Một số lớp nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn liên quan đến dãy số lucas

Biểu diễn nhóm Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm và biểu diễn nhóm với cấu trúc tự do tương ứng cùng với mối liên hệ của chúng đối với một nhóm

BÙI THỊ HÀ

MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN

LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ LUCAS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ HÀ

MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN

LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ LUCAS

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An - 2013

2.1 Biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm ……… .12

2.2 Biểu diễn nhóm ……….17

3 Một số lớp nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas 20

3.1 Một số lớp nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas 20

3.2 Các cấu trúc phản đẳng cấu, biểu diễn nửa nhóm của Gp( 1) ………… 31

P

n n n

n

b aba b

a b a

là một mở rộng của lớp nhóm tam giác, chúng đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây Cấp của các nhóm này hữu hạn và phụ thuộc vào dãy số Lucas  u n cho bởi u1  2 ,u2  1 ,u k2  u k1 u k(k  1 ).

Giả sử Sg( ), Mon( ) và Gp( ) tương ứng là nửa nhóm, vị nhóm và nhóm nhận = < A | > làm một biểu diễn của nó Xét các biểu diễn sau:

|

1

n n n

n

b a b a b a b a

a b a b a b a

n n n

a b a b a b a

n n n

6mod31

2

6mod20

3122

1 1 2

n u

n n

n u

n n

n n

n n

n n n

trong đó  u là dãy số Lucas n

Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Two classes of finite semigroups and monoids involving Lucas numbers của các tác giả K

Ahmadidelir, C M Campbell và H Doostie đăng trên tạp chí Semigroup Forum

nếu nếu nếu hoặc

số 78 năm 2009 để tìm hiểu tính hữu hạn của các nửa nhóm Sg( i) và vị nhóm

Mon( i ) cùng với mối liên quan giữa chúng với các nhóm Gp( i)

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi hệ thống các khái niệm và tính chất của nửa nhóm tự do, vị nhóm tự do và nhóm tự do để làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau

Chương 2 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn nhóm

Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm và biểu diễn nhóm với cấu trúc tự do tương ứng cùng với mối liên hệ của chúng đối với một nhóm

Chương 3 Một số lớp nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn liên quan với dãy số Lucas

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả biểu diễn đối với các nửa nhóm và vị nhóm hữu hạn mà cấp của chúng liên quan đến dãy số Lucas Sau đó, chúng tôi trình bày một số cấu trúc phản đẳng cấu và một biểu

diễn nửa nhóm đối với nhóm Gp( 1)

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình chu đáo và hết sức nghiêm khắc của thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo PGS

TS Lê Quốc Hán đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong

tổ Đại số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 19 Đại

số Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm và các thầy cô giáo

P

P

P

P

trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học trường Đại học Vinh, Phòng tổ chức trường Đại học Sài Gòn Cảm ơn tập thể lớp Cao học 19 Đại số

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chỉ bảo của Quý thầy, cô và đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 8 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 NỬA NHÓM TỰ DO

1.1.1 Định nghĩa Giả sử A là một tập các kí hiệu Chúng ta sẽ gọi A là một bảng

chữ cái và các phần tử của nó là các chữ cái Một dãy hữu hạn các chữ cái gọi là một từ Tập hợp tất cả các từ trên A được kí hiệu bởi 

A Chúng ta sẽ viết u  v nếu các từ u và v là như nhau

Tập hợp A là một nửa nhóm, được gọi là nửa nhóm các từ trên A, khi

tích được xác định bằng cách ghép các từ liên tiếp vào nhau, nghĩa là tích của các từ w1 a1a2 a n, w2 b1b2 b m (a i,b jA) là từ ww1w2 a1a2 a n b1b2 b m

Khi bổ sung A từ rỗng 1 (mà nó không có chữ cái nào), chúng ta nhận được vị nhóm các từ A* Rõ ràng *  1

1.1.2 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Một tập con X của S được gọi là

sinh ra S một cách tự do nếu X là một tập sinh của S và mỗi ánh xạ 0 :X  P (trong đó P là nửa nhóm bất kỳ) có thể mở rộng thành một đồng cấu  :S  P

sao cho  |X0 Khi đó chúng ta sẽ nói rằng  là một mở rộng đồng cấu của

ánh xạ 0

Nếu S được sinh tự do bởi một tập nào đó thì S được gọi là nửa nhóm tự

do

Các kết quả sau đã được chứng minh trong [2]

1.1.3 Định lý Đối với bảng chữ cái A tùy ý, 

A là một nửa nhóm tự do được sinh

tự do bởi A

1.1.4 Định lý. Nếu S được sinh tự do bởi X và 0 :X  P là một ánh xạ, thì 0 có một mở rộng đồng cấu duy nhất :S  P

Kết quả tiếp theo phát biểu rằng mỗi nửa nhóm S là một ảnh đồng cấu của

một nửa nhóm các từ, và do đó các nửa nhóm các từ là cơ sở của các nửa nhóm Mọi nửa nhóm tùy ý có thể được xây dựng trên nửa nhóm các từ

1.1.5 Định lý Đối với mỗi nửa nhóm S, tồn tại một bảng chữ cái A và một toàn

cấu  :A  S

1.1.6 Hệ quả Mỗi nửa nhóm là một thương của nửa nhóm tự do

1.1.7 Định lý. Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nửa nhóm các từ Avới một bảng chữ cái A nào đó

Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi – Dubreil – Jacotin về nửa nhóm tự do trên sự nhân tử hóa các phần tử của nó

Giả sử X  S Chúng ta nói rằng x  x1x2 xn là một phân tích thành nhân tử phần tử x trên X nếu mỗi x i  X, i 1,2, ,n Nếu X sinh ra S thì mỗi

phần tử x  S có một sự nhân tử hóa trên X Nói chung sự phân tích đó không

duy nhất, nghĩa là có thể xảy ra x1x2 x k  y1 y2 y m với x  k y k nào đó

1.1.8 Định lí Một nửa nhóm S được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi phần tử

x thuộc S có một sự nhân tử hóa duy nhất trên X

Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng khẳng định của Định lí 1.1.8 được thỏa

mãn với nửa nhóm A

Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho |A|= |X| và 0 :X  A là một song ánh

Giả thiết rằng X sinh ra S một cách tự do, thế thì với mỗi x  Scó một sự

nhân tử hóa trên X vì X sinh ra S Giả sử x1x2 x n  y1y2 y m là hai sự nhân tử

hóa của x trên X và  là mở rộng đồng cấu của  thì  x 0   x1 0 x2 0 x n

     

0 y1 0 y2 0 y m

 là hai sự nhân tử hóa của  x trên A Vì A thỏa mãn 

khẳng định của Định lý, nên ta phải có 0 x i 0 y i với mọi i = 1, 2,…, n (và

m = n) Vì 0 là song ánh nên x  i y i , với mọi i = 1, 2,…, n và như vậy S thỏa

 là mở rộng đồng cấu của 0 Khi đó  là toàn ánh ( vì X sinh ra S )

và là đơn ánh ( vì nếu  u  v với u,vA,u v nào đó thì  u có hai

cách nhân tử hóa khác nhau trên X: trái giả thiết ) Vậy  là một song ánh và do

đó là một đẳng cấu Định lý 1.1.8 được chứng minh

1.2 VỊ NHÓM TỰ DO

Không một vị nhóm M nào là nửa nhóm tự do, vì 11.1 Từ đó phần tử

đơn vị 1 không thể có ở trong tập sinh tự do nào của M Nếu 1 được nhân tử

hóa bởi các phần tử x1, x2, , xn thuộc tập sinh của M thì x = 1 x sẽ là hai cách nhân tử hóa khác nhau của x, mâu thuẫn với Định lí 1.1.8

1.2.1 Định nghĩa Vị nhóm M gọi là một vị nhóm tự do được sinh tự do bởi một

tập con X với 1X nếu X  1 là một tập sinh của M và mỗi ánh xạ 0 :X  P (trong đó P là một vị nhóm ) mở rộng được thành một đồng cấu vị nhóm duy

nhất :M  P, nhĩa là  |X 0 và  1M  1P

Từ định nghĩa trên ta có ngay kết quả

1.2.2 Định lý Nếu S là một nửa nhóm tự do thì S1 là vị nhóm tự do

1.2.3 Hệ quả Vị nhóm từ A* là một vị nhóm tự do với mọi bảng chữ cái A

Khẳng định ngược lại của Định lý 1.2.2 cũng đúng

1.2.4 Định lý Một vị nhóm M là vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M\ 1 là nửa nhóm tự do

Chứng minh Đối với điều kiện ngược lại, tập con M \ 1 là nửa nhóm con của

M Điều đó được thỏa mãn vì nếu không 1M sẽ có hai cách nhân tử hóa khác nhau Phần còn lại của khẳng định suy ra từ định nghĩa của vị nhóm tự do

Những kết quả khác đối với nửa nhóm tự do cũng có thể chuyển sang cho

vị nhóm tự do Nói riêng ta có

1.2.5 Định lý (i) Một vị nhóm M được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi

 1

\

M

x  có một sự nhân tử hóa duy nhất trên X

(ii) Mỗi vị nhóm là một ảnh đồng cấu của một vị nhóm các từ A*với bảng chữ cái A chọn thích hợp

(iii) Một vị nhóm M là tự do nếu và chỉ nếu M đẳng cấu với một vị nhóm các từ

*

A với bảng chữ cái A nào đó

1.2.6 Định lý Giả sử M là một vị nhóm con của vị nhóm các từ A* Thế thì M tự

là một tiền tố của v1 hoặc v1 là tiền tố của u1 Giả sử rằng v1 u1w (trong trường hợp khác lập luận được tiến hành tương tự do tính đối xứng) Khi đó

w  , nhưng điều đó mâu thuẫn vì v1u1wB(M) Vậy M tự do

1.2.7 Định lý. Giả sử M i |iI là một họ các vị nhóm con của A* Khi đó

1.3.1 Định nghĩa Giả sử S là một tập hợp tùy ý đã cho Khi đó nhóm F cùng

với ánh xạ f :S  F được gọi là nhóm tự do trên tập S nếu thỏa mãn điều kiện:

với mọi ánh xạ g:S  X từ S vào nhóm X tùy ý có một đồng cấu duy nhất

X

F

h:  sao cho h f  g

Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong [2]

1.3.2 Định lý Nếu nhóm F cùng với ánh xạ f :S  F là một nhóm tự do trên tập hợp S thì f là một đơn ánh và ảnh f(S) sinh ra F

1.3.5 Chú ý Như vậy, mọi tập S những phần tử xác định một nhóm tự do chủ

yếu duy nhất ( F, f ) Vì ánh xạ f : S  F là đơn ánh nên ta có thể đồng nhất

hóa S với ảnh f(S) của nó trong F Như vậy, tập S đã cho thành một tập con của

F và nó sinh ra F Mọi ánh xạ g :S  X từ tập S vào một nhóm X tùy ý đều mở

rộng được thành một đồng cấu duy nhất h : F  X

Nhóm F đó được gọi là nhóm tự do sinh bởi tập S đã cho

1.3.6 Định nghĩa Một nhóm G tùy ý cho trước được gọi là nhóm tự do nếu G

đẳng cấu với một nhóm tự do F sinh bởi tập S nào đó

Giả sử j:F G là một đẳng cấu tùy ý và f là cái thu hẹp của j lên S Ảnh

B = f(S) trong G được gọi là một cơ sở của nhóm tự do G Nó có tính chất đặc

trưng là mọi ánh xạ g : B  X từ B vào một nhóm X tùy ý đều mở rộng được

thành một đồng cấu duy nhất h : G  X

CHƯƠNG 2

BIỂU DIỄN NỬA NHÓM BIỂU DIỄN NHÓM

2.1 BIỂU DIỄN NỬA NHÓM BIỂU DIỄN VỊ NHÓM

2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó tồn tại một toàn cấu

 được gọi là một biểu diễn đồng cấu của S Các chữ cái trong A được gọi là

các kí hiệu sinh của S, và nếu u,v ker thì u = v (thực ra   u  v )

được gọi là một hệ thức hay một đẳng thức trong S ( để tránh hiểu nhầm ta viết

v

u  nếu các từ u,v bằng nhau trong A)

Như vậy, định nghĩa một biểu diễn của S gồm các kí hiệu sinh

a1,a2, 

A  và các hệ thức R  u i v i |iI, và viết

i I

v u a a

S) , , | i  i ( 1 2 hay = < A | >

nếu ker  là tương đẳng nhỏ nhất của A chứa các hệ thức  u i,v i|iI

Nói riêng  u i  v i đối với tất cả các u i vi trong

Tập hợp được giả thiết là có tính đối xứng, nghĩa là nếu u  v trong R

thì v  u cũng được thỏa mãn

Cần nhớ rằng các từ w  A không phải là các phần tử của S nhưng được

ánh xạ vào S Chúng ta nói rằng từ w  Abiểu diễn phần tử  w của S Cùng

một phần tử của S có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau ( bởi các từ

khác nhau ) Nếu  u  v thì hai từ u, v biểu diễn cùng một phần tử của S Giả sử (S) = < A | > là một biểu diễn Chúng ta chỉ ra rằng S có một hệ thức

v u

u2, , k1  các từ sao cho ui 1nhận được từ u i bằng cách thay thế nhân tử

i

u bởi v iđối với u  i v inào đó trong

Chính xác hơn, chúng ta nói rằng một từ v là dẫn xuất trực tiếp từ từ u,

nếu u  w1u ' w2 và v  w1v ' w2 với u’ = v’ nào đó trong

Rõ ràng rằng nếu v được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ v ( vì đối

xứng ) và  u      w1  u'  w2      w1  v'  w2  v nên u  v là một hệ

thức trong S

Từ v được gọi là dẫn xuất từ u nếu tồn tại một dãy hữu hạn u  u1,

v u

u2, , k1  sao cho với tất cả j1,2, ,k1, uj 1 là dẫn xuất trực tiếp từ u i Thế thì, nếu v được dẫn xuất từ u thì sẽ có  u  v , vì  u  u1 

 u u k   u k  v

 2   1   , và do đó u  v là một hệ thức trong S Nó có thể

viết thành uu1u2  u k v

Trước khi trình bày một số định lý về biểu diễn nửa nhóm, ta nhắc lại rằng

với mỗi quan hệ  trên nửa nhóm S luôn luôn tồn tại một tương đẳng c

 trên S

nhỏ nhất chứa  ( được gọi là tương đẳng sinh bởi quan hệ  )

2.1.2 Định lý. Giả sử (S) = < A| > là một biểu diễn, với đối xứng Thế thì

c     u , v | u  v hay v được dẫn xuất từ u }

Do đó u = v trong S nếu và chỉ nếu v được dẫn xuất từ u

Chứng minh Ký hiệu  là quan hệ xác định bởi: uv nếu và chỉ nếu u = v hoặc

v được dẫn xuất từ u

Rõ ràng i nên  phản xạ Vì đối xứng nên đối xứng Tính bắc cầu của  là hiển nhiên Vậy là quan hệ tương đương

Nếu w  A và v được dẫn xuất từ u thì rõ ràng wv cũng được dẫn xuất từ

wu và vw được dẫn xuất từ uw Vậy  là một tương đẳng

Giả sử  là một tương đẳng sao cho  Giả thiết rằng v được dẫn xuất trực tiếp bởi u: u  w1 u ' w2, v  w1 v ' w2 và u’ = v’ trong Vì  nên

u ' v, ' Vì  là một tương đẳng nên (w1u'w2, w1v'w2) hay  u, v  Do

đó, nhờ tính bắc cầu của  và  có   và như vậy  là tương đẳng nhỏ nhất chứa , nghĩa là c  

Từ Định lí 2.1.2 trực tiếp suy ra

2.1.3 Định lý Giả sử A là một bảng chữ cái và  A A là một quan hệ đối xứng Thế thì nửa nhóm S A c có biểu diễn

(S) = < A | u = v với mọi u, v >

Hơn nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biểu diễn đẳng cấu với nhau

2.1.4 Chú ý Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm) đều có biểu diễn Thật vậy, (S)

nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn (S) = < A | >, trong

đó A là một bảng chữ cái hữu hạn và là một tập hữu hạn các hệ thức (Tiếc

rằng không phải nửa nhóm nào cũng có biểu diễn hữu hạn)

2.1.5 Định nghĩa Giả sử M là một nửa nhóm Một biểu diễn nửa nhóm (M) =

< A | > được gọi là biểu diễn vị nhóm của M nếu A a1,a2, là một bảng

chữ cái và ={u i v i |iI} là tập hợp các hệ thức có chứa các hệ thức dạng u

= 1 sao cho M  A* c, trong đó A* là vị nhóm tự do sinh bởi A và clà tương đẳng bé nhất trên *

A chứa

2.1.6 Ví dụ 1 Giả sử (M) = < a, b | ab = ba > là một biểu diễn của vị nhóm M

Thế thì M A c trong đó A = {a, b} và = {ab= ba} Có một toàn cấu

A *

:

 và M được sinh bởi các phần tử x  a và y  b Vì ab = ba

nên xy   a  b  ab  ba    b  a yx Do đó M là vị nhóm giao hoán vì các phần tử sinh x và y của M giao hoán được với nhau Hơn nữa, mỗi phần tử

a

z 1  2   1 2   . 

với m, k nào đó, (m0,k 0) Do đó vị nhóm M là một vị nhóm giao hoán tự

do, và có thể chỉ ra được rằng mỗi vị nhóm giao hoán được sinh bởi hai phần tử

là ảnh toàn cấu của M

2 Biểu diễn vị nhóm (M) = < a,b | aba =1 > xác định một nhóm Thực

ra nhóm này đẳng cấu với (,+) Thật vậy, giả sử M là một vị nhóm với biểu

diễn trên thì M  A* c trong đó A ={a,b} và = {aba =1}, và giả sử

z  với m0,n0 nào đó Hơn nữa a ba = 1 và ba a

= ab a = 1 nên ba là nghịch đảo của a Tương tự a2 là nghịch đảo của b,

 n  n1, n0

nếu nếu

P

Giả sử T là vị nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên tập hợp  và B , là vị nhóm con của T sinh bởi ,  Khi đó B được gọi là vị nhóm bixyclic Dễ thấy i

l k



k n

k n

của các kí hiệu sinh a và b ) Từ đó  là một toàn cấu và B  A*ker

Theo trên ab = 1 là một hệ thức trong B Giả sử   B là một phần tử tùy

ý của vị nhóm bixyclic,   n n1 1 trong đó  i   hoặc  i   Vì

trong trường hợp k = r và m = s Điều này có nghĩa B = < a, b| ab =1> chính là

một biểu diễn của vị nhóm B ,

Vị nhóm bixyclic có rất nhiều biểu diễn nửa nhóm Chúng ta quan tâm đến biểu diễn sau:

B = <a, b| aba = aab, a = aab, bab = abb, b = abb>

nếu nếu

nếu nếu

2.2 BIỂU DIỄN NHÓM

Trước hết ta chú ý đến kết quả sau

2.2.1 Định lý Mọi nhóm đều đẳng cấu với một nhóm thương của một nhóm tự

do nào đó

Chứng minh Giả sử X là một nhóm tùy ý cho trước Ta rút ra một tập con S của

X sinh ra X, chẳng hạn S = X Xét nhóm tự do F sinh bởi tập S Khi đó ánh xạ

Do đó h là một toàn cấu và từ đó X  F K trong đó K là hạt nhân của h

2.2.2 Chú ý Giả sử R là một tập các phần tử sinh của nhóm con K của nhóm tự

do F Khi đó F được xác định hoàn toàn bởi tập S và nhóm con chuẩn tắc K được xác định bởi R , do đó nhóm X  F K có thể được xác định bằng cách cho tập

S mà các phần tử của nó là các phần tử sinh của X, và tập R (sinh ra K ) được gọi

là tập các hệ thức xác định của X

Khi đó ta nói rằng cặp S và R biểu diễn nhóm X và viết (X) = < S | R >

Từ Định lý 2.2.1 ta thấy rằng mọi nhóm đều có biểu diễn Tuy nhiên, vấn

đề đặt ra là cho trước một nhóm X, cần tìm S là tập sinh tối tiểu của X và R là tập sinh tối tiểu của K

2.2.3 Ví dụ Áp dụng Định lý 2.2.1 ta nhận được các biểu diễn của các nhóm

quen thuộc sau

(i) Nhóm xyclic: Giả sử C là nhóm xyclic vô hạn với phép nhân được sinh

(C n) = a | an  1

(ii) Giả sử F là nhóm tự do sinh bởi X Thế thì

(F) = X | Trong khi đó, nếu F n là nhóm Aben hạng n, thế thì

2.2.4 Ví dụ (i) Ta xét ví dụ phức tạp hơn Giả sử SL(2; 7) là nhóm nhân các ma

trận cấp hai trên , với định thức bằng 1 và G = PSL(2; 7) là nhóm thương

SL(2;7) trên tâm của nó Thế thì G chứa các phần tử x, y, t sao cho G  x,y,t

1,

1,

1

;1

(ii) Giả sử (G) = x, y|x5  y3 (xy)4 1 Bằng phương pháp đếm lớp ghép,

ta nhận được G  SL2;5, trong đó SL2;5 là nhóm nhân các ma trận cấp 2 trên

trường 5 (gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt)

(iii) Giả sử (G1) = x , y | x5  y3  ( xy )2  1 Thế thì G 1 PSL2;5, trong

đó PSL2 ; 5 là nhóm thương của SL2 ; 5 trên tâm của nó ( nhóm PSL2;5 gọi là