Tính chất mở rộng tương đẳng đối với nửa nhóm đơn hoàn toàn luận văn thạc sĩ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG MINH ĐỨC TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI NỬA NHÓM ĐƠN HOÀN TOÀN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh – 2012 2 MỞ ĐẦU Khái niệm nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng được Day và Alan đưa ra đầu tiên vào năm 1971: Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng nếu đối với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi tương đẳng σ trên T tồn tại một tương đẳng σ * trên S sao cho σ * ( )T T σ ∩ × = . Tương đẳng σ * được gọi là một mở rộng σ . Khái niệm này liên quan với khái niệm nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan. Trong công trình The congruence extension property for algebraic semigroups đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 43 năm 1991(Xem[6] ), Garcia đã khảo sát một số lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng như nửa nhóm xyclic, nửa nhóm iđêan và các nhóm. Gần đây, trong công trình The ideal extension property in compact semigroups của Xiaojiang Guo đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 66 năm 2004(Xem[7] ), các nửa nhóm tôpô với tính chất mở rộng tương đẳng cũng được xét đến. Luận văn của chúng tôi dựa trên các công trình trên để tìm hiểu tính chất mở rộng tương đẳng đối với các nửa nhóm đơn hoàn toàn, đó là lớp nửa nhóm đơn với các lũy đẳng nguyên thủy. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. Chương 2. Tính chất mở rộng tương đẳng đối với nửa nhóm đơn hoàn toàn. Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu điều kiện để nửa nhóm đơn hoàn toàn có tính chất mở rộng tương đẳng. 3 Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh , dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán . Thầy đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, cùng những lời đông viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này. Tác giả cũng xin cảm ơn khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi hoàn thành chương trình học tập cũng như bản luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những điều thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc. Vinh,Tháng 02 năm 2012 Tác giả 4 CHƯƠNG 1. NỬA NHÓM 0 – ĐƠN HOÀN TOÀN 1.1. Iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử I là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S. Khi đó : i) I được gọi là một iđêan trái( tương ứng phải) của S nếu S.I ⊆ I (tương ứng, I S ⊆ I ). ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là iđêan trái vừa là là iđêan phải của S. Ký hiệu I < S. Từ định nghĩa trực tiếp suy ra : 1.1.2. Hệ quả. Giả sử I là một tập con khác rỗng của nhóm S. Thế thì 1) I là iđêan trái( tương ứng phải) của S nếu với mọi a ∈ I, với mọi ∈x S có ∈xa I ( tương ứng ∈ax I ). 2) Nếu I là một iđêan trái( phải, hai phía) của S thì I là nửa nhóm con của S. 3) Nếu I và J là các iđêan trái( phải) của S với I J∩ ≠ ∅ thì ∩I J cũng là một iđêan trái( tương ứng phải) của S. 1.1.3. Định nghĩa. Một iđêan của nửa nhóm S được gọi là iđêan tối tiểu nếu với mọi iđêan J của S, ⊆J I kéo theo J = I. 1.1.4. Mệnh đề. Giả sử I là iđêan tối tiểu của S và J là một iđêan tùy ý của S. Thế thì ⊆I J . Chứng minh. Trước hết, I J∩ ≠ ∅ . Thật vậy, vì I và J là những iđêan của S nên IJ ⊆ ∩I J . Hơn nữa I ≠ ∅ , J ≠ ∅ , nên IJ ≠ ∅ , Do đó I J∩ ≠ ∅ . Mặt khác, ∩ ⊆I J I và ∩I J là iđêan của S nên từ tính tối tiểu của I suy ra ∩ =I J I và do đó .⊆I J  Từ mệnh đề 1.1.4 trực tiếp suy ra. 5 1.1.5. Hệ quả. Nếu một nửa nhóm S có iđêan tối tiểu thì iđêan tối tiểu của S là duy nhất. 1.1.6. Chú ý. Một nửa nhóm có thể có hoặc không có iđêan tối tiểu. Xét nửa nhóm cộng các số tự nhiên ¥ . Các iđêan của( ¥ , + ) là các tập con n + ¥ = } { /+ ∈ ¥n k k với ∈ ¥n . Hơn nữa + ⊆ +¥ ¥m n nếu và chỉ nếu ≥ m n . Do đó( ¥ , + ) không có iđêan tối tiểu. Mọi nửa nhóm hữu hạn S đều có iđêan tối tiểu, đó chính là iđêan có số phần tử ít nhất( iđêan như vậy tồn tại vì S là một iđêan của S và S chỉ có hữu hạn phần tử). 1.1.7. Định nghĩa. Một nửa nhóm S là nửa nhóm đơn nếu S không có iđêan khác S. 1.1.8. Mệnh đề. Một nửa nhóm S là nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu S S S= × với mọi ∈x S . Chứng minh. Rõ ràng, với mọi ∈x S , S S× là iđêan của S, và do đó nếu S đơn thì S S S× = . Đảo lại, giả thiết rằng với mọi ∈x S có S S S× = . Khi đó nếu I là một iđêan của S và ∈x I nào đó thì S S S I= × ⊆ nên =I S . Vậy S đơn.  1.1.9. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm, ta định nghĩa các quan hệ L, R, J sau đây trên S a L b ⇔ S 1 a = S 1 b a R b ⇔ aS 1 =bS 1 a J b ⇔ S 1 aS 1 = S 1 bS 1 trong đó S 1 a, aS 1 , S 1 aS 1 tương ứng là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính của S sinh bởi a. 6 1.1.10. Chú ý. Theo định nghĩa, a L b ⇔ ∃ s, s’∈ S , a = sb, b = s’a a ℜ b ⇔ , ' : , 'r r S a br b ar∃ ∈ = = Từ định nghĩa trực tiếp suy ra các quan hệ L, ℜ , J là các quan hệ tương đương trên S. Hơn nữa, L là một tương đẳng phải và ℜ là một tương đẳng trái trên S. Với mỗi ∈a S , ký hiệu L a là L – lớp tương đương chứa a: L a = { |x S x ∈ L a } . Tương tự R a và J a là ký hiệu lớp tương đương theo ℜ và J chứa a. 1.1.11. Mệnh đề. Các quan hệ L và ℜ giao hoán : L 0 ℜ = ℜ 0 L . Chứng minh. Giả sử (x,y) ∈ L 0 ℜ . Thế thì có một phần tử z ∈ S sao cho x Lz, z ℜ y, do đó tồn lại các phần tử , ', , 's s r r S∈ sao cho , ' , , 'x sz z s x t yr y zr= = = = . Ký hiệu '=t szr . Thế thì ' ', '= = = = = =t szr xr x sz syr szr r tr nên ℜx t . Ta lại có . ' , ' ' ' ' ' '= = = = = =t s zr sy y zr s xr s szr s t nên yLt. Suy ra ( , )∈x y ℜ o L nên ℜ o L ⊆ L 0 ℜ . Tương tự có ℜo L ⊆ ℜ o L nên ℜo L = ℜo L .  1.1.12. Định nghĩa. Giả sử L và ℜ là các quan hệ tương đương đã được xác định trong Định nghĩa 1.1.9. Ta xác định các quan hệ trên S: D = L 0 ℜ = ℜ 0 L và H = L ∩ ℜ = ℜ ∩ L . Khi đó các quan hệ L , ℜ , J , D và H được gọi là các quan hệ Grin trên S. 7 Theo lý thuyết tập hợp, H là quan hệ tương đương lớn nhất được chứa trong L và ℜ . Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé nhất chứa cả L và ℜ . Thật vậy, vì L và ℜ là các quan hệ tương đương nên D = L 0 ℜ = ℜ 0 L cũng là quan hệ tương đương. Hơn nữa x L x và x ℜ x với mọi x ∈ S nên L ⊆ D và ℜ ⊆ D . Nếu C là một quan hệ tương trên S chứa L và ℜ thì D ⊆ C, nên D là quan hệ tương đương bé nhất chứa cả L và ℜ . Biểu đồ bao hàm của các quan hệ Green trên cùng một nửa nhóm S được cho bởi hình sau với chú ý D ⊆ J. J D L ℜ H Với mỗi a ∈ S , ký hiệu các D –lớp và H – lớp chứa a tương ứng bởi D a và H a . 1.2. Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. Trong tiết này ta sẽ xét các nửa nhóm với phần tử zero 0. Các kết quả tương ứng về nửa nhóm không chứa phần từ zero hoàn toàn tương tự. 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero 0. Một iđêan hai phía( trái, phải) M của S được gọi là iđêan hai phía( trái, phải) 0 – tối tiểu nếu M ≠ { } 0 và 0 là Iđêan hai phía( trái, phải) duy nhất của S thực sự chứa trong M. 1.2.2. Chú ý. Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm zero nếu S 2 =0, nghĩa là xy =0 với mọi x,y ∈ S. 8 • Nếu M là iđêan hai phía( trái, phải) 0 – tối tiểu của một nửa nhóm S với phần tử zero 0 thì M 2 là iđêan cùng kiểu với M và được chứa trong M, do đó hoặc M = 0 hoặc M 2 = 0( nghĩa là M là nửa nhóm zero). • Rõ ràng, giao của hai iđêan 0 – tối tiểu bất kỳ của nửa nhóm S bằng 0. 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm với phần từ zero 0. Khi đó S được gọi là nửa nhóm 0 – đơn( 0 – đơn trái, 0 – đơn phải) nếu S 2 ≠ 0 và { } 0 là iđêan hai phía( trái, phải) thực sự duy nhất của S. Các kết quả sau đây đã được chứng minh chi tiết trong [ 1, trang 117–122]. 1.2.4. Mệnh đề. 1) Giả sử M là iđêan( hai phía) 0 – tối tiểu của nửa nhóm S với phần tử zero 0. Thế thì hoặc M 2 =0 hoặc M là nửa nhóm con 0 – đơn của S. 2) Nếu S là một nửa nhóm 0 – đơn phải( trái) thì S\0 là một nửa nhóm con đơn phải( trái) của S. 3) Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero 0 và M là một iđêan 0 – tối tiểu của nó chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu. Khi đó M là tập hợp của tất cả các iđêan 0 – tối tiểu của S. 4) Giả sử M là một iđêan trái 0 – tối tiểu của một nửa nhóm S với phần tử zero 0 sao cho M 2 ≠ 0. Giả thiết rằng M chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu của S. Khi đó mỗi iđêan trái của M cũng là một iđêan trái của S. Bây giờ ta chuyển sang xét các nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. 1.2.5. Chú ý. Giả sử E là tập hợp các lũy đẳng của nửa nhóm S. Trên E xác định quan hệ ≤ cho bởi e ≤ f nếu và chỉ nếu ef = fe = e. Thế thì ≤ là một thứ tự bộ phận trên E ( và được gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E). Thật vậy, vì e ∈ E nên e 2 = e, do đó e ≤ e nên ≤ phản xạ. Nếu e ≤ f và f ≤ e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f, do đó ≤ phản xứng. Nếu e ≤ f 9 và f ≤ G thì ef = fe = e và gf = fg = f nên eg = (ef)g = e(fg) = ef = e và ge = g(fe) = (gf)e = fe, do đó e ≤ G nên ≤ bắc cầu. Nếu S chứa phần tử zero 0 thì e0 = 0e = 0 với mọi e ∈ E nên 0 ≤ e ( chú ý 0 2 = 0 nên 0 ∈ E). Từ đó ta đưa đến khái niệm: Lũy đẳng f thuộc nửa nhóm S với phần tủ zero 0 được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu f ≠ 0 và nếu e ≤ f thì hoặc e = 0 hoặc e = f . 1.2.6. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn( 0 – đơn) hoàn toàn nếu S là một nửa nhóm đơn( 0 – đơn) và S chứa lũy đẳng nguyên thủy. 1.2.7. Nhận xét. Từ Định nghĩa 1.2.6 suy ra rằng nửa nhóm đơn( 0 – đơn) hữu hạn là đơn( 0 – đơn) hoàn toàn. Thật vậy, S hữu hạn nên S chứa lũy đẳng, do đó E = E(S) ≠ ∅ . Hơn nữa, E ≠ { } 0 vì nếu trái lại mỗi phần tử của S là lũy linh( nghĩa là với mọi a ∈ S tồn tại số nguyên dương n sao cho a n = 0), do đó( vì S hữu hạn) nên S lũy linh nghĩa là tồn tại số nguyên dương m để S m = { } 0 , trái giả thiết S 2 = S ( vì S đơn). Khi đó tập sắp thứ tự bộ phận hữu hạn E \ { } 0 chứa một phần tử tối tiểu chính là lũy đẳng nguyên thủy của S. Từ Định nghĩa 1.2.6 cũng trực tiếp suy ra: Nếu S là một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn thì S \ { } 0 là một nửa nhóm đơn hoàn toàn. Kết quả sau đây đã được chứng minh trong [1, trang 136]. 1.2.8. Mệnh đề. 10 1) Giả sử S là một nửa nhóm 0 – đơn. Khi đó S là 0 – đơn hoàn toàn nếu và chỉ nếu S chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu và ít nhất một iđêan phải 0 – tối tiểu. 2) Một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn là hợp của các iđêan trái( phải) 0 – tối tiểu của nó. 1.2.9. Định nghĩa. 1) Một nửa nhóm S được gọi là D – đơn hoặc song đơn nếu S chỉ gồm một D – lớp, trong đó D là quan hệ Grin trên S. 2) Một nửa nhóm S được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của S đều là phần tử chính quy( nghĩa là với mọi a ∈ S, tồn tại ∈x S sao cho axa = a). Ta chú ý rằng một nửa nhóm đơn trái( phải) nếu và chỉ nếu nó chỉ gồm một L – lớp( R – lớp) và một nửa nhóm là đơn nếu và chỉ nếu nó chỉ gồm một T – lớp. Vì D ⊆ J nên mỗi nửa nhóm song đơn là một nửa nhóm đơn. Hơn nữa, R ⊆ D, L ⊆ D nên mỗi nửa nhóm đơn phải và mỗi nửa nhóm đơn trái đều là nửa nhóm song đơn. 1.2.10. Định lý. Mỗi nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn đều là nửa nhóm 0 – song đơn và chính quy. Chứng minh. Giả sử S là một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. Giả sử a và b là các phần tử khác 0 của S. Ta chứng minh a D b. Theo Mệnh đề 1.2.8, a thuộc một iđêan trái 0 – tối tiểu L nào đó của S và b thuộc một iđêan phải 0 – tối tiểu R nào đó của S, hơn nữa L = Sa và R = bS, L a = L\ { } 0 và R b =R\ { } 0 . Từ ∈a L và ∈b R suy ra ⊆ ∩bSa R L . Vì S là nửa nhóm đơn và 0, 0a b≠ ≠ nên SaS = S và SbS = S. . ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG MINH ĐỨC TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI NỬA NHÓM ĐƠN HOÀN TOÀN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh – 2012 2 MỞ ĐẦU Khái niệm nửa nhóm. TƯƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM ĐƠN HOÀN TOÀN 2.1 Tính chất mở rộng tương đẳng đối với các nửa nhóm. 2.1.1 Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất