Một số lớp nửa nhóm giao hoán yếu

Bộ Giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ----------------------------------- Nguyễn Văn Chơng Một số lớp nửa nhóm giao hoán yếu Chuyên ngành: Đại số & lý thuyết số Mã số : 60.46.05 Luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Quốc Hán Vinh - 2008 Mục lục Trang Lời nói đầu Chơng I Các kiến thức cơ sở về nửa nhóm 1.1. Nửa nhóm Tơng đẳng trên nửa nhóm 1.2. Băng và nửa dàn. Băng các nửa nhóm 1.3. Phân tích một nửa nhóm giao hoán ra các thành phần ácsimét. Các nửa nhóm tách đợc. Chơng II Một số lớp nửa nhóm giao hoán yếu 2.1. Các nửa nhóm Rc giao hoán 2.2. Các - nửa nhóm Rc giao hoán Kết luận Tài liệu tham khảo 3 6 6 14 18 24 24 31 39 40 2 Lời nói đầu Các nửa nhóm giao hoán đã đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Năm 1954, T.Tamura và N.Kimura đã chứng minh đợc rằng mọi nửa nhóm giao hoán biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng một dàn con của các nửa nhóm ácsimét . Năm 1956, E.Hewitt và H.S.Zuckerman đã chứng minh đợc rằng một nửa nhóm giao hoán tách đợc khi và chỉ khi các thành phần ácsimét của nó giản ớc đợc. Năm 1969, T.Tamura đã xác định đợc cấu trúc của các - nửa nhóm giao hoán (nghĩa là nửa nhóm mà các tơng đẳng của nó tạo thành một xích theo quan hệ thứ tự bao hàm ). Trong thời gian gần đây xuất hiện khá nhiều công trình khảo sát các lớp nửa nhóm tổng quát hơn các lớp nửa nhóm giao hoán mà T.Tamura đã nghiên cứu. Dựa trên hai bài báo của A.Nagy RC Commutative - Semigroups và của A.Nagy & Pete R.Jones Permutative Semigroups Whose Congruences Form a Chain đăng trên Semigroups Forum vào các năm 1992 và 2004, chúng tôi trình bày một cách chi tiết và có hệ thống một số lớp nửa nhóm có nhiều tính chất gần với nửa nhóm giao hoán mà chúng tôi tạm gọi là Các nửa nhóm giao hoán yếu. Luận văn gồm hai chơng Chơng I. Các kiến thức cơ sở về nửa nhóm Chơng này gồm 3 tiết. 1.1. Nửa nhóm. Tơng đẳng trên nửa nhóm. Trong tiết này, chúng tôi sẽ trình bày những kiến thức cơ sở của lý thuyết nửa nhóm, đặc biệt quan tâm tơng đẳng trên các nửa nhóm. Vì nhiều lý do khác 3 nhau, chúng tôi sẽ không đề cập nhiều đến iđêan trên nửa nhóm, mặc dù vấn đề này đóng vai trò khá quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm. 1.2. Tiết này nêu lên những kiến thức cơ sở để xây dựng khái niệm phân tích một nửa nhóm thành nửa dàn các nhóm con mịn hơn. 1.3. Nửa nhóm giao hoán là nửa dàn các nửa nhóm ácsimét. Trong tiết này chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết các kết quả của T.Tamura và N.Kimura chứng tỏ rằng mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng một dàn các nửa nhóm ácsimét. Chơng II: Một số lớp nửa nhóm giao hoán yếu. Đây là phần chính của luận văn. Dựa trên cơ sở là hai bài báo của A.Nagy Các - nửa nhóm RC giao hoán. Và của A.Nagy and Peter R.Jones Nửa nhóm hoán vị đợc mà các tơng đẳng của nó tạo thành một xích. Mục đích chính của chơng này là mô tả các - nửa nhóm Rc giao hoán. Chơng này gồm 2 tiết. 2.1. Nêu lên các định nghĩa và một số kết quả về các nửa nhóm Rc giao hoán. Kết quả chính của tiết này là định lý 2.1.11 và định lý 2.1.12. 2.2. Trình bày các khái niệm về - nửa nhóm, - nửa nhóm giao hoán, các - nửa nhóm Rc giao hoán và một số tính chất của chúng. Kết quả chính của tiết này là định lý 2.2.5, định lý 2.2.7 và định lý 2.2.8. Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn ngời đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. 4 Trong suốt quá trình học tập và viết luận văn, chúng tôi đã nhận đợc những đóng góp quý báu của PGS.TS. Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Chu Trọng Thanh, TS. Mai Văn T, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại Học Trờng Đại Học Vinh và tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành luận văn đúng kế hoạch. Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám đốc Trung Tâm GDTX Huyện Quế Phong, cùng đồng nghiệp đã hết lòng tạo điều kiện để chúng tôi hoàn thành công việc của mình. Cuối cùng chúng tôi mong đợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. Vinh, tháng 11 năm 2008 Tác giả 5 Chơng 1 Các kiến thức cơ sở về nửa nhóm 1.1. Nửa nhóm T ơng đẳng trên nửa nhóm Tập hợp S đợc gọi là một nửa nhóm, nếu trên nó đã xác định một phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp. Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm giao hoán, nếu phép toán trên S có tính chất giao hoán, nghĩa là a.b = b.a, với mọi a, b thuộc S. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm tùy ý. Phần tử Se đợc gọi là một đơn vị trái của S nếu ex = x với mọi Sx . Phần tử Se đợc gọi là một đơn vị phải nếu xe = x với mọi Sx . Phần tử Se đợc gọi là phần tử đơn vị nếu e vừa là đơn vị trái, vừa là đơn vị phải của S. Chú ý rằng: Một nửa nhóm có thể không có hoặc có nhiều đơn vị trái (hay phải), nhng nếu có thì chỉ có duy nhất một phần tử đơn vị. Nửa nhóm S đợc gọi là vị nhóm, nếu S có đơn vị (hai phía). 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý và A là tập con không rỗng của S. Khi đó A đợc gọi là nửa nhóm con của S nếu A là tập con ổn định của S, nghĩa là ab A với mọi cặp phần tử a, b thuộc A. Tập con A của nhóm S đợc gọi là một iđêan trái (phải) của S nếu SA A ( hay AS A). Tập con A đợc gọi là iđêan của S nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của S. 6 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Khi đó một tập con của tích Descartes X ì X đợc gọi là một quan hệ trên tập X. Nếu ( a, b) , trong đó a, b là các phần tử của tập X, thì ta cũng sẽ viết a b và nói " a nằm trong quan hệ với b". Nếu và là các quan hệ trên X, thì cái hợp thành của chúng đợc định nghĩa nh sau: (a,b) nếu tồn tại phần tử x X sao cho (a,x) và (x,b) . Phép toán hai ngôi ( ) là kết hợp. Thật vậy, nếu , và là các quan hệ trên X, thì mỗi một trong các điều khẳng định (a, b) ( ) và (a,b) ( ) tơng đơng với điều khẳng định rằng tồn tại các phần tử x,y sao cho (a,x) , (x,y) , (x,y) và (b,y) . Do đó, tập B x tất cả các quan hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm đối với ( ). Nửa nhóm B x đợc gọi là nửa nhóm các quan hệ trên tập X. 1.1.4. Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý. Quan hệ i đợc gọi là quan hệ bằng nhau (hay quan hệ đờng chéo) nếu (a,b) i khi và chỉ khi a= b với mọi a,b X. Quan hệ đợc gọi là quan hệ phổ dụng nếu (a,b) với mọi a,b X. Dễ thấy i là đơn vị và là phần tử không của nửa nhóm B x . Giả sử B x . Khi đó, quan hệ ngợc -1 của đợc định nghĩa nh sau: (a,b) -1 khi và chỉ khi (b,a) . Dễ thấy ( -1 ) = , ( ) -1 = -1 -1 , với , B x . Giả sử , B x . Khi đó nếu là tập con của , có nghĩa là a b kéo theo a b. Vì B x gồm tất cả các tập con của X ì X nên ta có thể thực hiện trong B x các phép toán Boole: hợp, giao và phần bù. Giả sử là một quan hệ trên X. Khi đó đợc gọi là đối xứng nếu -1 (và do đó -1 = ); quan hệ đợc gọi là phản xạ nếu i và đợc gọi là bắc cầu nếu . Một quan hệ trên X đợc gọi là tơng đơng 7 nếu phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Khi đó là một lũy đẳng của nửa nhóm B x . 1.1.5. Phân hoạch một tập hợp Giả sử là một quan hệ tuỳ ý trên X và a X. Khi đó, ta sẽ kí hiệu a:= { x X | x a} Và a := { x X | a x} Nếu quan hệ tơng đơng, thì hai điều kiện sau đây đợc thoả mãn: i) a a với mọi a X ii) a b suy ra a =b . Nh vậy, họ các tập a , trong đó a X là một phân hoạch của tập X, tức là tập đó không giao nhau và hợp của chúng bằng X; ta ký hiệu họ đó là X/ . Ta gọi a là lớp tơng đơng của tập X theo mod chứa a. Đảo lại, mọi phân hoạch P của tập X đợc xác định một quan hệ tơng đơng mà P= X/ , cụ thể a b khi và chỉ khi a và b thuộc cùng một tập của phân hoạch P. Ta gọi ánh xạ a a là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ tập X lên X/ và ký hiệu ánh xạ đó là . Chú ý rằng a = a với mỗi a X, nhng để tránh nhầm lẫn ta dùng các ký hiệu khác nhau để chỉ quan hệ tơng đơng trên tập X và ánh xạ tự nhiên từ X lên X/ . 1.1.6. Quan hệ tơng đơng sinh bởi một quan hệ tuỳ ý cho trớc Giả sử là một quan hệ tuỳ ý trên X. Ta định nghĩa bao đóng bắc cầu t của quan hệ bằng cách đặt t = .)()( 1 = n n Hiển nhiên t là bắc cầu và đợc chứa trong mỗi quan hệ bắc cầu trên X, chứa . 8 Nếu 0 là quan hệ tuỳ ý trên X, thì quan hệ i = 1 001 là quan hệ phản xạ và đối xứng bé nhất trên X, chứa 0 . Bao đóng bắc cầu = t 1 của quan hệ 1 là một quan hệ tơng đơng trên X chứa 0 . Ta gọi là quan hệ t- ơng đơng trên X sinh bởi 0 . Giao của một họ tuỳ ý các quan hệ tơng đơng là một quan hệ tơng đơng. Khẳng định tơng tự đối với hợp theo lý thuyết tập không đúng ngay cả trong tr- ờng hợp hai quan hệ. Ta định nghĩa hợp của hai quan hệ tơng đơng sinh bởi , tức là là bao đóng bắc cầu của quan hệ . 1.1.7. Bổ đề. Nếu và là các quan hệ tơng đơng trên X và = thì cũng là quan hệ tơng đơng trên X và = . 1.1.8. Chú ý. Giả sử là một quan hệ trên X sao cho | x | = 1 với mỗi x X, khi đó có thể đồng nhất các tập x gồm một phần tử duy nhất của nó và xem nh phép biến đổi x x của tập X. Nếu là một quan hệ khác thuộc loại đó trên X thì cũng có tính chất đã nêu, ngoài ra trùng với cái hợp thành của và xem nh các phép biến đổi của tập X. Bằng đối ngẫu, nếu | x| = 1 với mọi x X ta có thể xem ánh xạ x x nh một phép biến đổi của tập X. Trong trờng hợp đó bằng cái hợp thành của và . Nh vậy B x chứa J x nh một nửa nhóm con, trong đó J x là vị nhóm con các ánh xạ từ X vào chính nó với phép nhân ánh xạ. Giả sử là ánh xạ từ tập hợp X vào tập X'. Thế thì có thể xem nh một quan hệ trên tập X X'. với mỗi x' X', ta có -1 (x') = { x X| (x) =x' }. 9 Cái hợp thành -1 khi và chỉ khi (x) = (y). Từ đó -1 là một quan hệ tơng đơng, và cảm sinh ánh xạ một - một từ 1 X lên (X). Ta gọi -1 là quan hệ tơng đơng trên X đợc cảm sinh một cách tự nhiên trên bởi . 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và là một quan hệ trên S. Khi đó đợc gọi là ổn định bên phải (trái) nếu a b (a,b S) kéo theo ac bc (ca cb), với mọi c S. Quan hệ đợc gọi là tơng đẳng phải (trái) nếu là quan hệ tơng đơng và ổn định phải (trái). Quan hệ đợc gọi là một tơng đẳng trên S nếu vừa là tơng đẳng phải vừa là tơng đẳng trái. 1.1.10. Nửa nhóm thơng. Giả sử là một tơng đẳng trên nửa nhóm S. Khi đó là quan hệ tơng đơng trên S, do đó ta có thể xét tập thơng S/ , tức là tập các tơng đơng của S theo mod . Giả sử A, B là hai phần tử tuỳ ý của S/ , nếu a 1 , a 2 A và b 1 , b 2 B. Khi đó từ a 1 a 2 suy ra a 1 b 1 a 2 b 1 ( vì ổn định bên phải). Từ đó b 1 b 2 suy ra a 2 b 1 a 2 b 2 ( vì ổn định trái). Theo tính chất bắc cầu của ta suy ra a 1 b 1 a 2 b 2 . Do đó, tích AB của các lớp A và B đợc chứa trong một lớp tơng đơng C nào đó. Ta định nghĩa phép nhân ( ) trong S/ bằng cách đặt A B = C. Từ tính chất kết hợp trong S ta suy ra tính kết hợp trong S/ , và do đó S/ trở thành nửa nhóm. Nửa nhóm S/ đợc gọi là nửa nhóm thơng của S theo mod . Nếu S là nửa nhóm giao hoán thì S/ cũng là nửa nhóm giao hoán. Nếu S là vị nhóm với đơn vị e thì S/ là vị nhóm với đơn vị là e . Ta kí hiệu a (a S) là lớp tơng đơng theo mod chứa a. Điều đã nói trong định nghĩa trên của phép toán ( ) có nghĩa đơn giản là a b = (ab) , với mọi a, b S. 10