TRẦN PHƯƠNG HÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN CAT( ) VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN PHƯƠNG HÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA KHƠNG GIAN CAT( ) VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN PHƯƠNG HÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA KHƠNG GIAN CAT( ) VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : TS NGUYỄN VĂN KHIÊM HÀ NỘI, 2011 MỤC LỤC Chương 1: Không gian CAT ( ) 1.1 Không gian trắc địa 1.2 Tập lồi bao lồi trắc địa 1.3 Khơng gian mơ hình n M  1.4 Không gian CAT(  ) 12 Chương 2: Điểm bất động ánh xạ không giãn ánh xạ Lipschitz không gian CAT ( ) 2.1 Định lý W.A.Kirk không gian CAT ( ) 15 2.2 Ánh xạ Lipschitz không gian CAT ( ) 23 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Bảng ký hiệu sử dụng luận văn  : Độ dài đường cong  d S : Khoảng cách không gian  n d H : Khoảng cách không gian Hyperbolic d : Khoảng cách không gian CAT ( ) rx (C ) : Bán kính Chebyshev C điểm x r(C ) : Bán kính Chebyshev tập C d (C ) : Đường kính tập C  N ( X ) : Hệ số cấu trúc chuẩn tắc  X ( ) : Môđun lồi không gian Banach X 10  ( X ) : Đặc trưng lồi gian Banach X 11  ( X ) : Đặc trưng Lifschitz không gian mêtric X 12  ( X ) : Hằng số Lifschitz không gian Banach X LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần không gian CAT(  ) thu hút ý nhiều nhà tốn học chúng có vai trị quan trọng khía cạnh khác hình học ứng dụng chúng Một ứng dụng vào lý thuyết điểm bất động ánh xạ không giãn ánh xạ Lipschitz không gian Luận văn với đề tài ”Một số tính chất hình học khơng gian CAT(  ) ứng dụng” nhằm mục đích nghiên cứu tính chất hình học khơng gian mêtric với độ cong bị chặn CAT(  ) ứng dụng lý thuyết điểm bất động Luận văn có chương: Chương 1: Là phần giới thiệu không gian CAT(  ) Chương 2: Là nội dung luận văn Trong chương chúng tơi mở rộng số kết tồn điểm bất động ánh xạ không giãn ánh xạ Lipschitz sang không gian CAT(  ) Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, Cơ Bộ mơn Lý thuyết hàm, Khoa Tốn- Tin, trường ĐHSP Hà Nội Đặc biệt TS Nguyễn Văn Khiêm có hướng dẫn quan trọng bảo tận tình tơi q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy, Cô phản biện đọc có đóng góp quý báu cho luận văn hoàn thiện bảo vệ thành công Hà nội, tháng năm 2011 Tác giả TRẦN PHƯƠNG HÀ Chương Không gian CAT( ) 1.1 Không gian trắc địa Giả sử ( X , d ) không gian mêtric  :[a, b]  X ánh xạ liên tục từ đoạn [a, b]   vào X Khi ta gọi ảnh  ([a,b]) đường cong X  biểu diễn tham số đường cong Giả sử  :[a, b]  X đường cong X Độ dài đường cong  định nghĩa sau n L  sup  d ( (tk 1 ), (tk )) k 1 Trong sup lấy theo tất phân hoạch a  t0  t1   tn  b đoạn [a , b ] Một đường cong  :[a, b]  X với  ( a )  x  (b )  y gọi đường cong nối từ điểm x tới y Khoảng cách nội hai điểm x, y  X xác định sau di ( x, y)  inf{L :  đường cong X nối x với y} Dễ thấy d i mêtric X d i ( x, y )  d ( x, y )  x, y  X Nếu di  d X ta nói ( X , d ) không gian mêtric nội tại, hay không gian độ dài Một đường cong  :[a, b]  X nối hai điểm x, y  X gọi đường ngắn L  di ( x, y )  d ( x, y) Một đường trắc địa X nối từ điểm x tới y đường cong ngắn  :[a, b]  X nối từ điểm x tới y có tốc độ hằng, tức d ( (t ),  ( s ))   t  s t , s  [a, b] ,  số gọi tốc độ đường cong  Mỗi đường trắc địa nối hai điểm x , y gọi đoạn thẳng trắc địa có điểm đầu mút x y , ký hiệu đoạn thẳng trắc địa [x, y ] Định nghĩa 1.1.1 Giả sử ( X , d ) khơng gian mêtric Khi : (i) X gọi không gian trắc địa với điểm x, y  X có đường trắc địa X nối x với y (ii) X gọi không gian trắc địa điểm x, y  X có đường trắc địa X nối x với y (iii) X gọi không gian trắc địa địa phương với điểm p  X có lân cận U p cho với điểm x, y U có đường trắc địa X nối x với y (iv) Với D  (0,  ] , không gian mêtric ( X , d ) không gian D  trắc địa với hai điểm x, y  X mà khoảng cách d ( x, y )  D có đường trắc địa X nối x với y 1.2 Tập lồi bao lồi trắc địa Giả sử ( X , d ) không gian trắc địa C tập X Định nghĩa 1.2.1 Tập C gọi tập lồi (trắc địa) đoạn thẳng trắc địa với điểm đầu mút C nằm hoàn toàn C Tập C gọi tập lồi mạnh với hai điểm x, y  C có đoạn thẳng trắc địa nối x với y đoạn thẳng trắc địa nằm hoàn toàn C Với tập Y không gian trắc địa ( X , d ) , bao lồi (trắc địa ) Y xây dựng quy nạp sau: Ký hiệu G1 (Y ) hợp tất đoạn thẳng trắc địa có hai đầu mút thuộc Y Với n  1, 2, , đặt Gn1 (Y ) : G1 (Gn (Y )) Bao lồi trắc địa Y tập  conv(Y ) :  Gn (Y ) n 1 n 1.3 Không gian mơ hình M  1.3.1 Khơng gian Sn Ký hiệu  n không gian Euclid thực n chiều, tức  n không gian vecto  n trang bị tích vơ hướng : n x, y   xi yi i 1 x  ( x1 , x2 , , xn )   n y  ( y1 , y2 , , yn )   n Tích vơ hướng sinh chuẩn Euclid tương ứng: n x E  2    xi  , x  ( x1 , x2 , , xn )   n  i 1  Ký hiệu S n mặt cầu đơn vị không gian Euclid  n1 : S n  {x   n1 : x E  1} 10  n1 cách Đặt Cn  Cn ta xây dựng dãy Cn  Cn  n1 dãy giảm bao lồi khác rỗng 0 0  r( Cn )  inf rx ( Cn ): x  C   N( C ).d( Cn )  k.d( C n ) 0  x0  Cn  A( Cn ) Ta chứng minh d( Cn )  k.d( Cn ) Thật giả sử  q  p  n  n1 dãy giảm  y  A( C ) p 0 mà x  A( C ), y  A( Cq ) Cn p 0 x  y  rx ( C p ) k.d( C p )  k.d( Cn )   0  sup d( x, y )  k.d( Cn )  d   A( Ci0 )  k.d( Cn )  in    Tiếp tục trình ta hệ thống dãy giảm sau 0 C10  C2  Cn   1 C1  C2  Cn   i với d( Cn ) k.d( C ip1 )   k i d( Cn ) i  d( Cn ) i  , với n  23 Cnn1 n1 Chọn dãy đường chéo  gồm tập đóng, bị chặn, khác rỗng,  n lồng C với d Cn1  n   Do X không gian đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor Cnn1    Cn n1 n1 Định lý 2.1.5 Giả sử X không gian CAT ( ) đầy đủ C D Khi đó, tập đóng, lồi, trắc địa X với bán kính r (C)  T : C  C ánh xạ khơng giãn T có điểm bất động C Chứng minh Chứng minh chia thành bước: Bước 1: Chứng minh  K tập lồi, đóng, khác rỗng, cực tiểu (theo quan hệ bao hàm)  C cho T( K0 )  K0 Xét họ  =K  C : K tập lồi, đóng, khác rỗng : T(K)  K  Khi họ    C   Đưa vào  quan hệ "  " sau: Với K1 ,K   , K1  K  K1  K Ta chứng minh họ (  , ) thỏa mãn giả thiết bổ đề Zorn 24 Giả sử  K :   I  tập thứ tự toàn phần  Áp dụng kết Bổ đề 2.1.4 ta có K   K   K tập lồi, đóng I T( K )  T( K )  K    T( K )   K   K I K  hiển nhiên K  K   I  Họ  K :   I  có cận  Áp dụng Bổ đề Zorn, họ (  , ) có phần tử tối đại Gọi K phần tử tối đại (  , ) K tập lồi, đóng, khác rỗng cực tiểu C theo quan hệ bao hàm Bước 2: Chứng minh khẳng định: Nếu K tập lồi, đóng, cực tiểu C thỏa mãn T( K0 )  K0 conv(T( K ))  K Thật ta có T( K0 )  K0 K tập lồi, đóng nên conv(T( K ))  K   T conv(T( K ))  T( K )  conv(T( K ))  K  conv( T( K )) tập lồi, đóng chứa K bất biến T Do tính cực tiểu K  conv( T( K ))  K Bước 3: Xét T : K0  K0 Gọi u  K tâm Chebyshev K Với x  K ta có: Tx  Tu  x  u  ru ( C )  r  Tx  B(Tu,r ) x  K0 25  T( K )  B(Tu,r ) B( Tu,r ) tập lồi, đóng  conv( T( K0 ))  B(Tu,r ) Theo bước ta có conv(T( K ))  K  K0  B(Tu,r )  Tu tâm Chebyshev K Do tính tâm Chebyshev (Định lý 2.1.1)  Tu  u  T có điểm bất động 2.2 Ánh xạ Lipschitz không gian CAT () Lớp ánh xạ Lipschitz đưa K.Goebel W.A.Kirk, mở rộng cần thiết tự nhiên lớp ánh xạ không giãn Định nghĩa 2.2.1 Môdun lồi không gian Banach X hàm số  X : [ , ]  [ ,1], xác định sau:    1 x  y : x,y  X , x  1, y  1, x  y    X ()  inf         Đặc trưng lồi không gian Banach X số 0 (X ) xác định 0 (X )  sup   [ 0,2] : X ()  0 Không gian Banach X gọi không gian lồi  X ( )    ( , ] 26 Người ta chứng minh hàm số X liên tục [ , 2) tăng ngặt [0 (X ), ] Do đặc trưng lồi 0 (X )  phương trình     1  X    có nghiệm            K.Goebel W.A.Kirk người chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ L  Lipschitz (với số Lipschitz L  đủ gần 1) khơng gian Banach có đặc trưng lồi 0 (X )  Định lý 2.2.1 (Goebel – Kirk [10]) Giả sử X khơng gian Banach có đặc trưng lồi 0 (X )  C tập đóng, lồi, bị chặn, khác rỗng X Khi đó, T : C  C ánh xạ L  Lipschitz với số Lipschitz L   (X ) T có điểm bất động C 2.2.1 Đặc trưng Lipschitz không gian CAT () Năm 1975 E A Lipschitz mở rộng kết Goebel – Kirk sang khơng gian mêtric (khơng địi hỏi cấu trúc lồi) cách tiếp cận hoàn tồn khác mà quy trường hợp khơng gian Hilbert, kết Lipschitz tốt thực kết Goebel – Kirk Định nghĩa 2.2.2 (Lifschitz [17]) Đặc trưng Lipschitz không gian mêtric (X ,d ) số  (X) xác định sau:   :   cho x, y  X , r  0, d ( x, y )  r     ( X )  sup     z  X cho B( x,  r )  B( y, r )  B( z, r )      27 Khi X khơng gian Banach số Lipschitz không gian Banach X , ký hiệu 0 (X ) xác định bởi: 0 (X)=inf (C) : C tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng X  Định lý 2.2.2 (Lifschitz [17]) Giả sử (X ,d ) không gian mêtric đầy đủ, bị chặn T : X  X ánh xạ L  Lipschitz với L   (X ) Khi T có điểm bất động X Với khơng gian Hilbert H ta có 0 (H )    (H )  , nên quy trường hợp không gian Hilbert, kết Lipschitz tốt thực kết Goebel – Kirk Tiếp theo ta thiết lập đánh giá cho đặc trưng Lifschitz không gian CAT ( k ) với k  Trước tiên ta cần đến kết sau Mệnh đề 2.2.3 (Espínola-Fernández-Ln [9]) Nếu k  cosh1(cosh2 ( k )) ( M )  k k Mệnh đề 2.2.4 Nếu X không gian CAT ( k ) đầy đủ với k  ( X )  ( M k2 ) Chứng minh Giả sử r  , chọn x, y  X với d( x, y )  r, x , y  M k2 : d( x, y )  d( x , y ) 28 Giả sử l   ( M k ) Khi r( B( x ,r )  B( y,lr ))   r,  Chọn   (  ,1 ) với   ( ,1 ) đủ gần  đủ gần ta có r( B( x ,(   )r )  B( y,l(   )r ))   r Với d( x , y )  (   )r Lấy S : B( x ,(   )r )  B( y ,l(   )r ) Và S : B( x,(   )r )  B( y,l(   )r )   Dễ thấy tâm tâm Chebyshev c S nằm đoạn [ x, y ] Gọi c điểm so sánh c [x, y ] Do bất đẳng thức CAT(k), u  S ( y,x ,u ) tam giác so sánh tam giác ( x, y, u ) M k u  S ta có: d ( y, c)  d ( y , c ), d ( x, c)  d ( x , c ), d (c, u )  d (c , u )   r Do ta nhận kết luận mệnh đề Kết hợp Mệnh đề 2.2.4 Định lý Lipschitz ta nhận kết quả: Định lý 2.2.5 Giả sử k  X không gian CAT ( k ) đầy đủ bị chặn Khi đó, T : X  X ánh xạ L  Lipschitz với L  ( X ) Khi T có điểm bất động X 2.2.2 Tính chất ( P ) Định lý Lim-Xu không gian CAT ( k ) 29 Năm 1985 E.Casini E.Maluta đưa cách tiếp cận khác để chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ Lifschitz không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc Định lý 2.2.6 (Casini – Maluta[6]) Giả sử X không gian Banach có  cấu trúc chuẩn tắc N( X ) C tập đóng, lồi, bị chặn, khác rỗng X Khi đó, T : C  C ánh xạ L  Lipschitz với  L  ( N( X ))1 T có điểm bất động C Kết Casini – Maluta sau T C Lim H K Xu mở rộng sang không gian mêtric đầy đủ có cấu trúc chuẩn tắc cấu trúc lồi sinh hình cầu đóng Tuy nhiên, mở rộng sang không gian mêtric, Lim – Xu mắc phải trở ngại kỹ thuật Để trở ngại đó, Lim – Xu đưa vào khơng gian mêtric tính chất gọi tính chất ( P ) Đối với khơng gian Banach phản xạ, tính chất ( P ) ln Định nghĩa 2.2.3 Không gian mêtric ( X ,d ) (với cấu trúc lồi sinh hình cầu đóng) gọi có tính chất ( P ) với hai dãy bị chặn {x n } và{zn } X tồn điểm  z   conv{ z j : j  n } cho n1   lim sup d( z,xn )  lim sup lim sup d( z j ,xn )    n j  n Định lý 2.2.7 (Lim – Xu[18]) Giả sử ( X ,d ) khơng gian mêtric đầy  có cấu trúc chuẩn tắc N( X ) cấu trúc lồi sinh hình 30 cầu đóng có tính chất ( P ) Giả sử C tập lồi, bị chặn  X T : C  C ánh xạ L  Lipschitz với L  ( N( X ))1 T có điểm bất động C Tiếp theo ta chứng minh không gian CAT ( k ) có tính chất ( P ) Để thuận tiện cho việc trình bày, ta xét trường hợp CAT( ) Định lý 2.2.8 Giả sử X không gian CAT (1) đầy đủ bị chặn với đường kính d( X )   Khi X có tính chất ( P ) Chứng minh Giả sử {xn } {zn } hai dãy bị chặn X Đặt ( x )  lim supn d( x,xn ),x  X Với n  , đặt Cn : co nv({ z j : j  n }) Do định lý 2.1.1 tồn u n  Cn cho  ( u n )  inf  ( x ) xC n Từ z j  Cn , j  n,  ( un )  ( z j ),j  n Do ( un )  lim sup j  ( z j ),n Ta chứng tỏ dãy {un } Cauchy Giả sử ngược lại,   0,N   ,i, j  N : d( ui ,u j )   Do dãy { ( un )} tăng bị chặn nên dãy hội tụ Đặt d : d( X )   Chọn       :   arc cos  cos   cos d   d  2   31 Chọn N đủ lớn cho  ( ui )   ( u j )   với i, j  N Bây xét i  j  N mà d( ui ,u j )   Lấy m j  [ui ,u j ], n  trung điểm [ui ,u j ] tính lồi X ta có:    cos( max{d(ui ,xn ).d(u j ,xn )} )  d( m j ,xn )  arc cos      cos( )   hay    cos( max{d(ui ,xn ).d(u j ,xn )} )  cosd( m j ,xn )       cos( )   Do    cos( max{d(ui ,xn ).d(u j ,xn )} )  liminf cosd( m j ,xn )  lim inf    n n   cos( )    liminf cos( max{d(ui ,xn ).d(u j ,xn )} ),  n   2  : cos    Do hàm cosine giảm [0, ] ta có cos( lim sup d( m j ,xn ))  cos ( m j )  n cos(lim sup( max{d(ui ,xn ).d(u j ,xn )} ) n  Do 32 arccos(  cos( m j ))  lim sup( max{d(ui ,xn ).d(u j ,xn )} ) n Ta có lim sup( max{d(ui ,xn ).d(u j ,xn )} )  max{ lim sup d(ui ,xn ),lim sup d(u j ,xn )} n n n  max{ ( ui ),(u j )}   ( ui )+ (u j )  ( ui )- (u j )  2 arccos(  cos( m j ))   ( u j )   Xét f ( x )  arccos(  cos x )  x f '( x )  ,x  [ ,d ] đồng thời arccos(  cos x )  x  arccos(  cos d )  d  f ( d ),x  [ 0,d ] Từ   f ( d ) ta có arccos(  cos x )  x  arccos(  cos d )  d  f ( d ),x  [ 0,d ] Điều mâu thuẫn với định nghĩa {u j } Do {un } dãy Cauchy Do z  X : limn un  z Rõ ràng z   n 1 Cn Cuối từ  tính liên tục  giả thiết ( un )  lim sup j  ( z j ),n ta nhận  ( z )  lim sup  ( z j ) j  Định lý chứng minh Kết hợp Định lý 2.2.8 kết Lim – Xu ta nhận 33 Định lý 2.2.9 Giả sử X không gian CAT (1) đầy đủ bị chặn với đường kính d( X )   Khi ánh xạ L  Lipschitz T : X  X  với L  ( N( X ))1 có điểm bất động X 34 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu cách cô đọng khơng gian CAT(k) số tính chất hình học khơng gian Luận văn mở rộng định lý W A Kirk tồn điểm bất động ánh xạ không giãn khơng gian Banach sang lớp khơng gian CAT(k) Ngồi ra, luận văn chứng minh không gian CAT(k) có tính chất (P) , từ khẳng định định lý Lim- Xu (về tồn điểm bất động ánh xạ Lipschitz đều) không gian CAT(k) mà khơng cần giả thiết tính chất (P) không gian 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2003), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê (chủ biên), (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, II, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [3] Bridson, M R., Haefliger, A., (1999), Metric Spaces of Non – positive Curvature, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [4] Burago, D., Burago, Y., Ivanov, S., (2001), A Course in Metric Geometry, GSM, Vol 33, Amer Math Soc., Providence, RI [5] Bynum, W., (1980), Normal structure coefficients for Banach spaces, Pacific J Math., 86, 427 – 436 [6] Casini, E., Maluta, E., (1985), Fixed points of uniformy Lipschitzian mapping in spaces with uniformly normal structure, Nonlinear Analysis: T.M.A., (1), 103-108 [7] Dhompongsa, S., Kirk, W A., Sims, B., (2006), Fixed points of Lipschitzian mappings, Nonlinear Analysis: T.M.A., 65, 762-772 [8] Garcia-Falset, J., Lorens-Fuster, E., Sims, B., (1998), Fixed point theory for almost convex funtions, Nonlinear Analysis: T.M.A., 32, 601-608 36 [9] Espínola, R., Ferández-Lz, A., (2009), CAT (k)-spaces, weak convergence and fixed points, J Math Anal Appl., 353: 1,410-427 [10] Goebel, K., Kirk, W A., (1973), A fixed point theorem for transformations whoes iterates have uniform Lipschitzian constant, Studia Math., 47, 135-140 [11] Goebel, K., Kirk, W A., (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge University Press [12] Goebel, K., Reich, S., (1984), Uniformly Convexity, Hyperbolic Geometry and Nonexpansive Mappings, Marcel Dekker, New York and Basel [13] Kirk, W A., (1965), “A fixed point theorem for mappings which not increase distances”, Amer Math Monthly, 72, 1004-1006 [14] Kirk, W A., Panyanak, B., (2008), A concept of convergence in geodesis spaces, Nonlinear Analysis: T.M.A., 68 (12), 3689-3696 [15] Lang, U., Schroeder, V., (1997), Jung's theorem for Alexandrov spaces of curvature buonded above, Annals of Global Analysis and Geometry, 15, 263 - 275 [16] Lang, U., Schroeder, V., (1997), Kirszbraun’s theorem and metric spaces of bounded curvature, Geometry and Functional Analysis, 7, 535-560 [17] Lifschitz, E A., (1975), A fixed point theorem for operator in strongly convex spaces, Voronez Gos Univ Trudy Math Fak., 16, 23-28 [18] Lim, T C., Xu, H K., Uniform lipschitzian mappings in metric spaces with uniform normal, Nonlinear Analysis: T.M.A., 25, 1231-1235 37 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN PHƯƠNG HÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA KHƠNG GIAN CAT(? ?? ) VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người... ? ?Một số tính chất hình học khơng gian CAT(  ) ứng dụng? ?? nhằm mục đích nghiên cứu tính chất hình học khơng gian mêtric với độ cong bị chặn CAT(  ) ứng dụng lý thuyết điểm bất động Luận văn có... nhà tốn học chúng có vai trị quan trọng khía cạnh khác hình học ứng dụng chúng Một ứng dụng vào lý thuyết điểm bất động ánh xạ không giãn ánh xạ Lipschitz không gian Luận văn với đề tài ? ?Một số