Tương đẳng trên một số lớp nửa nhóm chính quy

1 LờI NóI ĐầU Lý thuyết nửa nhóm đợc ra đời từ những năm đầu của thế kỉ hai mơi. Những công trình u tiên bắt đầu nghiên cứu về nửa nhóm ở dạng những bài báo ngắn. Tuy nhiên nó đã nhanh chóng trở thành một trong những công cụ quan trọng trong nghiên cứu đại số và các chuyên ngành khác. Lý thuyết nửa nhóm đã đợc nhiều tác giả nghiên cứu theo nhiều hớng khác nhau. Khóa luận Tơng đẳng trên một số lớp nửa nhóm chính quy hệ thống lại các kết quả mô tả tơng đẳng trên một số lớp nửa nhóm chính quy. Khóa luận gồm hai chơng: Chơng 1: Các khái niệm cơ sở về nửa nhóm chính quy Trong chơng này chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của nửa nhóm, và nửa nhóm chính quy để làm cơ sở cho việc trình bày chơng sau. 1.1. Các định nghĩa cơ bản. Trình bày các khái niệm cơ sở của nửa nhóm và nửa nhóm chính quy. 1.2. Nửa nhóm ngợc. Trình bày các khái niệm và tính chất của nửa nhóm ngợc. Kết quả cần chú ý là định lý 1.2.5. 1.3. Nhóm phải. Trình bày các khái niệm và tính chất của nhóm phải. Kết quả cần chú ý là định lý 1.3.4. Chơng 2. Tơng đẳng trên một số lớp nửa nhóm chính quy. Đây là phần chính của khóa luận. 2.1. Tơng đẳng và nửa nhóm thơng: Trình bày khái niệm và tính chất của tơng đẳng, xây dựng cấu trúc của tơng đẳng. Kết quả cần chú ý là định lý 2.1.4, định lý 2.1.5 và nhắc lại cách xây dựng tơng đẳng sinh bởi một quan hệ cho tr- ớc. 2.2. Tơng đẳng trên các nhóm phải. Mô tả tơng đẳng trên các nhóm phải, chứng minh một tơng đẳng tùy ý trên một nhóm phải đợc xác định duy nhất bởi việc cho các lớp tơng đẳng chứa các lũy đẳng của nó. Kết quả cần chú ý là định lý 2.2.11. 2 2.3. Tơng đẳng trên nửa nhóm ngợc. Khảo sát tơng đẳng trên nửa nhóm ngợc. Phân loại tơng đẳng theo vết của chúng và thu đợc kết quả chính là định lý 2.3.15 và định lý 2.3.17. Cuối cùng mô tả tơng đẳng trên nửa nhóm ngợc dựa vào hệ hạt nhân chuẩn của chúng. Kết quả cần chú ý là định lý 2.3.28. Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sự giúp đỡ và hớng dẫn tận tình của thầy. Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy, cô giáo trong tổ Đại số Khoa Toán Đại học Vinh, cùng tập thể lớp 47B 1 - Toán đã tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình làm khóa luận. Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận đợc sự chỉ bảo góp ý của thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 4 năm 2010 Tác giả 3 Chơng 1 CáC KHáI NIệM CƠ BảN 1.1.Các định nghĩa cơ bản 1.1.1 Định nghĩa. i, Giả sử S là tập tùy ý. Khi đó mỗi ánh xạ f: S ì S S đợc gọi là một phép toán hai ngôi trên miền xác định S. Nếu ánh xạ đó đợc ký hiệu là (.) thì ảnh của phần tử (x, y) S ì S trong S đợc ký hiệu là x.y hay đơn giản là xy. ii, Tập hợp S cùng với phép toán hai ngôi trên nó đợc gọi là một phỏng nhóm. iii, Phỏng nhóm S đợc gọi là nửa nhóm nếu phép toán có tính chất kết hợp, nghĩa là với x, y, z S có (xy)z = x(yz). 1.1.2. Định nghĩa. i, Giả sử S là một nửa nhóm. Phần tử x S đợc gọi là đơn vị trái (phải) của S nếu xy = y (yx = y) với mọi y S. Phần tử x S đợc gọi là đơn vị nếu x vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải của S. Một nửa nhóm có thể có đơn vị (hoặc đơn vị phải hoặc đơn vị trái), hoặc không có đơn vị kiểu nào. Nói riêng, nếu S có đơn vị thì đơn vị phải duy nhất. ii, Phần tử z S đợc gọi là phần tử không bên trái (phải) nếu za = z (az = z) với mọi a S. Phần tử z S đợc gọi là phần tử không nếu z vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phải. Một nửa nhóm có không quá một phần tử không. iii, Phần tử e S đợc gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e. Tập các lũy đẳng của S ký hiệu là E = E S . 1.1.3. Định nghĩa: i, Nửa nhóm S đợc gọi là vị nhóm nếu S có đơn vị. Đối với một nửa nhóm S ta xác định một vị nhóm S 1 bằng các bổ sung một đơn vị cho S nếu S không có đơn vị. 4 S = S nếu S là vị nhóm S { 1} nếu S không là vị nhóm trong đó 1 là phần tử đơn vị ( mới); 1 S. 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và A là tập con không rỗng của S. Khi đó A là nửa nhóm con của S nếu A khép kín dới phép lấy tích, nghĩa là với x, y A thì xy A. Rõ ràng nếu A là nửa nhóm con của S thì A cũng là nửa nhóm (với phép toán trên A đợc cảm sinh từ phép toán trên S). 1.1.5. Định nghĩa. Nhóm con G của nửa nhóm S đợc gọi là nhóm con tối đại của S, nếu G không chứa thực sự nhóm con nào khác của S. Giả sử G là nhóm con tối đại của nửa nhóm S và e là đơn vị của G, khi đó e G H e , do đó G = H e do tính chất tối đại của G. Đảo lại nếu e là một lũy đẳng của S thì H e là nhóm con tối đại của S. 1.1.6. Định nghĩa. Phần tử a thuộc nửa nhóm S đợc gọi là phần tử chính quy nếu a aSx hay nói cách khác a = axa với x nào đó thuộc S. Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm chính quy nếu mỗi phần tử của S đều là phần tử chính quy. Nếu ax = a thì e = ax là một lũy đẳng, hơn nữa ea = a. Thật vậy, e 2 = (ax)(ax) = (axa)x =ax = e và ea = axa = a. Tơng tự f = xa cũng là một lũy đẳng của S và af = a. Do đó nếu S là một nửa nhóm chính quy thì tập hợp các phần tử lũy đẳng của S khác rỗng và đợc ký hiệu là E(S), E S hay E nếu không sợ nhầm lẫn. Ta cũng chú ý rằng nếu a là một phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì idean chính phải aS 1 = a aS sinh bởi a bằng aS, vì a = af kéo theo a aS. Tơng tự S 1 a = Sa. 1.1.7. Bổ đề. Phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính phải ( trái) của nửa nhóm S sinh bởi a sẽ đợc sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, nghĩa là aS 1 = eS 1 ( S 1 a = S 1 e). 5 Chứng minh. Nếu a chính quy thì axa = a với x nào đó thuộc S và e là phần tử lũy đẳng của S thỏa mãn ea = a. Do đó aS 1 = eS 1 . Đảo lại, giả thiết rằng aS 1 = eS 1 và e 2 = e. Khi đó a = ex với x nào đó thuộc S, vì vậy ea = e 2 x =ex = a, e = ay với y nào đó thuộc S 1 nên a = ea = ay. Nếu y = 1 thì a = a 2 và a = aaa. Do đó mọi trờng hợp đều có a aSa nên a chính quy. 1.2. Nửa nhóm ngợc 1.2.1. Định nghĩa. i, Hai phần tử thuộc nửa nhóm S đợc gọi là ngợc nhau nếu aba = a và bab = b, ii, Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm ngợc nếu mỗi phần tử của nó có một phần tử ngợc duy nhất. Nếu a và b là các phần tử thuộc nhóm con tối đại H nào đó của một nửa nhóm S, đặc biệt khi S là một nhóm, thì a và b ngợc nhau nếu và chỉ nếu chúng là nghịch đảo của nhau trong nhóm với nghĩa thông thờng. 1.2.2. Bổ đề. Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa với x S, thì a có ít nhất một phần tử ngợc với nó, chẳng hạn phần tử xax. Chứng minh. Giả sử b = xax. Thế thì aba = a( xax)a = ax( axa ) = axa = a, bab = ( xax)a(xax) = x(axa)(xax) = xa(xax) = (x(axa)x = xax = b; do đó b ngợc với a. 1.2.3. Bổ đề. Hai phần tử thuộc nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngợc nhau và giao hoán đợc với nhau. Chứng minh. Giả sử a và b là các phần tử nhợc nhau và giao hoán đợc với nhau thuộc một nửa nhóm S và e = ab ( = ba ). Khi đó e lũy đẳng, hơn nữa ea = ae = a và eb = be = b. Do đó a và b chứa các phần tử khả nghịch trong eSe và thuộc nhóm con tối đại H e của S chứa e. Mệnh đề đảo là hiển nhiên. 1.2.4. Bổ đề. Nếu e, f, ef và fe là các phần tử lũy đẳng của nửa nhóm S thì ef và fe ngợc nhau. 6 Chứng minh. Ta có (ef)(fe)(ef) = ef 2 e 2 f = efef = (ef) 2 = ef. Tơng tự ta có (fe)(ef)(fe) = fe. 1.2.5. Định lý. Ba điều kiện sau đây đối với một nửa nhóm S là tơng đ- ơng: i, S chính quy và hai lũy đẳng bấy kỳ của nó giao hoán đợc với nhau; ii, Mỗi iđêan chính phải và một iđêan chính trái của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất; iii, S là nửa nhóm ngợc ( tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngợc duy nhất ). Chứng minh. (i) (ii). Theo bổ đề 1.1.4, mỗi iđêan chính phải của S có ít nhất một phần tử sinh lũy đẳng. Giả sử rằng e và f là các lũy đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải, nghĩa là eS = fS. Khi đó ef = f và fe = e. Nhng theo (i) ef = fe nên e = f. (ii) (iii). Theo bổ đề 1.1.4, chỉ cần chứng minh sự duy nhất của phần tử ngợc. Giả sử b ngợc với a, khi đó aba = a, bab = b, aca = a, cac = c. Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca nên ab = ac và ba = ca theo (ii). Do đó b = bab = bac = cac = c. (iii) (i). Rõ ràng một nửa nhóm ngợc thì chính quy. Ta chỉ còn phải chứng minh hai phần tử lũy đẳng e và f giao hoán đợc với nhau. Trớc hết ta chứng minh ef là lũy đẳng. Thật vậy, giả sử a là phần tử ngợc duy nhất của ef. Khi đó, (ef)a(ef) = ef, a (ef) a = a. Đặt b = ae, thế thì (ef)b(ef) = eafe 2 f = efaef = ef, b(ef)b = ae 2 fae = aefae =ae = b. Do đó b cũng là phần tử ngợc của ef. Thế thì theo (iii) ta kết luận a = ef. Nh vậy, ef là lũy đẳng. Bây giờ ta giả sử e và f là hai lũy đẳng bất kỳ, theo điều vừa chứng minh, ef và fe cũng là các lũy đẳng, theo bổ đề 1.2.7 thì chúng ngợc nhau. Vậy ef và fe đều ngợc ef nên ef = fe. Giả sử S là một nửa nhóm ngợc. Ta ký hiệu phần tử ngợc với a S là a -1 . Vậy aa -1 a = a và a -1 aa -1 = a -1 . Lũy đẳng e = aa -1 (f = a -1 a) sẽ đợc gọi là đơn vị trái (phải) của phần tử a, nó có thể đặc trng nh những lũy đẳng duy nhất sinh ra iđêan phải (trái) aS (Sa). 7 Nửa nhóm con T của nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm con ngợc nếu a T kéo theo a -1 T. 1.2.6 Mệnh đề. Đối với các phần tử a, b tùy ý thuộc nửa nhóm ngợc S có hệ thức (a -1 ) -1 = a và (ab) -1 = b -1 a -1 . Chứng minh. Hệ thức thứ nhất là hiển nhiên. Ta chứng minh hệ thức thứ hai. Ta có: (ab)(b -1 a -1 )(ab) = a( bb -1 )(a -1 a)(bb -1 )b = ab, (b -1 a -1 )(ab)(b -1 a -1 ) = b -1 (a -1 a)(bb -1 )a -1 = b -1 (bb -1 )a -1 = b -1 (bb -1 )(a -1 a)a -1 = b -1 a -1 . Do đó b -1 a -1 ngợc với ab. 1.2.7. Bổ đề: Nếu e và f là các lũy đẳng thuộc nửa nhóm ngợc S thì Se Sf = Sef ( = Sfe). Chứng minh: Nếu a Se Sf thì ae = af = a nên aef = af = a, và vì vậy a Sef. Đảo lại, nếu a Sef (= Sfe) thì aef = afe = a, từ đó ae = af = a nên a Se Sf. Ta gọi phép biến đổi bộ phận một - một của tập X là một ánh xạ một - một từ tập con Y của X lên tập con (Y) = Y của X. Ký hiệu -1 là ánh xạ từ Y lên Y, ngợc với theo nghĩa thông thờng, nghĩa là -1 (y) = (y Y, y Y) nếu và chỉ nếu y = (y). Giả sử T X là tập tất cả các phép biến đổi của tập X, bao gồm cả ánh xạ từ tập rỗng lên chính nó, phép biến đổi rỗng đó ta sẽ ký hiệu là 0. Tích của hai phần tử , T X đợc định nghĩa nh sau: Giả sử Y và Z là các miền xác định tơng ứng của và . Nếu (Y) Z = thì ta đặt = 0. Trong trờng hợp trái lại, giả sử w = -1 ( (Y) Z). Khi đó ta sẽ xem bằng cái hợp thành của các phép biến đổi | w và | (w) theo nghĩa thông thờng. Rõ ràng là ánh xạ một - một từ tập con W lên tập con (W), và do đó thuộc T X . Tính kết hợp thử thấy dễ dàng. Vậy T X là một nửa nhóm, ta gọi nó là nửa nhóm ngợc đối xứng trên tập X. 1.2.8. Mệnh đề. T X là nửa nhóm ngợc. Chứng minh. Vì -1 = và -1 -1 = -1 nên -1 là phần tử ngợc của , do đó T X là nửa nhóm chính quy. Một phần tử thuộc T X là lũy đẳng khi và 8 chỉ khi nó là ánh xạ đồng nhất từ một tập con nào đó của X lên chính nó. Do đó ta thấy hai lũy đẳng bất kỳ thuộc T X giao hoán với nhau. Theo định lý 1.2.7 T X là nửa nhóm ngợc. 1.3. Nhóm phải Ta nhắc lại rằng, nửa nhóm S là nửa nhóm đơn phải (trái) nếu S không chứa các iđêan phải (trái) thực sự, và nhóm chính là một nhóm vừa đơn phải vừa đơn trái. Nửa nhóm E đợc gọi là nửa nhóm các phần tử không bên phải nếu mỗi phần tử của nó là phần tử không bên phải, nghĩa là xy = y với vọi x, y E. Rõ ràng E là một nhóm phải. 1.3.1. Định nghĩa. Một nửa nhóm S đợc gọi là nhóm phải nếu S đơn phải và giản ớc trái. Điều này tơng đơng với điều kiện là đối với hai phần tử a, b tùy ý thuộc S, phơng trình ax = b có nghiệm duy nhất trong S. Nhóm trái đợc định nghĩa một cách đối ngẫu. 1.3.2. Bổ đề. Mỗi lũy đẳng của một nửa nhóm đơn phải S là đơn vị trái của nó. Chứng minh: Giả sử e là lũy đẳng và a là phần tử tùy ý của nửa nhóm đơn phải S. Khi đó tồn tại phần tử x S sao cho ex = a. Thế thì ea = e(ex) = e 2 x = ex = a. 1.3.3. Hệ quả. Nếu S là một nhóm phải thì S là một nửa nhóm chính quy. Chứng minh. Giả sử a S. Khi đó S đơn phải nên tồn tại phần tử e S sao cho ae = a. Khi đó ae 2 = ae. Vì S có luật giản ớc trái nên e 2 = e. Theo bổ đề 1.3.2, e là đơn vị trái của S. Vì phơng trình ax = e có nghiệm trong S nên tồn tại b S sao cho ab = e. Khi đó aba = ea = a nên a là phần tử chính quy. Do a tùy ý thuộc S nên S chính quy. 9 1.3.4. Định lý. Các điều kiện sau đối với một nửa nhóm S là tơng đơng: i, S là một nhóm phải; ii, S đơn phải và chứa lũy đẳng; iii, S = G ì E, trong đó G là một nhóm và E là nửa nhóm các phần tử không bên phải. Chứng minh. (i) (ii). Vì S là nhóm phải nên S đơn phải, mặt khác theo chứng minh hệ quả 1.3.3, ta có S lũy đẳng. (ii) (iii). Giả sử E là tập các lũy đẳng của S, theo điều kiện (ii), E . Theo bổ đề 1.3.2, mỗi phần tử thuộc E là đơn vị trái trong S. Đặc biệt, ef = f với mọi e, f E. Vậy E là nửa nhóm con các phần tử không bên phải của S. Ta chứng minh S là nửa nhóm với luật giản ớc trái, tiện thể cũng chứng tỏ rằng (ii) kéo theo (i). Giả sử ca = cb (a,b,c S) và f E. Tồn tại x S sao cho cx = f. Giả sử e = xc. Thế thì e 2 = xcxc = xfc = xc = e. Do đó a = ea = xca = xcb = eb = e. Nếu e E thì Se là nửa nhóm con của S, trong đó e là đơn vị phải (và cũng là đơn vị trái). Nếu a Se thì ta có thể giải phơng trình ax = e trong S. Nh- ng khi đó a(xe) = e 2 = e, tức là phần tử a khả nghịch bên phải trong nửa nhóm Se với đơn vị e. Do đó Se là một nhóm con của S. Giả sử g là một phần tử cố định của E. Ta ký hiệu nhóm con Sg bởi G. Ta định nghĩa ánh xạ : G ì E S bằng cách đặt (a, e) = ae (a G, e E). Khi đó đối với với phần tử a, b G và e, f E, các đẳng thức sau đây đợc thỏa mãn: = (ab,ef) = (ab)(ef) = abf (a, e). (b, f) = ae.bf = a(eb)f = abf. Do đó là đồng cấu. Ta chứng minh rằng là ánh xạ một - một. Giả thiết rằng (a, e) = (b, f), nghĩa là ae = bf (a, b G; e, f E). Vì g là đơn vị của nhóm G nên a = ag = aeg = bfg = bg = b. Do đó ae = af. Vì S là nửa nhóm với luật giản ớc trái nên e = f. Cuối cùng, ta chứng tỏ rằng là toàn ánh. Giả sử a S. Tồn tại e S sao cho ae = a. Từ đó ag = Sg = G và (ag, e) =age = ae = a. Vậy là đẳng cấu từ G ì E lên S và (iii) đợc chứng minh. (iii) (i). Vì S là tích trực tiếp của hai nhóm phải G và E, nên S là nhóm phải. 10 Chơng 2 TƯƠNG ĐẳNG TRÊN MộT Số LớP NửA NHóM CHíNH QUY 2.1. Tơng đẳng và nửa nhóm thơng 2.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và là một quan hệ trên S. Khi đó đợc gọi là ổn định bên phải (trái) nếu a b (a, b S) kéo theo ac bc (ca cb), với mọi c S. Quan hệ đợc gọi là tơng đẳng phải (trái) nếu là quan hệ tơng đơng và ổn định phải (trái). Quan hệ đợc gọi là một tơng đẳng trên S nếu vừa là tơng đẳng phải vừa là tơng đẳng trái. 2.1.2. Định nghĩa. Giả sử là một tơng đẳng trên nửa nhóm S. Khi đó là quan hệ tơng đơng trên S, do đó ta có thể xét tập thơng S/ , tức là tập các lớp tơng đơng của S theo mod . Giả sử A, B là hai phần tử tùy ý của S/ . Nếu a 1 , a 2 A và b 1 ,b 2 B, khi đó từ a 1 a 2 suy ra a 1 b 1 a 2 b 1 (vì ổn định phải). Từ b 1 b 2 ta suy ra a 2 b 1 a 2 b 2 vì ổn định bên trái. Theo tính chất bắc cầu của ta suy ra a 1 b 1 a 2 b 2 . Do đó, tích AB của các lớp A, B đợc chứa trong một lớp t- ơng đơng C nào đó. Ta định nghĩa phép (o) trong S/ bằng cách đặt A o B = C. Từ tính chất kết hợp trong S ta suy ra tính chất kết hợp trong S/ , do đó S/ trở thành nửa nhóm. Nửa nhóm S/ đợc gọi là nửa nhóm thơng của S theo mod . Nếu S là nửa nhóm giao hoán thì S/ cũng là nửa nhóm giao hoán. Nếu S là vị nhóm với đơn vị e thì S/ cũng là vị nhóm với đơn vị e. Ta ký hiệu a (a S) là lớp tơng đơng theo mod chứa a. Điều đã nói trong định nghĩa trên của phép toán (o) có nghĩa đơn giản là a o b = (ab) , với mọi a, b S.