Cấu trúc nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TRUNG HIẾU CẤU TRÚC NỬA NHÓM GIAO HOÁN VỚI TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN VINH - 2011 1 MỤC LỤC Trang Mở đầu …….……… ……………………… ……………….……… 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị …………….……… ………….………. 4 1.1. Băng và nửa dàn …….………………….……….……….… .… . 4 1.2. Nửa nhóm giao hoán ……….………….……………….……….… 8 1.3. Nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan ……… ……………… .…. 13 Chương 2. Nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan…… 16 2.1. Nửa dàn với tính chất thu hẹp iđêan ….…………… …… .………. 16 2.2. Lõi bậc hai trong nửa nhóm ………………………… ….….……… 22 2.3. Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan… …. 28 Kết luận ………………………………………………….…………… 34 Tài liệu tham khảo ……………………………….………………………. 35 2 MỞ ĐẦU Các nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan đã được các tác giả K. D. Aucoin và J. A. Dumesnil và J. A. Hindebrant đề xuất nghiên cứu đầu tiên vào năm 2003. Đó là những nửa nhóm không đơn S thỏa mãn điều kiện: Đối với mỗi iđêan I của S, tồn tại một đồng cấu : S I ϕ → từ S lên iđêan sao cho các thu hẹp của ϕ trên I là ánh xạ đồng nhất. Trong công trình Semigroups with ideal retraction property của các tác giả đó đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 66 (2003), một số lớp nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan đã được xét như nửa nhóm tách được, nửa nhóm iđêan và các nửa dàn. Tiếp đó, trong công trình The structure of commutative semigroups with the ideal retraction property đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 68 (2004) họ tiếp tục khảo sát lớp nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan. Luận văn chúng tôi dựa trên hai công trình trên để tìm hiểu cấu trúc của các nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan. Luận văn gồm hai chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Băng và nửa dàn 1.2. Nửa nhóm giao hoán 1.3. Nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan Chương 2. Nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan 2.1. Nửa dàn với tính chất thu hẹp iđêan 2.2. Lõi bậc hai trong nửa nhóm 3 2.3. Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng tri ân chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán, người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi cùng với những lời động viên khích lệ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số của Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã không quản ngại từ Vinh vào giảng dạy cho chúng em. Kiến thức sâu rộng và sự tận tụy, tâm huyết của Quý thầy, cô đã giúp chúng em có thêm nhiều kiến thức quý báu trong công việc giảng dạy và nghiên cứu khoa học. Tác giả cũng xin cảm ơn Khoa Sau Đại học-Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để chúng em hoàn thành chương trình học tập cũng như bản luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Băng và nửa dàn Trước hết, ta nhắc lại một quan hệ “ ≤ " trên một tập X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta sẽ dùng ký hiệu a b< để chỉ a b≤ và .a b≠ 1.1.1. Bổ đề. Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S. Khi đó quan hệ " "≤ xác định trên E bởi e f≤ nếu ef fe e= = , là một thứ tự bộ phận trên E. Chứng minh. Vì e E∈ nên 2 e e= , do đó e e ≤ nên “ ≤ “ phản xạ. Hơn nữa, nếu e f≤ , f e≤ thì ef fe f= = và fe ef e= = nên e f= , do đó “ ≤ ” phản đối xứng. Ta lại có: nếu e f≤ và f g≤ thì ef fe e= = và gf fg f= = nên ( ) ( )eg ef g e fg ef e= = = = , ( ) ( )ge g fe gf e fe e= = = = . Do đó, e g≤ nên “ ≤ ” bắc cầu. W 1.1.2.Chú ý. Quan hệ " " ≤ xác định trong Bổ đề 1.1.1 được gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử ≤ là một thứ tự bộ phận trên tập X và Y là tập con của X. i) Phần tử b X∈ được gọi là cận trên của Y nếu y b≤ với mọi y Y∈ ; 5 ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y, nếu b c≤ với mọi cận trên c của Y (Nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng hợp đó là duy nhất); iii) Phần tử a X∈ được gọi là cận dưới của Y nếu a y≤ với mọi y Y∈ ; iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y nếu d a≤ với mọi cận dưới d của Y. (Nếu Y có một giao trong X, thì rõ ràng giao đó cũng duy nhất); v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới), nếu mỗi tập con gồm hai phần tử { , }a b của X có hợp (hay giao) trong X; trong trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X. Hợp (giao) của { , }a b sẽ được ký hiệu là a b∪ (hay a b∩ ); vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới; vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và một giao. 1.1.4. Ví dụ 1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng. Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập hợp. Vì giao của một họ tùy ý các nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ, Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y, trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y . Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ “nửa nhóm con hay tập hợp của S” bởi từ “tương đẳng trên S”. 6 2) Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn con đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S. 1.1.5. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S đều là lũy đẳng. Giả sử S là một băng. Khi đó S = E và S được sắp thứ tự bộ phận tự nhiên ( ( , )a b a b S≤ ∈ nếu và chỉ nếu ab ba a= = ). 1.1.6. Mệnh đề. Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ phận tự nhiên trên S. Giao a b∩ của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng. Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao. Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1.1, quan hệ " "≤ là một thứ tự bộ phận trên S (= E). Ta chứng tỏ rằng tích ab (= ba) của hai phần tử ,a b S∈ trùng với cận dưới lớn nhất của { , }a b . Từ 2 ( ) ( ) ( )ab a a ba a ab aab a b ab= = = = = và 2 ( ) ( )a ab aa b a b ab= = = suy ra ab a≤ . Tương tự ab b≤ nên ab là cận dưới của { , }a b . Giả sử c a ≤ và c b≤ . Thế thì ( ) ( )ab c a bc ac c= = = , và tương tự, ( )c ab c= , từ đó c ab≤ . Do đó ab là cận dưới lớn nhất của { , }a b . Từ đó S là nửa dàn dưới. W Mệnh đề đảo là hiển nhiên. 1.1.7. Chú ý. Giả sử S là một băng giao hoán . Khi đó nếu đặt a b≤ khi và chỉ khi ab (= ba) = b thì ( , )S ≤ là nửa dàn trên. Tuy nhiên, để cho thống nhất, trong luận văn này, ta giữ định nghĩa nêu trong 1.1.5. Từ đây về sau, ta sẽ dùng từ “nửa dàn” đồng nghĩa với từ “băng giao hoán”. Hơn nữa, từ “nửa dàn” sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu không nói gì thêm. 7 1.1.8. Ví dụ. Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Đặt S X Y= × là tích Descartes của X và Y. Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt 1 1 2 2 1 2 ( , )( , ) ( , )x y x y x y= với 1 2 1 2 , ; ,x x X y y Y∈ ∈ . Tính kết hợp và lũy đẳng của phép toán đó là hiển nhiên. Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X Y× . Lý do của tên gọi đó như sau: Ta hãy tưởng tượng X Y × là một băng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm ( , )x y nằm ở dòng x cột y của bảng. Thế thì 1 1 1 ( , )a x y= và 2 2 2 ( , )a x y= là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là 1 2 1 2 ( , )a a x y= và 2 1 2 1 ( , )a a x y= . Các băng chữ nhật trên X Y× và ' 'X Y× đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu 'X X= và 'Y Y= . Nếu 1, 1X Y= = thì băng chữ nhật trên X Y × đẳng cấu với nửa nhóm các phần tử không bên phải. 1.1.9. Định nghĩa. Nếu nửa nhóm S được phân hoạch thành hợp của các nửa nhóm con rời nhau ,S I α α ∈ (I là tập hợp các chỉ số nào đó ) thì ta nói rằng S phân tích được thành các nửa nhóm con ,S I α α ∈ . Chú ý rằng sự phân tích trên đây chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con S α thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S. Giả sử { , }S S I α α = ∪ ∈ là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với mọi cặp , I α β ∈ , tồn tại I γ ∈ để cho .S S S α β γ = . Ta định nghĩa một phép toán đại số trong I bằng cách đặt . α β γ = nếu .S S S α β γ ≤ , khi đó I trở thành một băng đối với phép toán đó. Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm S α . 8 Ánh xạ : S I ϕ → xác định bởi ( )a ϕ α = nếu a S∈ , là một toàn cấu và các nửa nhóm con S α là các lớp của tương đẳng hạt nhân Ker ϕ . Đảo lại, nếu ϕ là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên băng I thì ảnh ngược 1 ( )S α ϕ α − = của mỗi phần tử I α ∈ , là một nửa nhóm con của S và S là hợp của nửa dàn I các nửa nhóm ,S I α α ∈ . 1.2. Nửa nhóm giao hoán Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao hoán, nếu phép toán trên S thỏa mãn ,ab ba a b S= ∀ ∈ . 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán. Khi đó S được gọi là nửa nhóm Archimede nếu ,a b S∀ ∈ , tồn tại các số nguyên dương m và n sao cho m a bx= và n b ay= với x, y nào đó thuộc S. 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S. Khi đó ρ được gọi là lũy đẳng nếu S ρ là một băng. 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tùy ý. Ta xây dựng quan hệ η trên S như sau: ( , )a b a b S η ∈ nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương m , n và các phần tử ,x y S∈ sao cho , m n a bx b ay= = . 1.2.4. Định lý. Quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng trên S và S η là ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại S. Chứng minh. Rõ ràng quan hệ η là phản xạ và đối xứng. Để chứng minh η bắc cầu, giả sử a b η và ( , , )b c a b c S η ∈ . Khi đó m b ax= và n c by= với m, n là các số nguyên dương và ,x y S∈ . Vì S giao hoán nên 9 ( ) nm m m m m c by b y axy= = = hay \ nm a c . Tương tự, c chia hết một lũy thừa nào đó của a và do đó a c η . Để chứng minh rằng η ổn định, giả sử , ,a b c S∈ và a b η . Khi đó từ \ m a b ta có \ m ac b c và rõ ràng \ ( ) m m b c bc nên \ ( ) m ac bc . Tương tự, bc chia hết một lũy thừa nào đó của ac và ta kết luận ac bc η . Vì S giao hoán nên ca cb η . Vậy η là tương đẳng trên S. Rõ ràng 2 a a η với mọi a S∈ nên S η là lũy đẳng và do S giao hoán nên S η giao hoán. Vậy S η là nửa dàn. Chứng minh sẽ kết thúc nếu chúng ta chứng tỏ được rằng η được chứa trong một tương đẳng lũy đẳng ρ bất kỳ trên S. Giả sử ( , )a b a b S η ∈ . Thế thì tồn tại các số nguyên m, n và các phần tử x, y thuộc S sao cho , m n a bx b ay= = . Vì ρ là lũy đẳng nên 2 2 ,a a b b ρ ρ . Do đó ( )ax b ρ và ( )by a ρ . Suy ra 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a by b y ba a x ax b ρ ρ ρ ρ ρ ρ . Như vậy a b ρ và ta kết luận η ρ ⊆ . W W 1.2.5. Định lý. Một nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhất thành nửa dàn Y các nửa nhóm Archimede ,S Y α α ∈ . Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnh đồng cấu của nửa dàn tối đại S η của S, và các ,S Y α α ∈ là các lớp tương đương của S theo modulo η . 10