Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình navier stokes không thuần nhất trong rn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOULADDA PONGPANYA MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES KHƠNG TH̀N NHẤT TRONG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 n ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOULADDA PONGPANYA MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES KHƠNG TH̀N NHẤT TRONG n Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020 Người viết luận văn Souladda PONGPANYA i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Phạm Thị Thủy Do kiến thức mẻ khoảng thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy người để luận văn hoàn thiện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn giúp đỡ tận tình suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán q thầy quan tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020 Người viết luận văn Souladda PONGPANYA ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm trơn 1.1.2 Không gian hàm suy rộng 1.1.3 Không gian Sobolev 1.2 Phương trình Navier – Stokes 15 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES KHƠNG TH̀N NHẤT TRONG n 20 2.1 Định nghĩa nghiệm yếu 20 2.2 Sự tồn tính chất nghiệm 21 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 iii LỜI NÓI ĐẦU Việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes đặt từ sớm đầu kỳ XIX lần Claude – Louis Navier thiết lập vào năm 1821 cho chất lỏng không nén năm 1822 cho chất lỏng nhớt Nhưng Navier đến phương trình Navier – Stokes mà chưa hoàn toàn nhận thức rõ tầm quan trọng yếu tố xuất phương trình Cho đến có nhiều cơng trình nghiên cứu loại phương trình Navier – Stokes Tuy nhiên, vấn đề tồn nghiệm mạnh tồn cục tính nghiệm yếu trường hợp ba chiều thách thức lớn Vì nhu cầu Khoa học Cơng nghệ mà việc nghiên cứu hệ Navier-Stokes nói riêng phương trình, hệ phương trình học chất lỏng nói chung ngày trở nên thời cấp thiết Như đề cập đến chuyên khảo R.Temam [16], J Frehse & M R ̊užička [6], [7], [8], [9], G P Galdi [11], [12] báo tổng quan gần C Bardos & B Nicolaenko [14] R Farwig, Darmstadt & H Sohr, Paderborn [10] vấn đề đặt nghiên cứu phương trình hệ phương trình học chất lỏng là: Sự tồn tại, tính tính quy nghiệm Tính quy tính quy theo biến thời gian tính quy theo biến khơng gian Mục đích luận văn “ Một số tính chất nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes khơng n ” trình bày số kết nghiên cứu nghiệm hệ phương trình Navier – Stokes không Các kết nghiên cứu trình bày phạm vi 34 trang, gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian hàm: không gian hàm trơn, không gian hàm suy rộng, không gian Sobolev hệ phương trình Navier – Stokes Chương 2: Là nội dung luận văn Trình bày định nghĩa nghiệm yếu, tồn tại, tính nhất, tính quy nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes khơng n Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong Chương trình bày lại số kiến thức sở làm tảng để nghiên cứu Chương Các tài liệu tham khảo trích dẫn [1], [2], [3], [5], [15] 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm trơn Định nghĩa 1.1.1 Giả sử   n miền với n  Nếu n = 1,  = ( a, b ) khoảng mở với −  a  b  + Giả sử k  , ta kí hiệu C k (  ) không gian tất hàm u:  → u ( x) x cho D u tồn liên tục  với   n ,0    k C (  ) không gian tất hàm u :  → C  (  ) :=  C k (  ) gọi không gian hàm trơn  k =0 Giả sử M bao đóng tập M  n Ta kí hiệu supp u :=  x  ; u ( x )  0 giá hàm u :  → Nếu k  k =  ta đặt C0k (  ) := u  C k (  ) ; supp u compact , supp u   Do u  C0k (  ) nghĩa u  C k (  ) u =  ngoại trừ tập compact  Đặc biệt C0k (  ) không gian tất hàm trơn u không ngoại trừ tập compact phụ thuộc vào u Giả sử u M hạn chế hàm u tập M Với k  ( ) hiệu C k  không gian tất hạn chế u  với u  C k sup   k , x n D u ( x )   k =  , ta kí ( ) cho n Nếu k =  ta thay   k    Ta xác định chuẩn u Ck = u D u ( x ) ( ) :=  sup  k , x Ck  Nếu k =  ta thay   k    Ta ký hiệu ( )  k Cloc  := u  ; u  C k ( n ) Giả sử n  2,0  T   Ta xác định không gian trường vectơ không phân kỳ trơn   C0, (  ) := u  C0 (  ) ; div u = n Ta xét không gian thử   C0 ( ( 0, T ) ; C0, (  ) ) := u  C0 ( ( 0, T )   ) ; div u = , n div áp dụng cho biến số x = ( x1 , , xn )     C0 ( 0, T ) ; C0, (  ) ) := u 0,T ) ; u  C0 ( ( −1, T )   ) ; div u = n 1.1.2 Không gian hàm suy rộng Giả sử   n miền với n  Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính C0 (  ) hàm trơn  gọi không gian thử   C0 (  ) gọi hàm thử Cho phiếm hàm tuyến tính F :  → F ( ) ,   C0 (  ) Hàm F liên tục với miền G  , G  , tồn k  C = C ( F , G )  cho F ( )  C  ( ) Ck G thỏa mãn với   C0 (  ) Định nghĩa 1.1.2 Khơng gian tuyến tính C0 (  ) tất phiếm hàm tuyến tính F : C0 (  ) →  F ( ) ,   C0 (  ) liên tục, gọi không gian hàm suy rộng  Kí hiệu F ( ) =  F ,  =  F ,  giá trị F  Mỗi hàm f  L1loc (  ) xác định hàm suy rộng định nghĩa  f ,  Ta kí hiệu hàm suy rộng f , = f , = f , :=  f  dx   f Do ta xác định f với hàm suy rộng f , phép nhúng L1loc (  )  C0 (  ) Mỗi f  L1loc (  ) gọi hàm suy rộng quy Xét tốn tử vi phân D = D11 Dn n với  = (1 , , n )  n Với F  C0 (  ) hàm suy rộng D F  C0 (  ) định nghĩa  D F ,  := ( −1)  F , D   ,   C0 (  )  Đặc biệt, với f  L1loc (  ) hàm suy rộng D f =  D f ,.  C0 (  ) định nghĩa  D f ,   := ( −1)  f , D  = ( −1)    f ( D  )dx  Nếu D f quy tồn hàm L1loc (  ) biểu thị qua D f cho  D f ,  = D f , =  ( D f )dx với   C0 (  )  Kí hiệu D f  L1loc (  ) D f quy coi hàm L1loc (  ) Giả sử F  C0 (  ) D := a D ,   k , a  (1.1) k toán tử vi phân DF  C0 (  ) định nghĩa  DF ,  =  ( −1)  k  a  F , D  ,   C0 (  ) (1.2) Đặc biệt, f  L1loc (  ) Df định nghĩa (1.2) hàm suy rộng quy xác định hàm biểu thị qua Df ta viết đơn giản Df  L1loc (  ) Khi  Df ,  = Giả sử Df , =  ( Df )  dx =  f  L1loc (  )  ( −1)  k  a f , D với   C0 (  )  = (1 , , n )  n D f Nếu quy, D f  L1loc (  ) ta gọi D f đạo hàm yếu cấp  f Nếu  q   ký hiệu D f  Lq (  ) D f quy hàm Lq (  ) , ta viết D f q   Tương tự, Df  Lq (  ) với D thỏa mãn (1.1) quy Ta xét không gian tương ứng cho trường vectơ Giả sử m C0 (  ) := (1 , , m ) ,  j  C0 (  ) , j = 1, , m m không gian hàm thử có giá trị vectơ  = (1 , ,m ) trang bị tôpô tương ứng Với F = ( F1 , , Fm ) , Fj  C0 (  ) , j = 1, , m ta định nghĩa hàm  F ,  , F:   = (1 , , m )  C0 (  ) m  F ,  =  F ,  :=  F1 ,1  + +  F1 ,m  Ta ký hiệu m m C0 (  ) = C0 (  )  = ( F , , F ); F  C () , j = 1, , m m  j  không gian suy rộng không gian thử C0 (  ) m Giả sử f  Lloc (  )  = (1 , , n )  m   f ,  = n f = ( f1 , , f m ) xác định hàm suy rộng f , =  f  dx   f  = f11 + + f mm , = (1 , , m )  C0 (  ) Khi ta có phép nhúng m m m L1loc (  )  C0 (  )  Để xác định nghiệm yếu phương trình Navier – Stokes ta xét khơng gian hàm thử không phân kỳ Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES KHƠNG TH̀N NHẤT TRONG n Chương trình bày tồn tại, tính nhất, tính quy nghiệm hệ phương trình Navier – Stokes không n Các tài liệu tham khảo trích dẫn [4], [7], [10], [13], [16] 2.1 Định nghĩa nghiệm yếu Xét hệ phương trình Navier – Stokes −u + u  u + p = f , divu = k , u| = g , (2.1) n miền giới nội   R , n  , với biên trơn ∂Ω lớp C 2,1 với giá trị f = div F , k , g thỏa mãn F = ( Fi , j )in, j =1  Lr (), k  Lr (), g  W −1/ q ,q () ,  kdx =   N  gdS với n  q  , q '  r  q,  (2.2) 1 +  n q r N = N ( x) = ( N1 ( x), , N n ( x) ) với x = ( x1 , x2 , , xn )   Định nghĩa tích phân biên  N g dS =  g , N  =  N , g ,1  với biên trơn q =   q q −1 Ta tồn nghiệm, tính nhất, tính quy nghiệm u  Lr (  ) Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2) Định nghĩa 2.1 Giả sử f , k , g xác định (2.2), u  Lq () gọi nghiệm yếu hệ (2.1) thỏa mãn − u , w  + g , N  w  − uu , w  − ku , w 20  = − F , w  , w  C0, () (2.3) divu = k  N  g  (2.4) Với hệ phương trình tuyến tính −u + p = f , div u = k , u| = g (2.5) ta bỏ điều kiện q '  r (2.2) số hạng phi tuyến thể u u giả sử f = div F , k , g thỏa mãn F = Lr () k  Lr (), g  W −1/ q ,q () ,  kdx =   (2.6) N  gdS với n  q  ,  r  q,  1 +  n q r Định nghĩa 2.2 Giả sử f , k , g thoả mãn (2.6) Khi u  Lq () gọi nghiệm yếu (2.5) − u , w  + g , N  w  = − F , w  với w  C0,2  , () (2.7) thỏa mãn điều kiện div u = k , N  u| = N  g 2.2 Sự tồn tính chất nghiệm Định lý 2.3 Giả sử f = div F , k , g thỏa mãn (2.2) Khi đó, tồn số K = K ( , q, r )  cho trường hợp F Lr (  ) + k Lr (  ) + g w−1/ q , q (  ) K, (2.8) q thì có nghiệm yếu u  L () hệ (2.1) thoả mãn ước lượng u Lq (  ) ( C F Lr (  ) + k Lr (  ) + g w−1/ q , q (  ) ) (2.9) với C = C ( , q, r )  Hơn nữa, tồn áp suất p  W −1,q () cho −u + u u + p = f thỏa mãn theo nghĩa suy rộng 21 Chứng minh Xét trường hợp phi tuyến, ta giả sử f = div F , k , g thỏa mãn điều kiện (2.2) Trước tiên giả thiết u  Lq (  ) nghiệm yếu Bài toán (2.1) Đặt fˆ := f − div ( uu ) + ku ta Aq−1Pq fˆ  Lq (  ) xác định Aq−  Pq f , v = f , Aq−' v   , v  Lq ' () Do u nghiệm yếu hệ tuyến tính −u + p = fˆ , div u = k , u| = g (2.10) u := u1 + u2 + u3 = H − G + Aq−1Pq f , (2.11) áp dụng ta biểu diễn u= ( u ) := H − G + Aq−1Pq f − Aq−1Pq div ( uu ) + Aq−1Pq ( ku ) ( u ) có nghiệm u  Lq (  ) sử dụng nguyên lí điểm Tiếp theo ta thấy u = bất động không gian Banach Thật áp dụng Aq−1Pq f , v  = f , Aq−'1v  , v  Lq () u q ,  C A u r , ( ) , u  D A ,    q  , 2 + ta tương tự f , Aq−'1v   C1 F = F , Aq−'1v r , (2.12) Ar−'1/2v r ',  = F , Ar−' 1/2 Ar−' 1/2v  C2 F r , v q ', Mà Aq−1Pq div ( uu ) , v  22 = uu , Aq−'1v   n n = , q   C1 uu  C2 u  C3 u Aq−'1v q /2, A(−q1/2 v /2 ) ' q q , v ( q /2 ) ', ( q /2 ) ', (2.13) q ', Aq−1Pq ( ku ) , v  C1 ku  C2 k = ku , Aq−'1v  (1/ r +1/ q )−1 , u r , q , v Aq−'1v  (1−1/ r −1/ q )−1 , (2.14) q ', với v  Lq (  ) với C1 , C2 , C3 thuộc , q, r Vì q  r  q thỏa mãn 1/ r + 1/ q  q  n, 1/ n + 1/ q  1/ r Điều cho thấy − Aq−1Pq div ( uu ) + Aq−1Pq ( ku )  Lq (  ) tức xác định u  Lq (  ) , từ u q , (  C Aq−1Pq f với C = C(, q)  0, (2.12), (2.13) fˆ q , q , + k r , C F + g r , −1/ q ;q , ) , C = C (, q,  )  , ta ước lượng ( u ) q ,  C u q , + k r , u q , + F r , + k r , với C = C ( Ω, q, r )  , viết dạng ( u ) q ,  a u q , + b u q , + c với a := C , b := C k r , ( , c := C F r , + k r , + g 23 −1/ q ; q ,  ) + g −1/ q ;q , (2.15) Bằng cách tương tự ta ( u ) − ( v ) q ,  ( a u q , + v q , ) +b + u −v q , , với u , v  Lq (  ) Ở u , v  Lq (  ) nghiệm yếu Bài tóan (2.1) Để chứng minh tồn ta phải giải toán điểm bất động u = ( u ) Giả sử 4ac + 2b  xét hình cầu đóng  := u  Lq (  ) ; u q , (2.16)   y1 , ( y1 = 2c − b + + b − ( 4ac + 2b ) ) −1 0 nhỏ phương trình y = ay + by + c Đặt K = K ( Ω, q, r ) := ( 4C + 3C ) với C từ (2.14) ta thấy (2.8) đủ cho (2.16) −1 thỏa mãn Nếu u  ( u ) q,  ay12 + by1 + c = y1  2c ( u )  ta nhận Do đó, ngun lí điểm bất động Banach mang lại u  với u  ( u ) u nghiệm yếu (2.10) nghiệm (2.1) Ngồi ta thấy u q ,  y1  2c chứng minh Vậy Định lý 2.3 chứng minh q Định lý 2.4 Giả sử f = div F , k , g thỏa mãn (2.2) u  L () nghiệm yếu hệ (2.1) Khi đó, tồn số K = K ( , q, r )  cho u q+ k r K (2.17) q thì không tồn nghiậm yếu khác v  L () (2.1) với điều kiện f , k , g Chứng minh Cho nghiệm yếu u , v  Lq (  ) , u thỏa mãn Định lý 2.4, ta thấy w = u − v  Lq (  ) nghiệm yếu hệ tuyến tính −w + p = fˆ , div w = Ω , w|Ω = 0, 24 với fˆ = − div ( vw + wu ) + kw Khi đó, cơng thức biểu diễn (2.11) xác định mối quan hệ w = − Aq−1Pq div ( vw + wu ) + Aq−1Pq ( kw ) (2.18) Trước tiên cho q  n Khi đó, ta kết thúc cách sử dụng ước lượng chứng minh trước − Aq−1Pq div ( vw + wu ) + Aq−1/ Pq ( kw )  Lq / (  ) w  D ( Aq1/2/2 ) mang lại w  Lq1 (  ) , Trong (2.18), ta thấy 1/ n + 1/ q1 = / q Từ q  n q1  q , ta lặp lại đạt số bước ( ) hữu hạn w  D Aq1/2/2 Khi lấy (2.18) tích vơ hướng với A2 w , viết vw = uw − ww sử dụng div ( ww ) , w = Bây giả thiết nhỏ (2.17) lí luận thu hút cho thấy A21/2 w  w = u = v Nếu q = n ta cần bước làm trơn bổ sung cách sử dụng toán tử Yosida J m = ( I + m −1 Aq1/2 ) , m  −1 mãn k − k j r → v − v j  Hơn nữa, ta chọn C0 -hàm số k j , v j u j , j  n + u −uj n , thỏa → j →  Khi (2.18) viết lại, sử dụng w = J m w + m −1 Aq1/2 J m w vế bên phải, dạng ( Aq1/2 J m w = − J m Aq−1/2 Pq div ( v − v j ) J m w + ( J m w ) ( u − u j ) − ( J m Aq−1/2 Pq div ( v − v j ) Aq1/2 J m w + ( Aq1/2 J m w ) ( u − u j ) m ( − J m Aq−1/2 Pq div ( v j w − wu j ) + J m Aq−1/2 Pq + ( k − k j ) J m w + J m Aq−1/2 Pq m (( k − k ) A j 1/2 q ) ) ) ) J m w + J m Aq−1/2 Pq ( k j w ) =: h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 (2.19) Tiếp theo chọn q1  q = n    0, 1 ( +  ) / n + 1/ q1  (1 +  ) / n  1/ r Nếu n  ,  = Trong trường hợp q = n = r  q = 25 ta tìm   0,1) để hoàn thành hai điều kiện Hơn quan sát q1  n chọn := (1 / n + / q1 )  Áp dụng −1 lớn J m + m −1 Aq1/2 J m  C , m  , f , Aq−'1v  = F , Aq−'1v  C1 F  = F , Ar−' 1/2 Ar−' 1/2v Ar−'1/2v r , r ',  C2 F  v r , (2.20) (2.21) q ', Aq−'1/2 Pq div w  C w q , w  Lq () ,  q   (2.22) q h1 (2.19) h1  C1 (v − v ) J j ( v−v C ( v−v m w + ( J mw) (u − u j )  C2 j n + u −uj n j n + u −uj n Liên quan đến h2 cho )Jw )A Jw m q1 1/2 m  (1, n ) xác định 1/ n + 1/ = 1/ từ (2.20), (2.21), (2.22) ta h2  C1 Aq1/2 h2  C2 ( v − v j ) Aq1/2 J m w + ( Aq1/2 J m w ) ( u − u j )  C2 ( v−v j n + u −uj )A 1/2 n J mw Hơn h3 Tiếp theo từ r   C v j w + wu j (  C vj q + uj q )w n n h4  C1 ( k − k j ) J m w  C1 ( k − k j ) 26 n /2 J mw q Khi đó,  C2 k − k j r A1/2 J m w Nhìn vào ước lượng h2 (2.21), ta nhận cho h5 với định / =  / n + 1/ h5  xác , dó (  C1 Aq−1/2 Pq ( k − k j ) Aq1/2 J m w ) (  C2 Aq /2−1/2 Pq ( k − k j ) Aq1/2 J m w  C3 ( k − k j ) Aq1/2 J m w  C3 k − k j 2 A1/2 J m w m / (1+ )  C4 k − k j ) A1/2 J m w r Cuối h6  C1 k j w  C1 k j w n  C2 k j q1 w n Tóm tắt L -ước lượng h j ,  j  từ (2.18) ta có ( A1/2 J m w  C5 v − v j ( n + u −uj + k − kj +C6 v j n q1 + uj với số C, C1 , , C6  độc lập m v − vj n + u −uj + k − kj n r q1 + kj q1 )A 1/2 r )w J mw (2.23) n Bây chọn j  đủ lớn cho  1/ ( 2C5 ) Do đó, cho j cố định cho m ( A1/2 J m w  M := 2C6 v j q1 + uj q1 + kj q1 )w n Từ đồ thị A1/2 đóng yếu từ J m w → w L (  ) , ta kết luận w  D ( A1/2 ) Do w  Lq1 (  ) , q1  n Từ  , ta kết luận w  D ( A21/2 ) đối số tương tự phần chứng minh cho thấy w = Vậy Định lý 2.4 chứng minh 27 q Định lý 2.5 Giả sử u  L () nghiệm yếu (2.1) với f = div F k , g thỏa mãn (2.2) q 1−1/ q , q q () (i) Giả sử f , k , g thỏa mãn thêm điều kiện F  L (), k  L () g  W Khi u  W 1,q () , hệ phương trình −u + u u + p = f vẫn đúng theo nghĩa suy q rộng với áp suất p  L () u| = g đúng theo nghĩa định lý vết thông thường (ii) Giả sử f , k , g thỏa mãn thêm điều kiện F  Lq (), k  W 1,q () g  W 2−1/ q ,q () Khi u  W 2, q () , hệ phương trình −u + u u + p = f vẫn đúng Lq () 1, q với áp suất p  W () u| = g đúng theo nghĩa vết Chứng minh (i) Ta sử dụng giá trị vector E1 ( g )  W 1,q (  ) thỏa mãn E1 ( g )| = g  nghiệm b ( g )  W01,q (  ) phương trình div b ( g ) = div ( u − E1 ( g ) ) = k − div E1 ( g ) , ý  ( k − div E ( g ) ) dx =  Đặt uˆ = u − Eˆ , Eˆ = E1 ( g ) + b ( g ) , ta thấy uˆ nghiệm yếu hệ tuyến tính −uˆ + p = fˆ , div uˆ = , uˆ|Ω = 0, fˆ = f + divEˆ − div ( uu ) + ku Cơng thức biểu diễn tuyến tính (2.11) mang lại uˆ = Aq−1Pq div( F + Eˆ − uu ) + Aq−1Pq ( ku ) (2.24) Ta lập luận chứng minh Định lý 2.4 Nếu q  n ta số bước hữu ( ) 1, q hạn uˆ  D Aq1/2  W 1, q (  ) u  W (  ) 28 Nếu q = n , ta sử dụng phương pháp làm trơn tương tự chứng minh Định lý 2.4 Trước tiên viết (2.24) dạng ( ) ( uˆ = Aq−1Pq div( F + Eˆ ) - Aq−1Pq div u (uˆ + Eˆ ) + Aq−1Pq div k (uˆ + Eˆ )  chọn u j  C0 (  ) , j  , thỏa mãn u − u j n ) (2.25) →  j →  Khi sử dụng tốn tử Yosida J m = ( I + m −1 Aq1/2 ) ta nhận từ (2.24) mà −1 Aq1/2 J muˆ = − J m Aq−1 Pq div((u − u j ) J muˆ ) J m Aq−1/2 Pq div((u − u j ) Aq−1/2 J muˆ ) m − J m Aq−1/2 Pq div(u j uˆ ) − + J m Aq−1/2 Pq div( F + Eˆ ) − J m Aq−1/2 Pq div(uEˆ ) + J m Aq−1/2 Pq k (uˆ + Eˆ ) = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 chọn q1  q = n xác định (2.26)  (1, n) 1/ = 1/ n + 1/ q1 Các hàm số h1 , h2 h3 ước lượng tương tự h1 , h2 , h3 chứng minh Định lý 2.4 ta : hi  C1 u − u j + A1/2 J muˆ + C2 u j n q1 uˆ n , i = 1, 2,3 Dễ thấy ba hàm số cuối hi để thỏa mãn h4 + h5 + h6 chọn j  C (( uˆ n + Eˆ n )k n + u n Eˆ W 1, n + F + Eˆ n ), đủ lớn, nguyên lí thu hút (2.26) cho thấy A1/2 J muˆ  M cho m  , ( M = M u j q1 , uˆ n , k n , Eˆ W 1, n , F n )0 độc lập m Do uˆ  D ( A1/2 )  Lq1 (  ) u  Lq1 (  ) , q1  q = n Bây ta chọn q1 = 2q 1/2 q 1,q từ (2.25) mà Aq u  L (  ) u  W (  ) 29 q (ii) Ta có từ giả thiết tồn F  L (  ) với f = div F Khi đó, ta kết luận (i) 1,q mà u  W (  ) Hơn ta sử dụng có giá trị vectơ toán tử mở rộng E ( g , h2 )  W 2,q (  ) với hàm số lựa chọn phù hợp h2  W 1−1/ q , q (  ) div E ( g , h )| = − k| Từ   ( k − div E ( g , h ) ) dx 2 =0  ( k − div E ( g , h ) ) 2 | = 0, ta tìm thấy nghiệm b  W02,q (  ) phương trình div b = div ( u − E ( g , h ) ) = k − div E ( g , h ) Đặt uˆ = u − E ( g , h ) − b ta thấy uˆ nghiệm yếu hệ tuyến tính −u + p = f , div uˆ =  , uˆ|Ω = 0, f = f + E ( g , h2 ) + b − div ( uu ) + ku Nếu q  n , ước lượng tiêu chuẩn trực tiếp cho thấy div ( uu ) − ku = u  u  Lq () Do nghiệm u biểu diễn  uˆ = Aq−1Pq f + Aq−1Pq ( E ( g , h2 ) + b ) − Aq−1Pq ( div (uu ) − ku ) (2.27) ( ) Vậy uˆ  D Aq u  W 2, q ()   q Nếu q = n , ta tìm thấy số q   n F  L () với f = div F  ; số mũ q   n có     q 1−1/ q , q () Từ (i), ta u  W 1, q () thể chọn mà k  L , g  W Vậy ta kết luận u  u  Lq () dẫn đến uˆ  W 2, q () trường hợp q  n Định lý 2.5 chứng minh 30 Hệ qủa 2.6 Kết tính quy Định lý 2.5 (ii) mở rộng sau: q Giả sử u  L () nghiệm yếu (2.1) với f = div F , k , g thỏa mãn (2.2) f  Lq (), F  Lq (), k  W 1,q () trường hợp g  W 2−1/ q ,q () , n  s   Khi u  D ( As ) + W 2,q () , D ( As ) miền tốn tử Stokes, hệ phương trình −u + u u + p = f cố định Lq () mà q = min(q, s) với số hàm áp suất p  W 1,q () u| = g hiểu theo nghĩa vết Chứng minh q Trước hết cho q  n Khi div ( uu ) − ku = u u  L () sử dụng (2.27) −1 −1 với Aq Pq f thay As Ps f ta thấy uˆ  D ( As ) + W 2,q () Nếu q = n s  n / , ta tìm thấy sử dụng Định lý phép nhúng Sobolev   q số q   n F  L () Như    f = div F  , k  Lq , g  W 1−1/ q ,q ()  1, q Điều cho thấy u  W () , u  u  Lq () uˆ  D ( As ) + W 2,q () Cuối cùng, trường hợp giới hạn q = n , s  n / , ta trực tiếp u  u  Lq1 () cho  q1  n (2.27) cố định với số hạng cuối cùng thay Aq−11Pq1 ( div ( uu ) − ku ) ( ) Chọn s  q1  n , ta uˆ  D ( As ) + D Aq1  D ( As ) Ta điều cần chứng minh 31 KẾT LUẬN Luận văn “Một số tính chất nghiệm hệ phương trình Navier-stokes khơng thần n ” trình bày kiến thức sau: • Trình bày số tính chất khơng gian hàm: hàm trơn, hàm suy rộng, hàm Sobolev định nghĩa phương trình Navier – Stokes • Xây dựng Bài tốn (2.1) với điều kiện (2.2), trình bày định nghĩa nghiệm yếu Bài tốn (2.1) • Chứng minh tồn nghiệm yếu u  Lq () Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2) (Định lí 2.3) Chỉ tồn nghiệm yếu Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2) thỏa mãn (2.17) (Định lí 2.4) • Chứng minh tính quy nghiệm Định lí 2.5 Hệ 2.6 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội II Tiếng Anh [2] Adams R A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [3] Apostol T M (1974), Mathematical Analysis, Addison – Wesley, Am sterdam [4] C Bardos (2002), Solution of the Stokes problem as an inverse problem Computional methods in applied mathematics (3), 213-232 [5] Farwig R., Galdi G P., Sohr H (2006), A new class of weak solutions of the Navier – Stokes equations”, Comptes Rendus Mathematique, Mathematical Problems in Mechanics (348), 335-339 [6] J.Frehse and M.R ̊užička (1994), On the regularity of the stationary Navier-Stokes equations, Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci (IV) 21, 63–95 [7] J.Frehse and M R˚užička (1994), Regularity for the stationary Navier-Stokes equations in bounded domains, Arch Rational Mech Anal 128, 361–380 [8] J.Frehse and M R˚užička (1996), Existence of regular solutions to the steady Navier-Stokes equations in bounded six-dimensional domains, Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci (IV) 23, 701–719 [9] J Frehse and M R˚užička (1998), Regularity for steady solutions of the NavierStokes equations, J G Heywood, et al (eds.), Theory of the Navier-Stokes equations Proc 3rd Intern Conf Navier-Stokes Equations: theory and numerical methods World Scientific Ser Adv Math Appl Sci., Singapore 47, 159–178 [10] R Farwig, Darmstadt, and H Sohr, Paderborn (2009), Existence uniqueness and regularity of stationary solutions to inhomogeneous Navier-Stokes equations in Rn , Czechoslovak Mathematical Journal, 59 (134), 61-79 33 [11] G P Galdi (1998), An Introduction to the Mathematical Theory of the NavierStokes Equations, Linearized Steady Problems Springer Tracts in Natural Philosophy, Vol 38, Springer-Verlag, New York [12] G P Galdi (1998), An Introduction to the Mathematical Theory of the NavierStokes Equations, Nonlinear Steady Problems Springer Tracts in Natural Philosophy, Vol 39, New York [13] G P Galdi, C G Simader and H Sohr (2005), A class of solutions to stationary Stokes and Navier-Stokes equations with boundary data in W−1/q,q(∂Ω), Math Ann 331, 41–74 [14] B Nicolaenko (2002), Navier-Stokes equations and dynamical systems Handbook of dynamical systems Vol 2, Amsterdam: Elsevier 503-597 [15] H Sohr (2001), The Navier – Stokes Equations, An Elementary Functional Analytic Approach, Birkhãuser Advanced Texts, Birkhãuser Verlag, Basel [16] R Temam (1984) : Navier-Stokes Equations Theory and numerical analysis North-Holland, Amsterdam, New York, Tokyo, 34 ... SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES KHƠNG TH̀N NHẤT TRONG n Chương trình bày tồn tại, tính nhất, tính quy nghiệm hệ phương trình Navier – Stokes khơng n Các tài... Mục đích luận văn “ Một số tính chất nghiệm hệ phương trình Navier- Stokes khơng n ” trình bày số kết nghiên cứu nghiệm hệ phương trình Navier – Stokes khơng Các kết nghiên cứu trình bày phạm vi... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOULADDA PONGPANYA MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES KHƠNG TH̀N NHẤT TRONG n Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán