Ổn định các hệ phương trình vi phân suy biến có trễ

Ổn định các hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật. Các công trình nghiên cứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học người Nga A. M. Lyapunov khi ông nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động.

Mục lục

1.1 Bài toán ổn định 7

1.1.1 Bài toán ổn định 7

1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 9

1.2 Bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân có trễ 10

1.2.1 Bài toán ổn định cho hệ có trễ 10

1.2.2 Bài toán ổn định cho hệ suy biến có trễ 12

1.3 Các mệnh đề bổ trợ 13

2 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với trễ hằng 15 2.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với trễ hằng 15

2.2 Ví dụ số minh họa 21

3 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên

với nhiễu phi tuyến 243.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiênvới nhiễu phi tuyến 243.2 Ví dụ số 40

Ký hiệu toán học

Rn Không gian Euclid n chiều với chuẩn k.k

hx, yi Tích vô hướng của hai vectơ x, y ∈Rn

Rm×n,Cm×n Không gian các ma trận thực, phức cỡ (m × n)

0n×r Ma trận 0 có chiều n × r

AT Ma trận chuyển vị của ma trận A

AT=A Ma trận đối xứng

A∗ Ma trận liên hợp chuyển vị của ma trận A

A ≥ 0, A > 0 Ma trận nửa xác định dương, xác định dương

||A|| Chuẩn Euclid cảm sinh của A ∈ Cm×n

||A|| = maxi[λi(A∗A)]1/2

λmin(A) min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmax(A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

µ(A) Độ lớn của ma trận A ∈ Cm×n: µ(A) = 12λmax(A∗+ A)

∗ Các phần tử đối xứng trong ma trận

C1([−h, 0],Rn) Không gian Banach các hàm liên tục trên [−h, 0] nhận giá

trị trong Rn với chuẩn kϕk = sup

−h≤t≤0

{kϕ(t)k, k ˙ ϕ(t)k}.

diag{a1, , an} Ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính

là a1, , an

Mở đầu

Lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những hướngnghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật Các công trìnhnghiên cứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán họcngười Nga A M Lyapunov khi ông nghiên cứu tính ổn định của một chuyểnđộng Do lý thuyết ổn định được nghiên cứu xuất phát từ những đòi hỏi thựctiễn và nhu cầu phát triển của một số ngành khoa học nên đã hơn một thế kỷtrôi qua nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được quan tâm

và có nhiều kết quả được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học,vật lý toán, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học

Có hai phương pháp chính để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình

vi phân, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (phương pháp phổ hayphương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi

là phương pháp thứ hai của Lyapunov) Trong đó phương pháp hàm Lyapunov

là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu sự ổn định và ổn định hóa của hệphương trình vi phân Hầu hết các quá trình vật lý, sinh học, hóa học, kinh tếđều liên quan đến độ trễ thời gian Không những thế, độ trễ thời gian còn lànguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của các hệđộng lực Do đó lớp hệ phương trình vi phân có trễ thu hút được nhiều sự quantâm của các nhà toán học Mặt khác, các bài toán xuất phát từ thực tế thườngđược mô tả bởi các hệ phương trình vi phân suy biến Vì thế, giải quyết đượcbài toán về sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ sẽ góp phần

giải quyết được hàng loạt các bài toán thực tiễn có tính ứng dụng cao Vì các

hệ phương trình vi phân suy biến có trễ là sự ghép thành của các hệ phươngtrình với ma trận trễ với các hệ phương trình đại số nên việc nghiên cứu các

hệ như vậy phức tạp hơn việc nghiên cứu các hệ phương trình vi phân thôngthường Đặc trưng chính của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ là phươngtrình đặc trưng của các hệ đó có vô hạn nghiệm nên việc kiểm tra tính ổn địnhnghiệm của hệ suy biến có trễ rất khó khăn Cũng giống như với hệ phươngtrình vi phân thông thường, người ta cũng dùng hai phương pháp đã nêu ở trên

để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ suy biến có trễ

Trong luận văn này chúng tôi sử dụng hai phương pháp đó để nghiên cứutính ổn định cho một số lớp hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Đó là hệphương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ hằng và hệ phương trình suybiến có trễ biến thiên và có nhiễu phi tuyến Luận văn gồm phần mở đầu, phầnkết luận, danh mục tài liệu tham khảo và ba chương với nội dung như sau.Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về bài toán ổn định, phươngpháp hàm Lyapunov, bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân thường và

hệ phương trình vi phân có trễ Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trìnhbày lại một số mệnh đề bổ trợ được sử dụng trong việc chứng minh các định lý

ở chương sau

Chương hai trình bày về điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ phương trình

vi phân suy biến với trễ hằng Trong đó, Định lý 2.2 sử dụng phương pháp phổ

để đánh giá tính ổn định cho hệ phương trình vi phân trong trường hợp trễ hằngvới tốc độ mũ α Kết quả của chương này được chúng tôi tham khảo trong bàibáo [13] trong danh mục tài liệu tham khảo

Chương ba nghiên cứu mở rộng kết quả trong bài báo [10] về tính α−ổn định

mũ của hệ phương trình vi phân suy biến với trễ biến thiên để đưa ra điều kiện

đủ về tính α−ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có

trễ với nhiễu phi tuyến Điều kiện này được cho dưới dạng các bất đẳng thức

ma trận tuyến tính và các bất đẳng thức này được giải dễ dàng bằng phần mềmMatlab

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến GS TSKH Vũ NgọcPhát Thầy đã nghiêm khắc hướng dẫn, chỉ bảo, và truyền đạt cho tôi niềm đam

mê lý thuyết ổn định và điều khiển

Tôi xin trân trọng cảm ơn tới Khoa ToánTin, Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tôi họctập và hoàn thành luận văn

-Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạosau Đại học - Viện Toán học, Phòng Tối ưu và Điều khiển, cùng toàn thể cácthầy cô giáo của Viện Toán học, các anh các chị và các bạn lớp cao học K19 đãgiúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại đây

Cuối cùng tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến bố mẹ, anh chị và cháugái tôi, những người luôn ở bên cạnh chia sẻ và giúp đỡ tôi trong lúc tôi gặp khókhăn nhất để tôi có thể hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 8 năm 2013

Học viênNguyễn Thị Huyền Thư

Chương 1

Cơ sở toán học

Trong chương này, chúng tôi trình bày kiến thức cơ sở về tính ổn định củalớp hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân có trễ và hệphương trinh vi phân suy biến có trễ Ngoài việc trình bày lại phương pháp hàmLyapunov, chúng tôi cũng nhắc đến một số mệnh đề bổ trợ cho việc chứng minhcác định lý ổn định trong các chương tiếp theo

có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0, x0) và nghiệm kéo dài được trên [t0, +∞).

Nghiệm này được ký hiệu là x(t; t0, x0) Giả sử f (t, 0) = 0, với mọi t ∈R+ nghĩa

là ta luôn giả thiết hệ có nghiệm cân bằng x = 0 Khi đó ta có các định nghĩa

về tính ổn định của nghiệm như sau

Định nghĩa 1.1 (xem [1, 15]) Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là

(i) ổn định nếu với mọi  > 0, t0 ≥ 0 đều tồn tại δ = δ(t0, ) > 0 sao cho vớinghiệm x(t; t0, x0) bất kỳ của hệ (1.1) thỏa mãn kx0k < δ thì

kx(t; t0, x0)k < , ∀t ≥ t0;

(ii) ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với mỗi t0 ≥ 0, tồn tại δ0 = δ0(t0) >

0 sao cho với nghiệm x(t; t0, x0) bất kỳ của hệ (1.1), nếu kx0k < δ0 thì

lim

t→+∞ kx(t; t0, x0)k = 0;

(iii) ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số α > 0, N ≥ 1 sao cho với mọi x0 ∈

Rn, t0 ∈R+, nghiệm x(t; t 0 , x 0 ) bất kỳ của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện

dựa vào tính chất tập các giá trị riêng của ma trận A Cụ thể là hệ (1.2) là ổnđịnh mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm Tuynhiên trong thực tế, các hệ thống thường chứa các tham số không biết trước.Chẳng hạn như ma trận A bị nhiễu thành ma trận A + ∆A(t). Vì sự phức tạpcủa tập phổ λ(A + ∆A(t)),Lyapunov đã đưa ra một cách tiếp cận dựa trên dạnghàm toàn phương V (x) = xTP x, trong đó P là một ma trận đối xứng, xác định

dương Hệ (1.2) là ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Q đối xứng,xác định dương, phương trình Lyapunov : ATP + P A = −Q có nghiệm P là matrận đối xứng, xác định dương Hai kết quả quan trọng này tiêu biểu cho haiphương pháp cơ bản nghiên cứu tính ổn định của một hệ phương trình vi phân.

Đó là phương pháp phổ và phương pháp hàm Lyapunov Trong luận văn này,chúng tôi sẽ sử dụng cả hai phương pháp để nghiên cứu bài toán ổn định

Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân (1.1) Cho

D là lân cận mở tùy ý của 0 Kí hiệu K là tập hợp các hàm liên tục tăng chặt

a(·) :R+→R+, a(0) = 0.

Định nghĩa 1.2 (xem [1, tr 134]) Hàm V :R+× D →R khả vi liên tục, thỏa

mãn điều kiện V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếucác điều kiện sau được thỏa mãn

(i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

∃ a ∈ K : V (t, x) ≥ a(kxk), ∀(t, x) ∈R+× D.

(ii) V (t, x(t)) :=˙ ∂V∂t +∂V∂xf (t, x(t)) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1)

Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm các điều kiện:

(iii) Tồn tại b(·) ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(kxk), ∀(t, x) ∈R+ × D.

(iv) Tồn tại c(·) ∈ K sao cho V (t, x) ≤ −c(kx(t)k)˙ với mọi nghiệm x(t) của hệ(1.1) thì V (t, x) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.1)

Sau đây là hai định lý về tính ổn định của hệ (1.1)

Định lý 1.3 (xem [1, tr 135]) Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov ổn định Hơnnữa, nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều

Định lý 1.4 ([15]) Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa các điều kiện sau:

Như chúng ta đã biết, hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan

hệ giữa biến thời gian t, trạng thái x(t) của hệ thống và tốc độ thay đổi củatrạng tháix(t) tại cùng một thời điểm t. Tuy nhiên, trong thực tế, các quá trìnhxảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính

di truyền Vì vậy lớp hệ phương trình vi thường không miêu tả được hết cácquá trình này Do đó, để mô tả một cách chính xác các quá trình này, người tathường miêu tả chúng bằng các phương trình vi phân có trễ

Giả sử h là một số thực không âm Ký hiệu C = C([−h, 0],Rn) là không gianBanach các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0], nhận giá trị trong không gian Rn vàchuẩn của một phần tửϕ ∈ C được cho bởikϕk = sup

−h≤θ≤0

kϕ(θ)k.Với t 0 ∈R, σ ≥ 0

và x ∈ C([t0− h, t0 + σ],Rn), hàm xt ∈ C với t ∈ [t0, t0 + σ] được xác định bởi

xt(s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, xt là một quỹ đạo trên đoạn [t − h, t] củahàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi kxtk := sup

s∈[−h,0]

kx(t + s)k. Cho

D ⊂Rn× C là một tập mở và hàmf : D → Rn. Một phương trình vi phân có trễtrên D là phương trình dạng [8]

Một hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có trễ (1.3) trên

[t0 − h, t0 + σ) nếu tồn tại t0 ∈ R, σ > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h, t0 + σ),Rn) với

(t, xt) ∈ D và x(t) thỏa mãn phương trình (1.3) sao cho mọi t ∈ [t0, t0+ σ). Chotrước t0 ∈ R, ϕ ∈ C, ta nói x(t0, ϕ, f ) là một nghiệm của phương trình (1.3) vớihàm điều kiện ban đầu ϕtại t0 hoặc đơn giản là một nghiệm đi qua điểm (t0, ϕ)

nếu tồn tại một sốσ > 0sao chox(t0, ϕ, f )là nghiệm của hệ (1.3) trên[t0−h, t0+σ)

và x t 0 (t 0 , ϕ, f ) = ϕ. Khi t 0 và f đã rõ, ta viết x(t, ϕ) thay cho x(t 0 , ϕ)(t). Sự tồntại duy nhất nghiệm toàn cục, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiệnban đầu của hệ (1.3) có thể xem trong [8] Ở đây, chúng tôi giả thiết rằng hàm

f (.)thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (t0, ϕ) ∈ R+× C, hệ (1.3) có nghiệmduy nhất đi qua điểm (t0, ϕ) và nghiệm xác định trên [t0, +∞). Chú ý rằng khi

h = 0, thì hệ (1.3) chính là hệ phương trình vi phân thường (1.1) đã xét trongmục trước Ta cũng giả thiết f (t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.3) luôn có nghiệm không.Khi đó, ta cũng có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận tương tự hệ phươngtrình vi phân thường Tương tự, ta cũng có phương pháp hàm Lyapunov đểnghiên cứu tính ổn định của hệ (1.3) Ta có một tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.3)như sau

Định lý 1.5 ([8, 12]) Giả sử f :R+× C →Rn Nếu tồn tại hàm V :R+× C →R

Nếu điều kiện (ii) được thay bằng điều kiện

(iii) ∃ λ3 > 0 : ˙ V (t, xt) ≤ −2λ3V (t, xt), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.3), thì hệ

(1.3) là ổn định mũ và nghiệm x(t0, ϕ)(t) của hệ thỏa mãn đánh giá

Xét một hệ suy biến có trễ sau:

(1.4)

trong đó E ∈ Rm×n là ma trận suy biến, rank E < n, A, Ad là các ma trận hệ sốvới các chiều cho trước Khi đó, ta có các định nghĩa về sự ổn định của hệ (1.4)như sau

Định nghĩa 1.6 ([9, 14]) Hệ suy biến (1.4) được gọi là chính quy nếu đa thứcđặc trưng det(sE − A) là không đồng nhất bằng không

Định nghĩa 1.7 ([9, 14]) Hệ suy biến (1.4) được gọi là impulse-free nếu

deg det(sE − A) = rank(E).

Định nghĩa 1.8 ([14]) Hệ suy biến (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu vớibất kỳ  > 0, tồn tại một số δ() > 0 sao cho với bất kỳ hàm điều kiện ban đầuthỏa mãn kϕk ≤ δ(), nghiệm x(t) của (1.4) thỏa mãn kx(t)k ≤  với t ≤ 0 Hơnnữa lim

t→∞ x(t) = 0

Định nghĩa 1.9 ([9]) Hệ (1.4) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số α > 0

và γ > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm x(t, ϕ) của hệ suy biến có trễ thỏa mãn điềukiện sau

kx(t, ϕ)k ≤ γkϕke−αt, ∀t ≤ 0.

Mệnh đề 1.13 ([7]) Với bất kì ma trận đối xứng xác định dương M, số γ > 0

và hàm vectơ ω : [0, γ] →Rn khả tích, khi đó bất đẳng thức sau thỏa mãn

ω(s) ds



≤ γ

 Z γ 0

ωT(s)M ω(s) ds



.

Mệnh đề 1.14 ([11]) Với bất kì ma trận đối xứng xác định dương M, ma trận

nhận giá trị cực tiểu khi x là một véc tơ riêng tương ứng với λ1

Mệnh đề 1.16 (xem [10]) Cho h2, λ, δ1, δ2 là các số nguyên dương sao cho

2.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính

suy biến với trễ hằng

n > r := rank(E) > 0 và ϕ(t) là hàm giá trị ban đầu.

Ta chọn hai ma trận không suy biến Q1 ∈ R n×n và Q2∈ R n×n sao cho

A0,21z1(0) + A0,22z2(0) + A1,21z1(−τ1) + A1,22z2(−τ1) = 0.

Bây giờ ta xét tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ suy biến (2.1)

Định lý 2.2 ([13]) Hệ (2.1) là ổn định mũ nếu các điều kiện sau được thỏamãn:

và f1(0) < 0, f1(∞) = ∞ Suy ra f1(·) là hàm tăng ngặt và do đó phương trình

f (x) = 0 có duy nhất một nghiệm dương, kí hiệu nghiệm đó là α1

Thêm nữa, nếu kA1,21k 2 + kA1,22k 2 6= 0 thì ta có f20(x) < 0 Mặt khác f2(0) > 0và

f2(∞) = −∞ nên f2(x) là hàm giảm ngặt và f2(x) = 0 có duy nhất một nghiệm

f2(β) = 1

2min

λ1 A0,22+ A∗0,22
− kA0,21k − eτ1 β (kA1,21k + kA1,22k) ≥ 0. (2.4)Theo (2.2), đa thức đặc trưng của hệ (2.1) là

1 Trường hợp thứ nhất là kvak ≥ kvbk Giả sử rằng tồn tại một nghiệm đặctrưng là λ1 thỏa mãn Re(λ1) > −β Đặt

hơn nữa, do Re(λ1) > −β nên

e−τ1 λ 1 + e−τ1 λ∗1 = e−τ1 (Reλ 1 +iImλ 1 ) + e−τ1 (Reλ 1 −iImλ 1 )

= e−τ1 Reλ 1 e−τ1 iImλ 1 + e−τ1 Reλ 1 e−τ1 iImλ 1

= e−τ1 Reλ 1 2 cos(τ1Imλ1) ≤ 2eτ1 β , (2.10)

suy ra

e−τ1 λ 1 va∗(A1,11va+ A1,12vb) + e−τ1 λ∗1 (A1,11va+ A1,12vb)∗va

≤ 2eτ1 β kv a k2(kA 1,11 k + kA 1,12 k). (2.11)Kết hợp các bất đẳng thức (2.9), (2.10) và (2.11) ta có

A0,22vb= −A0,21va− e−τ1 λ 1 (A1,21va+ A1,22vb).

Thay A0,22vb vào đánh giá (2.4), (2.12) và tương tự như trường hợp thứnhất ta có

|z2| = |vb∗A0,22vb+ vb∗A∗0,22vb| ≤ kv∗bA0,22vbk + k(A0,22vb)∗vbk

≤ k − vb∗A0,21va− e−τ1 λ 1 vb∗A1,21va− e−τ1 λ 1 vb∗A1,22vbk + k − va∗A∗0,21vb− e−τ1 λ 1 A∗1,21v∗avb− e−τ1 λ 1 A∗1,22vb∗vbk

≤ 2kA0,21kkvbk2+ 2eτ1 β kvbk2(kA1,21k + kA1,22k)

≤ kvbk2 λmin A0,22+ A∗0,22
.

Điều này mâu thuẫn với (2.13) Vậy tất cả các giá trị riêng của hệ (2.1)

thỏa mãn điều kiện Re(λ) ≤ −β, do đó ta suy ra hệ (2.1) là ổn định mũ với

Ta có n = 3 và r := rank(E) = 2 Chọn hai ma trận không suy biến

... mâu thuẫn với (2.13) Vậy tất giá trị riêng hệ (2.1)

thỏa mãn điều kiện Re(λ) ≤ −β, ta suy hệ (2.1) ổn định mũ với

Ta có n = 3 r := rank(E) = 2 Chọn hai ma trận không suy biến< /p> ... k2(kA 1,11 k + kA 1,12 k). (2.11)Kết hợp bất đẳng thức (2.9), (2.10) (2.11) ta có

A0,22vb= −A0,21va−