Tính chất thu hẹp iđêan đối với nửa nhóm lũy đẳng luận văn thạc sĩ toán học

- 1 - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỒNG THANH TRIẾT TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI NỬA NHÓM LŨY ĐẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 12. 2011 - 2 - MỞ ĐẦU Tính chất mở rộng iđêan đối với các nửa nhóm đã được đề xuất nghiên cứu vào những năm cuối của thế kỷ hai mươi bởi J. I. Giacia (1991), K. D. Aucoin (1999) và vào đầu thế kỷ hai mươi mốt bởi X. Guo (2001). Một vấn đề tự nhiên nảy sinh là xét tính chất thu hẹp iđêan của các nửa nhóm. Năm 2003, K. D. Aucoin, J. A. Dumesnil và L. A. Hildebrant đã khảo sát vấn đề này trong bài báo “Semigroups with the ideal retraction property” đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 66 năm 2003. Năm 2004, trong công trình “The structure of commutative semigroups with the ideal retraction property” của cùng nhóm tác giả trên đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 68, họ tiếp tục khảo sát các nửa nhóm giao hoán có tính chất thu hẹp iđêan. Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo “The ideal retraction property for idempotent semigroups” của hai tác giả M.E. Adams và Mathew Gould, đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 74 năm 2007, nhằm tìm hiểu các nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan, đó là lớp nửa nhóm mà mỗi phần tử của nó là lũy đẳng. Ngoài ra, dựa trên bài báo “Sequentially injective hull of acts over idempotent semigroups” của hai tác giả M. Mahmoudi và Gh. Moghaddasi Angizan, đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 74 năm 2007, chúng tôi tìm hiểu cách xây dựng bao nội xạ liên tục của các tác động trên các nửa nhóm lũy đẳng. - 3 - Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả nói trên của M. E. Adams, Mathew Gould trong [4] và M. Mahmoudi, Gh. Moghaddasi Angizan trong [11]. Luận văn gồm có ba chương: Chương 1. Nửa nhóm lũy đẳng 1.1. Nửa dàn các lũy đẳng. Băng các nửa nhóm 1.2. Băng các nhóm Chương 2. Nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan 2.1. Nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan 2.2. Nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan Chương 3. Bao nội xạ liên tục của các tác động trên nửa nhóm lũy đẳng 3.1. S – tác động. Tiêu chuẩn đầy đủ Cauchy 3.2. Bao nội xạ liên tục của các tác động trên nửa nhóm lũy đẳng Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Khoa sau Đại học, Ban chủ nhiệm khoa Khoa Toán Trường Đại học Vinh. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Khoa Toán – Ứng dụng Trường Đại học Sài Gòn. - 4 - Tác giả xin được cám ơn PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS. TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan cùng Quý thầy, cô đã và đang công tác tại Khoa Toán Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và trong suốt quá trình viết, chỉnh sửa luận văn này. Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, các bạn trong lớp Cao học 17 Đại số và Lý thuyết số Trường Đại học Vinh đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp xây dựng của Quý thầy, cô và đồng nghiệp. Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả - 5 - CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM LŨY ĐẲNG 1.1. Nửa dàn các lũy đẳng. Băng các nửa nhóm Cho S là một nửa nhóm. Phần tử e S∈ được gọi là phần tử lũy đẳng (idempotent) của S nếu 2 .e e= Tập hợp tất cả các phần tử lũy đẳng của nửa nhóm S được ký hiệu là ( ),E S S E hay đơn giản là E nếu không sợ nhầm lẫn. Một quan hệ hai ngôi “≤“ trên tập X được gọi là một quan hệ thứ tự bộ phận (partical order) nếu nó có các tính chất phản xạ (a a≤ với mọi ),a X∈ phản xứng (nếu , ,a b X∈ a b≤ và b a≤ kéo theo )a b= và bắc cầu (nếu , , ,a b c S∈ a b≤ và b c≤ kéo theo ).a c≤ 1.1.1. Bổ đề. Giả sử E là tập hợp các lũy đẳng của nửa nhóm .S Khi đó quan hệ “ ≤ “ xác định trên E bởi e f ef fe e≤ ⇔ = = là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập hợp E (quan hệ thứ tự này gọi là thứ tự tự nhiên trên tập hợp E ). Chứng minh. Với mỗi ,e E∈ ta có 2 ,e e= hay e e ≤ . Do đó quan hệ ” ≤ “ có tính phản xạ. Lấy ,e f tùy ý thuộc E sao cho e f≤ và .f e≤ Thế thì ef fe e= = và ,fe ef f= = suy ra .e f= Do đó quan hệ “ ≤ “ có tính phản xứng. - 6 - Lấy , ,e f g thuộc S sao cho e f≤ và .f g≤ Thế thì ef fe e= = và .fg gf f= = Khi đó, ( ) ( ) ,eg ef g e fg ef e= = = = ( ) ( ) .ge g fe gf e fe e= = = = Suy ra .e g≤ Do đó quan hệ ” ≤ “ có tính bắc cầu. Vậy “ ≤ “ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập hợp E .  1.1.2. Định nghĩa. Giả sử “ ≤ “ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên ;X Y là một tập hợp con của .X i) Phần tử b X∈ được gọi là cận trên của tập hợp Y nếu y b≤ với mọi ;y Y∈ ii) Cận trên b của tập hợp Y được gọi là cận trên bé nhất của Y nếu b c≤ với mọi cận trên c của .Y Cận trên bé nhất của Y còn được gọi là hợp của ;Y iii) Phần tử a X∈ được gọi là cận dưới của tập hợp Y nếu a y≤ với mọi ;y Y∈ iv) Cận dưới a của tập hợp Y được gọi là cận dưới lớn nhất của Y nếu d a≤ với mọi cận dưới d của .Y Cận dưới lớn nhất của Y còn được gọi là giao của ;Y v) Tập hợp sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn dưới [t.ư. nửa dàn trên] nếu mỗi tập hợp con gồm hai phần tử của X đều có giao [t.ư. hợp] trong .X Nếu ,a b X∈ thì giao của { , }a b được ký hiệu là a b∧ (hoặc a b∩ ); hợp của { , }a b được ký hiệu là a b∨ (hoặc a b∪ ); vi) Một dàn (lattice) là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới; vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ (complete lattice) nếu mỗi tập hợp con của X có một hợp và một giao. - 7 - Nhận xét: Dễ thấy rằng nếu Y có một giao [t.ư. hợp] trong Y thì giao [t.ư. hợp] đó là duy nhất. 1.1.3. Ví dụ i) Giả sử X là tập hợp tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S có bổ sung thêm tập hợp rỗng. Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của Lý thuyết tập hợp. Vì giao của một họ tùy ý các nửa nhóm con của S hoặc là tập rỗng hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ. Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo Lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm con thuộc ;Y hợp của Y là nửa nhóm con sinh bởi hợp theo Lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc .Y Tất cả các lý luận vẫn có hiệu lực nếu ta thay thế cụm từ “nửa nhóm con của nửa nhóm S ” bởi cụm từ “tương đẳng trên S ”. ii) Tập hợp tất cả các iđêan trái [t.ư. phải, hai phía] của nửa nhóm S bổ sung thêm tập hợp rỗng với quan hệ bao hàm, đóng với phép hợp cũng như phép giao, nên là một dàn con đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của nửa nhóm .S 1.1.4. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một băng (band) nếu mỗi phần tử của S đều là phần tử lũy đẳng. Giả sử S là một băng. Khi đó S E= và S được sắp thứ tự với quan hệ thứ tự tự nhiên: a b≤ ⇔ , , .ab ba a a b S= = ∀ ∈ 1.1.5. Mệnh đề. Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ phận tự nhiên trên .S Giao a b∧ của tập hợp { , }a b S⊆ trùng với tích ab của chúng. - 8 - Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép toán , , .a b S ab a b∀ ∈ = ∧ Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1.1, quan hệ “ ≤ “ được xác định bởi , ,a b S a b∀ ∈ ≤ nếu và chỉ nếu ,ab ba a= = là một thứ thự bộ phận trên .S E= Lấy a và b tùy ý thuộc .S Ta chứng minh tích ab trùng với cận dưới lớn nhất của tập hợp { , }.a b Từ ( ) ( ) ( ) ( )ab a a ba a ab aa b ab= = = = và ( ) ( ) ,a ab aa b ab= = ta suy ra .ab a≤ Lý luận tương tự, ta có .ab b≤ Do đó ab là một cận dưới của { , }.a b Giả sử c là một cận dưới của { , },a b nghĩa là c a ≤ và ,c b≤ tức ca ac c= = và .bc cb c= = Thế thì ( ) ( )ab c a bc ac c= = = , và tương tự ta có ( ) ( ) ,c ab ca b cb c= = = nên .c ab≤ Do đó ab là cận dưới lớn nhất của { , }.a b Vậy S là một nửa dàn dưới và a b∧ = ab với mọi , .a b S∈ Đảo lại, giả sử ( ,S ≤ ) là nửa dàn dưới. Đặt ab a b= ∧ với mọi , .a b S∈ Lấy , ,a b c tùy ý thuộc S . Đặt , ,d a b e b c f a e= ∧ = ∧ = ∧ và .g d c= ∧ Khi đó ta có , , , .e b e c f a f e≤ ≤ ≤ ≤ Thế thì ,f c f a≤ ≤ và ,f b≤ suy ra f c≤ và .f d≤ Từ đó .f g≤ Lý luận tương tự, ta có .g f≤ Do đó .f g= Như vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ,a bc a b c a e f g d c a b c ab c= ∧ ∧ = ∧ = = = ∧ = ∧ ∧ = nghĩa là phép nhân có tính kết hợp trên ,S tức S là một nửa nhóm. Dễ thấy ab ba= với mọi ,a b S∈ nên phép nhân giao hoán trên .S - 9 - Với mỗi ,a S∈ ta có a a≤ và ,a a≤ suy ra a là một cận dưới của a và .a Mặt khác, nếu có c S∈ sao cho ,c a≤ c a≤ thì .c a≤ Do đó a là cận dưới lớn nhất của a và ,a nghĩa là .a a a= ∧ Từ đó ta có 2 ,a aa a a a= = ∧ = nghĩa là ( ).a E S∈ Suy ra ( ).S E S= Vậy S là một băng giao hoán.  1.1.6. Chú ý. Giả sử S là một băng giao hoán. Đặt a b≤ nếu và chỉ nếu ( )ab ba b= = thì ( ,S ≤ ) là một nửa dàn trên. Tuy nhiên, để cho thống nhất, từ đây trở đi ta xét quan hệ “≤” được xác định như ở Bổ đề 1.1.1. Hơn nữa, từ “nửa dàn” đồng nghĩa với từ “băng giao hoán”. Như vậy, các nửa dàn sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu không chú thích gì thêm. 1.1.7. Ví dụ. Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý và S X Y= × là tích Đềcác của X và .Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt 1 1 2 2 1 2 ( , )( , ) ( , )x y x y x y= với mọi 1 2 ,x x X∈ và 1 2 , .y y Y∈ Khi đó, dễ thấy phép toán đã cho có tính kết hợp trong ,S nghĩa là S là một nửa nhóm, và mỗi phần tử của S đều là phần tử lũy đẳng. Vậy S là một băng. Ta gọi băng S được xây dựng như trên là một băng chữ nhật trên tập .X Y× Lý do của tên gọi đó như sau: Ta hãy tưởng tượng X Y × là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm ( , )x y nằm ở “dòng x ” (dòng chứa phần tử x ) và “cột y ” (cột chứa phần tử y ) của bảng. Thế thì 1 1 1 ( , )a x y= và 2 2 2 ( , )a x y= là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật, và hai đỉnh còn lại của hình chữ nhật này là 1 2 1 2 ( , )a a x y= và 2 1 2 1 ( , ).a a x y= - 10 - Các băng chữ nhật trên X Y× và ' 'X Y× đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu 'X X= và 'Y Y= . Nếu X = 1 [t.ư. 1Y = ], thì băng chữ nhật trên X Y × đẳng cấu với nửa nhóm zero phải [t.ư. trái] trên Y [t.ư. X ]. 1.1.8. Định nghĩa. Nếu nửa nhóm S được phân chia thành hợp của các nửa nhóm con rời nhau S α với I α ∈ (I là một tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói rằng S phân tích được thành các nửa nhóm S α với ,I α ∈ hay S là hợp rời của các nửa nhóm S α , .I α ∈ Khi đó ta ký hiệu I S S α α • ∈ = ∪ hay { / }.S S I α α • = ∪ ∈ Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con S α thuộc vào lớp nửa nhóm nào đó hẹp hơn S (S α có tính chất đặc biệt hơn ).S 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử { / }S S I α α • = ∪ ∈ là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với mọi α và β thuộc ,I tồn tại I γ ∈ để S α S β ⊆ .S γ Khi đó I trở thành một băng nếu trong I xác định phép toán αβ γ = khi và chỉ khi S α S β ⊆ .S γ Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm S α và viết [ , ]S S I α α = ∈ . Ánh xạ : S I ϕ → được xác định bởi ( )a ϕ α = nếu ,a S α ∈ là một toàn cấu và các nửa nhóm con S α là các lớp tương đẳng ( )Ker ϕ cho bởi ( , ) ( )a b Ker ϕ ∈ nếu và chỉ nếu ( ) ( ).a b ϕ ϕ =