Biểu diễn nhóm Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm và biểu diễn nhóm với cấu trúc tự do tương ứng cùng với mối liên hệ của chúng đối với một nhóm
Trang 1BÙI THỊ HÀ
MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN
LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ LUCAS
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2013
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
BÙI THỊ HÀ
MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN
LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ LUCAS
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ QUỐC HÁN
Nghệ An - 2013
Trang 32.1 Biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm ……… .12
2.2 Biểu diễn nhóm ……….17
3 Một số lớp nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas 20
3.1 Một số lớp nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas 20
3.2 Các cấu trúc phản đẳng cấu, biểu diễn nửa nhóm của Gp( 1) ………… 31
P
Trang 4n n n
n
b aba b
a b a
là một mở rộng của lớp nhóm tam giác, chúng đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây Cấp của các nhóm này hữu hạn và phụ thuộc vào dãy số Lucas u n cho bởi u1 2 ,u2 1 ,u k2 u k1 u k(k 1 ).
Giả sử Sg( ), Mon( ) và Gp( ) tương ứng là nửa nhóm, vị nhóm và nhóm nhận = < A | > làm một biểu diễn của nó Xét các biểu diễn sau:
|
1
n n n
n
b a b a b a b a
a b a b a b a
n n n
a b a b a b a
n n n
6mod31
2
6mod20
3122
1 1 2
n u
n n
n u
n n
n n
n n
n n n
trong đó u là dãy số Lucas n
Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Two classes of finite semigroups and monoids involving Lucas numbers của các tác giả K
Ahmadidelir, C M Campbell và H Doostie đăng trên tạp chí Semigroup Forum
nếu nếu nếu hoặc
Trang 5số 78 năm 2009 để tìm hiểu tính hữu hạn của các nửa nhóm Sg( i) và vị nhóm
Mon( i ) cùng với mối liên quan giữa chúng với các nhóm Gp( i)
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm ba chương
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi hệ thống các khái niệm và tính chất của nửa nhóm tự do, vị nhóm tự do và nhóm tự do để làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau
Chương 2 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn nhóm
Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm và biểu diễn nhóm với cấu trúc tự do tương ứng cùng với mối liên hệ của chúng đối với một nhóm
Chương 3 Một số lớp nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả biểu diễn đối với các nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn mà cấp của chúng liên quan đến dãy số Lucas Sau đó, chúng tôi trình bày một số cấu trúc phản đẳng cấu và một biểu
diễn nửa nhóm đối với nhóm Gp( 1)
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình chu đáo và hết sức nghiêm khắc của thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo PGS
TS Lê Quốc Hán đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong
tổ Đại số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 19 Đại
số Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm và các thầy cô giáo
P
P
P
P
Trang 6trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học trường Đại học Vinh, Phòng tổ chức trường Đại học Sài Gòn Cảm ơn tập thể lớp Cao học 19 Đại số
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chỉ bảo của Quý thầy, cô và đồng nghiệp
Nghệ An, tháng 8 năm 2013
Tác giả
Trang 7CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 NỬA NHÓM TỰ DO
1.1.1 Định nghĩa Giả sử A là một tập các kí hiệu Chúng ta sẽ gọi A là một bảng
chữ cái và các phần tử của nó là các chữ cái Một dãy hữu hạn các chữ cái gọi là một từ Tập hợp tất cả các từ trên A được kí hiệu bởi
A Chúng ta sẽ viết u v nếu các từ u và v là như nhau
Tập hợp A là một nửa nhóm, được gọi là nửa nhóm các từ trên A, khi
tích được xác định bằng cách ghép các từ liên tiếp vào nhau, nghĩa là tích của các từ w1 a1a2 a n, w2 b1b2 b m (a i,b jA) là từ ww1w2 a1a2 a n b1b2 b m
Khi bổ sung A từ rỗng 1 (mà nó không có chữ cái nào), chúng ta nhận được vị nhóm các từ A* Rõ ràng * 1
1.1.2 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Một tập con X của S được gọi là
sinh ra S một cách tự do nếu X là một tập sinh của S và mỗi ánh xạ 0 :X P (trong đó P là nửa nhóm bất kỳ) có thể mở rộng thành một đồng cấu :S P
sao cho |X0 Khi đó chúng ta sẽ nói rằng là một mở rộng đồng cấu của
ánh xạ 0
Nếu S được sinh tự do bởi một tập nào đó thì S được gọi là nửa nhóm tự
do
Các kết quả sau đã được chứng minh trong [2]
1.1.3 Định lý Đối với bảng chữ cái A tùy ý,
A là một nửa nhóm tự do được sinh
tự do bởi A
Trang 81.1.4 Định lý. Nếu S được sinh tự do bởi X và 0 :X P là một ánh xạ, thì 0 có một mở rộng đồng cấu duy nhất :S P
Kết quả tiếp theo phát biểu rằng mỗi nửa nhóm S là một ảnh đồng cấu của
một nửa nhóm các từ, và do đó các nửa nhóm các từ là cơ sở của các nửa nhóm Mọi nửa nhóm tùy ý có thể được xây dựng trên nửa nhóm các từ
1.1.5 Định lý Đối với mỗi nửa nhóm S, tồn tại một bảng chữ cái A và một toàn
cấu :A S
1.1.6 Hệ quả Mỗi nửa nhóm là một thương của nửa nhóm tự do
1.1.7 Định lý. Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nửa nhóm các từ Avới một bảng chữ cái A nào đó
Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi – Dubreil – Jacotin về nửa nhóm tự do trên sự nhân tử hóa các phần tử của nó
Giả sử X S Chúng ta nói rằng x x1x2 xn là một phân tích thành nhân tử phần tử x trên X nếu mỗi x i X, i 1,2, ,n Nếu X sinh ra S thì mỗi
phần tử x S có một sự nhân tử hóa trên X Nói chung sự phân tích đó không
duy nhất, nghĩa là có thể xảy ra x1x2 x k y1 y2 y m với x k y k nào đó
1.1.8 Định lí Một nửa nhóm S được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi phần tử
x thuộc S có một sự nhân tử hóa duy nhất trên X
Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng khẳng định của Định lí 1.1.8 được thỏa
mãn với nửa nhóm A
Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho |A|= |X| và 0 :X A là một song ánh
Giả thiết rằng X sinh ra S một cách tự do, thế thì với mỗi x Scó một sự
nhân tử hóa trên X vì X sinh ra S Giả sử x1x2 x n y1y2 y m là hai sự nhân tử
hóa của x trên X và là mở rộng đồng cấu của thì x 0 x1 0 x2 0 x n
Trang 9
0 y1 0 y2 0 y m
là hai sự nhân tử hóa của x trên A Vì A thỏa mãn
khẳng định của Định lý, nên ta phải có 0 x i 0 y i với mọi i = 1, 2,…, n (và
m = n) Vì 0 là song ánh nên x i y i , với mọi i = 1, 2,…, n và như vậy S thỏa
là mở rộng đồng cấu của 0 Khi đó là toàn ánh ( vì X sinh ra S )
và là đơn ánh ( vì nếu u v với u,vA,u v nào đó thì u có hai
cách nhân tử hóa khác nhau trên X: trái giả thiết ) Vậy là một song ánh và do
đó là một đẳng cấu Định lý 1.1.8 được chứng minh
1.2 VỊ NHÓM TỰ DO
Không một vị nhóm M nào là nửa nhóm tự do, vì 11.1 Từ đó phần tử
đơn vị 1 không thể có ở trong tập sinh tự do nào của M Nếu 1 được nhân tử
hóa bởi các phần tử x1, x2, , xn thuộc tập sinh của M thì x = 1 x sẽ là hai cách nhân tử hóa khác nhau của x, mâu thuẫn với Định lí 1.1.8
1.2.1 Định nghĩa Vị nhóm M gọi là một vị nhóm tự do được sinh tự do bởi một
tập con X với 1X nếu X 1 là một tập sinh của M và mỗi ánh xạ 0 :X P (trong đó P là một vị nhóm ) mở rộng được thành một đồng cấu vị nhóm duy
nhất :M P, nhĩa là |X 0 và 1M 1P
Từ định nghĩa trên ta có ngay kết quả
1.2.2 Định lý Nếu S là một nửa nhóm tự do thì S1 là vị nhóm tự do
1.2.3 Hệ quả Vị nhóm từ A* là một vị nhóm tự do với mọi bảng chữ cái A
Khẳng định ngược lại của Định lý 1.2.2 cũng đúng
Trang 101.2.4 Định lý Một vị nhóm M là vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M\ 1 là nửa nhóm tự do
Chứng minh Đối với điều kiện ngược lại, tập con M \ 1 là nửa nhóm con của
M Điều đó được thỏa mãn vì nếu không 1M sẽ có hai cách nhân tử hóa khác nhau Phần còn lại của khẳng định suy ra từ định nghĩa của vị nhóm tự do
Những kết quả khác đối với nửa nhóm tự do cũng có thể chuyển sang cho
vị nhóm tự do Nói riêng ta có
1.2.5 Định lý (i) Một vị nhóm M được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi
1
\
M
x có một sự nhân tử hóa duy nhất trên X
(ii) Mỗi vị nhóm là một ảnh đồng cấu của một vị nhóm các từ A*với bảng chữ cái A chọn thích hợp
(iii) Một vị nhóm M là tự do nếu và chỉ nếu M đẳng cấu với một vị nhóm các từ
*
A với bảng chữ cái A nào đó
1.2.6 Định lý Giả sử M là một vị nhóm con của vị nhóm các từ A* Thế thì M tự
Trang 11là một tiền tố của v1 hoặc v1 là tiền tố của u1 Giả sử rằng v1 u1w (trong trường hợp khác lập luận được tiến hành tương tự do tính đối xứng) Khi đó
w , nhưng điều đó mâu thuẫn vì v1u1wB(M) Vậy M tự do
1.2.7 Định lý. Giả sử M i |iI là một họ các vị nhóm con của A* Khi đó
1.3.1 Định nghĩa Giả sử S là một tập hợp tùy ý đã cho Khi đó nhóm F cùng
với ánh xạ f :S F được gọi là nhóm tự do trên tập S nếu thỏa mãn điều kiện:
với mọi ánh xạ g:S X từ S vào nhóm X tùy ý có một đồng cấu duy nhất
X
F
h: sao cho h f g
Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong [2]
1.3.2 Định lý Nếu nhóm F cùng với ánh xạ f :S F là một nhóm tự do trên tập hợp S thì f là một đơn ánh và ảnh f(S) sinh ra F
Trang 121.3.5 Chú ý Như vậy, mọi tập S những phần tử xác định một nhóm tự do chủ
yếu duy nhất ( F, f ) Vì ánh xạ f : S F là đơn ánh nên ta có thể đồng nhất
hóa S với ảnh f(S) của nó trong F Như vậy, tập S đã cho thành một tập con của
F và nó sinh ra F Mọi ánh xạ g :S X từ tập S vào một nhóm X tùy ý đều mở
rộng được thành một đồng cấu duy nhất h : F X
Nhóm F đó được gọi là nhóm tự do sinh bởi tập S đã cho
1.3.6 Định nghĩa Một nhóm G tùy ý cho trước được gọi là nhóm tự do nếu G
đẳng cấu với một nhóm tự do F sinh bởi tập S nào đó
Giả sử j:F G là một đẳng cấu tùy ý và f là cái thu hẹp của j lên S Ảnh
B = f(S) trong G được gọi là một cơ sở của nhóm tự do G Nó có tính chất đặc
trưng là mọi ánh xạ g : B X từ B vào một nhóm X tùy ý đều mở rộng được
thành một đồng cấu duy nhất h : G X
Trang 13CHƯƠNG 2
BIỂU DIỄN NỬA NHÓM BIỂU DIỄN NHÓM
2.1 BIỂU DIỄN NỬA NHÓM BIỂU DIỄN VỊ NHÓM
2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó tồn tại một toàn cấu
được gọi là một biểu diễn đồng cấu của S Các chữ cái trong A được gọi là
các kí hiệu sinh của S, và nếu u,v ker thì u = v (thực ra u v )
được gọi là một hệ thức hay một đẳng thức trong S ( để tránh hiểu nhầm ta viết
v
u nếu các từ u,v bằng nhau trong A)
Như vậy, định nghĩa một biểu diễn của S gồm các kí hiệu sinh
a1,a2,
A và các hệ thức R u i v i |iI, và viết
i I
v u a a
S) , , | i i ( 1 2 hay = < A | >
nếu ker là tương đẳng nhỏ nhất của A chứa các hệ thức u i,v i|iI
Nói riêng u i v i đối với tất cả các u i vi trong
Tập hợp được giả thiết là có tính đối xứng, nghĩa là nếu u v trong R
thì v u cũng được thỏa mãn
Cần nhớ rằng các từ w A không phải là các phần tử của S nhưng được
ánh xạ vào S Chúng ta nói rằng từ w Abiểu diễn phần tử w của S Cùng
một phần tử của S có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau ( bởi các từ
khác nhau ) Nếu u v thì hai từ u, v biểu diễn cùng một phần tử của S Giả sử (S) = < A | > là một biểu diễn Chúng ta chỉ ra rằng S có một hệ thức
Trang 14v u
u2, , k1 các từ sao cho ui 1nhận được từ u i bằng cách thay thế nhân tử
i
u bởi v iđối với u i v inào đó trong
Chính xác hơn, chúng ta nói rằng một từ v là dẫn xuất trực tiếp từ từ u,
nếu u w1u ' w2 và v w1v ' w2 với u’ = v’ nào đó trong
Rõ ràng rằng nếu v được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ v ( vì đối
xứng ) và u w1 u' w2 w1 v' w2 v nên u v là một hệ
thức trong S
Từ v được gọi là dẫn xuất từ u nếu tồn tại một dãy hữu hạn u u1,
v u
u2, , k1 sao cho với tất cả j1,2, ,k1, uj 1 là dẫn xuất trực tiếp từ u i Thế thì, nếu v được dẫn xuất từ u thì sẽ có u v , vì u u1
u u k u k v
2 1 , và do đó u v là một hệ thức trong S Nó có thể
viết thành uu1u2 u k v
Trước khi trình bày một số định lý về biểu diễn nửa nhóm, ta nhắc lại rằng
với mỗi quan hệ trên nửa nhóm S luôn luôn tồn tại một tương đẳng c
trên S
nhỏ nhất chứa ( được gọi là tương đẳng sinh bởi quan hệ )
2.1.2 Định lý. Giả sử (S) = < A| > là một biểu diễn, với đối xứng Thế thì
c u , v | u v hay v được dẫn xuất từ u }
Do đó u = v trong S nếu và chỉ nếu v được dẫn xuất từ u
Chứng minh Ký hiệu là quan hệ xác định bởi: uv nếu và chỉ nếu u = v hoặc
v được dẫn xuất từ u
Rõ ràng i nên phản xạ Vì đối xứng nên đối xứng Tính bắc cầu của là hiển nhiên Vậy là quan hệ tương đương
Nếu w A và v được dẫn xuất từ u thì rõ ràng wv cũng được dẫn xuất từ
wu và vw được dẫn xuất từ uw Vậy là một tương đẳng
Trang 15Giả sử là một tương đẳng sao cho Giả thiết rằng v được dẫn xuất trực tiếp bởi u: u w1 u ' w2, v w1 v ' w2 và u’ = v’ trong Vì nên
u ' v, ' Vì là một tương đẳng nên (w1u'w2, w1v'w2) hay u, v Do
đó, nhờ tính bắc cầu của và có và như vậy là tương đẳng nhỏ nhất chứa , nghĩa là c
Từ Định lí 2.1.2 trực tiếp suy ra
2.1.3 Định lý Giả sử A là một bảng chữ cái và A A là một quan hệ đối xứng Thế thì nửa nhóm S A c có biểu diễn
(S) = < A | u = v với mọi u, v >
Hơn nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biểu diễn đẳng cấu với nhau
2.1.4 Chú ý Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm) đều có biểu diễn Thật vậy, (S)
nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn (S) = < A | >, trong
đó A là một bảng chữ cái hữu hạn và là một tập hữu hạn các hệ thức (Tiếc
rằng không phải nửa nhóm nào cũng có biểu diễn hữu hạn)
2.1.5 Định nghĩa Giả sử M là một nửa nhóm Một biểu diễn nửa nhóm (M) =
< A | > được gọi là biểu diễn vị nhóm của M nếu A a1,a2, là một bảng
chữ cái và ={u i v i |iI} là tập hợp các hệ thức có chứa các hệ thức dạng u
= 1 sao cho M A* c, trong đó A* là vị nhóm tự do sinh bởi A và clà tương đẳng bé nhất trên *
A chứa
2.1.6 Ví dụ 1 Giả sử (M) = < a, b | ab = ba > là một biểu diễn của vị nhóm M
Thế thì M A c trong đó A = {a, b} và = {ab= ba} Có một toàn cấu
Trang 16A *
:
và M được sinh bởi các phần tử x a và y b Vì ab = ba
nên xy a b ab ba b a yx Do đó M là vị nhóm giao hoán vì các phần tử sinh x và y của M giao hoán được với nhau Hơn nữa, mỗi phần tử
a
z 1 2 1 2 .
với m, k nào đó, (m0,k 0) Do đó vị nhóm M là một vị nhóm giao hoán tự
do, và có thể chỉ ra được rằng mỗi vị nhóm giao hoán được sinh bởi hai phần tử
là ảnh toàn cấu của M
2 Biểu diễn vị nhóm (M) = < a,b | aba =1 > xác định một nhóm Thực
ra nhóm này đẳng cấu với (,+) Thật vậy, giả sử M là một vị nhóm với biểu
diễn trên thì M A* c trong đó A ={a,b} và = {aba =1}, và giả sử
z với m0,n0 nào đó Hơn nữa a ba = 1 và ba a
= ab a = 1 nên ba là nghịch đảo của a Tương tự a2 là nghịch đảo của b,
n n1, n0
nếu nếu
P
Trang 17Giả sử T là vị nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên tập hợp và B , là vị nhóm con của T sinh bởi , Khi đó B được gọi là vị nhóm bixyclic Dễ thấy i
l k
k n
k n
của các kí hiệu sinh a và b ) Từ đó là một toàn cấu và B A*ker
Theo trên ab = 1 là một hệ thức trong B Giả sử B là một phần tử tùy
ý của vị nhóm bixyclic, n n1 1 trong đó i hoặc i Vì
trong trường hợp k = r và m = s Điều này có nghĩa B = < a, b| ab =1> chính là
một biểu diễn của vị nhóm B ,
Vị nhóm bixyclic có rất nhiều biểu diễn nửa nhóm Chúng ta quan tâm đến biểu diễn sau:
B = <a, b| aba = aab, a = aab, bab = abb, b = abb>
nếu nếu
nếu nếu
Trang 182.2 BIỂU DIỄN NHÓM
Trước hết ta chú ý đến kết quả sau
2.2.1 Định lý Mọi nhóm đều đẳng cấu với một nhóm thương của một nhóm tự
do nào đó
Chứng minh Giả sử X là một nhóm tùy ý cho trước Ta rút ra một tập con S của
X sinh ra X, chẳng hạn S = X Xét nhóm tự do F sinh bởi tập S Khi đó ánh xạ
Do đó h là một toàn cấu và từ đó X F K trong đó K là hạt nhân của h
2.2.2 Chú ý Giả sử R là một tập các phần tử sinh của nhóm con K của nhóm tự
do F Khi đó F được xác định hoàn toàn bởi tập S và nhóm con chuẩn tắc K được xác định bởi R , do đó nhóm X F K có thể được xác định bằng cách cho tập
S mà các phần tử của nó là các phần tử sinh của X, và tập R (sinh ra K ) được gọi
là tập các hệ thức xác định của X
Khi đó ta nói rằng cặp S và R biểu diễn nhóm X và viết (X) = < S | R >
Từ Định lý 2.2.1 ta thấy rằng mọi nhóm đều có biểu diễn Tuy nhiên, vấn
đề đặt ra là cho trước một nhóm X, cần tìm S là tập sinh tối tiểu của X và R là tập sinh tối tiểu của K
2.2.3 Ví dụ Áp dụng Định lý 2.2.1 ta nhận được các biểu diễn của các nhóm
quen thuộc sau
(i) Nhóm xyclic: Giả sử C là nhóm xyclic vô hạn với phép nhân được sinh
Trang 19(C n) = a | an 1
(ii) Giả sử F là nhóm tự do sinh bởi X Thế thì
(F) = X | Trong khi đó, nếu F n là nhóm Aben hạng n, thế thì
2.2.4 Ví dụ (i) Ta xét ví dụ phức tạp hơn Giả sử SL(2; 7) là nhóm nhân các ma
trận cấp hai trên , với định thức bằng 1 và G = PSL(2; 7) là nhóm thương
SL(2;7) trên tâm của nó Thế thì G chứa các phần tử x, y, t sao cho G x,y,t
1,
1,
1
;1
(ii) Giả sử (G) = x, y|x5 y3 (xy)4 1 Bằng phương pháp đếm lớp ghép,
ta nhận được G SL2;5, trong đó SL2;5 là nhóm nhân các ma trận cấp 2 trên
trường 5 (gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt)
(iii) Giả sử (G1) = x , y | x5 y3 ( xy )2 1 Thế thì G 1 PSL2;5, trong
đó PSL2 ; 5 là nhóm thương của SL2 ; 5 trên tâm của nó ( nhóm PSL2;5 gọi là