Một số tính chất về biểu diễn của nửa nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ LUYẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ LUYẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên nghành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN QUỐC THƠ NGHỆ AN - 2013 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các khái niệm biểu diễn nhóm hữu hạn đặc trưng nhóm 1.1 Khái niệm biểu diễn đặc trưng biểu diễn 1.2 Biểu diễn qui - Biểu diễn bất khả quy 1.3 Biểu diễn cuả nhóm Abel 22 1.4 Biểu diễn nhóm hoán vị 24 1.5 Bảng đặc trưng vài ý nghĩa bảng đặc trưng 29 Một số tính chất biểu diễn tuyến tính nhóm hữu hạn 35 2.1 Mở rộng Định lý Maschke chiều ngược Bổ đề Schur 35 2.2 Mối liên hệ giữ tích tenxơ biểu diễn đối ngẫu 41 2.3 Ví dụ minh hoạ 45 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 MỞ ĐẦU Lý thuyết biểu diễn có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng nhóm Abel phát biểu cho nhóm xyclic Gauss, Dirichlat sau mở rộng sang nhóm Abel hữu hạn Frobenius, Burnside Schur Các nhà khoa học nhận thấy biểu diễn nhóm đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu nhóm hữu hạn trừu tượng Trong sách biểu diễn nhóm xuất vào năm 1911 chứa nhiều kết quan trọng nhóm trừu tượng chứng minh cách dùng đặc trưng nhóm Kết quan trọng Định lý Burnside Nói cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách mà nhóm tác động không gian véctơ tự đẳng cấu tuyến tính Lý thuyết biểu diễn nhóm không phần quan trọng đại số đại mà có nhiều ứng dụng quan trọng lý thuyết số, tổ hợp Vật lý Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương 1: Các khái niệm biểu diễn nhóm hữu hạn đặc trưng nhóm Trong chương trình bày khái niệm bản, tổng quát biểu diễn tuyến tính nhóm hữu hạn, đặc trưng biểu diễn, biểu diễn quy, biểu diễn bất khả quy, biểu diễn nhóm Abel, biểu diễn nhóm hoán vị, bảng đặc trưng ý nghĩa bảng đặc trưng Chương 2: Một số tính chất biểu diễn tuyến tính nhóm hữu hạn: Mở rộng Định lý Maschke, chiều ngược Bổ đề Shur, mối liên hệ tích tenxơ biểu diễn đối ngẫu, Điều kiện cần để đặc trưng bất khả quy chiều, thác triển đặc trưng, lập bảng đặc trưng nhóm S5 A5 Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu xắc tới người thầy, người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Quốc Thơ, nhờ hướng dẫn bảo tận tình thầy mà luận văn hoàn thành cách có khoa học tiến độ Xin chân thành cảm ơn thầy cô công tác Đại học Vinh Đại học Sài Gòn trực tiếp giảng dạy quan tâm, cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng chắn luận văn có nhiều sai sót, tác giả mong muốn nhận bảo quý báu thầy cô bạn học viên Vinh, tháng 08 năm 2013 Tác giả CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ĐẶC TRƯNG NHÓM 1.1 Khái niệm biểu diễn đặc trưng biểu diễn Giả sử G nhóm hữu hạn, K trường, E không gian véctơ hữu hạn chiều K 1.1.1 Định nghĩa Một biểu diễn (tuyến tính) G E đồng cấu nhóm ϕ : G −→ GL(E) từ G vào nhóm GL(E) tự đẳng cấu tuyến tính E Kí hiệu ϕ(s) ϕs với s ∈ G ta có: ϕst = ϕs ϕt ϕe = idV ϕs−1 = ϕ−1 s với s, t ∈ G e đơn vị nhóm G E gọi không gian biểu diễn G (hay đơn giản, G-không gian) Số chiều E K gọi cấp biểu diễn Nếu K = Q, R C ta nói ϕ biểu diễn hữu tỉ, thực phức (tương ứng) G Biểu diễn ϕ gọi trung thành đơn cấu nhóm; ϕ gọi tầm thường ϕs = idE diễn E = K ϕs = idK , (∀s ∈ G) gọi 1-biểu (∀s ∈ G) Ví dụ : Biểu diễn cấp Mỗi biểu diễn cấp G đồng cấu ϕ : G −→ K ∗ = K \ {0} Thật vậy, xét E không gian véctơ chiều K có sở {w} Giả sử: ϕ : G −→ GL(E) biểu diễn G Khi đó, với s ∈ G, w ∈ E ta có: ϕs w = ks w (ks ∈ K ∗ ) ϕs w = (ks idE )(w) ⇒ϕs = ks idE Đồng ks idE với ks ta có ánh xạ: ϕ : G −→ K ∗ s −→ ks đồng cấu Thật vậy, ϕ đồng cấu nên: ϕst = ϕs ϕt ⇒ kst = ks kt ⇒ϕ st = ϕs ϕt Ta đồng ϕ với ϕ Khi xem ϕ : G −→ K ∗ đồng cấu Giả sử |G| = g , sg = e ⇒ ϕgs = ϕe = Vậy ϕs bậc g đơn vị K ∗ Ví dụ : Biểu diễn nhóm Sn Giả sử G = Sn nhóm đối xứng bậc n E không gian véctơ n chiều K với sở {v1 , v2 , , } Xét ánh xạ ϕ : G −→ GL(E) s −→ ϕs (vi ) = vs(i) i ∈ {1, 2, , n} Khi ϕ biểu diễn nhóm G Thật vậy, ∀s, t ∈ Sn , ta có ϕst (vi ) = vst(i) = vs(t(i)) = ϕs (vt(i) ) = ϕs ϕt (vi ) ⇒ ϕst = ϕs ϕt ⇒ϕ đồng cấu Chứng minh ϕs ∈ GL(E) Ta có ϕs ϕ−1 s = ϕs ϕs−1 = ϕe (e đơn vị Sn ) ⇒ ϕs ϕs−1 (vi ) = ϕe (vi ) = ve(i) = vi ⇒ ϕs ϕs−1 = idE ⇒ϕs ∈ GL(E) Vậy ϕ biểu diễn G Từ trở đi, giả thiết K = C, tức xét biểu diễn phức 1.1.2 Định nghĩa Giả sử E không gian véctơ hữu hạn n chiều trường K f : E −→ E phép biến đổi tuyến tính có ma trận A = (aij )i,j với sở {e1 , e2 , , en } E Khi đó: n T r(f ) = aii i=1 gọi vết f Ta thấy vết f định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn sở Thật vậy, giả sử f có ma trận A = (aij )i,j B = (bij )i,j ứng với sở {e1 , e2 , , en } {e1 , e2 , , en } Khi tồn ma trận khả nghịch T cấp n cho A = T BT −1 Xét đa thức đặc trưng f là: P (λ) = det(A − λI) = (−1)n λn + (−1)n−1 αn−1 λn−1 + + α0 Mặt khác det(A−λI) = det(T BT −1 −λI) = detT.det(B−λI).detT −1 = det(B−λI) n n aii = αn−1 = Do i=1 bii i=1 Vậy vết f không phụ thuộc vào việc chọn sở 1.1.3 Định nghĩa Giả sử ϕ : G −→ GL(E) biểu diễn G không gian véctơ E Hàm số χϕ : G −→ C định nghĩa công thức: χϕ (s) = T r(ϕs ) (s ∈ G) gọi đặc trưng biểu diễn ϕ Đặc trưng 1-biểu diễn gọi 1-đặc trưng 1.1.4 Mệnh đề Nếu χ đặc trưng biểu diễn ϕ có cấp n (i.) χ(e) = n (ii.) χ(s−1 ) = χ(s) ∀s ∈ G (iii.) χ(sts−1 ) = χ(t) ∀s, t ∈ G Chứng minh i) χ(e) = T r(ϕe ) = T r(idE ) = n ii) Vì G có cấp hữu hạn, nên s ∈ G có cấp hữu hạn, giả sử s có cấp m Ta có sm = e ⇒ (ϕs )m = ϕsm = ϕe = idE Giả sử λ1 , λ2 , λn giá trị riêng ϕs Khi λm i = (i = 1, n) ⇒|λi |= λi = λ−1 i Vậy χ(s−1 ) = T r(ϕs−1 ) = T r(ϕ−1 s ) = n = n i=1 λ−1 i n λi = i=1 −1 λi = T r(ϕs ) = χ(s) i=1 iii) Ta có: χ(sts ) = T r(ϕsts−1 ) = T r(ϕs ϕt ϕs−1 ) = T r(ϕt ) = χ(t) ✷ Giữ nguyên ký hiệu Mệnh đề 1.1.4 ta có: 1.1.5 Nhận xét Giá trị hàm đặc trưng χ(s) s ∈ G tổng n bậc m đơn vị, m cấp s |χ(s)| ≤ n, dấu “=” xảy ϕs = λ.idE với λ ∈ K *Đặc biệt χs = χe ϕs = idE Chứng minh Với s ∈ G ta có: n χ(s) = T rϕs = λi , mà theo chứng minh Mệnh đề 1.1.4 λi i=1 bậc m đơn vị Do χ(s) tổng n bậc m đơn vị ⇒|χ(s)| = |λ1 + λ2 + + λn | ≤ |λ1 | + |λ2 | + + |λn | = n *) Nếu |χ(s)| = n Ta có: n = |λ1 + λ2 + + λn | ≤ |λ1 + λ2 + + λn−1 | + |λn | ≤ ≤ |λ1 + λ2 | + |λ3 | + + |λn | ≤ |λ1 | + |λ2 | + |λ3 | + + |λn | = n Suy |λ1 + λ2 + + λn | = |λ1 + λ2 + + λn−1 | + |λn | = = |λ1 | + |λ2 | + |λ3 |+ +|λn | Hơn nữa, λi λj số phức nên |λi +λj | = |λi |+|λj | λi = kλj (với k số thực dương) Đặt Suy λ1 = λ2 = = λn = λ Theo chứng minh Mệnh đề 1.1.4 ta có ϕm s = idE λi = λ (i = 1, n) giá trị riêng ϕs Nên ϕs thoả phương trình: X m = idE (X − λidE )n = hay X m − λm = (vì λm = 1) (X − λ)n = Gọi h(X) ước chung lớn hai đa thức này, ta thấy h(X) = X − λ (vì X m − λm nghiệm bội) Do ϕs = λidE m Ngược lại, giả sử ϕs = λidE Ta có idE = ϕe = ϕm s = λ idE ⇒λm = ⇒ |λ| = ⇒ |χ(s)| = |nλ| = n|λ| = n *) Đặc biệt χ(s) = χ(e) ⇔ ϕs = λidE (theo chứng minh trên), với λ = λi giá trị riêng ϕs Mặt khác n = χ(e) = χ(s) = nλ ⇒ λ = ⇒ ϕs = idE Vậy ta có điều phải chứng minh ✷ 1.1.6 Định nghĩa Cho hai biểu diễn nhóm G là: ϕ : G −→ GL(E) ψ : G −→ GL(F ) Khi tổng trực tiếp ϕ ⊕ ψ : G −→ GL(E) tích tenxơ ϕ ⊗ ψ : G −→ GL(E ⊗ F ) chúng định nghĩa sau: (ϕ ⊕ ψ)s (v, w) = (ϕs (v), ψs (w)) (ϕ ⊗ ψ)s (v ⊗ w) = ϕs (v) ⊗ ψs (w) 1.1.7 Mệnh đề Giả sử χϕ , χψ đặc trưng biểu diễn ϕ : G −→ GL(E) ψ : G −→ GL(F ) tương ứng Khi (i) Đặc trưng χ⊕ biểu diễn tổng trực tiếp ϕ ⊕ ψ χϕ + χψ (ii) Đặc trưng χ⊗ biểu diễn tích tenxơ ϕ ⊗ ψ χϕ χψ Chứng minh i) Giả sử ϕs ψs cho ma trận Φs Ψs sở {e1 , e2 , , en } E {ε1 , ε2 , , εm } F Ta có (ϕ ⊕ ψ)s (v, w) = (ϕs (v), ψs (w)) ⇒ biểu diễn ϕ ⊕ ψ cho Φ ma trận ⊕s = 0s Ψ sở {e1 , e2 , , en , ε1 , ε2 , , εm } s ⇒Tr(⊕s ) = T r(Φs ) + T r(Ψs ) ⇒ χ⊕ = χϕ + χψ ii) Giả sử Φs = (Φij(s) ) Ψs = (Ψkl (s)) Suy χϕ (s) = Φii (s) χψ (s) = i Do χ⊗ (s) = i,k Ψkk (s) k Φii (s).Ψkk (s) = χϕ (s).χψ (s) ✷ 43 Thật vậy: Gọi {v1 , v2 , , } sở V; {f1 , f2 , , fn } sở đối k = i ngẫu V ∗ , fi (vk ) = k = i Khi đó, lấy s ∈ G, giả sử ϕs có ma trận sở {vi }1,n là: a11 · · · a1n [ϕs ] = · · · · · · · · · an1 · · · ann n ⇒ χs = T rϕs = aii i=1 (*) Ta tìm χ∗s , tức cần tìm ma trận [ϕ∗s ] [ϕ∗s−1 ] Với i= 1,2, n ta có: Đ/nϕ∗ ϕ∗s−1 fi (vj ) = ϕs (vj ), fi = fi (ϕs (vj )) = fi ϕs (vj ), j ∈ {1, n} = fi (a1j v1 + + anj ) = aij ∗ ⇒ϕ s−1 (fi ) = ai1 f1 + ai2 f2 + + ain fn (i = 1, n) ∗   ϕs∗−1 (f1 ) = a11 f1 + a12 f2 + + a1n fn ϕ (f ) = a f + a22 f2 + + a2n fn ⇒ · ·s·−1 · · · 21   ∗ ϕs−1 (fn ) = an1 f1 + an2 f2 + + ann fn a11 · · · an1 ∗ ⇒ [ϕs−1 ] = · · · · · · · · · = [ϕs ]T a1n · · · ann ∗ ⇒ [ϕs ] = [ϕs−1 ]T Do χ∗ (s) = T r(ϕ∗s ) = T r[ϕs−1 ]T = T r[ϕs−1 ] = χs−1 = χs Vậy χ∗ = χ ✷ 2.2.2 Mệnh đề (Mối liên hệ tích tenxơ biểu diễn đối ngẫu) Giả sử ϕ ψ hai biểu diễn bất khả quy G Khi 1-biểu diễn G xuất phân tích ϕ ⊗ ψ với hệ số khác không ϕ đẳng cấu với biểu diễn đối ngẫu ψ ∗ ψ Trong trường hợp ngược lại χϕ , χ ψ = Chứng minh Gọi χϕ , χψ đặc trưng bất khả quy ϕ ψ , χ1 đặc trưng 1-biểu diễn G Theo (2.2.1) ta có đặc trưng biểu diễn đối ngẫu ψ ∗ χψ∗ = χ Theo (1.2.12) số lần xuất 1-biểu diễn G ϕ ⊗ χ là: đặt χϕ⊗ψ , χ1 = a0 44 ⇔ χϕ χψ , χ1 = a0 ⇔ χϕ (σ)χψ (σ).χ1 (σ) = a0 |G| σ∈G χϕ (σ)χψ (σ) = a0 ⇔ |G| σ∈G ⇔ χϕ , χψ = a0 ⇔ χϕ , χψ∗ = a0 Do χϕ , χψ∗ = a0 = ϕ ≈ ψ ∗ (Định lý 1.2.9 ϕ ψ ∗ biểu diễn bất khả quy) Trường hợp ngược lại, 1-biểu diễn không xuất phân tích ϕ ⊗ ψ χϕ⊗ψ , χ1 = 0⇔ χϕ , χψ∗ = ⇔ χϕ , χψ = ✷ 2.2.3 Mệnh đề (Nhóm đối ngẫu) Giả sử G nhóm Abel hữu hạn G tập hợp tất đặc trưng bất khả quy G Nếu χ1 , χ2 ∈ G χ1 χ2 ∈ G Hơn (G, ) nhóm Abel có cấp |G|, gọi nhóm đối ngẫu G 2.2.4 Mệnh đề (Thác triển đặc trưng) Giả sử G nhóm Abel hữu hạn; B ≤ G Khi đó, đặc trưng bất khả qui B thác triển thành đặc trưng bất khả quy G số thác triển [G:B] Chứng minh Giả sử G nhóm Abel cấp n, B nhóm G [G:B]=m, χ0 đăc trưng bất khả quy B Ta cần chứng minh tồn m đặc trưng bất khả quy G cho thu hẹp lên B χ0 Gọi {τi }1,m m đặc trưng bất khả quy khác nhóm Abel G/B Theo Bổ đề 1.5.2 ta thu m đặc trưng bất khả quy khác nhóm Abel G là: {χi }1,m với χi = τi η η : G −→ G/N phép chiếu tự nhiên Ta bổ sung vào (n-m) đặc trưng bất khả quy G cho {χi }1,n n đặc trưng bất khả quy khác G 45 Gọi χj = χj |B : B −→ C x −→ χj (x) ∀j = 1, n Khi {χi }1,n n đặc trưng bất khả quy B (Không thiết phân biệt, |B| ≤ n B nhóm Abel) Ta thấy: χi = χj ⇔ χi |B = χj |B ⇔ χi |B , χj |B = ⇔ (χi χj )|B = (*) Đặt τij (x) = (χi χj )(x), với x ∈ G; x = xB Khi đó: (*) ⇔ τij đặc trưng bất khả quy G/B ⇔ ∃k ∈ {1, m} : τij (x) = χk (x), ∀x ∈ G ⇔ χi χj = χk , k ∈ {1, m} ⇔ χi χj ∈ H (Với H = {χ1 , χ2 , , χm } ≤ G = {χ1 , χ2 , , χn } nhóm đối ngẫu G.) ⇔ χi ∈ χj H Như χi = χj ⇔ χi ∈ χj H Do đó, tất phần tử lớp tương đương thuộc G/H thu hẹp B cho đặc trưng bất khả quy B Hơn nữa, số phần tử phân biệt tập thương G/H n/m Vậy n đặc trưng bất khả quy G thu hẹp B cho ta n/m đặc trưng bất khả quy B đặc trưng bất khả quy B thu hẹp m đặc trưng bất khả quy G Ta có điều phải chứng minh 2.2.5 Mệnh đề (Điều kiện cần để đặc trưng bất khả quy đặc trưng chiều) Giả sử χ đặc trưng bất khả quy nhóm G thoả z = χ(e) > Khi đó, tồn g ∈ G \ {e} cho χ(g) = 2.3 Ví dụ minh hoạ 2.3.1 Ví dụ Biểu diễn G = a n = {a ∈ G\an = e} nhóm xyclic cấp n Vì G nhóm xyclic nên G nhóm Abel Do lớp liên hợp 46 G có phần tử, tức G có n lớp liên hợp Suy G có n biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu với (Định lý 1.2.25) Vì G nhóm Aben nên theo Định lý 1.3.5 suy biểu diễn bất khả quy G có cấp Do G có n biểu diễn bất khả quy không đẳng cấu với có cấp Gọi ϕ : G −→ C \ {0} biểu diễn cấp G a −→ ϕa = w Vì an = e ⇒ ϕna = ϕe = ⇒ wn = k2π ⇒ w = cos k2π n + i.sin n = e k2π n i (k=0,1, n-1) Như ta thu n biểu diễn bất khả quy cấp G với đặc trưng αk (a) = e k2π n i (k=0,1 n-1) 2.3.2 Ví dụ Biểu diễn Sn nhóm đối xứng bậc n Trước hết ta nhắc lại số tính chất liên quan đến nhóm Sn +) Sn phép nhân phép (phép hợp thành ánh xạ) lập thành nhóm gọi nhóm đối xứng bậc n +) An = {σ ∈ Sn \sign(σ) = 1} tập phép chẵn +) An Sn Thật vậy: + An ⊆ Sn +∀a, b ∈ An ⇒ sign(ab−1 ) = signa.sign(b−1 ) = 1.1 = ⇒ ab−1 ∈ An + ∀a ∈ An ; ∀x ∈ Sn Ta có: sign(xax−1 ) = signx.signa.signx−1 = signx.signx−1 signa = sign(e).signa = ⇒ xax−1 ∈ An Do An Sn +) An = [Sn , Sn ], ∀n ≥ Thật vậy: ∀x = a−1 b−1 ab ∈ [Sn , Sn ] 47 Ta có: sign(x) = sign(a−1 b−1 ab) = sign(a−1 ).sign(b−1 ).signa.signb = sign(aa−1 ).sign(b.b−1 ) = sign(e) = ⇒ x ∈ An ⇒ [Sn , Sn ] ⊆ An (1) Với n ≥ Ta có: An = (i, j, k) sinh vòng xích có độ dài Mặt khác [(i, j), (i, k)] = (i, j)(i, k)(i, j)−1 (i, k)−1 = (i, j)(i, k)(i, j)(i, k) = (i, j, k) (i, j, k) ⊆ [(i, j), (i, k)] ⊆ [Sn, Sn] ⇒ An ⊆ [Sn , Sn ] (2) Từ (1) (2) ⇒ An = [Sn , Sn ](∀n ≥ 2) +) [Sn : An ] = Sn /An ≈ Z2 Sau ta xét biểu diễn nhóm Sn với số trường hợp cụ thể: Với n=1 ⇒ S1 = {e} nhóm Abel ⇒ S1 có biểu diễn bất khả quy cấp với đặc trưng χ1 : S1 −→ C \ {0} có χ1 (e) = Với n=2 ⇒ S2 = {e, (1, 2)} = (1, 2) nhóm xyclic cấp 2, suy S2 nhóm Abel Suy biểu diễn bất khả quy S2 có cấp số biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu với số lớp liên hợp S2 |S2 | = Do S2 có biểu diễn bất khả quy cấp Giả sử ϕ : S2 −→ C \ {0} biểu diễn cấp S2 (1, 2) −→ w Vì (1, 2)2 = e ⇒ w2 = k2π ⇒ w = cos k2π + isin = e k2πi (k = 0, 1) Vậy S2 có biểu diễn bất khả quy cấp với đặc trưng là: α0 : S2 −→ C (1, 2) −→ (1, 2)2 = e −→ 48 α1 : S2 −→ C (1, 2) −→ eπi (1, 2)2 = e −→ 3/ Với n=3 Xét biểu diễn nhóm S3 Ta có S3 = {f1 = e; f2 = (1, 2); f3 = (1, 3); f4 = (2, 3); f5 = (1, 2, 3); f6 = (1, 3, 2)} • f22 = (1, 2)(1, 2) = e • f32 = e • f42 = e • f52 = (1, 2, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2) = f6 • f62 = f5 • f53 = e • f63 = e Do S3 có lớp liên hợp đại diện {e};{(1,2)}; {(1,2,3)} 1.2.25 ⇒ S3 có biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu với số biểu diễn bất khả quy cấp [S3 : [S3 , S3 ]] = [S3 : A3 ] = (vì n ≥ nên [Sn,Sn]=An) Vậy S3 có biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu với Trong có biểu diễn bất khả quy cấp với đặc trưng: χ1 : S3 −→ C s −→ χ2 : S3 −→ C σ −→ sign(σ) Biểu diễn bất khả quy thứ với đặc trưng χ3 có cấp: √ n3 = |S3 | − n21 − n22 = − − = Được xác định qua phương trình: rS3 = 1χ1 + 1χ2 + 2χ3 (Hệ 1.2.17), 49 rG đặc trưng biểu diễn quy rS3 (e) = |S3 | = 6; rS3 (σ) = 0(∀σ = e) (Hệ 1.2.16) Ta có bảng đặc trưng bất khả quy S3 χ1 χ2 χ3 e (12) (123) 1 1 -1 -1 2.3.3 Ví dụ Tìm bảng đặc trưng nhóm S5 Nhóm S5 có lớp liên hợp là: C1 = {(1)} nhóm xyclic cấp 1, có phần tử; C2 đại diện (12), có C52 1! phần tử ; C3 đại diện (123) gồm C53 2! phần tử ; C4 đại diện (1234) có C54 3! phần tử; C5 đại diện (12345) có C55 4! phần tử; C6 = {(1, 2)(345), (12)(354), (13)(245), (13)(254), (14)(235), (14)(253), (15)(234), (15)(243), (23)(145), (23)(154), (24)(135), (24)(153), (34)(125), (34)(152), (35)(124), (35)(142), (45)(123)}; C7 = {(12)(34), (12)(35), (12)(45), (13)(24), (13)(25), (13)(45), (14)(23), (14)(25), (14)(35), (15)(23), (15)(24), (15)(34), (23)(45), (24)(35), (25)(34)} Vậy S5 có biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu với có đặc trưng tương ứng χ1 , χ2 , , χ7 Vì [S5 , S5 ] = A5 có số S5 nên S5 có biểu diễn bất khả quy chiều (Định lý 1.3.6) Đó biểu diễn đơn vị χ1 biểu diễn signature χ2 định nghĩa χ2 (σ) = sign(σ), σ ∈ S5 Nếu gọi n1 , n2 , , n7 bậc biểu diễn bất khả quy theo Hệ 1.2.18 ta có: n21 + n22 + + n27 = 120 Suy ≤ ni ≤ 10, ni ∈ Z với i = 1, n23 + n24 + + n27 = 118 Ta giả sử n3 ≤ n4 ≤ n5 ≤ n6 ≤ n7 Khi giải phương trình nguyên ta nghiệm (2,2,2,5,9); (2,2,5,6,7); (2,3,4,5,8); (4,4,5,5,6) Theo Nhận xét Định lý 1.4.10 biểu diễn bất khả quy S5 phải có biểu diễn bất khả quy bậc Như vậy, bậc (2,3,4,5,8) (4,4,5,5,6) 50 Ta có S5 nhóm hoán vị bắc cầu đôi, gọi τ biểu diễn hoán vị S5 theo Nhận xét Định lý 1.4.10 ta có τ = χ1 + ξ với χ1 1-đặc trưng, ξ biểu diễn bất khả quy bậc Ta có τ (g) số phần tử X = {1, 2, 3, 4, 5} cố định g(g ∈ S5 ) Do τ ((1)) = 5, τ ((12)) = 3, τ ((123)) = 2, τ ((12345)) = 0, τ ((12)(345)) = 0, τ ((12)(34)) = Suy ξ(1) = 4, ξ(12) = 2, ξ(123) = 1, ξ(1234) = 0, ξ(12345) = −1, ξ(12)(345) = −1, ξ(12)(34) = Ngoài theo Mệnh đề 1.2.15 tích đặc trưng bậc đặc trưng bất khả quy bậc k đặc trưng bất khả quy bậc k Bây ta xem (2,3,4,5,8) bậc đặc trưng bất khả quy ta có χ5 = ξ ⇒ χ5 = ξ = χ2 ξ (vì chúng có bậc 4), suy ra: (χ2 ξ)(12) = χ2 (12).ξ(12) = −1.2 = −2 = ξ(12) = 2, điều mâu thuẫn Như bậc đặc trưng bất khả quy lại phải (4,4,5,5,6) Dựa vào điều nêu ta thấy χ3 = ξ, χ4 = χ2 χ3 , χ6 = χ2 χ5 , χ7 = χ2 χ7 Suy bảng đặc trưng S5 có dạng: χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6 χ7 (1) (12) (123) (1234) (12345) (12)(345) (12)(34) 10 20 30 24 20 15 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -2 -1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -x1 x2 -x3 x4 -x5 x6 x7 x8 x9 Vì χi đăc trưng bất khả quy nên χi , χj = δij (δij kí hiệu Kronecker), từ ta có hệ phương trình: 51                      + 10x1 + 20x2 + 30x3 + 24x4 + 20x5 + 15x6 = − 10x1 + 20x2 − 30x3 + 24x4 − 20x5 + 15x6 = 20 + 20x1 + 20x2 − 24x4 − 20x5 = 20 − 20x1 + 20x2 − 24x4 + 20x5 = + 20x7 + 24x8 + 15x9=0 24 + 20x7 − 24x8 = 30 + 20x2 x7 + 24x4 x8 + 15x6 x9 = 25 + 10x21 + 20x22 + 30x23 + 24x24 + 20x25 + 15x26 = 120 36 + 20x27 + 24x28 + 15x29 = 120 Giải hệ ta hai nghiệm là: (1,-1,-1,0,1,1,0,1,-2) (1, −7/43, −1, 30/43, 1, −53/43, −60/43, −7/43, 74/43) Ta có: χ5 ((1)) = > 1, theo Mệnh đề 2.2.5 phải tồn σ ∈ S5 để χ5 (σ) = Do ta nhận (1,-1,-1,0,1,1,0,1,-2) Vậy bảng đặc trưng S5 χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6 χ7 (1) (12) (123) (1234) (12345) (12)(345) (12)(34) 10 20 30 24 20 15 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -2 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 0 -2 Ta có Ki = {s ∈ S5 \χi (s) = χi (e)} Nhận xét Nhìn vào bảng đặc trưng S5 ta thấy K1 = {s ∈ S5 \χ1 (s) = χ1 ((1))} = S5 K2 = {s ∈ S5 \χ2 (s) = χ2 ((1))} = {s ∈ S5 \χ2 (s) = 1} = A5 χ3 (s) = χ3 ((1)) = ⇔ s = (1) ⇔ K3 = {(1)} Lập luận tương tự ta có: K3 = = K7 = {(1)} nên S5 có nhóm chuẩn tắc thật A5 Suy S5 có chuỗi hợp thành {(1)} ≤ A5 ≤ S5 {(1)} ≤ S5 Vì A5 /{(1)} S5 /{(1)} không nhóm Abel nên theo Định nghĩa nhóm giải suy S5 không giải 2.3.4 Ví dụ Tìm bảng đặc trưng phức A5 Trước tiên ta xác định lớp liên hợp A5 Ta thấy A5 chia thành bốn lớp liên hợp S5 với phần tử đại diện 1, (12)(34), (123), 52 (12345) có cấp 1, 15, 20, 24 Tuy nhiên, ta lại thấy có phần tử liên hợp với S5 không liên hợp với A5 Bây ta xem lớp liên hơp trên, lớp lớp liên hợp A5 không liên hợp A5 phân tích thành lớp liên hợp A5 Lấy x ∈ A5 Gọi ε lớp liên hợp S5 x Khi đó: |ε| = [S5 : CS5 (x)] lớp liên hợp x A5 chứa ε có cấp [A5 : CA5 (x) ] Xét trường hợp CS5 (x) A5 Khi đó, A5 CS5 (x) = S5 A5 nhóm tối đại S5 Theo Định lý đồng cấu (nếu H,K nhóm chuẩn tắc nhóm G H/H ∩ K ≈ HK/K ) ta có: S5 /A5 = A5 CS5 (x)/A5 ≈ CS5 (x)/CS5 (x) ∩ A5 = CS5 (x)/CA5 (x) Do [S5 : CA5 (x) ] [S5 : CA5 (x) ] = = [S5 : CS5 (x)] = |ε| [A5 : CA5 (x)] = [S5 : A5 ] [CS5 (x) : CA5 (x)] Vậy ε lớp liên hợp A5 x Trường hơp CS5 (x) ≤ A5 ta có CA5 (x) = A5 ∩ CS5 (x) = CS5 (x) [A5 : CA5 (x)] = [A5 : CS5 (x)] = 21 [S5 : CS5 (x)] = 12 |ε| Như ε phân tích thành lớp liên hợp A5 Trở lại phần tử đại diện lớp liên hợp trên, ta thấy phần tử 1, (12)(34), (123) giao hoán với hoán vị lẻ S5 cụ thể (12)(34) giao hoán với (1324), (123) giao hoán với (45) Do đó, lớp liên hợp S5 đại diện phần tử liên hợp A5 Vì 24 60 lên lớp liên hợp đại diện phần tử (12345) lớp liên hợp A5 Ta thấy x=(12345) x2 = (13524) không liên hợp A5 Thật vậy: Giả sử x x2 liên hợp với A5 suy tồn g ∈ S5 cho: gxg −1 = x2 Khi đó, ta có: g x g −1 = x2 = x nên g ∈ NA5 ( x ) Vì x nhóm con-sylow A5 mà A5 có nhóm 5-nhóm sylow nên |NA5 ( x )| = 10 NA5 ( x ) = x × (12)(35) Mà (12)(35)x((12)(35))−1 = x−1 = x2 nên phần tử thuộc NA5 ( x ) thoả gxg −1 = x2 , điều mâu thuẫn Vì vậy, x x2 không 53 thuộc lớp liên hợp hay nói cách khác lớp liên hợp đại diện phần tử (12345) S5 phân tích thành hai lớp liên hợp A5 có phần tử đại diện tương ứng x x2 Vậy A5 có lớp liên hợp có phần tử đại diện 1, (12)(34), (123), (12345) (13524) có cấp tương ứng 1, 15, 20, 12 12 Ta có A5 nhóm hoán vị bắc cầu đôi tác động lên tập X = {1, 2, 3, 4, 5} Thật vậy, với cặp phần tử {i, j}, {l, s}, i = j, l = s ta chứng minh tồn g ∈ A5 thoả gi=l, gj=s + i = l, j = s, i = s ta chọn g = (il)(js) ∈ A5 thoả gi = l, gj = s + i = l, j = s, i = s, l = j ta chọn g = (ilj) ∈ A5 thoả gi = l, gj = s + i = l, j = s, i = s, l = j ta chọn g = (il)(kh) ∈ A5 (với k = i, l; h = i, l, k) thoả gi = l, gj = s + i = l, j = s ta chọn g = (jsh) ∈ A5 với h = i, j, s thoả gi = l, gj = s + i = l, j = s ta chọn g = (ilk) ∈ A5 với k = i, j, l thoả gi = l, gj = s + i = l, j = s ta chọn g=1 Gọi τ đặc trưng biểu diễn hoán vị A5 , theo Định lý 1.4.10 ta có τ = χ1 + ξ với χ1 1-đặc trưng, ξ biểu diễn bất khả quy Ta có τ (g) số phần tử X = {1, 2, 3, 4, 5} cố định g (g ∈ A5 ) Do τ ((1)) = 5, τ ((12)(34)) = 1, τ ((123)) = 2, τ ((12345)) = 0, τ ((13524)) = Suy ra: ξ(1) = 4, ξ(123) = 1, ξ(12)(34) = 0, ξ(12345) = −1, ξ(13524) = −1 Vì ξ(1) = nên A5 có đặc trưng bất khả quy bậc ta gọi χ2 := ξ Gọi χ1 , χ2 , , χ5 đặc trưng bất khả quy A5 có bậc tương ứng n1 , n2 , n5 n1 = 1, n2 = n21 + n22 + n23 + n24 + n25 = 60 ⇒n23 + n24 + n25 = 43 54 Với ni số nguyên thoả ≤ ni ≤ Giả sử n3 ≤ n4 ≤ n5 Khi giải phương trình ta n3 = n4 = 3, n5 = Suy bảng đặc trưng A5 có dạng χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 15 20 12 12 (12)(34) (123) (12345) (13524) 1 1 -1 -1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 Vì phần tử (12)(34) có cấp χ3 , χ4 có bậc nên theo Nhận xét 1.1.5 ta có χ3 ((12)(34)), χ4 ((12)(34)) tổng bậc Suy x1 x5 nhận giá trị tập {−3, −1, 1, 3}, kết hợp với tính chất χi , χj = δij ta có hệ phương trình: (x1 − 1)(x1 − 3)(x1 + 1)(x1 + 3) =    (x3 − 1)(x3 − 3)(x3 + 1)(x3 + 3) =     + 15x1 + 20x2 + 12x3 + 12x4 =    12 + 20x2 − 12x3 − 12x4 =    + 15x5 + 20x6 + 12x7 + 12x8 =     12 + 20x6 − 12x7 − 12x8 =   + 15x x + 20x2 x6 + 12x3 x7 + 12x4 x8 = + 15x + 20x10 + 12x11 + 12x12 =    20 + 20x10 − 12x11 − 12x12 =    15 + 15x1 x9 + 20x2 x10 + 12x3 x11 + 12x4 x12 =    15 + 15x5 x9 + 20x6 x10 + 12x7 x11 + 12x8 x12 =     + 15x21 + 20x22 + 12x23 + 12x24 = 60    2  12x28 = 60   + 15x3 2+ 20x6 2+ 12x7 + 25 + 15x9 + 20x10 + 12x211 + 12x212 = 60 Giải hệ ta nghiệm là: {x3 = x8 = x0 , x4 = x7 = − x0 , x9 = 1, x1 = x5 = x10 = −1, x2 = x6 = x11 = x12 = 0} √ 5) (1 + Với x0 nghiệm phương trình z − z − = Suy x0 = √ √ (1 − 5) (1 + 5) x0 = , ta Chọn x0 = Do bảng đặc trưng 2 A5 là: 55 15 20 12 12 (12)(34) (123) (12345) (13524) χ1 1 1 χ2 -1 -1 √ √ χ3 -1 (1+√ 5)/2 (1- √5)/2 -1 (1- 5)/2 (1+ 5)/2 χ4 χ5 -1 0 Nhận xét: Từ bảng đặc trưng A5 ta có: K1 = A5 , K2 = K3 = K4 = K5 = {1} Do theo Mệnh đề 1.5.3 suy A5 nhóm chuẩn tắc thực Vậy A5 nhóm đơn KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo, luận văn hoàn thành công việc sau: Trình bày chứng minh mở rộng định lý Maskche, có nhận xét p | |G| kết không Trình bày chứng minh chiều đảo Bổ đề Shur, có nhận xét E A - môđun không hoàn toàn khả quy kết không Trình bày chứng minh mối liên hệ tích tenxơ biểu diễn đối ngẫu Trình bày biểu diễn số nhóm hữu hạn; lập bảng đặc trưng nhóm S5 , A5 từ bảng đặc trưng nêu nhận xét tính giải nhóm, nhóm có phải nhóm đơn hay không TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Ngọc Diệp (2010), Lý thuyết biểu diễn nhóm-Giáo trình sau đại học, Viện Toán học Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [3] Ngô Việt Trung (2002), Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [4] A.A Kirillov (1975), Elements of the Theory of Representations, Spsinger-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York [5] C.W Charles and R Irving (1999), Representations Theory of finite group and associative algebras, Spsinger - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York [...]... (Σkt t) = Σkt t ⇒ϕs ϕs−1 ∈ idK[G] ⇒ϕs ∈ GL(K[G]) Vây ϕ là một biểu diễn của nhóm G và được gọi là biểu diễn chính qui của nhóm G (với hệ số trong K) ✷ 1.2.2 Mệnh đề Giả sử E là một K-không gian véctơ Khi đó, E là một không gian biểu diễn của G nếu và chỉ nếu E là một K[G]-môđun Chứng minh (⇒) Giả sử E là một không gian biểu diễn của G với biểu diễn tương ứng ϕ : G −→ GL(E) Xét phép nhân vô hướng K[G]... tuyến tính. (2) Từ (1) và (2) suy ra dimRC (G) = h Mặt khác theo Định lý 1.2.21 ta có dimRC (G) bằng số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau của G (**) Từ (*) và (**) suy ra số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu bằng số lớp liên hợp của G Định lý được chứng minh.✷ 1.3 Biểu diễn cuả nhóm Abel 1.3.1 Định lý (Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn, S là một nhóm con của. .. cấu nhóm Thật vậy: ϕ(s1 A.s2 A) = ϕ(s1 s2 A) = ϕ(s1 s2 ) = ϕs1 ϕs2 = ϕ(s1 A)ϕ(s1 A) *) ϕ ∈ GL(C), vì ϕ là đồng cấu nên ϕ(sA)ϕ−1 (sA) = ϕ(eA) = ϕe = idC Do đó ϕ là biểu diễn cấp 1 của nhóm G/[G,G]-là nhóm Abel Vậy ϕ cũng là một biểu diễn bất khả quy của G/[G,G] (Định lý 1.3.5) (⇐) Giả sử ψ là một biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G/[G,G] Suy ra ψ là biểu diễn cấp 1 của nhóm G/[G,G] và có biểu diễn: ... đồng cấu nhóm nên ψ cũng là đồng cấu nhóm ∀s ∈ G Ta có: ψs ψs−1 = ψs.s−1 = ψe = ψ.π(e) = ψ(eA) = idC ⇒ ψs ∈ GL(C) Vậy ψ là biểu diễn cấp 1 của G (ii) Theo (i) suy ra số biểu diễn cấp 1 của G bằng số biểu diễn bất khả quy không đẳng cấu với nhau của nhóm G/[G, G] bằng số lớp liên hợp của nhóm Abel G/[G, G] bằng |G/[G, G]| và bằng [G : [G, G]] Vậy số biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với nhau của G bằng... hợp của nó chứa đúng một phần tử Theo Định lý 1.2.25 số biểu diễn bất khả quy của G bằng số lớp liên hợp của G và bằng |G|, tức là |G| = h Từ (*) suy ra n21 + n22 + + n2h = h ⇔ n1 = n2 = = nh = 1 Định lý được chứng minh.✷ 1.3.6 Định lý (i) Có sự tương ứng 1-1 giữa các biểu diễn cấp 1 của nhóm G với các biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G/[G,G] (ii) Số các biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với nhau của. .. (với h là số lớp kề trái của S) 1.3.2 Định nghĩa Giả sử S là nhóm con của nhóm hữu hạn G Khi đó chỉ số của S trong G (tức số phần tử của tập các lớp kề trái G/S) được định nghĩa bởi công thức: [G : S] = |G|/|S| 1.3.3 Định nghĩa Cho G là một nhóm, kí hiệu: [G, G] = {x−1 y −1 xy\x, y} được gọi là nhóm các hoán tử của G và [x, y] = x−1 y −1 là một hoán tử của x và y 1.3.4 Định lý Cho G là một nhóm, khi... 0 Gọi ϕ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy của G với đặc trưng χ |G| Theo 1.2.20 ta có ánh xạ: ϕf = f (t)ϕt = f, χ idE , trong đó χ là n t∈G một trong số χi ⇒ϕf = f (t)ϕt = 0 t∈G ⇒ϕf = 0, ∀ϕ là biểu diễn bất khả quy Vì mọi biểu diễn của G đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy ⇒ϕf = 0 với mọi biểu diễn ϕ (không nhất thiết bất khả quy) ⇒ϕf = 0 với ϕ là biểu diễn chính quy ⇒ t∈G... : G −→ GL(E) là một biểu diễn của G Không gian E ⊆ E được gọi là một G-không gian con hay không gian con ổn định dưới tác động của ϕ nếu ϕs v ∈ E , (∀s ∈ G, ∀v ∈ E ) Khi đó hạn chế của ϕ trên E xác định biểu diễn ϕ|E : G −→ GL(E ) được gọi là biểu diễn con của ϕ (hay E là G-môđun con của E) Nhận xét: Hạt nhân của G-đồng cấu f : E −→ F là G-môđun con của E Thật vậy, kerf ⊆ E Vì f là một G-đồng cấu nên:... s ∈ G, k ∈ C) là một không gian véctơ trên C Trong F (G, C) xác định tích vô hướng 1 α, β = α(t).β(t) |G| t∈G Đặc trưng của một biểu diễn của G là một phần tử của F (G, C) Đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy gọi là “đặc trưng bất khả quy” Sau đây chúng ta sẽ thấy các đặc trưng bất khả quy lập nên một hệ trực chuẩn trong F (G, C) 1.2.10 Định lý (i) Nếu χ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy... cấp 1 và ψ là một biểu diễn bất khả quy cấp tuỳ ý, thì ϕ ⊗ ψ cũng là biểu diễn bất khả quy Chứng minh Giả sử χ1 là đặc trưng của biểu diễn ϕ, và α là đặc trưng của biểu diễn bất khả quy ψ Theo 1.1.7 ta có đặc trưng của biểu diễn ϕ ⊗ ψ là χ = χ1 α Ta có χ, χ = 1 |G| 1 = |G| = 1 |G| χ(t).χ(t) t∈G χ1 (t).α(t).χ1 (t).α(t) t∈G α(t).α(t) t∈G = α, α = 1 Theo Định lý 1.2.14 suy ra ϕ ⊗ ψ là biểu diễn bất khả ... biểu diễn nhóm hữu hạn đặc trưng nhóm Trong chương trình bày khái niệm bản, tổng quát biểu diễn tuyến tính nhóm hữu hạn, đặc trưng biểu diễn, biểu diễn quy, biểu diễn bất khả quy, biểu diễn nhóm. .. Vậy Bổ đề chứng minh ✷ 35 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH CỦA NHÓM HỮU HẠN Trong chương tập trung nghiên cứu số tính chất biểu diễn nhóm hữu hạn, với mục đích làm rõ vấn đề trình... NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ĐẶC TRƯNG NHÓM 1.1 Khái niệm biểu diễn đặc trưng biểu diễn Giả sử G nhóm hữu hạn, K trường, E không gian véctơ hữu hạn chiều K 1.1.1 Định nghĩa Một biểu diễn