Cấu trúc nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TRUNG HIẾU CẤU TRÚC NỬA NHĨM GIAO HỐN VỚI TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ QUỐC HÁN VINH - 2011 MỤC LỤC Trang Mở đầu …….……… ……………………… ……………….……… Chương Kiến thức chuẩn bị …………….……… ………….……… 1.1 Băng nửa dàn …….………………….……….……….… … 1.2 Nửa nhóm giao hốn ……….………….……………….……….… 1.3 Nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan ……… ……………… … 13 Chương Nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan…… 16 2.1 Nửa dàn với tính chất thu hẹp iđêan ….…………… …… ……… 16 2.2 Lõi bậc hai nửa nhóm ………………………… ….….……… 22 2.3 Cấu trúc nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan… … 28 Kết luận ………………………………………………….…………… 34 Tài liệu tham khảo ……………………………….……………………… 35 MỞ ĐẦU Các nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan tác giả K D Aucoin J A Dumesnil J A Hindebrant đề xuất nghiên cứu vào năm 2003 Đó nửa nhóm khơng đơn S thỏa mãn điều kiện: Đối với iđêan I S, tồn đồng cấu  : S  I từ S lên iđêan cho thu hẹp  I ánh xạ đồng Trong cơng trình Semigroups with ideal retraction property tác giả đăng tạp chí Semigroup Forum số 66 (2003), số lớp nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan xét nửa nhóm tách được, nửa nhóm iđêan nửa dàn Tiếp đó, cơng trình The structure of commutative semigroups with the ideal retraction property đăng tạp chí Semigroup Forum số 68 (2004) họ tiếp tục khảo sát lớp nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan Luận văn chúng tơi dựa hai cơng trình để tìm hiểu cấu trúc nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan Luận văn gồm hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Băng nửa dàn 1.2 Nửa nhóm giao hốn 1.3 Nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan Chương Nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan 2.1 Nửa dàn với tính chất thu hẹp iđêan 2.2 Lõi bậc hai nửa nhóm 2.3 Cấu trúc nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng tri ân chân thành sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán, người định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi với lời động viên khích lệ em suốt q trình học tập, nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số Khoa Tốn - Trường Đại học Vinh khơng quản ngại từ Vinh vào giảng dạy cho chúng em Kiến thức sâu rộng tận tụy, tâm huyết Quý thầy, giúp chúng em có thêm nhiều kiến thức quý báu công việc giảng dạy nghiên cứu khoa học Tác giả xin cảm ơn Khoa Sau Đại học-Trường Đại học Vinh Trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi để chúng em hồn thành chương trình học tập luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Băng nửa dàn Trước hết, ta nhắc lại quan hệ “  " tập X gọi thứ tự phận phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Ta dùng ký hiệu a  b để a  b a  b 1.1.1 Bổ đề Giả sử E tập hợp tất lũy đẳng nửa nhóm S Khi quan hệ "  " xác định E e  f ef  fe  e , thứ tự phận E Chứng minh Vì e  E nên e2  e , e  e nên “  “ phản xạ Hơn nữa, e  f , f  e ef  fe  f fe  ef  e nên e  f , “  ” phản đối xứng Ta lại có: e  f f  g ef  fe  e gf  fg  f nên eg  (ef ) g  e( fg )  ef  e , ge  g ( fe)  ( gf )e  fe  e Do đó, e  g nên “  ” bắc cầu 1.1.2.Chú ý Quan hệ "  " xác định Bổ đề 1.1.1 gọi thứ tự phận tự nhiên E 1.1.3 Định nghĩa Giả sử  thứ tự phận tập X Y tập X i) Phần tử b  X gọi cận Y y  b với y  Y ; ii) Cận b Y gọi cận bé hay hợp tập Y, b  c với cận c Y (Nếu Y có hợp X, rõ ràng hợp nhất); iii) Phần tử a  X gọi cận Y a  y với y  Y ; iv) Cận a Y gọi cận lớn hay giao Y d  a với cận d Y (Nếu Y có giao X, rõ ràng giao nhất); v) Tập thứ tự phận X gọi nửa dàn (hay dưới), tập gồm hai phần tử {a, b} X có hợp (hay giao) X; trường hợp tập hữu hạn X có hợp (hay giao) X Hợp (giao) {a, b} ký hiệu a  b (hay a  b ); vi) Một dàn tập hợp thứ tự phận, đồng thời nửa dàn nửa dàn dưới; vii) Dàn X gọi dàn đầy đủ, tập X có hợp giao 1.1.4 Ví dụ 1) Giả sử X tập tất nửa nhóm nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng Thế X thứ tự phận theo quan hệ bao hàm lý thuyết tập hợp Vì giao họ tùy ý nhóm S rỗng, nửa nhóm S nên X dàn đầy đủ, Giao tập Y X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp nửa nhóm thuộc Y, lúc hợp Y nửa nhóm cảm sinh hợp theo lý thuyết tập hợp nửa nhóm thuộc Y Tất lý luận có hiệu lực, ta thay từ “nửa nhóm hay tập hợp S” từ “tương đẳng S” 2) Tập tất iđêan trái (phải, hai phía) nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng, đóng phép hợp giao, nên dàn đầy đủ đại số Boole tất tập S 1.1.5 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi băng phần tử S lũy đẳng Giả sử S băng Khi S = E S thứ tự phận tự nhiên (a  b (a, b  S ) ab  ba  a ) 1.1.6 Mệnh đề Một băng giao hoán nửa dàn thứ tự phận tự nhiên S Giao a  b hai phần tử a b S trùng với tích ab chúng Đảo lại, nửa dàn băng giao hoán phép giao Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.1, quan hệ "  " thứ tự phận S (= E) Ta chứng tỏ tích ab (= ba) hai phần tử a, b  S trùng với cận lớn {a, b} Từ (ab)a  a(ba)  a(ab)  aab  a 2b  ab a(ab)  (aa)b  a 2b  ab suy ab  a Tương tự ab  b nên ab cận {a, b} Giả sử c  a c  b Thế (ab)c  a(bc)  ac  c , tương tự, c(ab)  c , từ c  ab Do ab cận lớn {a, b} Từ S nửa dàn Mệnh đề đảo hiển nhiên 1.1.7 Chú ý Giả sử S băng giao hốn Khi đặt a  b ab (= ba) = b ( S , ) nửa dàn Tuy nhiên, thống nhất, luận văn này, ta giữ định nghĩa nêu 1.1.5 Từ sau, ta dùng từ “nửa dàn” đồng nghĩa với từ “băng giao hoán” Hơn nữa, từ “nửa dàn” ngầm hiểu nửa dàn dưới, khơng nói thêm 1.1.8 Ví dụ Giả sử X Y hai tập hợp tùy ý Đặt S  X  Y tích Descartes X Y Ta định nghĩa phép toán hai S cách đặt ( x1, y1 )( x2 , y2 )  ( x1, y2 ) với x1, x2  X ; y1, y2 Y Tính kết hợp lũy đẳng phép tốn hiển nhiên Ta gọi S băng chữ nhật tập X  Y Lý tên gọi sau: Ta tưởng tượng X  Y băng chữ nhật gồm điểm, điểm ( x, y) nằm dịng x cột y bảng Thế a1  ( x1, y1 ) a2  ( x2 , y2 ) hai đỉnh đối diện hình chữ nhật, mà hai đỉnh a1a2  ( x1, y2 ) a2a1  ( x2 , y1 ) Các băng chữ nhật X  Y X ' Y ' đẳng cấu với X  X ' Y  Y ' Nếu X  1, Y  băng chữ nhật X  Y đẳng cấu với nửa nhóm phần tử không bên phải 1.1.9 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S phân hoạch thành hợp nửa nhóm rời S ,  I (I tập hợp số ) ta nói S phân tích thành nửa nhóm S ,  I Chú ý phân tích có ý nghĩa nửa nhóm S thuộc vào lớp nửa nhóm hẹp S Giả sử S  {S ,  I } phân tích nửa nhóm S cho với cặp  ,   I , tồn   I S S  S Ta định nghĩa phép toán đại số I cách đặt     S S  S , I trở thành băng phép tốn Ta nói S hợp băng I nửa nhóm S Ánh xạ  : S  I xác định  (a)   a  S , tồn cấu nửa nhóm S lớp tương đẳng hạt nhân Ker Đảo lại,  toàn cấu từ nửa nhóm S lên băng I ảnh ngược S   1 ( ) phần tử   I , nửa nhóm S S hợp nửa dàn I nửa nhóm S ,  I 1.2 Nửa nhóm giao hốn Ta nhắc lại nửa nhóm S gọi nửa nhóm giao hốn, phép tốn S thỏa mãn ab  ba a, b  S 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm giao hốn Khi S gọi nửa nhóm Archimede a, b  S , tồn số nguyên dương m n cho a m  bx bn  ay với x, y thuộc S 1.2.2 Định nghĩa Giả sử  tương đẳng nửa nhóm S Khi  gọi lũy đẳng S  băng 1.2.3 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm giao hốn tùy ý Ta xây dựng quan hệ  S sau: a b (a, b  S ) tồn số nguyên dương m , n phần tử x, y  S cho a m  bx, bn  ay 1.2.4 Định lý Quan hệ  nửa nhóm giao hốn S tương đẳng S S  ảnh đồng cấu nửa nhóm tối đại S Chứng minh Rõ ràng quan hệ  phản xạ đối xứng Để chứng minh  bắc cầu, giả sử ab bc (a, b, c  S ) Khi bm  ax c n  by với m, n số nguyên dương x, y  S Vì S giao hốn nên cnm  (by)m  bm y m  axy m hay a \ c nm Tương tự, c chia hết lũy thừa a ac Để chứng minh  ổn định, giả sử a, b, c  S 10 ab Khi từ a \ bm ta có ac \ bmc rõ ràng bmc \ (bc)m nên ac \ (bc)m Tương tự, bc chia hết lũy thừa ac ta kết luận acbc Vì S giao hoán nên cacb Vậy  tương đẳng S Rõ ràng a a với a  S nên S S  lũy đẳng S giao hoán nên  giao hoán Vậy S  nửa dàn Chứng minh kết thúc chứng tỏ  chứa tương đẳng lũy đẳng  S Giả sử ab (a, b  S ) Thế tồn số nguyên m, n phần tử x, y thuộc S cho a m  bx, bn  ay Vì  lũy đẳng nên a a , bb2 Do (ax) b (by)  a Suy a (by)  (b2 y)  (ba)  (a x)  (ax) b Như ab ta kết luận    1.2.5 Định lý Một nửa nhóm giao hốn S biểu diễn cách thành nửa dàn Y nửa nhóm Archimede S ,  Y Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại S  S, S ,  Y lớp tương đương S theo modulo  Chứng minh Giả sử S nửa nhóm giao hốn  quan hệ S xác định Định nghĩa 1.2.3 Theo Định lý 1.2.4, S S  nửa dàn  ảnh đồng cấu S Ta chứng tỏ S nửa dàn nửa nhóm Archimede ta chứng tỏ lớp tương đương A S modulo  22 2.1.9 Hệ i)Nếu S nửa nhóm Clifford giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan Thế E ii)Nếu S nửa nhóm giao hốn cho E hữu hạn, S có tính chất thu hẹp iđêan 2.1.10 Định lý Giả sử S nửa nhóm Clifford với tính chất thu hẹp iđêan  : S  T đồng cấu từ S lên nửa nhóm T Thế T có tính chất thu hẹp iđêan Chứng minh Vì ảnh đồng cấu nhóm nhóm nên T nửa nhóm Clifford Từ T tách Theo Hệ 1.3.5, T có tính chất thu hẹp iđêan 2.1.11 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan cho S  E (S ) Thế nửa dàn E có tính chất thu hẹp iđêan Hơn nữa, E Chứng minh Giả sử F iđêan E Thế FS iđêan S Giả sử  : S  FS thu hẹp đồng cấu (  tồn S có tính chất thu hẹp iđêan )   / E Thế  đồng cấu Để chứng tỏ  ( E )  F , giả sử e  E ,  (e)   (e)  FS nên  (e)  fx với f  F x  S Vì f  F F iđêan E nên fx  f ( fx)  F , từ  ( x)   (e)  fx  E , suy  (e)  F ,  (E)  F 23 Để chứng tỏ  / F  1F , giả sử g  F ,  ( g )   ( g )   ( g ) g  FS Vì  / FS  1ES nên  ( g )   ( g )  g  g từ  / F  1F Chúng ta kết luận  : E  F thu hẹp đồng cấu E có tính chất thu hẹp iđêan Theo Mệnh đề 2.1.2, E Để chứng tỏ khẳng định ngược lại Mệnh đề 2.1.11 không đúng, ta xét ví dụ sau 2.1.12 Ví dụ Giả sử S  0, 1 khoảng đóng thực đơn vị với phép nhân thơng thường Thế S giao hốn, E  0, 1 E có tính chất thu hẹp iđêan Giả sử I  0, 1 Thế I iđêan S khơng có thu hẹp đồng cấu từ S lên I, ảnh thu hẹp đồng cấu phải đơn vị I Vậy S khơng có tính chất thu hẹp iđêan Lõi bậc hai nửa nhóm Lõi bậc hai nửa nhóm khái niệm sở để mô tả cấu trúc nửa nhóm giao hốn có tính chất thu hẹp iđêan Để nắm khái niệm lõi bậc hai, trước hết cần nắm khái niệm nhóm tối đại nửa nhóm 2.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị Nếu x y phần tử thuộc S cho xy = x gọi nghịch đảo bên trái y, y gọi nghịch đảo bên phải x Phần tử khả nghịch bên phải (trái) S định nghĩa phần tử thuộc S có nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S Phần tử khả nghịch thuộc S phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải 24 2.2.2 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị Khi i)Tập P (hay Q) tất phần tử khả nghịch bên trái( hay bên phải) S nửa nhóm với luật giản ước phải (hay trái) chứa 1; ii)Tập U tất phần tử khả nghịch thuộc S nửa nhóm S U  P  Q Mỗi phần tử nghịch đảo hai phía thuộc U khơng có nghịch đảo bên phải hay bên trái thuộc tập đó; iii)Mỗi nhóm S chứa chứa U Chứng minh i) Nếu xy = x’y’ = (xx’)(yy’) = 1, điều chứng tỏ P Q nửa nhóm S Rõ ràng P Q chứa Nếu ax = bx với a, b  S y  H e tồn x '  S cho xx’ = 1, nên a = a1 = axx’ = bxx’ = b1 = b nên P nửa nhóm với luật giản ước phải Tương tự, Q nửa nhóm với luật giản ước trái ii) Hiển nhiên U  P  Q nên U nửa nhóm S Nếu u U tồn x, y  S cho xu = uy = Thế x = x1 = xuy = 1y = y Do phần tử nghịch đảo bên trái u phần tử nghịch đảo bên phải tùy ý nó, u có nghịch đảo hai phía u’ khơng có phần tử nghịch đảo bên phải bên trái khác khác Từ đẳng thức uu’ = u’u = suy u ' U Do U nhóm iii) Giả sử G nửa nhóm nửa nhóm S, G chứa a  G Giả sử a 1 phần tử nghịch đảo a G Khi aa 1  a 1a  suy a U G  U 25 Một nửa nhóm khơng phải chứa nhóm Chẳng hạn nhón xyclic vơ hạn khơng chứa nhóm nào( xem §2) Hơn nữa, S chứa nhóm S chứa lũy đẳng Nếu e lũy đẳng S eS gồm tất phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị trái, nghĩa ea = a Thật vậy, a = ex với x thuộc S ea  e(ex)  e2 x  ex  a ; mệnh đề đảo hiển nhiên Tương tự, Se gồm tất phần tử thuộc nửa nhóm S nhận e làm đơn vị phải, eSe tập tất phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị hai phía Dễ thấy eSe  eS  Se Vì eSe có đơn vị hai phía e nên eSe có nhóm phần tử khả nghịch mà ta ký hiệu H e 2.2.3 Mệnh đề Giả sử e phần tử lũy đẳng tùy ý nửa nhóm S H e nhóm phần tử khả nghịch nửa nhóm eSe Thế H e chứa nhóm G S mà G có giao với S Chứng minh Giả sử f đơn vị G Trước hết ta chứng tỏ f = e Theo giả thiết, G  H khác rỗng, giả sử a phần tử thuộc giao Nếu x y nghịch đảo a tương ứng nhóm G H e e  ya  yaf  ef  eax  ax  f Vì e đơn vị hai phía G nên G  eSe Theo Mệnh đề 2.2.2, có G  H 2.2.4 Định nghĩa Nhóm G nửa nhóm S gọi nhóm tối đại S G khơng chứa thực nhóm khác S Giả sử G nhóm tối đại nửa nhóm S e đơn vị G, e  G  H e , G  H e tính chất tối đại G Đảo lại, e lũy đẳng S từ Mệnh đề 2.2.3 suy H e nhóm tối đại S Như 26 vậy, nhóm H e Mệnh đề 2.2.3 có chúng nhóm tối đại nửa nhóm S Từ Mệnh đề 2.2.3 suy rằng, e f lũy đẳng khác nửa nhóm S H e H f khơng giao 2.2.5 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm I iđêan S, S gọi mở rộng zero (zero extension) I S I nửa nhóm zero Chú ý i) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm zero S có phần tử zero xy = với x, y  S ii) Giả sử I iđêan S Khi quan hệ  I S cho (a, b)   I a = b a, b  I , tương đẳng S gọi tương đẳng Rees xác định I Nửa nhóm thương S  I gọi thương Rees ký hiệu S Khi S có phần tử zero I I I Như vậy, S nửa nhóm zero xy  I , với x, y  S I 2.2.6 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm E tập hợp tất lũy đẳng S Với e  S , tập C2 (e) : {x  S / x  H e} gọi lõi bậc hai (2-cove) e, H e nhóm tối đại S nhận e làm đơn vị Ký hiệu : M (C2 (e)) iđêan tối tiểu C2 (e) 2.2.7 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn.Khi i) Nếu e  E C2 (e) nửa nhóm S M (C2 (e))  H e ; 27 ii) Nếu e, f  E C2 (e).C2 ( f )  C2 (ef ) ; iii) Nếu e, f  E C2 (e)  C2 ( f )   e  f Chứng minh i) Ta ý e  E x  H e y  H e ( xy)2  x y  H e S giao hốn Từ C2 (e) nửa nhóm S Để chứng minh M (C2 (e))  H e , ta cần chứng minh H e iđêan C2 (e) Giả sử x  C2 (e) y  H e Thế x  H e nên x 2u  e với u  H e Chúng ta khẳng định xy  H e Thật vậy, x.xu  e nên xy.xu  x.xu y  ey  y Vì y  H e nên tồn v  H e cho yv  e Khi xy.xuv  xy.xu.v  yv  e nên xy có nghịch đảo tương đối e Thế e( xy)  x.ey  xy nên e đơn vị xy Suy xy  H e H e iđêan C2 (e) ii) Giả sử x  C (e) y  C ( f ) Thế ( xy)2  x y  H e H f , ta phải chứng minh H e H f  H ef Giả sử a  He , b  H f Thế (ef )(ab)  ea fb  ab ef đơn vị ab Giả sử a ' a  e , b ' b  f Thế a ' b ' ab  a ' a.b ' bef nên a ' b ' nghịch đảo ab ef Do ab  H ef nên H e H f  H ef Từ C2 (e).C2 ( f )  C2 (ef ) Cuối để chứng minh iii), giả thiết x  C2 (e)  C2 ( f ) Thế x  H e  H f nên e = f (vì H e H f nhóm tối đại (rời nhau) S (nếu e  f )) 2.2.8 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan e  E Thế 28 i) C2 (e)2  H e  M (C2 (e)) ; ii) C2 (e) mở rộng zero H e ; iii) C2 (e) có tính chất thu hẹp iđêan Chứng minh Trước hết ta chứng minh i) Giả sử x, y  C2 (e) Thế theo Mệnh đề 2.2.7(a), ta có ex  H e ey  H e Do tồn a, b  H e cho exa  e eyb  e Suy eabxy  exa.eyb  e2  e xy có nghịch đảo S tương đối e Vì S có tính chất thu hẹp iđêan nên tồn thu hẹp đồng cấu  : S  xyS1 từ S lên xyS (iđêan S sinh xy) Khi xy   ( xy)   ( x) ( y)  xyu.xyv  x y 2uv với u, v  S Vì xy  C2 (e) , x2  He y2  He nên x y  H e Do ex y  x y Từ exy  ex y 2uv  xy Vậy xy  H e Phần ii) hệ trực tiếp phần i) Mệnh đề 2.2.7 i) Để chứng minh iii), giả sử I iđêan C2 (e) Thế I  H e  K với K  C2 (e) \ H e Định nghĩa  : C2 (e)  I  H e  K ex x  K  x x  K  ( x)   Để chứng minh  đồng cấu ta giả sử x, y  C2 (e) Thế phần i) ta có xy  H e  ( xy)  exy  ex.ey Vì ex, ey  H e nên  ( xy)  ex.ey   ( x). ( y)  đồng cấu Để chứng minh  I  1I , giả sử x  I  H e  K Nhớ H e  K   Nếu x  K  ( x)  x theo định nghĩa  Nếu x  H e  ( x)  ex  x (vì x  H e e đơn vị H e ) Do  I  1I Cuối Để thấy I ảnh  trước hết 29 ý x  I  ( x)  x từ lập luận Nếu x  I x  K nên  ( x)  ex  H e  I Vậy  : C2 (e)  I thu hẹp đồng cấu, C2 (e) có tính chất thu hẹp iđêan 2.2.9 Hệ Giả sử S nửa nhóm giao hốn e  E Thế C2 (e) có tính chất thu hẹp iđêan C2 (e) mở rộng zero H e Chứng minh Nếu C2 (e) có tính chất thu hẹp iđêan Thế C2 (e) mở rộng zero H e theo Mệnh đề 2.2.8(b) áp dụng cho nửa nhóm C2 (e) Đảo lại, C2 (e) mở rộng zero H e , phép chứng minh có C2 (e) tính chất thu hẹp iđêan hoàn toàn tương tự phép chứng minh Mệnh đề 2.2.8(c) 2.3 Cấu trúc nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan Trước hết ta chứng minh định lý sau mô tả cấu trúc nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan 2.3.1 Định lý Giả sử S nửa nhóm giao hốn Thế S có tính chất thu hẹp iđêan điều kiện sau thỏa mãn i) S   C2 (e) ; ii) e, f  E kéo theo C2 (e).C2 ( f )  H ef  M (C2 (ef )) ; eE iii) E có tính chất thu hẹp iđêan Chứng minh Điều kiện cần Giả thiết S có tính chất thu hẹp iđêan Giả sử x  S giả sử  : S  x S1 thu hẹp đồng cấu Thế  ( x)  x 2t với t  S Như x   ( x )   ( x)  x 4t Giả sử e  x 2t , 30 e2  x4t t  x2t  e nên e  E (S ) Vì x2  x4t  x2 x2t  x 2e nên x  Se Vì e  x 2t nên e  x S Từ x  H e , nên x  C (e) i) chứng minh Để chứng minh ii), giả sử x  C2 (e) y  C2 ( f ) Từ phép chứng minh 2.2.8, tồn u, v  S cho xy  x y 2uv Suy efxy  efx y 2uv  ex fy uv  x y 2uv  xy ef đơn vị xy Vì ex  H e fy  H f nên exa = e fyb = f với a, b  S Thế ef = exafyb = efabxy xy  H ef Để chứng minh iii), giả sử F iđêan E Trước hết khẳng định FS  E  F Thật vậy, giả sử f  F Thế f  E f = f.f nên f  FS , F  FS Mặt khác, giả thiết f  FS  E Thế f  f f = ex với e  F x  S Khi f = ex ef = e(ex) = ex = f nên f  F (vì f = ef, e  F F iđêan E) Từ lập luận ta kết luận F  FS  E Khi FS iđêan F Vì F có tính chất thu hẹp iđêan nên tồn thu hẹp đồng cấu  : S  FS Giả sử    E Khi  đồng cấu nên  ( E )  E Chú ý  ( E )   ( E )  FS nên  ( E )  FS  E  F Suy  : E  F Để chứng minh  F  1F , giả sử f  F Thế f  f f  FS nên ( f )   ( f )  f Điều kiện đủ Giả thiết ba điều kiện S I iđêan S Thế F  I  E iđêan E Chú ý nếu x  I 31 x  I  H e với e  E đó, I  H e   Suy H e  I Suy F   Giả sử  : E  F thu hẹp đồng cấu Định nghĩa  : S  I  x (e) x  I , x  C2 (e) x  I x  ( x)   Thế  I  1I  (e)  I nên  ( x)  I x  S Còn lại phải chứng minh  đồng cấu Thật vậy, giả sử x, y  S với x  C2 (e) y  C2 ( f ) Theo điều kiện (ii) có xy  H ef Chúng ta xét ba trường hợp (trường hợp có đối ngẫu rõ ràng) Trường hợp 1: x  I y  I Nếu xy  I  ( xy)  xy (ef )  x (e) y ( f )   ( x). ( y) Nếu xy  I xy  H ef  I nên H ef  I  (ef )  ef , từ  ( xy)  xy  xyef  xy. (ef )  x (e) y ( f )   ( x) ( y) Trường hợp 2: xI yI Khi xy  I nên  ( xy)  xy   ( x) ( y) Trường hợp 3: x  I y  I Chú ý xy  H ef  I nên H ef  I ,  (ef )  ef  ( xy)  xy Cũng ý H f  I yf  H f  I nên  ( f )  f Khi  ( x) ( y)   (e) xy   (e).efxy   (e) f exy   (e). ( f ).exy   (ef ).exy  ef exy  efxy  xy   ( xy) 2.3.2.Hệ Giả sử S nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan  : S  T đồng cấu từ S lên nửa nhóm T Thế T có tính chất thu hẹp iđêan 32 Chứng minh Giả sử ES ET tương ứng nửa dàn lũy đẳng S T Chú ý e  ES f   (e) C2 ( f )   (C2 (e)) Suy T  C2 ( f ) với f  ET Và điều kiện (ii) Định lý 2.3.1 T Khi ET   ( ES ) Theo Định lý 2.1.6 suy ET có tính chất thu hẹp iđêan, từ Định lý 2.3.1 suy T có tính chất thu hẹp iđêan Theo Hệ 2.3.2, tính chất thu hẹp iđêan bảo tồn qua phép lấy đồng cấu Ví dụ sau chứng tỏ tính chất khơng có tính di truyền 2.3.3 Ví dụ Giả sử nhóm cộng số nguyên * nửa nhóm cộng số nguyên dương Giả sử T = {0,1} nửa nhóm nhân có hai phần tử Thế T  có tính chất thu hẹp iđêan Các lũy đẳng T  (0,0), C2 (0,0)  {0}  T C2 (1,0)  {1}  Nửa nhóm {0} (1,0) * khơng có tính chất thu hẹp iđêan Như vậy, tính chất thu hẹp iđêan khơng di truyền (trên tập nửa nhóm giao hoán ) 2.3.4 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan I iđêan S Thế I có tính chất thu hẹp iđêan Chứng minh Giả sử J iđêan I Thế J iđêan S (vì S có tính chất thu hẹp iđêan ) Giả sử  : S  J thu hẹp đồng cấu Thế  / I : I  J thu hẹp đồng cấu từ I lên J 2.3.5 Ký hiệu Nếu S nửa nhóm e  E (S ) ký hiệu C (e)  {x  S / x n  e , n  * } 2.3.6 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm tuần hồn (periodic semigroup) x T , tồn lũy đẳng e  E số nguyên dương n cho x n  e 33 2.3.7.Bổ đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn tuần hồn với tính chất thu hẹp iđêan Thế e  E có C (e)  C2 (e) Chứng minh Giả sử x  C2 (e) Thế x  H e x n  f với f  E n * đó, S tuần hồn Do x 2n  f x 2n  H e Suy e = f nên x  C (e) Từ C2 (e)  C (e) Đảo lại, x  C (e) x n  e với n * Vì S có tính chất thu hẹp iđêan nên x  H f với f  E theo Định lý 2.3.1 Khi x 2n  e  H f nên e = f Suy x  C2 (e) C (e)  C2 (e) Vậy C2 (e)  C (e) 2.3.8 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng iđêan (ideal extension property), nửa nhóm T S iđêan I T, tồn iđêan J S cho J  T  I 2.3.9 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn tuần hồn với tính chất thu hẹp iđêan Thế S có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh Theo Định lý 2.3.1 Bổ đề 2.3.7 ta có S   C (e) Vì S tuần eE hồn nên H e nhóm xoắn Thế từ [1, Định lý 3/3] Định lý 2.3.1, suy S có tính chất mở rộng iđêan 2.3.10 Chú ý Chúng ta chứng tỏ S có tính chất mở rộng iđêan tương ứng với S có tính chất mở rộng iđêan Thật vậy, giả sử T nửa nhóm S x T Chỉ cần chứng minh xS1  T  xT 34 Giả sử y  xS1  T Vì S có tính chất thu hẹp iđêan nên tồn thu hẹp đồng cấu  : S  xS1 Khi y = xs với s  S đó,  ( xs)  xs  ( x)  x xs x thuộc xS Hơn nữa, S tuần hồn nên tồn số ngun dương n cho xn  e  E , suy y  xs   ( xs)   ( x) (s)  x (s)  x.xs1 với s1  S đó,  ( s)  xS Như y  x.xs1  x ( xs)  x 2 (s1)  x3s2  x n sn1  esn1 Suy y  esn1  e.esn1  ey  x n y  x.x n1 y  xT , x, y T Do xS1  T  xT 35 KẾT LUẬN Luận văn thực công việc sau: Hệ thống lại kiến thức liên quan đến băng nửa nhóm, phân tích nửa nhóm giao hốn thành phần Archimede nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan Chứng minh tính chất đặc trưng nửa dàn với tính chất thu hẹp iđêan( Định lý 2.1.2, Mệnh đề 2.1.4, Định lý 2.1.6) Chứng minh tính chất đặc trưng nửa nhóm Clifford giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan ( Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.10) Chứng minh tính chất đặc trưng nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan thông qua lõi bậc hai lũy đẳng S (Mệnh đề 2.2.8, Định lý 2.3.1) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphớt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm, (Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [4] K D Aucoin(1999), The structure of commutative semigroups with the ideal extension property, Semigroup Forum 58, 175-189 [5] K D Aucoin, J.A.Dumensnil and J.A.Hildebrant (2003), Semigroups with the ideal retraction property, Semigroup Forum 66, 416-432 [6] K D Aucoin, J.A.Dumensnil and Hildebrant (2004), The structure of commutative semigroups with the ideal retraction property, Semigroup Forum 68, 202-208 [7] J I Garcia (1991), The congruence extension property for algebraic semigroups, Semigroup Forum 43, 1-18 ... Băng nửa dàn 1.2 Nửa nhóm giao hốn 1.3 Nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan Chương Nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan 2.1 Nửa dàn với tính chất thu hẹp iđêan 2.2 Lõi bậc hai nửa. .. chất thu hẹp iđêan  : S  T đồng cấu từ S lên nửa nhóm tách khơng đơn T, T có tính chất thu hẹp iđêan 17 Chương NỬA NHÓM GIAO HỐN VỚI TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN 2.1 Nửa dàn với tính chất thu hẹp. .. 2.3 Cấu trúc nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan Trước hết ta chứng minh định lý sau mơ tả cấu trúc nửa nhóm giao hốn với tính chất thu hẹp iđêan 2.3.1 Định lý Giả sử S nửa nhóm giao