Một số lớp nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn liên quan đến dãy số lucas

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ HÀ MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ LUCAS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ HÀ MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ LUCAS Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2013 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm tự do……………………………………………………………6 1.2 Vị nhóm tự do…………………………………………………………… 1.3 Nhóm tự …………………………………………………………… 10 Biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn nhóm 12 2.1 Biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm ……………………………… .12 2.2 Biểu diễn nhóm ………………………………………………………….17 Một số lớp nửa nhóm vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas 20 3.1 Một số lớp nửa nhóm vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas 20 3.2 Các cấu trúc phản đẳng cấu, biểu diễn nửa nhóm Gp( P ) ………… 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lớp nhóm với biểu diễn hữu hạn n n  a , b | a  b , aba n 2   b n 2   1 mở rộng lớp nhóm tam giác, chúng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu năm gần Cấp nhóm hữu hạn phụ thuộc vào dãy số Lucas u n  cho u1  2, u  1, u k   u k 1  u k ( k  1) Giả sử Sg(P), Mon(P ) Gp(P) tương ứng nửa nhóm, vị nhóm nhóm nhận P = < A | R > làm biểu diễn Xét biểu diễn sau: n   n   P   a, b | a n  b n , a b a  b     P P   a, b | a n b , a ba n n n   a, b | a  b , a b a n 2   n 2   b b n 2   n   1    a   ab  Năm 2006, H Doostie K Ahmadidelir chứng minh Gp( P1 ) nhóm hữu hạn cấp cho n  nn  2      n  n  2 mod 6       n  mod6  2nn  1 u n1  nn  1 un1 n  1mod6   un  dãy số Lucas Bản luận văn dựa báo Two classes of finite semigroups and monoids involving Lucas numbers tác giả K Ahmadidelir, C M Campbell H Doostie đăng tạp chí Semigroup Forum số 78 năm 2009 để tìm hiểu tính hữu hạn nửa nhóm Sg(P i ) vị nhóm Mon(P i ) với mối liên quan chúng với nhóm Gp( Pi ) Luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống khái niệm tính chất nửa nhóm tự do, vị nhóm tự nhóm tự để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn nhóm Trong chương này, trình bày biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm biểu diễn nhóm với cấu trúc tự tương ứng với mối liên hệ chúng nhóm Chương Một số lớp nửa nhóm vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas Trong chương này, trình bày số kết biểu diễn nửa nhóm vị nhóm hữu hạn mà cấp chúng liên quan đến dãy số Lucas Sau đó, trình bày số cấu trúc phản đẳng cấu biểu diễn nửa nhóm nhóm Gp(P ) Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán tận tình hướng dẫn, dìu dắt, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Đại số, thầy cô giáo Khoa Toán trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 19 Đại số Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm thầy cô giáo Khoa Toán, Phòng Sau đại học trường Đại học Vinh, Phòng tổ chức trường Đại học Sài Gòn Cảm ơn tập thể lớp Cao học 19 Đại số Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp bảo Quý thầy, cô đồng nghiệp Nghệ An, tháng năm 2013 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 NỬA NHÓM TỰ DO 1.1.1 Định nghĩa Giả sử A tập kí hiệu Chúng ta gọi A bảng chữ phần tử chữ Một dãy hữu hạn chữ gọi từ Tập hợp tất từ A kí hiệu A  Chúng ta viết u  v từ u v Tập hợp A  nửa nhóm, gọi nửa nhóm từ A, tích xác định cách ghép từ liên tiếp vào nhau, nghĩa tích từ w1  a1 a a n , w2  b1b2 bm (ai , bj  A) từ w  w1w2  a1a2 an b1b2 bm Khi bổ sung A từ rỗng (mà chữ nào), nhận vị nhóm từ A* Rõ ràng A*  A   1 với  A  1.w = w.1= w, với * w  A 1.1.2 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Một tập X S gọi sinh S cách tự X tập sinh S ánh xạ  : X  P (trong P nửa nhóm bất kỳ) mở rộng thành đồng cấu  : S  P cho  | X   Khi nói  mở rộng đồng cấu ánh xạ  Nếu S sinh tự tập S gọi nửa nhóm tự Các kết sau chứng minh [2] 1.1.3 Định lý Đối với bảng chữ A tùy ý, A  nửa nhóm tự sinh tự A 1.1.4 Định lý Nếu S sinh tự X  : X  P ánh xạ,  có mở rộng đồng cấu  : S  P Kết phát biểu nửa nhóm S ảnh đồng cấu nửa nhóm từ, nửa nhóm từ sở nửa nhóm Mọi nửa nhóm tùy ý xây dựng nửa nhóm từ 1.1.5 Định lý Đối với nửa nhóm S, tồn bảng chữ A toàn cấu  : A  S 1.1.6 Hệ Mỗi nửa nhóm thương nửa nhóm tự 1.1.7 Định lý Một nửa nhóm tự đẳng cấu với nửa nhóm từ A  với bảng chữ A Bây ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi – Dubreil – Jacotin nửa nhóm tự nhân tử hóa phần tử Giả sử X  S Chúng ta nói x  x1 x x n phân tích thành nhân tử phần tử x X xi  X , i  1, 2, , n Nếu X sinh S phần tử x  S có nhân tử hóa X Nói chung phân tích không nhất, nghĩa xảy x1 x x k  y1 y y m với x k  y k 1.1.8 Định lí Một nửa nhóm S sinh tự X phần tử x thuộc S có nhân tử hóa X Chứng minh Trước hết ta nhận xét khẳng định Định lí 1.1.8 thỏa mãn với nửa nhóm A  Giả sử A bảng chữ cho |A|= |X|  : X  A song ánh Giả thiết X sinh S cách tự do, với x  S có nhân tử hóa X X sinh S Giả sử x1 x x n  y1 y y m hai nhân tử hóa x X  mở rộng đồng cấu    x  0  x1 0  x2  0  xn   0  y1  0  y2  0  ym  hai nhân tử hóa   x A Vì A  thỏa mãn khẳng định Định lý, nên ta phải có   xi     y i  với i = 1, 2,…, n (và m = n) Vì  song ánh nên xi  y i , với i = 1, 2,…, n S thỏa mãn khẳng định Định lý 1.1.8 1 Giả thiết S thỏa mãn điều kiện Ký hiệu    giả sử  : A  S mở rộng đồng cấu  Khi  toàn ánh ( X sinh S ) đơn ánh (  u    v  với u , v  A  , u  v  u  có hai cách nhân tử hóa khác X: trái giả thiết ) Vậy  song ánh đẳng cấu Định lý 1.1.8 chứng minh 1.2 VỊ NHÓM TỰ DO Không vị nhóm M nửa nhóm tự do, 1 1.1 Từ phần tử đơn vị có tập sinh tự M Nếu nhân tử hóa phần tử x1 , x , , x n thuộc tập sinh M x = x hai cách nhân tử hóa khác x, mâu thuẫn với Định lí 1.1.8 1.2.1 Định nghĩa Vị nhóm M gọi vị nhóm tự sinh tự tập X với  X X  1 tập sinh M ánh xạ  : X  P (trong P vị nhóm ) mở rộng thành đồng cấu vị nhóm  : M  P , nhĩa  | X    1M   1P Từ định nghĩa ta có kết 1.2.2 Định lý Nếu S nửa nhóm tự S vị nhóm tự 1.2.3 Hệ Vị nhóm từ A* vị nhóm tự với bảng chữ A Khẳng định ngược lại Định lý 1.2.2 10 1.2.4 Định lý Một vị nhóm M vị nhóm tự M \ 1 nửa nhóm tự Chứng minh Đối với điều kiện ngược lại, tập M \ 1 nửa nhóm M Điều thỏa mãn không 1M có hai cách nhân tử hóa khác Phần lại khẳng định suy từ định nghĩa vị nhóm tự Những kết khác nửa nhóm tự chuyển sang cho vị nhóm tự Nói riêng ta có 1.2.5 Định lý (i) Một vị nhóm M sinh tự X x  M \ 1 có nhân tử hóa X * (ii) Mỗi vị nhóm ảnh đồng cấu vị nhóm từ A với bảng chữ A chọn thích hợp (iii) Một vị nhóm M tự M đẳng cấu với vị nhóm từ A* với bảng chữ A 1.2.6 Định lý Giả sử M vị nhóm vị nhóm từ A* Thế M tự : u, v, uw, wv  M  w  M Chứng minh Giả thiết M tự do, w  A* từ có u, v M cho uw, wv  M Giả sử u  u1 uk , u w  v1 vt , wv  uk 1 uk r v  vt 1 vt  s ui v j  X , với X  BM   M \ M Khi u wv  u1 uk uk 1 uk r = v1 v t v t 1 v t  s Vì M sinh tự X nên k + r = t, ui  vi với i = 1, 2, … , k + r Từ w  uk 1 ut (vì k t ) nên w  M Giả sử M thỏa mãn điều kiện Giả sử tồn từ có hai nhân tử hóa khác X : u1u u n  v1v v m ui , v j  X  Chúng ta giả thiết u1  v1 , ngược lại có u2 un  v2 vm u 25 biểu diễn vị nhóm (hay nửa nhóm) nhóm G biểu diễn nhóm G Từ M  Gp ( P ) 3.1.5 Chú ý Giả sử i 2; 3 Vì theo kết Mệnh đề 1.12 [10], ta có Mon(P i )  Sg( P i )  1 Do đó, |Mon( P i )| = |Sg( P i )| + Theo Bổ đề [7] ta kết luận Sg( P i ) không xác định nhóm, từ w  a, b cho b = w hệ thức xác định 3.1.6 Định lý Cho biểu diễn n n n 2   n 2   P   a, b | a  b , a b a b  a  với n  Khi |Sg( P )| = |Gp( P )| + n – Chứng minh Giả sử S = Sg( P ) Chúng ta chứng tỏ S a 2 n 1 a n1 S tương ứng iđêan trái iđêan phải tối tiểu S Cũng chứng minh Định lý 3.1.4, ta chứng minh điều khẳng định phương pháp quy nạp theo độ dài từ w, rằng:   w   a , b , w1  a, b : w1 w  a n 1 Nếu |w| = w  a w  b m m n1 Xét trường hợp w  a Chọn w1  b a b a ta có: ww1  ba mb m a n 1 a  b a mb m a n  a n ba m b m (vì a n thuộc tâm S )  a n2 a 2b a m b m    a n  a  a n 1 n m m 1 Xét trường hợp w  b Chọn w1  a b a b , (n  2) Vì n  nên 26 w1 w  a n b a m b m1 b  an b am bm  a n a b a m b m   a n  a  a n 1 Bây giờ, giả thiết khẳng định với tất từ với độ dài nhỏ k + 1, k số tự nhiên Giả sử w từ với độ dài k +1 Nếu w  w' a theo giả thiết quy nạp, có   w1'  a , b  : w '1 w '  a n 1 m m Do đó, cách chọn w1  ba b w'1 , ta nhận w1w  b a mb m w '1 w ' a   b a m b m a n 1 a  b a mbm a n  a n b a mb m (vì a n thuộc tâm S )  a n2 a b a m bm    a n2 a  a n 1 Nếu w  w' ' b theo giả thiết quy nạp, có w' '1  a, b : w' '1 w' '  a n1  m m Bằng cách chọn w1  b a b w' '1 , ta nhận w1 w  b a m b m 1 a w ''1 w '' b    b a m b m 1a a n 1 b  b a m b m 1 a n b  a n ba m b m 1b 27  a n2 a b a m b m   a n  a  a n 1   n 1 n 1 n 1 Do đó, S a  S a  a iđêan trái tối tiểu S Chứng minh tương tự, ta có   w   a , b , w1   a , b : a n 1  w w1 nên a n1S  a n1  a n1 S iđêan phải tối tiểu S n 1 Bây giờ, ta kí hiệu iđêan (hai phía) tối tiểu S I, a S  I  S 1a n1 Do đó, a n 1 S  S a n 1  I nhóm, I  Gp ( P ), theo m m Định lý [6] Để tính toán cấp Sg(P ), ta ý a b a b  a 1 i 1 nên a  a S , a S  a S (đối với a  a S ) Từ a S  a S , đối m m n 1 với số nguyên dương i Khi đó, a  a ba b  a S  a S a  S a n 1 Như S a n  S a n 1   S a S 1b n  S a n , nên ta nhận S a i  a i S  I  S 1b n ,  i  1, , , n vậy, tất phần tử thuộc S - trừ phần tử đôi phân biệt b , b , , bn 1 - thuộc I  Gp ( P ) Do đó, S  I  n  1 nghĩa |Sg( P2 )| = | Gp( P )| + (n - 1) 3.1.7 Chú ý Trong S = Sg( P ), bi 1  i  n  1 đơn tử H - lớp số H – lớp (n -1) + = n (Cụ thể là, H a  Gp( H b   b , H b   b  ,…, H b n 1   b n1 P ),   Từ quan hệ Grin S nhau: H=L=R=D=J 28 3.1.8 Định lý Cho biểu diễn P   a, b | a n n  b ,a ba n 2   b n   1   ab  với n  Khi |Sg  P  | = |Gp  P 3 | + n Chứng minh Giả sử S = Sg( P ) Chúng ta chứng tỏ S a n1 b a b n1 S tương ứng iđêan trái tối tiểu iđêan phải tối tiểu S Muốn phải chứng minh khẳng định sau phương pháp quy nạp theo độ dài w:   w   a, b , w1   a, b : w1 w  a n1b  (3)  w   a, b , w1   a, b : ww1  a b n 1 (4) Trước hết ta chứng minh (3) Nếu |w| = 1, w  a w  b Trong m m 1 n 1 trường hợp w  a , ta chọn w1  ba b a Khi w1 w  ba mb m 1a n 1 a  b a m b m 1 a n (vì a n thuộc tâm S )  a nba mb m 1  a n2 b a m b m b    a n  ab  a n 1b Tương tự, trường hợp wb chọn w  a n ba m b m Bây giờ, giả sử w = w' a w = w' b |w'| = k < k +1 theo giả thiết quy nạp:  w'1   a, b : w'1 w'  a n1 b Nếu w = w' a chọn w1  (ba mbabam1b n1a)w'1 nhận 29 w1w  (b a m b a b a m 1b n1a ) w'1 w' a          b a m b a b a m1b n1a a n1b a  ba m baba m1 b n1a a n1b a m 1 n n  ba m baba a ba (vì a n thuộc tâm S )   (b a mb a )(a n b a m b n ) (vì b n thuộc tâm S)   n m n 2 m m1 m1   (vì m    )  ba ba a a ba b b    2      (b a m b a ) (a n  a b b m 1 )    b a mb a n b m  a n ba m b m 1  a n 2 ab  a n1 b Nếu w = w' b, chọn w1  ba mb m1aw'1 nhận được: w1w  ba mb m1a w'1 w' b     b a m b m1 a a n1b b  b a m b m1a n b  a n2 a 2b a mb m1   a n2 a b  a n1 b Do đó, S 1a n1b iđêan trái tối tiểu S Để chứng minh (4), ta quy nạp theo độ dài w Nếu | w | = w  a , w  b Trong trường hợp w  a chọn w1  b n1 Khi w w1  a b n1 Trong trường hợp w  b chọn w1  b n1 a b a m b m1 Khi 30 w w1  b b n 1 a b a m b m1  b n a b a m b m1  a b n a m b m1 b n (vì b n thuộc tâm S)     (vì n  )  a b a m b m1 b n 2  a b b n 2  a b n1 Giả sử khẳng định (4) với từ có độ dài không vượt k | w | = k + w  aw' w  bw' với |w’| = k Theo giả thiết quy nạp, tồn  w'1   a, b cho w' w'1  a b n1 Đối với trường hợp w  aw' chọn w1  w'1 b 2a mb m1 w w1  a w' ( w'1 b a m b m 1 )  a( w' w'1 ) b a m b m1  a a b n1 b a m b m1    a b a m b m1 b n  a b a m b m1 b n2   a b b n  a b n1 n1 m m1 m n2 m1 Đối với trường hợp w  bw' , chọn w1  w'1 ba a (b a ) b Xét hai trường hợp n Nếu n  số chẵn w w1  b w' ( w'1 b a n 1a m (b m 1a m ) n  b m 1 )  b ( w' w'1 ) b a n 1a m (b m 1a m ) n  b m 1    b a b n 1 b a n 1 a m (b m 1a m ) n  b m 1      a nb a mb n (b m 1a m ) n  b m1  a n2 a 2b a mb m 1 b m 1 (b m 1a m ) n 2 b m 1  31  a n  a b b m 1 (b m 1a m ) n 2 b m 1  a n 1b m (b m 1a m )(b m 1a m ) n 3 b m 1  a n  1b a mbn (b m  1a m ) n  bm 1 m m  m 1  a n 3 a2 ba b b (b m  1a m ) n 3 b m   a n 3 a b b m 1b m 1a m (b m  1a m ) n  b m   a n  a b a m b m 1 b m 1 (b m 1a m ) n  b m 1   a n  a b b m 1b m 1a m (b m 1a m ) n 5 b m 1 m m 1 m 1  a n 5 a2 ba bb (b m 1a m ) n 5 bm 1  a n 5 a b b m 1 (b m 1a m ) n 5 b m 1  a n  4b m (b m 1a m ) n 5 b m 1   a b mb m 1  a b n 1 Nếu n lẻ, dòng thứ phải b n  b m 1b m vào b n  b m 1b m 1 tiếp tục tính toán Cũng vậy, trường hợp n = 2, lấy w1  w'1 b a Điều dẫn tới w w1  (b w' ) ( w'1 b a )  b ( w w'1 ) b a  b a b b a  a 2b a b  a b Suy a b n1S iđêan phải tối tiểu S Ký hiệu iđêan ( hai phía ) tối tiểu S I sử dụng Định lý [6] nhận a b n1S = I = S 1a n1b Từ , a b n  S  S 1a n  1b = I nhóm I  Gp( P ) (  Gp( P ) , theo Định lý [6]) Mặt khác, tập hợp T phần tử S không phụ thuộc I tạo thành 32 cặp phần tử đôi phân biệt a j , với 1 j  n, b i , với  i  n  , bia j với  i, j  n  Bằng cách tính phần tử đó, ta nhận được: T  n  n  1  n  1  2n   n  2n   n Như , | Sg( P )| = | Gp( P )|  n  | Gp( P )|  n 3.1.9 Chú ý Trong phép chứng minh Định lý 3.1.8, phần tử T đơn lẻ H - lớp S 1b i a j  S 1b k a l , b i a j S  b k a l S (  i, j, k , l  n  ) i j j (nếu i = giả định S b a  S a tiếp tục)  w1 , w2  a, b : w1 b i a j  b k a l , b i a j  w2 b k a l  w3 , w4  a , b : b i a j w3  b k a l , bi a j  b k a l w4 k l k l k l k l Từ nhận đẳng thức w1w2 b a  b a b a w3 w4  b a , điều rõ ràng mâu thuẫn với hệ thức xác định có S Vì có n  H- lớp tất quan hệ Grin S trùng 3.1.10 Chú ý Đối với i = 2, 3, phép chứng minh trên, Sg( P i ) có lũy đẳng (sai khác đẳng cấu, đơn vị nhóm Gp(Pi )), phần tử e  a b a m b m  a m b m a b Cũng chứng tỏ e  b am bm a Theo cách này, thấy kết luận Mon( P ) 3.2 CÁC CẤU TRÚC PHẢN ĐẲNG CẤU BIỂU DIỄN NỬA NHÓM CỦA Gp( P) 3.2.1 Định nghĩa i) Một ánh xạ f : S  T từ nửa nhóm S lên nửa nhóm T gọi phản đẳng cấu f  a b   f  b  f  a  với a, b  S f 33 ii) Hai nửa nhóm S T gọi phản đẳng cấu song ánh tồn ánh xạ phản đẳng cấu từ S lên T Chú ý tính chất ánh xạ phản đẳng cấu tương tự với tính chất ánh xạ đẳng cấu (Có thay đổi chút ít, chẳng hạn S không giao hoán ánh xạ đồng i S phản đẳng cấu S) 3.2.2 Chú ý Ta nhắc lại phép biến đổi Tietze (T ): Giả sử biểu diễn tùy ý nhóm G, F nhóm tự sinh A N bao đóng chuẩn tắc R F ( G  F N ) Giả sử r N R'  R  r  Khi xác định nhóm đẳng cấu 1 (T ): Giả sử a A w F , r N r  a w Khi xác định nhóm đẳng cấu với nhau, A'  A a R'  R  r Việc chuyển từ biểu diễn biểu diễn khác (T ) (T ) gọi phép biến đổi Tietze Trong [2] chứng minh rằng: Hai biểu diễn hữu hạn có nhóm từ hai biểu diễn tới biểu diễn dãy hữu hạn phép biến đổi Tietze 3.2.3 Định lý Cho biểu diễn P n n m m 1 =  a, b | a  b , a b a b  b  ; P n n m m =  a, b | a  b , a b a b   ; n n m1 m =  a, b | a  b , a b a b  a  ; n n m m =  a, b | a  b , a b a b  b  ; P P 34 n n số tự nhiên, n  m    Khi 2 (i) Gp( (ii) Mon( (iii) Sg( (iv) P P Sg( P Chứng minh i )  Gp( P ), với i = 4, 5, 6, 7; P ) phản đẳng cấu với Mon( P ); P ); ) Sg( P ) tương ứng phản đẳng cấu với Sg( P ) Sg( P ) Chúng ta xét P , P , P , P biểu diễn nhóm )  Sg( 6 cách dùng phép biến đổi Tietze đồng thời cho (i) Chẳng hạn, n n 1 1  m  m Gp( P ) =  a, b | a  b , b a b a    a1, b1 | bn an, b1a1bmam 1  c, d | cn  d n , c d cm d m    Gp P  Để chứng minh (ii), đặt S = Mon( P ) T = Mon( P P P ) đó, n n m m =  a, b | a  b , a b a b   , n n m m =  c, d | c  d , c d c d   Bằng cách định nghĩa f : S  T với f(a) = d, f(b) = c f (1S )  1T nhận f(a b) = c d = f(b) f(a) Khi x, y  S có f(x y) = f(y) f(x) Cũng hệ thức S, chắn có hệ thức theo hướng ngược lại T, S T phản đẳng cấu Lặp lại phép chứng minh Định lý 3.1.6 cho Sg( P ) ta nhận Sg( P ) P ) (Thực tế, iđêan hai phía tối tiểu Sg( P ) đẳng cấu với Gp( P ) Gp ( P ) |Sg(P )| = | Gp ( P )| + (n - 1) ) Bây áp dụng  Sg(  4 phương pháp để chứng minh (iv) 35 Mỗi nhóm trước hết nửa nhóm vị nhóm, có ba biểu diễn: biểu diễn nhóm, biểu diễn vị nhóm biểu diễn nửa nhóm Như nói, nhóm Gp( P1 ) có biểu diễn nhóm cho P n n n 2 2     n =  a, b | a  b , a b a b 1  Phần cuối tiết trình bày biểu diễn nửa nhóm Gp( P ) 3.2.4 Định lý Nhóm Gp( P ) có biểu diễn nửa nhóm sau đây: P =  a, b | b a b a mbm1a  a,   a b a mb m a n a b a mb m1 nb a mb m a  b  m   n  2 m m n n Chứng minh Giả sử E  a b a b u2  a b Khi đó, Gp( P1 ) =  a, b | E  1, u2   r  Bằng cách xét a1  a, a2  b với giả thiết Eil  (và tương ứng, Ei ) kí hiệu hoán vị vòng quanh E bắt đầu (và kết thúc) với ( i  1, ) E2t  phép E bắt đầu kết thúc với a Bây thay E = hệ thức E2t  a1  a1 hệ thức u2  E1l u a E1 r   a u nhận từ u cách thay lần xuất nghịch đảo từ đặc biệt không chứa nghịch đảo xuất từ rỗng E Như vậy, ta nhận được: E1 r   ba mb m a, E2l   E2( t )  b a b a mb m1 , m m 1 t  E =  E2 a  a  b a b a b a  a, E  a b a m b m  E2r   E1(l )  a b a mbm  E , u2   E1l  u b E1r   b 36    n a b a m b m a n a b a mb m1 b b a m b m a  b ( E2 r b 1  a b a m b m b 1  a b a mb m1 ) Từ nhận   m m1 m m n m m1 n m m b a b ab Sg(P )   a, b | b a b a b a  a, a b a b a a b a b 37 KẾT LUẬN Nội dung luận văn gồm vấn đề sau đây: Hệ thống khái niệm tính chất nửa nhóm tự do, vị nhóm tự nhóm tự Trình bày khái niệm tính chất biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm biểu diễn nhóm cấu trúc tự tương ứng Chứng minh chi tiết số kết biểu diễn vị nhóm nửa nhóm hữu hạn mà cấp chúng liên quan đến dãy số Lucas (Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.6, Định lý 3.1.8) Trình bày số cấu trúc phản đẳng cấu (Định lý 3.2.3) biểu diễn nửa nhóm nhóm Gp( P ) (Định lý 3.2.4) 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphớt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [3] K Ahmadidelir, C M Campbell, H Doostie (2009), Two classes of finite semigroups and monoids involving Lucas numbers, Semigroup Forum, 78, 200 209 [4] H Ayik, C M Campbell, J J O’Connor, N Ruskuc (2000), The semigroup efficiency of groups and monoids, Math Proc R Ir Acad 100A, 171 - 176 [5] C M Campbell, E F Robertson, R M Thomas (1993), On a class of semigroups with symmetric presentations, Semigroup Forum, 46, 286 - 306 [6] C M Campbell, E F Robertson, N Ruskuc, R M Thomas (1995), Semigroup and group presentations, Bull Lond Math Soc 27, 46 - 50 [7] C M Campbell, J D Mitchell, N Ruskuc (2002), Comparing semigroup and monoid presentations for finite monoids, Monatsh Math 134, 287 - 293 [8] H Doostie, K Ahmadidelir (2006), A class of Z-metacyclic groups involving the Lucas numbers, Novi Sad J Math., 50., 201- 212 [9] D L Johnson (1997), Presentations of groups, Cambridge University Press, Cambridge [10] E F Robertson, Y Unlu ( 1993), On semigroup presentations, Proc Edinb Math Soc 36, 55- 68 39 [...]... diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm và biểu diễn nhóm, trong đó biểu diễn nửa nhóm phức tạp nhất và biểu diễn nhóm đơn giản nhất Chương 3 liên quan đến bài toán: cho trước một biểu diễn, xét nhóm, vị nhóm và nửa nhóm xác định bởi biểu diễn đó 21 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN LIÊN QUAN VỚI DÃY SỐ LUCAS 3.1 MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN LIÊN QUAN VỚI DÃY SỐ LUCAS Lớp các nhóm. .. là một tập hữu hạn các hệ thức (Tiếc rằng không phải nửa nhóm nào cũng có biểu diễn hữu hạn) 2.1.5 Định nghĩa Giả sử M là một nửa nhóm Một biểu diễn nửa nhóm P (M) = < A | R > được gọi là biểu diễn vị nhóm của M nếu A  a1 , a 2 ,  là một bảng chữ cái và R = {u  vi | i  I } là tập hợp các hệ thức có chứa các hệ thức dạng u i * = 1 sao cho M  A R c , trong đó A* là vị nhóm tự do sinh bởi A và đẳng... trường 5 ) Chú ý rằng nhóm PSL2;5 có cấp bằng 60 2.2.5 Chú ý (i) Giả sử M là một vị nhóm được xác định bởi biểu diễn < A | R > khi đó M là một nửa nhóm được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm A , e | R , ae = ea = a a  A Đảo lại, giả sử M là một vị nhóm được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm < A | R > Tồn tại một từ w  A  biểu diễn đơn vị của M và M được xác định bởi biểu diễn vị nhóm < A | R , w =... r và m = s Điều này có nghĩa B = < a, b| ab =1> chính là một biểu diễn của vị nhóm B   ,  Vị nhóm bixyclic có rất nhiều biểu diễn nửa nhóm Chúng ta quan tâm đến biểu diễn sau: B = 18 2.2 BIỂU DIỄN NHÓM Trước hết ta chú ý đến kết quả sau 2.2.1 Định lý Mọi nhóm đều đẳng cấu với một nhóm thương của một nhóm tự do nào đó Chứng minh Giả sử X là một nhóm. .. nào đó, (m  0, k  0) Do đó vị nhóm M là một vị nhóm giao hoán tự do, và có thể chỉ ra được rằng mỗi vị nhóm giao hoán được sinh bởi hai phần tử là ảnh toàn cấu của M 2 Biểu diễn vị nhóm P (M) = < a,b | aba =1 > xác định một nhóm Thực ra nhóm này đẳng cấu với (  ,+) Thật vậy, giả sử M là một vị nhóm với biểu * diễn trên thì M  A R c trong đó A ={a,b} và R= {aba =1}, và giả sử  : A*  M là toàn... nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biểu diễn đẳng cấu với nhau 2.1.4 Chú ý Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm) đều có biểu diễn Thật vậy, P (S)  A | ker( ) là một biểu diễn như vậy, với  : A  S là toàn cấu biểu diễn Tuy nhiên, nói chung biểu diễn này rất phức tạp Chúng ta sẽ quan tâm nhiều hơn các nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn đó A là một bảng chữ cái hữu hạn và P (S) = < A |... nhóm với biểu diễn hữu hạn P =  a, b | a n n  b ,aba n 2   b n 2   1 đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây Cấp của các nhóm này hữu hạn và phụ thuộc vào dãy số Lucas 3.1.1 Định nghĩa Dãy số u n  được xác định bởi u1  2, u 2 1, u n 2  u n1  u n (n  1) được gọi là dãy số Lucas 3.1.2 Định nghĩa và kí hiệu (i) Giả sử P = < A | R > là một biểu diễn Khi... BIỂU DIỄN NỬA NHÓM BIỂU DIỄN NHÓM 2.1 BIỂU DIỄN NỬA NHÓM BIỂU DIỄN VỊ NHÓM 2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó tồn tại một toàn cấu  : A   S với một nửa nhóm các từ A  nào đó Thế thì S  A Khi đó ker   được gọi là một biểu diễn đồng cấu của S Các chữ cái trong A được gọi là các kí hiệu sinh của S, và nếu u , v   ker  thì u = v (thực ra  u    v  ) được gọi là một hệ thức... (ii) Giả sử A là một bảng chữ cái và A  a | a  A là một bảng chữ cái không giao với A và tương ứng một – một với A Giả sử  R là một tập con của  ( A  A 1 )  A  A 1 Nếu nhóm G được xác định bởi biểu diễn nhóm < A| R > thì G được xác 1 1 định bởi biểu diễn vị nhóm A , A  1 |R , aa  a a  1 ( a   ) và từ đó xác định được biểu diễn nửa nhóm của G theo ( i ) Như vậy một nhóm G cho trước... đó và xác định các nhóm đẳng cấu với nhau, trong đó A'  A a và R'  R  r Việc chuyển từ một biểu diễn đã cho tới một biểu diễn khác như đã chỉ ra trong (T 1 ) và (T 2 ) được gọi là các phép biến đổi Tietze Trong [2] đã chứng minh được rằng: Hai biểu diễn hữu hạn có cùng một nhóm nếu và chỉ nếu từ một trong hai biểu diễn ấy có thể đi tới biểu diễn kia bởi một dãy hữu hạn các phép ... vị nhóm ……………………………… .12 2.2 Biểu diễn nhóm ………………………………………………………….17 Một số lớp nửa nhóm vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas 20 3.1 Một số lớp nửa nhóm vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy. .. VỚI DÃY SỐ LUCAS 3.1 MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN LIÊN QUAN VỚI DÃY SỐ LUCAS Lớp nhóm với biểu diễn hữu hạn P =  a, b | a n n  b ,aba n 2   b n 2   1 nhiều tác giả quan. .. nửa nhóm phức tạp biểu diễn nhóm đơn giản Chương liên quan đến toán: cho trước biểu diễn, xét nhóm, vị nhóm nửa nhóm xác định biểu diễn 21 CHƯƠNG MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN LIÊN QUAN