Về mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự luận văn thạc sĩ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN XUYÊN VỀ MỞ RỘNG IĐÊAN TRONG NỬA NHÓM SẮP THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN Nghệ An – 12.2011 1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC ……………………………………………………………………1 LỜI NÓI ĐẦU. .…………………………………………………………….2 Chương 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản về dàn và nửa dàn……… 4 1.1. Nửa dàn và dàn …………………………………………………… .…4 1.2. Cấu xạ và iđêan ……………………………… .…………………… 12 1.3. Các quan hệ tương đẳng ………………………………………………15 Chương 2. Sự mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự ………… .….20 2.1. Sự mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự……………………… .…20 2.2. Các iđêan n – nguyên tố …………………………………………… .…25 KẾT LUẬN………………………………………………………………….31 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………….32 2 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1990, N.Kehayopulu đã đưa ra khái niệm iđêan nguyên tố yếu trong các nửa nhóm được sắp thứ tự và đã tìm được một số đặc trưng của chúng. Giả sử (S, ≤ ) là một nửa nhóm sắp thứ tự. Khi đó S được gọi là ∧ - nửa dàn dưới quan hệ ≤ nếu S là một ∧ – nửa dàn (nghĩa là với mọi cặp phần tử a,b ∈ S có một cận dưới lớn nhất a ∧ b ∈ S, và thỏa mãn điều kiện: với mọi a,b,c ∈ S có c(a ∧ b) = ca ∧ cb và (a ∧ b)c = ac ∧ bc). Năm 1995, K.P. Schum đã mở rộng khái niệm iđêan nguyên tố thành khái niệm iđêan n - nguyên tố cho các ∧ - nửa dàn như sau: Một iđêan I của S được gọi là n - nguyên tố (n ≥ 2, n là số tự nhiên) nếu đối với mọi x i ∈ S, i = 1,2,…, n sao cho x 1 x 2 x 3… x n-2 x n-1 x n ∈ I, ít nhất n – 1phần tử của tập hợp {x 2 x 3… x n-2 x n-1 x n , x 1 x 3… x n-2 x n-1 x n , x 1 x 2 x 4… x n-2 x n-1 x n , x 1 x 2 x 3… x n-2 x n , x 1 x 2 x 3… x n-2 x n-1 } thuộc I , và đã chứng minh được rằng mọi iđêan nguyên tố của một nửa dàn được biểu diễn dưới dạng giao của các iđêan (n - 1) - nguyên tố. Ông cũng đã chứng minh được rằng một ∧ - nửa dàn S là nguyên tố nếu và chỉ nếu mỗi iđêan của S là giao của các iđêan nguyên tố chứa nó, điều kiện đó tương đương với điều kiện: mỗi iđêan của S là một iđêan 3 – nguyên tố. Nội dung của luận văn này là dựa trên bài báo On the ideal extentions in ordered semigroups của hai tác giả Xie Xiang – Yun và Wu Ming – Fen, đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 54 năm 1996 (xem [7]) để tìm hiểu về mở rộng của các iđêan nguyên tố và các iđêan n - nguyên tố trong các nửa nhóm được sắp thứ tự giao hoán. Luận văn gồm hai chương: 3 Chương 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản về dàn và nửa dàn Trong chương này chúng tôi trình bày về nửa dàn và dàn, cấu xạ và iđêan trên nửa dàn, các quan hệ trên nửa dàn. Chương 2. Về mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự Trong chương này chúng tôi trình bày về sự mở rộng iđêan của các nửa nhóm được sắp thứ tự và các iđêan n – nguyên tố. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 02 năm 2012 Tác giả 4 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ DÀN VÀ NỬA DÀN 1.1. Nửa dàn và dàn. 1.1.1. Định nghĩa (i) Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Khi đó quan hệ hai ngôi ≤ trên X được gọi là một quan hệ thứ tự bộ phận nếu với mọi x,y z ∈ X, các điều kiện sau đây được thỏa mãn: P1.x ≤ x (phản xạ) P2. Nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y (phản xứng) P3. Nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z (bắc cầu) (ii) Tập hợp X cùng với một quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên nó được gọi là một tập được sắp thứ tự bộ phận (partly ordered set) hay một « poset ». (iii) Giả sử (X, ≤) là một poset và x, y ∈ X. Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta viết x < y và nói rằng x nhỏ hơn y hoặc x được thực sự chứa trong y. Quan hệ x ≤ y cũng được viết y ≥ x và đọc là « y chứa x ». Tương tự, x < y cũng được viết là y > x… 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử (P, ≤) là một poset và X là một tập con của P. Khi đó phần tử a ∈ P được gọi là một cận trên (upper bound) của X nếu a chứa mỗi x ∈ X. Cận trên nhỏ nhất (least upper bound) của X là một cận trên của X được chứa trong mỗi cận trên khác của X, được ký hiệu bởi l. u. b. X hay sup X. Theo P2, sup X là duy nhất nếu nó tồn tại. Các khái niệm cận dưới (lower bound) của X – ký hiệu là g. 1. b. X hay infX – được định nghĩa đối ngẫu. Lại theo P2, infX là duy nhất nếu nó tồn tại. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử L là một poset. Khi đó L được gọi là một dàn (lattice) nếu thỏa mãn điều kiện: với cặp phần tử a,b thuộc L, cận trên nhỏ 5 nhất của chúng (ký hiệu a ∧ b) và cận dưới lớn nhất của chúng (ký hiệu a ∨ b) tồn tại và thuộc L. Dàn L được gọi là dàn đầy đủ (complete) nếu mỗi tập con X của nó có một cận trên nhỏ nhất và một cận dưới lớn nhất thuộc L. 1.1.4. Định nghĩa. (i) Quan hệ ≤ trên tập hợp S được gọi là một tựa – thứ tự (quasi- ordering) nếu nó thỏa mãn các tiên đề P1 và P3 nhưng không thỏa mãn P2. (ii) Cặp (S, ≤) lúc đó sẽ được gọi là tập được sắp tựa thứ tự (quasi - ordered set). Các tập hợp tựa – thứ tự có thể được xây dựng từ các đồ thị định hướng. Đó là các tập hợp của các điểm liên thông được nối bằng các đoạn thẳng định hướng. Hình 1a mô tả một đồ thị định hướng như vậy. b c a d e (a) Hình 1 Cho trước một đồ thị định hướng với các đỉnh x, y,…khi đó x < y được định nghĩa x = y hoặc tồn tại một quỹ đạo từ x đến y bằng hướng của các mũi tên. Như vậy trong hình 1a có b ≤ e bởi vì quỹ đạo b → d, d → e. Các quan hệ này rõ ràng bắc cầu. Mặt khác, trong hình 1a có b ≤ e và e ≤ b nên luật phản xứng không đúng. 6 (b, d, e) (a) (c) (b) Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ một poset được xây dựng từ một tựa thứ tự đã cho như thế nào. 1.1.5. Bổ đề. Trong một tập tựa – thứ tự Q = (S, ≤ ), định nghĩa x ~ y khi và chỉ khi x ≤ y và y ≤ x. Thế thì: (i) ~ là một quan hệ tương đương trên S. (ii) Nếu E và F là hai lớp tương đương đối với ~, thế thì x ≤ y hoặc không tồn tại x ∈ E, y ∈ F hoặc đối với mọi x ∈ E, y ∈ F. (iii) Tập thương S/~ là một poset nếu E ≤ F được định nghĩa bởi x ≤ y đối với x ∈ E, y ∈ F nào đó. Chứng minh. (i) Vì x ≤ x đối với tất cả x ∈ S, nên ~ phản xạ. Hơn nữa x ~ y và y ~ z kéo theo x ≤ y và y ≤ z nên x ≤ z theo P3. Tương tự, z ≤ x nên x ~ z và do đó ~ bắt cầu. Quan hệ ~ đối xứng theo định nghĩa. (ii) Nếu x ≤ y đối với x ∈ E, y ∈ F nào đó, thế thì 1 1 x x y y≤ ≤ ≤ đối với tất cả 1 x ∈ E, 1 y ∈ F, dó đó 1 1 x y≤ bởi tính bắc cầu. (iii) Rõ ràng E ~ F (vì x ~ x) đối với tất cả E. Hơn nữa, E ≤ F và F ≤ G kéo theo x ≤ y ≤ z đối với tất cả x ∈ E, y ∈ F, z ∈ G, từ đó x ≤ z theo P3 về ≤ và ≤ trên S/ ~ bắc cầu. Cuối cùng, E ≤ F và F ≤ E kéo theo đối với tất cả x ∈ E, y ∈ F có x ≤ y, y ≤ x, từ đó x ~ y và E = F. □ Trong đồ thị định hướng của hình 1a, các lớp tương đương là các tập { } a , { } edb ,, , { } c và poset tương ứng có biểu đồ phác họa trong hình 1b. Vì có Bổ đề 1.1.5. nên một tựa – thứ tự thường được gọi là một tiền thứ tự (pre-order). Bổ đề 1.1.5. có nhiều ứng dụng, chẳng hạn được thể hiện trong ví dụ sau. 7 1.1.6. Ví dụ. Giả sử S là một nửa nhóm với đơn vị. Ta định nghĩa một quan hệ \ trên S như sau: a \ b nếu và chỉ nếu ac = b đối với c ∈ S nào đó. Thế thì \ là một tựa - thứ tự trong S; các phần tử của S là “tương đương” theo ý nghĩa của Bổ đề 1.1.5. nếu và chỉ nếu chúng là “liên kết” theo nghĩa lý thuyết số. Bây giờ ta hãy xét sâu hơn các tiên đề dàn. 1.1.7. Mệnh đề. Trong một poset tùy ý, các toán tử hợp và giao thỏa mãn các tính chất sau đây. L1. x ∧ x = x, x ∨ x = x (lũy đẳng) L2. x ∧ y = y ∧ x, x ∨ y =y ∨ x (giao hoán) L3. x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z (kết hợp) L4. x ∧ (x ∧ y) = x ∨ (x ∧ y) = x (hấp thụ) Ngoài ra, x ≤ y tương đương với mỗi điều kiện x ∧ y = x và x ∨ y = y (phi mâu thuẫn) Chứng minh. Luật lũy đẳng và giao hoán là rõ ràng. Luật kết hợp L3 cũng rõ ràng vì x ∧ (y ∧ z) và (x ∧ y) ∧ z cả hai cùng bằng g.l. (x, y, z) khi tất cả các biểu thức được thông báo tồn tại. Sự tương đương giữa x ≥ y, z ∧ y và x ∨ y =x được kiểm tra trực tiếp và suy ra L4. □ 1.1.8. Mệnh đề. Nếu một poset P có O thì O ∧ x = O và O ∨ x = x đối với mọi x ∈ P. Đối ngẫu, nếu P có một cận trên phổ dụng I, thế thì x ∧ I = x và x ∨ I = I đối với mọi x ∈ P. Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ các định nghĩa. □ 1.1.9. Mệnh đề. Trong một dàn tùy ý, các toán tử hợp và giao được bảo toàn thứ tự nghĩa là. 8 Nếu y ≤ z, thì x ∧ y ≤ x ∧ z và x ∨ y ≤ x ∨ z. Chứng minh. Theo L1 – L4 và luật phi mâu thuẫn có x ∧ y = (x ∧ x) ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ (x ∧ z), dó đó x ∧ y ≤ x ∧ z theo luật phi mâu thuẫn. Bất đẳng thức thứ hai được suy ra từ nguyên lý đối ngẫu. □ 1.1.10. Mệnh đề. Trong một dàn tùy ý có: x ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) x ∨ (y ∧ z) ≥ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) Chứng minh. Rõ ràng, x ∧ y ≤ x và x ∧ y ≤ y ≤ y ∨ z; từ đó z ∧ y ≤ x ∧ (y ∨ z). Ta lại có x ∧ z ≤ x, x ∧ z ≤ z ≤ y ∨ z, từ đó x ∧ z ≤ x ∧ (y ∨ z). Nghĩa là, x ∧ (y ∨ z) là một cận trên của x ∧ y và x ∧ z. Từ đó, x ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). Bất đẳng thức thứ hai được suy ra từ nguyên lý đối ngẫu. □ 1.1.11. Mệnh đề. Các phần tử của một dàn tùy ý thỏa mãn bất đẳng thức modular: z ≤ x kéo theo x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z. Chứng minh. x ≤ x ∨ y và x ≤ z. Từ đó x ≤ (x ∨ y) ∧ z. Ta lại có y ∧ z ≤ y ≤ x ∨ y và y ∨ z ≤ z. Do đó y ∧ z ≤ (x ∨ y) ∧ z, từ đó x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z.□ Từ các Mệnh đề 1.1.5 – 1.1.10 dễ thấy rằng lý thuyết dàn có một màu sắc đại số khá mạnh. Bây giờ ta chứng minh rằng nếu xét chúng như một ngành đại số: các đồng nhất thức L1 – L4 đặc trưng đầy đủ các dàn. Muốn vậy ta cần đưa vào khái niệm : 1.1.12. Định nghĩa. Một hệ với một phép toán hai ngôi đơn, lũy đẳng, giao hoán và kết hợp được gọi là một nửa dàn (semilattice). 9 Mệnh đề 1.1.6 có một hệ quả trực tiếp sau đây và một hệ quả đối ngẫu đối với các hợp cũng đúng. Hệ quả. Giả sử P là một poset trong đó hai phần tử tùy ý có giao. Thế thì P là một nửa dàn với phép toán ∧ . Các nửa dàn như vậy được gọi là nửa dàn với giao (meet – semilattice). Đảo lại ta có 1.1.13. Mệnh đề. Dưới quan hệ được xác định bởi. (*) x y ≤ nếu và chỉ nếu xoy = x nửa dàn tùy ý với phép toán hai ngôi o là một poset mà trong đó xoy = g.l.b. { } yx, . Chứng minh. Luật lũy đẳng xox = x kéo theo luật phản xạ x ≤ x. Luật giao hoán xoy = you làm x ≤ y (nghĩa là xoy = x) và y ≤ x (nghĩa là yox = y) kéo theo x = xoy = yox = y, luật phản xứng P2. Luật kết hợp làm x ≤ y và y ≤ z kéo theo x = xoy = xo (yoz) = (xoy) oz = xoz, từ đó x ≤ z, chứng minh luật bắc cầu P. Lại có (xoy) ox = xo (xoy) = (xox) oy = xoy nên xoy ≤ x. Tương tự xoy ≤ y. Cuối cùng, nếu z ≤ x và z ≤ y, thế thì zo (xoy) = (zox) oy = zoy = z, từ đó z ≤ xoy, chứng tỏ rằng xoy = g.l.b. { } yx, . □ 1.1.14. Định lý. Một hệ L bất kì với hai phép toán hai ngôi ∧ và ∨ thỏa L1 – L4 là một dàn và ngược lại. Chứng minh. Trước hết, theo Mệnh đề 1.1.13., L tùy ý thỏa L1 – L4 là một poset và trong nó x ∧ y = g.l.b. { } yx, , do đó x ≤ y nghĩa là x ∧ y = x. Tiếp đó do L4, x ∧ y = x kéo theo x ∨ y = (x ∨ y) ∨ y = y và (theo đối ngẫu) đảo lại cũng đúng. Do đó x ≤ y cũng tương đương với x ∨ y. Bằng đối ngẫu, suy ra rằng x ∨ y = l.u.b. { } yx, , từ L là một dàn. Khẳng định ngược lại đã được chứng minh trong phép chứng minh Mệnh đề 1.1.6. □ 10