ∀t ≥ t 0 , số N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định. Ngoài ra, α, N được gọi chung là các chỉ số ổn định Lyapunov. Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ). Ngay từ những công trình đầu tiên, Lyapunov đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ của hệ tuyến tính dừng ˙x(t) = Ax(t), t ≥ 0, (1.2) dựa vào tính chất tập các giá trị riêng của ma trận A. Cụ thể là hệ (1.2) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm. Tuy nhiên trong thực tế, các hệ thống thường chứa các tham số không biết trước. Chẳng hạn như ma trận A bị nhiễu thành ma trận A + ∆A(t). Vì sự phức tạp của tập phổ λ(A + ∆A(t)), Lyapunov đã đưa ra một cách tiếp cận dựa trên dạng hàm toàn phương V (x) = x T P x, trong đó P là một ma trận đối xứng, xác định 8 dương. Hệ (1.2) là ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Q đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov : A T P + PA = −Q có nghiệm P là ma trận đối xứng, xác định dương. Hai kết quả quan trọng này tiêu biểu cho hai phương pháp cơ bản nghiên cứu tính ổn định của một hệ phương trình vi phân. Đó là phương pháp phổ và phương pháp hàm Lyapunov. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng cả hai phương pháp để nghiên cứu bài toán ổn định. 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân (1.1). Cho D là lân cận mở tùy ý của 0. Kí hiệu K là tập hợp các hàm liên tục tăng chặt a(·) : R + → R + , a(0) = 0. Định nghĩa 1.2 (xem [1, tr. 134]). Hàm V : R + × D → R khả vi liên tục, thỏa mãn điều kiện V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn. (i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa ∃ a ∈ K : V (t, x) ≥ a(x), ∀(t, x) ∈ R + × D. (ii) ˙ V (t, x(t)) := ∂V ∂t + ∂V ∂x f(t, x(t)) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1). Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm các điều kiện: (iii) Tồn tại b(·) ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(x), ∀(t, x) ∈ R + × D. (iv) Tồn tại c(·) ∈ K sao cho ˙ V (t, x) ≤ −c(x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) thì V (t, x) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.1). Sau đây là hai định lý về tính ổn định của hệ (1.1). Định lý 1.3 (xem [1, tr. 135]). Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov ổn định. Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều. 9 Định lý 1.4 ([15]). Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa các điều kiện sau: (i) ∃ λ 1 , λ 2 > 0 : λ 1 x 2 ≤ V (t, x) ≤ λ 2 x 2 , ∀(t, x) ∈ R + × R n , (ii) ∃ λ 3 > 0 : ˙ V (t, x(t)) ≤ −2λ 3 V (t, x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1). Khi đó hệ (1.1) là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov là λ 3 và N =  λ 2 λ 1 . 1.2 Bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân có trễ 1.2.1 Bài toán ổn định cho hệ có trễ Như chúng ta đã biết, hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian t, trạng thái x(t) của hệ thống và tốc độ thay đổi của trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm t. Tuy nhiên, trong thực tế, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. Vì vậy lớp hệ phương trình vi thường không miêu tả được hết các quá trình này. Do đó, để mô tả một cách chính xác các quá trình này, người ta thường miêu tả chúng bằng các phương trình vi phân có trễ. Giả sử h là một số thực không âm. Ký hiệu C = C([−h, 0], R n ) là không gian Banach các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0], nhận giá trị trong không gian R n và chuẩn của một phần tử ϕ ∈ C được cho bởi ϕ = sup −h≤θ≤0 ϕ(θ). Với t 0 ∈ R, σ ≥ 0 và x ∈ C([t 0 − h, t 0 + σ], R n ), hàm x t ∈ C với t ∈ [t 0 , t 0 + σ] được xác định bởi x t (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, x t là một quỹ đạo trên đoạn [t − h, t] của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi x t  := sup s∈[−h,0] x(t + s). Cho D ⊂ R n × C là một tập mở và hàm f : D → R n . Một phương trình vi phân có trễ trên D là phương trình dạng [8] ˙x(t) = f (t, x t ). (1.3) 10 [...]... Vậy hệ phương trình trên là ổn định mũ với hệ số α như trên 23 là số dương đủ Chương 3 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên với nhiễu phi tuyến Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra điều kiện đủ về tính α ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên với nhiễu phi tuyến Điều kiện này được xây dựng dựa trên vi c mở rộng bài báo [10] khi thêm nhiễu phi tuyến 3.1 Ổn định. .. = 0, thì hệ (1.3) chính là hệ phương trình vi phân thường (1.1) đã xét trong mục trước Ta cũng giả thiết f (t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.3) luôn có nghiệm không Khi đó, ta cũng có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận tương tự hệ phương trình vi phân thường Tương tự, ta cũng có phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.3) Ta có một tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.3) như sau Định lý 1.5... trình bày và chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ phương trình vi phân suy biến với trễ hằng đã được đưa ra trong [13] Đồng thời, chúng tôi đưa ra ví dụ số cụ thể bằng vi c tự tính toán và dựa trên sự hỗ trợ của phần mềm Matlab 2.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với trễ hằng Xét hệ phương trình vi phân ˜ ˜ E x(t) = A0 x(t) + A1 x(t − τ1 ), ∀t ≥ 0 ˙ ∀t ∈... mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên với nhiễu phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên và có nhiễu phi tuyến   E x(t) = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + G f (t, x(t)) + G g(t, x(t − h(t))), t > 0,  ˙ 1 2   x(t) = φ(t), t ∈ [−h2 , 0], (3.1) trong đó x(t) là véc tơ trạng thái, E, A, D ∈ Rn×n là các ma trận thực, rank E = r ≤ n, G1 , G2 ∈ Rn×n là các ma trận hệ số... − e2αh1 2α Định lý sau đây đưa ra một điều kiện đủ mới cho tính α ổn định mũ của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên và có nhiễu phi tuyến (3.1) Định lý 3.2 Cho α > 0, hệ (3.1) là α ổn định mũ nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Q, Qi , Wi , i = 1, 2, 1, 2 là các số nguyên dương đủ nhỏ và các ma trận P, Xi , Yi , Zi , Ui , i = 1, 2, với chiều phù hợp thỏa mãn các bất đẳng... Bài toán ổn định cho hệ suy biến có trễ Xét một hệ suy biến có trễ sau:    E x(t) = Ax(t) + A x(t − h(t)),  ˙ d    x(t) = ϕ(t), t≥0 (1.4) t ∈ [−h, 0], trong đó E ∈ Rm×n là ma trận suy biến, rank E < n, A, Ad là các ma trận hệ số với các chiều cho trước Khi đó, ta có các định nghĩa về sự ổn định của hệ (1.4) như sau Định nghĩa 1.6 ([9, 14]) Hệ suy biến (1.4) được gọi là chính quy nếu đa thức đặc... hệ (1.3), thì hệ (1.3) là ổn định và nghiệm của nó là bị chặn, tức là ∃N > 0 : x(t0 , ϕ)(t) ≤ N ϕ Nếu điều kiện (ii) được thay bằng điều kiện ˙ (iii) ∃ λ3 > 0 : V (t, xt ) ≤ −2λ3 V (t, xt ), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.3), thì hệ 11 (1.3) là ổn định mũ và nghiệm x(t0 , ϕ)(t) của hệ thỏa mãn đánh giá x(t0 , ϕ)(t) ≤ 1.2.2 λ2 ϕ e−λ3 (t−t0 ) , λ1 ∀t ≥ t0 , N > 0 Bài toán ổn định cho hệ suy biến có trễ. .. không Định nghĩa 1.7 ([9, 14]) Hệ suy biến (1.4) được gọi là impulse-free nếu deg det(sE − A) = rank(E) Định nghĩa 1.8 ([14]) Hệ suy biến (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu với bất kỳ > 0, tồn tại một số δ( ) > 0 sao cho với bất kỳ hàm điều kiện ban đầu thỏa mãn ϕ ≤ δ( ), nghiệm x(t) của (1.4) thỏa mãn x(t) ≤ với t ≤ 0 Hơn nữa lim x(t) = 0 t→∞ Định nghĩa 1.9 ([9]) Hệ (1.4) được gọi là ổn định mũ... sao cho với bất kỳ nghiệm x(t, ϕ) của hệ suy biến có trễ thỏa mãn điều kiện sau x(t, ϕ) ≤ γ ϕ e−αt , 12 ∀t ≤ 0 Chúng ta có một số mệnh đề sau đây Mệnh đề 1.10 ([9, 14]) Nếu hệ phương trình (1.4) là chính quy và impulsefree thì tồn tại duy nhất một nghiệm liên tục trên [0, +∞] Mệnh đề 1.11 ([14]) Hệ suy biến E x(t) = Ax(t) ˙ là chính quy, impulse - free và ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tồn tại ma... là các số nguyên dương sao cho δ1 eλh2 < 1, và f (t) là một hàm liên tục thỏa mãn 0 ≤ f (t) ≤ δ1 sup f (t + s) + δ2 e−λt , ∀t ≥ 0 −h2 ≤s≤0 Khi đó bất đẳng thức sau là đúng f (t) ≤ δ1 eλh2 sup f (s) + −h2 ≤s≤0 14 δ2 e−λt , 1 − δ1 eλh2 ∀t ≥ 0 Chương 2 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với trễ hằng Nội dung của chương này là trình bày và chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn . cho một số lớp hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. Đó là hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ hằng và hệ phương trình suy biến có trễ biến thiên và có nhiễu phi tuyến. Luận. cơ sở về tính ổn định của lớp hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân có trễ và hệ phương trinh vi phân suy biến có trễ. Ngoài vi c trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov, chúng. . . . . . . . 21 3 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên 1 với nhiễu phi tuyến 24 3.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên với nhiễu phi tuyến

Ngày đăng: 25/07/2014, 16:43

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan