Một số tính chất hình học của không gian banach và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ------- ------- Phạm thị mừng Một số tính chất hình học của không gian Banach và sự tồn tại điểm bất động Của ánh xạ không giãn Chuyên ngành: giảI tích Mã số : 60 46 01 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Đinh Huy Hoàng Vinh-2007 Mục lục Trang Lời giới thiệu 2 Chơng I. Một số tính chất hình học của không gian Banach 3 1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản 3 1.2. Không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc 5 1.3. Không gian Banach với tính lồi 21 Chơng II. Sự tồn tại điểm bất động đối với lớp các ánh xạ không giãn 34 2.1. Các khái niệm và tính chất cơ bả 34 2.2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co 36 2.2.1. Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric 36 2.2.2. Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian giả mêtric 38 2.3 . Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 2 Lời giới thiệu Các định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ thứ 20, trong đó phải kể đến là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912 ) và nguyên lý ánh xạ co Banach(1922). Các kết quả kinh điển này đã đợc mở rộng cho nhiều lớp không gian và nhiều lớp ánh xạ khác nhau. Chúng thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nh Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Ky Fan,Việc mở rộng các kết quả về điểm bất động của lớp ánh xạ co cho lớp các ánh xạ không giãn trong không gian Banach phải cần đến các tính chất hình học của không gian Banach nh tính chất lồi chặt, lồi đều, cấu trúc chuẩn tắc, Mục đích của chúng tôi là tìm hiểu, nghiên cứu một số tính chất hình học của không gian Banach và sự tồn tại điểm bất động đối với lớp ánh xạ không giãn. Với mục đích đó luận văn đợc trình bày thành hai chơng. Chơng I: Một số tính chất hình học của không gian Banach 1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng trong luận văn. 1.2. Không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của bán kính Chebyshev, tâm Chebyshev, không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc. 1.3. Không gian Banach với tính lồi Mục này trình bày các khái niệm và tính chất của tính lồi chặt, lồi đều của không gian Banach. Chơng II: Sự tồn tại điểm bất động với lớp các ánh xạ không giãn 2.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng cho các mục sau. 3 2.2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co 2.2.1. Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric Mục này trình bày điều kiện tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric. 2.2.2. Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian giả mêtric Mục này trình bày điều kiện tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian giả mêtric. 2.3. Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach Mục này trình bày điều kiện tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach liên quan đến tính lồi đều hoặc cấu trúc chuẩn tắc của không gian. Các kết quả trình bày trong luận văn chủ yếu đã có trong các tài liệu tham khảo [1], [4], [6]. ở đây, ngoài việc trình bày lại các khái niệm, tính chất cơ bản đã có và chứng minh chi tiết các kết quả trong các tài liệu tham khảo chúng tôi đa ra các ví dụ, phản ví dụ, nhận xét và các kết quả. Chẳng hạn nh Nhận xét 1.2.2; Mệnh đề 1.2.7; 2.2.2.1; Định lý 2.2.2.2. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã nhận đợc sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo, bạn bè cùng ngời thân. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hớng dẫn, tới các thầy cô trong tổ Giải tích, tới các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau Đại Học trờng Đại Học Vinh cùng tất cả các bạn bè và gia đình đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn hoàn thiện tốt hơn. Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả 4 Chơng I Một số tính chất hình học của không gian Banach 1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng trong các mục sau. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử E là một không gian vectơ trên trờng K . Hàm RE:p thỏa mãn các điều kiện: (N 1 ) ( ) Exxp 0 và ( ) 00 == xxp ; (N 2 ) ( ) ( ) K,Ex,xpxp = ; (N 3 ) ( ) ( ) ( ) Ey,xypxpyxp ++ đợc gọi là một chuẩn trên không gian vectơ E . Số ( ) xp đợc gọi là chuẩn của vectơ EX . Ta thờng kí hiệu chuẩn của x là x . Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó đợc gọi là một không gian định chuẩn. 1.1.2. Định nghĩa. Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn thì đợc gọi là một không gian Banach. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. Kí hiệu ( ) F,EL là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Trên ( ) F,EL nếu không nói khác thì chuẩn trên nó đợc hiểu là chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục: ( ) xfsupf x 1 = , ( ) F,ELf . Nếu F là không gian Banach thì ( ) F,EL là không gian Banach. 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử E là không gian định chuẩn, * E = { phiếm hàm tuyến tính liên tục trên } E = ( ) K,EL . Ta gọi * E là không gian liên hợp hay đối ngẫu(thứ nhất) của E . Đặt ( ) ** * * EE = và gọi ** E là không gian liên hợp thứ hai của E . 5 1.1.5. Định nghĩa. Không gian định chuẩn E đợc gọi là phản xạ nếu ** EE = . 1.1.6. Định nghĩa. Giả sử E là không gian định chuẩn. Ta gọi tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên E mà đối với chúng với mọi * Ef đều liên tục là tôpô yếu trên E xác định bởi * E và kí hiệu là ( ) * E,E . 1.1.7. Định nghĩa. Giả sử { } Ex n , Ex . Dãy { } n x đợc gọi là hội tụ theo chuẩn (tơng ứng hội tụ yếu) tới x nếu n x hội tụ tới x theo tôpô sinh bởi chuẩn (tơng ứng tôpô yếu) trên E . Dãy { } n x hội tụ tới x theo chuẩn là tơng đơng với 0 xx n . 1.1.8. Định lý. Giả sử { } Ex n , Ex . Khi đó n x hội tụ yếu tới x khi và chỉ khi ( ) n xf hội tụ tới ( ) xf với mọi * Ef . 1.1.9. Định nghĩa. +) Tập con A của không gian Banach X đợc gọi là đóng yếu nếu A đóng theo tôpô yếu. +) Tập con A của không gian Banach X đợc gọi là compact yếu nếu A compact theo tôpô yếu. 1.1.10. Định nghĩa. Không gian Banach E đợc gọi là có tính chất Schur nếu trong E mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ theo chuẩn. 1.1.11. Định nghĩa. Tập con A của một không gian vectơ E đợc gọi là lồi nếu mọi vectơ Ay,x và với mọi số thực [ ] 10, ta có ( ) Ayx + 1 . Tập con A của một không gian vectơ E đợc gọi là bị chặn nếu mọi lân cận U của 0 trong E đều tồn tại một số tự nhiên n sao cho = nUA { } Ux:nx . 1.1.12. Định nghĩa. Giả sử A là một tập con tùy ý của không gian vectơ tôpô X . Bao lồi của A kí hiệu ( ) Aco là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn i n i i a = 1 với 0 i , * n i i Nn,n, .,i, == = 11 1 . 6 1.2. Không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của bán kính Chebyshev, tâm Chebyshev, không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc. 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian Banach, A là tập bị chặn còn B là tập bất kỳ trong X. Ta gọi số ( ) B,Ar = inf{ sup{ Ax:yx } : By } 7 là bán kính Chebyshev của A đối với B . Ta viết ( ) Ar thay cho ( )( ) Aco,Ar trong đó ( ) Aco là bao lồi của A . Ta gọi tập ( ) B,AZ = { By : sup { Ax:yx }= ( ) B,Ar } là tâm Chebyshev của A đối với B . Ta viết ( ) AZ thay cho ( )( ) Aco,AZ . 1.2.2. Nhận xét. 1) Nếu { } aA = với Xa thì { }( ) { } { }{ } By:aa:yasupinfB,ar = { } ( ) B,adBy:yainf == với mọi XB . 2) Nếu { } bB = với Xb thì { }( ) b,Ar = sup{ Ax:bx } là bán kính nhỏ nhất của các hình cầu tâm tại b , chứa A . { }( ) { } bb,AZ = . 3) ( ) B,AZ có thể là tập rỗng. Chẳng hạn trong không gian C 0 ={ {x n } K : x n 0 } với chuẩn { } { } .,n:xsupx nn 21 == lấy siêu phẳng đóng B = { } = = 1 0 2 n n n n x :x và { } aA = với a C 0 \ B. Khi đó { }( ) B,aZ = ỉ. Chứng minh. Giả sử tồn tại 0 CBb sao cho ( ) = b,ad ( ) rB,ad = , tức là 0 >= rba (vì B đóng). Vì { } Bbb n = nên 0 2 1 = = n n n b . Giả sử ( ) n aa = . Khi đó { } 0 Cbaba nn = . Do đó 0 nn ba hay 0 nn ba . Từ đó với 2 0 r , tồn tại 0 n sao cho 8 0 2 nnrba nn >∀−<− ε . §Æt nn nn basup ' r −= > 0 . Ta cã ε 2 −≤ rr , . LÊy ( ) , .b,b,b .,,bb n n ' n '' 22 12 21 0 0 0 + + = trong ®ã ( ) 0 1 n,nbb nn ' n =+= δ víi ( ) 0 1 0 2 0 2 0 0 n,n banÕu banÕu nn n nn n n =        <−− ≥− = ε ε δ ; 0 2 n nn ' n bb δ −= víi 00 21 n,nn += vµ iin δ=δ + 0 ( 0 1 n,i = ). §Æt 0 2 n n ' n δ=δ . Râ rµng 0 → ' n b khi ∞→ n nghÜa lµ 0 Cb ' ∈ . Tõ c¸ch lÊy n δ ta suy ra: ( ) rbaba nnn ' nn <δ+−=− víi 0 1 n,n = ( ) εεεδ −<+<+−<−−=− rrbababa ' nn ' nnn ' nn víi 00 21 n,nn += ; 0 22 nnrrbaba ' nn ' nn >∀−≤≤−=− ε . Do ®ã rbasupba ' nn n ' <−=− . (1) MÆt kh¸c ∑∑∑∑ ∞ =+== ∞ = + − + + = 0 0 0 0 0 2 2 111 22 2 22 nn n n n nn n n nn n n n nn n n ' n bbbb δδ = 0 0 0 0 2 222 2 111 n n nn n n n n n n n n n b ∑∑∑ +== ∞ = −+ δδ 9 = 0 0 0 0 2 2 2 11 n n n nn n n n n n = + = = 0 22 00 11 = == n n n n n n n n . Do đó Bb ' . Kết hợp với (1) ta có điều mâu thuẫn với ( ) .rB,ad = Từ đó suy ra không tồn tại b để ( ) B,adba = . Vậy ( ) B,AZ = ỉ. Trong Nhận xét trên, ta thấy ( ) B,AZ có thể rỗng. Do đó một câu hỏi đợc đặt ra là với điều kiện nào thì ( ) B,AZ ỉ. Mệnh đề sau trả lời một phần câu hỏi này. 1.2.3. Mệnh đề. Nếu A là tập bị chặn còn B là tập compact trong không gian Banach X thì ( ) B,AZ ỉ. Chứng minh. Vì B là tập compact nên B là tập đóng và bị chặn. Với mỗi > 0 đặt = )B,A(Z { } + )B,A(r)y,A(r:By , trong đó, ta viết ( ) y,Ar thay cho { }( ) y,Ar . Từ ( ) ( ){ } By:y,ArinfB,Ar = và tính chất của inf suy ra )B,A(Z ỉ. Bây giờ ta chứng minh )B,A(Z là tập đóng. Giả sử { } n y ,)B,A(Z Byy n . Với mọi Ax ta có yyyxyx nn + , với mọi n Do đó { } { } yyAx:yxsupAx:yxsup nn + , với mọi n hay 10 . dục và đào tạo Trờng đại học vinh ------- ------- Phạm thị mừng Một số tính chất hình học của không gian Banach và sự tồn tại điểm bất động Của ánh xạ không. 2.2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co 2.2.1. Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric Mục này trình bày điều kiện tồn tại điểm bất động của