Một số tính chất về chiều của không gian tô pô

chơng I Chiều urysohn- menger của không gian tôpô Đ 1. Định nghĩa và các tính chất của chiều IND. 1.1.Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tôpô chính quy. Ta nói rằng: (MU 1 ) ind X = -1 X = . (MU 2 ) ind X n, ở đây n = 0, 1, 2, ., nếu với mọi x X, với mọi lân cận U của x sao cho x U V và ind Fr U n -1. (MU 3 ) ind X = n nếu ind X n và ind X > n -1, nghĩa là bất đẳng thức ind X n-1 không đúng. (MU 4 ) ind X = nếu ind X > n, n = -1, 0, 1, 2, 1.2. Mệnh đề. Các điều kiện (MU 1 ) - (MU 4 ) cho tơng ứng mỗi không gian tôpô chính quy X với một số nguyên ind X -1 hoặc bằng . Chứng minh. Nếu X = thì ind X = -1 (MU 1 ). Giả sử X và giả sử không có số nguyên nào n N để ind X = n, có nghĩa là 1) Hoặc với mọi n N, thì ind X n không xảy ra, suy ra ind X = (MU 4 ). 2) Hoặc tồn tại n N sao cho có ind X n và ind X n -1. Nh vậy, ind X n-1. Nhng vì không có số nguyên k nào cho ind X = k, nên ind X n -2 đúng, . Cứ tiếp tục nh vậy, ta có ind X 0 và ind X -1. Nhng do X nên ind X -1-1 không xảy ra. Bổ đề đã đợc chứng minh. Số ind X đợc gọi là chiều Urysohn- Menger hoặc chiều quy nạp bé. 3 Ta có nhận xét rằng nếu X và Y là hai không gian tôpô đồng phôi thì ind X = ind Y. Thật vậy, trớc hết ta chứng minh bổ đề sau. 1.3. Bổ đề. Nếu X và Y là hai không gian tôpô đồng phôi thì ind X n khi và chỉ khi ind Y n. Chứng minh: Ta giả thiết n < vì trờng hợp n = là hiển nhiên. Với n = -1, khi đó X = vì X Y do đó ind X = -1 = ind Y. Giả sử rằng mọi không gian tôpô chính quy X đồng phôi với không gian tôpô chính quy Y và từ ind X n -1 ta suy ra ind Y n -1. Ta chứng minh khẳng định đúng cho n. Giả sử ind X n, y Y và V y là một lân cận của y trong Y.Khi đó h - 1 ( Vy) là lân cận của h -1 ( y) trong X, ở đây h là ánh xạ đồng phôi từ X vào Y. Do ind X n nên tồn tại một lân cận W của h -1 (y) trong X sao cho h -1 (y) W h -1 (Vy) và ind FrW n -1 (MU 2 ). Do h là ánh xạ đồng phôi nên h(FrW) =Fr[h(W)] và hW h h -1 (Vy) = Vy. Khi đó theo giả thiết quy nạp ind h(FrW) = ind Fr(hW) n -1. Nh vậy, y h(W) Vy và ind Fr(hW) n -1. Vậy Y = hX có ind Y n. Vì vai trò của X và Y là nh nhau nên ta có điều phải chứng minh 1.4. Hệ quả. Nếu X và Y là các không gian tôpô chính quy đồng phôi thì ind X = ind Y. Chứng minh: Thật vậy, nếu n < và giả sử ind X = n thì ind X n, khi đó theo bổ đề 1.3 ta có ind Y n. Vì ind X = n nên ind X n -1 là không đúng (MU 3 ). Giả thiết rằng ind Y n -1 là đúng. Khi đó ind X n -1 dẫn đến mâu thuẫn. Vậy ind Y n-1 là không đúng. 4 Do đó ind Y= n. Giả sử ind X = nếu ind Y = m < thì do ind Y m nên ind X m < (mâu thuẫn).Vậy nếu ind X = thì ind Y = . Hệ quả đã đợc chứng minh. 1.5. Mệnh đề. Bất đẳng thức ind X n, n = 0, 1, 2, .xảy ra khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở B của không gian X sao cho ind Fr U n -1, với mọi U B. Chứng minh: Giả sử x X và V x là lân cận của x trong X. Khi đó, tồn tại lân cận U x của x trong X sao cho x U x V x và ind FrU x n -1 (MU 2 ). Gọi B = {U x : ind FrU x n -1, x X}. Ta có B là cơ sở cần tìm. Ngợc lại, giả sử tồn tại cơ sở B của không gian X sao cho ind FrU n -1 với mọi U B. Khi đó với mọi x X, với mọi lân cận V của x, tồn tại lân cận U B sao cho x U V và ind FrU n -1. Do đó ind X n (MU 2 ). Mệnh đề đã đợc chứng minh. Tính chất chính quy của không gian tôpô là tính chất "di truyền" nên ta có thể định nghĩa khái niệm chiều ind cho không gian con M của X. 1.6. Mệnh đề. Với mỗi không gian con M của không gian tôpô chính quy X, ta đều có ind M ind X. Chứng minh. Định lý hiển nhiên đúng khi ind X = . Do đó có thể giả thiết ind X = n < . Ta chứng minh định lý bằng phơng pháp quy nạp theo chiều ind X. Rõ ràng, bất đẳng thức đúng khi ind X = -1. 5 Giả sử định lý đã đợc chứng minh cho mọi không gian tôpô chính quy có chiều ind X n-1, n 1. Giả sử x M và V là một lân cận của x trong M. Theo định lý tôpô con tồn tại tập mở U 1 của x trong X sao cho: x U 1 V và ind Fr U 1 n -1. Khi đó, phần giao U = M U 1 mở trong M và thoả mãn x U V. Ta có Fr MU = )U\(MUM 11 Nh vậy Fr MU là một không gian con đóng của FrU 1 = )U\(XU 11 Do đó theo giả thiết quy nạp thì ind Fr MU n -1. Vậy ind M n = ind X. Mệnh đề đã đợc chứng minh. 1.7. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, A và B là hai tập rời nhau của X. Ta nói rằng, một tập L X là cái phân cách giữa A và B nếu tồn tại các tập con mở U, V X sao cho (1) A U, B V, U V = và X \ L = U V. Khái niệm cái phân cách liên quan chặt chẽ đến khái niệm "cái tách". Một tập T trong không gian tôpô X đợc gọi là cái tách của hai tập A và B trong X nếu tồn tại các tập U 0 , V 0 ở trong X \ T sao cho A V 0 , B V 0 , U 0 V 0 = và X \ T = U 0 V 0 . Rõ ràng, cái tách T là cái phân cách khi và chỉ khi T là tập đóng. 1.8. Mệnh đề. Không gian chính quy X thoả mãn bất đẳng thức ind X n, n 0, nếu và chỉ nếu với mỗi x X, với mỗi tập đóng B X, x B, tồn tại cái phân cách L giữa x và B sao cho ind L n - 1. Chứng minh: Giả sử X là không gian tôpô chính quy thoả mãn điều kiện ind X n , n 0. Ta hãy xét một điểm x X và một tập đóng B X sao cho x B. 6 Khi đó tồn tại lân cận V của x trong X sao cho V X \ B và một tập mở U X sao cho: x U V và ind Fr U n - 1. Ta thấy, L = Fr U là cái phân cách giữa x và B vì các tập U và W = X\ U thoả mãn điều kiện (1). Thật vậy, ta có x U còn B X\ V X\ U = W. Rõ ràng U W = U (X\ U ) = . Mặt khác X \ L = X \ FrU = X\ [ U (X \ U)] = (X \ U ) U = W U. Ngoài ra do L = FrU nên ind L n - 1. Ngợc lại, giả sử X là không gian tô pô chính quy thoả mãn điều kiện của mệnh đề. Xét điểm x X và lân cận V của x. Giả sử L là cái phân cách giữa x và B = X \ V sao cho ind L n - 1. Gọi U và W là các tập mở trong X thoả mãn (1). Ta có: x U X \ W X \ B = V và FrU = UU\X = (X \ U) U (X \ U) (X \ W) = X \ (U W) = L. Do đó, ind Fr U ind L n - 1. (theo định lý 1.6) Mệnh đề đã đợc chứng minh. 1.9. Bổ đề. Nếu không gian tôpô chính quy X có cơ sở đếm đợc, thì moị cơ sở B của X chứa một họ con đếm đợc B 0 mà nó cũng là cơ sở của X. Từ 1.9 và 1.5 ta có 1.10. Định lý. Không gian mêtric tách X thoả mãn bất đẳng thức ind X n, n 0 khi và chỉ khi có một cơ sở đếm đợc B của X sao cho ind FrU n 1, với mọi U B. 7 Đ 2. Các định lý tách không chiều. 2.1. Định nghĩa. Một không gian tôpô chính quy X thoả mãn ind X = 0 đợc gọi là không gian 0- chiều. 2.2. Mệnh đề. Một không gian tôpô chính quy X là 0- chiều khi và chỉ khi X và với moị x X, với mỗi lân cận V của x trong X, tồn tại lân cận vừ đóng, vừa mở U X sao cho x U V. Trớc hết , ta chứng minh bổ đề sau. 2.3. Bổ đề. Tập con A X vừa đóng, vừa mở khi và chỉ khi FrA = . Chứng minh: Thật vậy, ta có FrA = A \ Int A. Do đó, nếu FrA = thì A = IntA và do Int A A A nên Int A = A = A . Vì vậy, A vừa đóng, vừa mở. Ngợc lại, nếu A là tập vừa đóng, vừa mở tức Int A = A thì FrA = A \ Int A = . Chứng minh mệnh đề 2.2. Giả sử X là không gian tôpô chính quy 0- chiều, x X và V là lân cận của x trong X. Do ind X = 0 nên có một lân cận U của x trong X sao cho x U V và ind Fr U -1, tức là: FrU = (MU 1 ). Vậy U là tập vừa đóng, vừa mở (bổ đề 2.2). Điều ngợc lại của mệnh đề 2.2 là hiển nhiên. Bổ đề đã đợc chứng minh. 2.4. Mệnh đề. Không gian con không rỗng của một không gian 0- chiều là không gian 0 - chiều. Chứng minh: Giả sử M là không gian con không rỗng của không gian 0 - chiều X. 8 Khi đó, ind M > -1 và ind M ind X = 0, nên ind M = 0 . Hay M là không gian 0 - chiều. 2.5. Mệnh đề. Một không gian tôpô chính quy X là 0-chiều nếu và chỉ nếu X và với mỗi x X, với mỗi tập đóng B X sao cho x B, tập là cái phân cách giữa x và B. Chứng minh. Giả sử X là không gian tôpô chính quy không rỗng 0- chiều. x X và B là tập con đóng trong X sao cho x B. Do X là không gian chính quy, x B là tập hợp đóng trong X nên tồn tại lân cận mở V của x sao cho V B = . Khi đó B X\ V . Do X là không gian 0 - chiều, nên có một lân cận vừa đóng, vừa mở U X sao cho x U V và Fr U = (theo bổ đề 2.3). Ta có: X \ = X \ FrU = X\ [ U (X \ U)] = (X\ U ) U. Rõ ràng, B X \ U và x U. Do đó FrU = là cái phân cách giữa x và B. Ngợc lại, giả sử X là không gian tôpô chính quy có tính chất trên. Xét điểm x X và lân cận mở V của x trong X. Khi đó B = X \ V là tập đóng và x B. Do là cái phân cách giữa x và B nên tồn tại lân cận mở U, W của x và B tơng ứng x U, B W, U W = và U W = X. Ta có U = X \ W đóng (vì W mở), tức là U vừa đóng, vừa mở nên Fr U = hay ind Fr U = -1. Vậy ind Fr X = 0. Mệnh đề đã đợc chứng minh. Vì một không gian mêtric tách đợc là một không gian có cơ sở đếm đ- ợc trù mật, nên kết quả sau đây là hiển nhiên. 9 2.6. Mệnh đề. Giả sử X là không gian mêtric tách đợc. Khi đó, ind X = 0 khi và chỉ khi X và X có sơ sở đếm đợc vừa đóng, vừa mở. 2.7. Các ví dụ. a) Không gian các số vô tỷ P R là 0-chiều vì nó có cơ sở đếm đợc gồm các tập vừa đóng, vừa mở. Chẳng hạn họ các tập có dạng P (a,b) trong đó a,b là các số hữu tỷ. Thật vậy, do tập hợp các số hữu tỷ là đếm đợc nên họ trên đếm đợc. Họ trên là tập mở trong P vì (a, b) là tập mở trong R. Họ trên đóng trong R vì P (a,b) = P [ a, b] và [a, b] đóng trong R. b) Tơng tự, không gian các số hữu tỷ Q nằm trong R là không gian 0 - chiều. c) Tổng quát hơn, nếu X là không gian mêtric thoả mãn điều kiện 0 < X < c (lực lợng continum) thì ind X = 0. Thật vậy, với mỗi x X, với mỗi lần cận V của x trong X, tồn tại số r > 0 sao cho B(x , r) V và một số dơng t < r sao cho (x, y) t, y X trong đó là mêtric trong X. Do X < c, nên tồn tại số t nh vậy. Tập hợp U = B (x,t) thoả mãn điều kiện x U V và vừa đóng, vừa mở vì FrU = {y X: (x, y) = t} = . 2.8. Định lý tách thứ nhất về chiều không. Nếu X là một không gian mêtric tách đợc 0 - chiều , với mỗi cặp A và B các tập con đóng rời nhau của X thì tập rỗng là cái phân cách giữa A 10 và B, nghĩa là tồn tại một tập vừa mở, vừa đóng U X sao cho A U và B X \ U. Chứng minh. Giả sử x X. Khi đó, tồn tại một tập vừa đóng, vừa mở Wx X sao cho x Wx và (1) Hoặc A Wx = hoặc B Wx = . Thật vậy, do A B = nên hoặc x A hoặc x B. Nếu x A thì x X \ A. Khi đó theo mệnh đề 2.2 tồn tại một lân cận vừa đóng, vừa mở Wx của x sao cho x Wx X \ A. Vậy Wx A = . Còn nếu x B, lập luận tơng tự, tồn tại một lân cận vừa đóng, vừa mở Wx của x sao cho Wx B = . Do X là không gian mêtric tách đợc , nên cơ sở {Wx}xX của không gian X có một cơ sở con đếm đợc {Wx i } = 1i , các tập U i = Wx i \ ji < Wx j Wx i , i = 1,2, . là tập mở (vì ji < Wx j là tập đóng) lập nên một phủ mở của không gian X. Đặt U = = 1i {U i : A U i } W = = 1i {U i : A U i = } Rõ ràng, A U và từ (1) suy ra B W vì nếu x B thì tồn tại U i để x U i Wx i . Vì x Wx i B , nên theo (1) thì Wx i A = tức U i A = . Hay x = 1i {U i : A U i = } = W Do các tập U i là các tập mở, đôi một rời nhau nên U W = và do X = U W nên U = X \ W. Vậy U là tập vừa đóng (vì W là tập mở), vừa mở và B X \ U . 11 Định lý đã đợc chứng minh. 2.9. Định nghĩa. Ta nói hai tập con A và B của không gian tôpô X là tách nhau nếu A B = A B = . Ta nhận thấy rằng. (1) Các tập A và B là tách nhau khi và chỉ khi chúng là các tập vừa đóng, vừa mở rời nhau trong không gian con A B của X. Thật vậy, giả sử A và B là hai tập tách nhau. Gọi B ~ là bao đóng của B trong A B thì B ~ = B (A B) = ( B A) ( B B) = B tức B đóng trong A B. Tơng tự, A đóng trong A B. Do A = (A B) \ B và B = (A B) \ A nên A và B là các tập mở. Ngợc lại, nếu A và B là các tập vừa đóng, vừa mở trong AB và AB = . Khi đó: A B = [ A (A B)] B = A ~ B = A B = Tơng tự A B = . (2) Hai tập A và B tách nhau trong không gian X nếu và chỉ nếu chúng rời nhau và tập là cái phân cách giữa A và B trong A B. Thật vậy, giả sử A, B tách nhau, nên theo (1) thì A B = và A, B vừa đóng, vừa mở trong A B. Do A và B là các tập mở và A A, B B nên (A B) \ = A B và A B = . Nghĩa là là cái phân cách giữa A và B. Ngợc lại, nếu là cái phân cách giữa A và B trong A B và A B = . Khi đó, tồn tại các tập mở U, W trong A B sao cho U W = , A U, B W và A B = U W. Vì 12