Tính số lượng một số lớp nửa nhóm giao hoán hữu hạn

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Đinh Bạt Vinh tính số lợng một số lớp nửa nhóm giao hoán hữu hạn luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.50 Vinh 10.2010 1 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Quốc hán Mục lục Trang Lời nói đầu 2 Chơng 1. kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Băng và nửa dàn 4 1.2. Nửa nhóm giao hoán 7 1.3. Các quan hệ Green trên nửa nhóm 11 Chơng 2. tính số lợng một số lớp nửa nhóm giao hoán hữu hạn 18 2.1. Thứ tự trong nửa nhóm giao hoán hữu hạn 18 2.2. Thuật toán đã đợc cái tiến 24 2.3. Sự phân lớp các nửa nhóm giao hoán cấp 9 27 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 2 Lêi nãi ®Çu. Bài toán phân lớp các nửa nhóm nói chung và các nửa nhóm giao hoán nói riêng đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu vào những năm trước thập niên chín mươi của thế kỷ trước, sự phân lớp các nửa nhóm giao hoán cấp n với n ≤ 8 đã được hoàn thiện dựa trên các công trình của Tamura, Forsy, Plemmon, Jürgensen, Sato . Sự phân lớp này chủ yếu dựa vào tính toán thủ công. Vào những năm cuối thế kỷ hai mươi, do sự phát triển mạnh mẽ của tin học, việc phân lớp các nửa nhóm giao hoán hữu hạn có nhiều thuận lợi hơn (nhờ khả năng tính toán cực nhanh của các máy tính điện tử). Tuy nhiên, để sự phân lớp được nhanh và chính xác, cần xây dựng thuật toán “đếm” các nửa nhóm không đẳng cấu hay phản đẳng cấu với nhau một cách hợp lý. Dựa trên bài báo Computing Finite Commutative Semigroups của Pierre Antonie Grillet đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 53 (1996), chúng tôi tìm hiểu sự phân lớp của các nửa nhóm giao hoán hữu hạn (cấp n ≤ 9) dựa vào thuật toán được xây dựng trên quan hệ thứ tự toàn phần theo lối từ điển trong nửa nhóm giao hoán hữu hạn. Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức cơ bản trong lý thuyết nửa nhóm: băng và nửa dàn, nửa nhóm giao hoán và các quan hệ Green trên nửa nhóm để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. Chương 2. Tính số lượng một số lớp nửa nhóm giao hoán hữu hạn. Trong chương này, trước tiên chúng tôi tìm hiểu cách xây dựng quan hệ thứ tự toàn phần theo lối từ điển trên các nửa nhóm giao hoán. Sau đó, dựa trên các tính chất đặc trưng của quan hệ này, chúng tôi tìm hiểu thuật 3 toỏn m s cỏc na nhúm giao hoỏn hu hn. Phn cui trỡnh by chi tit s phõn lp cỏc na nhúm giao hoỏn cp n 9 da trờn s phn t ca ht nhõn v tp cỏc ly ng ca cỏc na nhúm ú. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, ng- ời đã hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng vô cùng biết ơn ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại Học cũng nh các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ và hớng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc những đóng góp của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả 4 Chơng 1. kiến thức chuẩn bị 1.1. Băng và nửa dàn Trớc hết ta nhắc lại rằng một quan hệ thứ tự trên một tập X đợc gọi là một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta sẽ dùng ký hiệu a b < để chỉ a b và a b . 1.1.1 Bổ đề. Giả sử E là tập hợp tất cả các tơng đẳng của nửa nhóm S. Khi đó quan hệ xác định trên E bởi: e f (e,f E) nếu ef = fe = e là một thứ tự bộ phận trên E. Chứng minh. Vì e E nên 2 e e= , do đó e e nên phản xạ. Hơn nữa, nếu e f,f e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f, do đó phản đối xứng. Ta lại có: nếu e f và f g thì ef = fe = e và gf = fg = f nên: ( ) ( ) eg ef g e fg ef e= = = = , ( ) ( ) ge g fe gf e fe e= = = = . Do đó e g nên bắc cầu. 1.1.2 Chú ý. Quan hệ xác định trong Bổ đề 1.1.1 đợc gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử là một thứ tự bộ phận trên tập X và Y là tập con của X. i) Phần tử b X đợc gọi là cận trên của Y nếu y b với mọi y Y . ii) Cận trên b của Y đợc gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y, nếu b c với mọi cận trên c của Y (Nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng hợp đó là duy nhất); iii) Phần tử a X đợc gọi là cận dới của Y nếu a y với mọi y Y . iv) Cận dới a của Y đợc gọi là cận dới lớn nhất hay giao của Y nếu d a với mọi cận dới d của Y. (Nếu Y có một giao trong X, thì rõ ràng giao đó cũng duy nhất ). v) Tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi là nửa dàn trên (hay nửa dàn dới), nếu mỗi tập con gồm hai phần tử { } ,a b của X có hợp (hay giao tơng ứng:) trong X; trong trờng hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X. Hợp (giao) của { } ,a b sẽ đợc ký hiệu là a b (tơng ứng: a b ). vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dới. 5 vii) Dàn X đợc gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và một giao. 1.1.4. Ví dụ. 1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng. Thế thì X đợc sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập hợp. Vì giao của một họ tuỳ ý các nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ. Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y, trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y. Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ nửa nhóm con hay tập rỗng của S bởi từ tơng đẳng trên S. 2) Tập tất cả các ideal trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng nh giao, nên là một dàn con đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S. 1.1.5. Định nghĩa. Nửa nhóm S đợc gọi là một băng nếu mọi phần tử của S đều là luỹ đẳng. Giả sử S là một băng. Khi đó, S = E và S đợc sắp thứ tự bộ phận tự nhiên ( ) ( a b a,b S nếu và chỉ nếu ab = ba = a). 1.1.6. Mệnh đề. Một băng giao hoán là một nửa dàn dới đối với thứ tự bộ phận tự nhiên trên S. Giao a b của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng. Đảo lại, một nửa dàn dới là một băng giao hoán đối với phép giao. Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1.1, quan hệ là một thứ tự bộ phận trên ( ) S E= . Ta chứng tỏ rằng tích ab ( = ba ) của hai phần tử a,b S trùng với cận dới lớn nhất của { } a,b . Từ (ab)a = a(ba) = a(ab) = aab = 2 a b = ab và a(ab) = (aa)b = 2 a b = ab suy ra ab a . Tơng tự ab b nên ab là cận trên của { } a,b . Giả sử c a và c b . Thế thì (ab)c = a(bc) = ac = c, và tơng tự, c(ab) = c, từ đó c ab . Do đó ab là cận dới lớn nhất của { } a,b . Do đó S là nửa dàn dới. Mệnh đề đảo là hiển nhiên. 6 1.1.7. Chú ý. Giả sử S là một băng giao hoán. Khi đó nếu đặt a b khi và chỉ khi ab (= ba) = b thì ( ) S, là nửa dàn trên.Tuy nhiên, để cho thống nhất, trong giáo trình này ta giữ định nghĩa nêu trong 1.1.5. Từ đây về sau, ta sẽ dùng nửa dàn nh đồng nghĩa với từ băng giao hoán. Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ đợc ngầm hiểu là nửa dàn dới, nếu không nói thêm gì. 1.1.8. Ví dụ. Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý. S X Y = ì là tích Decartes của X và Y. Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 x ,y x ,y x ,y= với 1 2 1 2 x ,x X;y ,y Y . Tính kết hợp và luỹ đẳng của phép toán đó là hiển nhiên. Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X Y ì . Lý do của tên gọi đó nh sau: Ta hãy tởng tợng X Y ì là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm ( ) x,y nằm ở dòng x cột y của bảng. Thế thì ( ) 1 1 1 a x ,y= và ( ) 2 2 2 a x ,y= là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là ( ) 1 2 1 2 a a x ,y= và ( ) 2 1 2 1 a a x ,y .= Các băng chữ nhật trên X Yì và X Y ì đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu X X = và Y Y = . Nếu X 1, Y 1= = thì băng chữ nhật trên X Yì đẳng cấu với nửa nhóm các phần tử không bên phải. 1.1.9. Định nghĩa. Nếu nửa nhóm S đợc phân chia thành hợp của các nửa nhóm con rời nhau S , I (I là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói rằng S phân tích đợc thành các nửa nhóm con S , I . Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con S thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S . Giả sử { } S S , I = là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với mọi cặp , I , tồn tại I để cho S .S S = . Ta định nghĩa một phép toán đại số trong I bằng cách đặt . = nếu S .S S , khi đó I trở thành một băng đối với phép toán đó. Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm S . ánh xạ : S I xác định bởi ( ) a = nếu a S là một toàn cấu và các nửa nhóm con S là các lớp của tơng đẳng hạt nhân Ker . Đảo lại, nếu là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I thì ảnh ngợc 7 ( ) 1 S = của mỗi phần tử I là một nửa nhóm con của S và S là hợp của nửa dàn I các nửa nhóm S , I . 1.1.10. Định nghĩa. Giả sử là một tơng đẳng trên nửa nhóm S. Khi đó đ- ợc gọi là một tơng đẳng trên S nếu ổn định hai phía, nghĩa là x, y, zS, x y xz yz; zx zy. 1.1.11. Mệnh đề. i) Nếu { } i i I là một họ các tơng đẳng trên S, thế thì i i I = I cũng là một tơng đẳng trên S. ii) Giả sử là một quan hệ trên S. Thế thì { } , c là một tương đẳng trên S = là một tơng đẳng bé nhất trên S chứa (tơng đẳng c đợc gọi là tơng đẳng sinh bởi ). Chứng minh. i) Giả sử x y và z S. Khi đó x i y với mọi iI và do đó xz i yz với mọi iI (vì i là tơng đẳng với mọi iI). Từ đó xz yz. Tơng tự zx zy nên là một tơng đẳng trên S. ii) Suy ra trực tiếp từ i) và giao của các tập hợp. 1.1.12. Mệnh đề. (Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối đại kiểu đã cho). Giả sử C là một tính chất trừu tợng của nửa nhóm, tức là một tính chất sao cho nếu một trong hai nửa nhóm đẳng cấu với nhau có tính chất C thì nửa nhóm kia cũng có tính chất đó. Ta nói tơng đẳng trên nửa nhóm S có kiểu C nếu S/ có tính chất C. Giả thiết rằng giao của tất cả các tơng đẳng trên S có kiểu C cũng có kiểu C. Thế thì S/ là ảnh đồng cấu tối đại của S có tính chất C và mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất C là ảnh đồng cấu nửa nhóm S/ . Chứng minh. Nếu T là ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất C, thì theo Định lý cơ bản về đồng cấu nửa nhóm, có T ; S/ , với tơng đẳng nào đó trên S. Vì theo giả thiết , C là một tính chất trừu tợng, nên S/ có tính chất C,. 8 Do đó có kiểu C,, từ đó theo định nghĩa của . Theo Hệ quả của Định lý 2.6 tài liệu [2], ta có S/ là ảnh đồng cấu của S/ và do đó T là ảnh đồng cấu của S/. 1.1.13. Chú ý. Ta sẽ gọi tắt: S là một băng (nửa dàn) các nửa nhóm kiểu C,, để chỉ S là hợp của một băng (nửa dàn) I các nửa nhóm S , I, trong đó mỗi S có kiểu C,. Chẳng hạn, năm 1953, S.Schwarz đã chứng minh đợc rằng: mỗi nửa nhóm giao hoán tuần hoàn là một nửa dàn các nửa nhóm có một lũy đẳng. Năm 1954, Tamura và Kimura đã chứng minh rằng trên một nửa nhóm giao hoán tùy ý S tồn tại một tơng đẳng bé nhất với tính chất S/ là một nửa dàn, và do đó S/ là ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại của S. Năm 1955, Iamata đã mô tả chi tiết tơng đẳng bé nhất à trên một nửa nhóm S (không nhất thiết giao hoán) mà S/à là nửa dàn. 1.2. nửa nhóm giao hoán Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm giao hoán, nếu phép toán trên S thoả mãn ab = ba a,b S . Phần còn lại của tiết này sẽ trình bày một cách chi tiết các kết quả của T.Tamura và N. Kimura chứng tỏ rằng mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng một dàn các nửa nhóm Archimede. 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán. Khi đó S đợc gọi là nửa nhóm Archimede nếu a,b S , tồn tại các số nguyên dơng m và n sao cho m a bx= và n b ay= với x,y nào đó thuộc S. 1.2.2. Định nhĩa. Giả sử là một tơng đẳng trên nửa nhóm S. Khi đó đợc gọi là luỹ đẳng nếu S là một băng. 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tuỳ ý.Ta xây dựng quan hệ trên S nh sau: ( ) a b a,b S nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dơng m,n và các phần tử x,y S sao cho m n a b.x, b a.y= = . 9 1.2.4. Định lý. Quan hệ trên một nửa nhóm giao hoán S là một tơng đẳng trên S và S là ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại S. Chứng minh. Rõ ràng quan hệ là phản xạ và đối xứng. Để chứng minh bắc cầu, giả sử a b và b c ( ) a,b,c S . Khi đó m b ax= và n c by= với m, n là các số nguyên dơng và x,y S . Vì S giao hoán nên ( ) m nm m m m c by b y axy = = = hay nm a \ c . Tơng tự, c chia hết một luỹ thừa nào đó của a và do đó a c . Để chứng minh rằng ổn định, giả sử a,b,c S và a b . Khi đó từ m a \ b ta có m ac \ b c và rõ ràng ( ) m m b c \ bc nên ( ) m ac \ bc . Tơng tự, bc chia hết một luỹ thừa nào đó của ac và ta kết luận ac bc . Vì S giao hoán nên ca cb . Vậy là tơng đẳng trên S. Rõ ràng 2 a a với mọi a S nên S là luỹ đẳng và do S giao hoán nên S giao hoán. Vậy S là nửa dàn. Chứng minh sẽ kết thúc nếu chúng ta chứng tỏ đợc rằng đợc chứa trong một luỹ đẳng bất kỳ trên S. Giả sử ( ) a b a,b S . Thế thì tồn tại các số nguyên m ,n và các phần tử x, y thuộc S sao cho m n ax b ,by a= = . Vì là luỹ đẳng nên 2 2 a a ,b b . Do đó ( ) ax b và ( ) by a . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a by b y ba a x ax b . Nh vậy a b và ta kết luận . W 1.2.5. Định lý. Một nửa nhóm giao hoán S biểu diễn đợc một cách duy nhất thành nửa dàn Y các nửa nhóm Archimede S , Y . Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại S của S, và các S , Y là các lớp t- ơng đơng của S theo modul . Chứng minh. Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán và là quan hệ trên S đ- ợc xác định nh trong Định nghĩa 1.2.3. Theo Định lý 1.2.4, S là một nửa dàn và S là ảnh đồng cấu của S. Ta sẽ chứng tỏ S là nửa dàn các nửa nhóm Archimede nếu ta chứng tỏ đợc rằng mỗi lớp tơng đơng A của S modul là 10