SỰ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TÍNH CHẤT RADON-NIKODYM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 3 1.1. Thời điểm Markov và thời điểm dừng 3 1.1.1. Định nghĩa 3 1.1.2. Tính chất 3 1.2. Martingale 5 1.2.1. Định nghĩa 5 1.2.2. Các tính chất 6 1.2.3. Định lý Doob (Định lý hội tụ cup martingale) 6 1.3. Bổ đề Fatou 7 1.4. Định lý Caratheodory 8 CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TÍNH CHẤT RADON- NIKODYM 9 2.1. Tính chất Radon-Nikodym 10 2.1.1. Định nghĩa 10 2.1.2. Tính chất 14 2.2. Sơ bộ về Định lý hội tụ hầu khắp nơi 16 2.3. Định lý khai triển cho các hàm tập nhận giá trị trong X. 20 2.4. Mối liên hệ giữa sự hội tụ của các martingale và Định lý Radon- Nikodym trong không gian Banach 22 2.4.1. Định lý chính 22 2.4.2. Ứng dụng 29 2.5. Phản ví dụ. 33 2.6. Một số ứng dụng của Định lý Radon-Nykodym đối với martingale tiệm cận 35 2.6.1. Định nghĩa Martingale tiệm cận 35 2.6.2. Martingale tiệm cận nhận giá trị thực 35 2.6.3. Martingale tiệm cận nhận giá trị vector 38 2.6.4. Điều kiện Martingale tiệm cận nhận giá trị trong không gian Banach hội tụ mạnh 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết martingale đóng vai trò quan trọng trong toán học và đặc biệt quan trọng trong lý thuyết xác suất và Thống kê toán học. Nghiên cứu sự hội tụ của quá trình martingale (và các quá trình mở rộng của nó) là một hướng nghiên cứu thú vị. Trong bản luận văn này chúng tôi muốn nêu lại một cột mốc đánh giá sự đột phá của hướng nghiên cứu này. Đó là liệu việc mở rộng tự nhiên Định lý Doob (Định lý về sự hội tụ cup các quá trình martingale) đối với quá trình martingale thực lên các không gian Banach còn đúng hay không? Trong những năm 60 của thế kỷ trước, một số nhà nghiên cứu đã chú ý đến sự mở rộng theo nhiều hướng khác nhau của định lý hội tụ Martingale của Doob [9] trong trường hợp các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach (B-space), như Chatterji [5] [6], Scalora [19], A.I. - C.I.Tulcea [20], và Metivier [14]. Metivier thậm chí còn xem xét trường hợp tổng quát của không gian vector tôpô lồi địa phương. Trong khi các trường hợp chắc chắn của định lý hội tụ đã được chỉ ra là đúng đắn [5] [6] đối với không gian Banach tùy ý, phản ví dụ trong Chatterji [5] lại chỉ ra rằng một số định lý hội tụ quan trọng của trường hợp giá trị vô hướng là không đúng nếu bỏ đi một vài điều kiện liên quan trong không gian Banach. Luận văn với đề tài “Sự hội tụ của martingale nhận giá trị trên không gian Banach có tính chất Radon – Nikodym” nghiên cứu làm sáng tỏ các vấn đề gần đây, bằng việc chứng minh rằng tính đúng đắn của hầu hết các Định lý tổng quát đối với các Martingale nhận giá trị trong không gian Banach là tương đương với tính đúng đắn của Định lý Radon-Nikodym cho các hàm tập hợp mang giá trị trong các không gian cùng loại. Đồng thời bài viết này còn đưa ra các chứng minh độc lập cho hầu hết các Định lý hội tụ đối với các Martingale nhận giá trị trong không gian Banach, các Định lý tổng quát hơn 2 thì được nêu trong [19] [20], và đưa ra một số ứng dụng của Định lý Radon- Nikodym trong việc xét tính hội tụ của Martigale tiệm cận. Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương I: Giới thiệu các kết quả chuẩn bị. Chương II: Định lý hội tụ của martingale nhận giá trị trên các không gian Banach có tính chất Radon – Nikodym. Với sự nỗ lực cố gắng hết mình của bản thân, cùng với sự động viên giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của các thầy giáo, bản luận văn đã được hoàn thành. Song do thời gian có hạn cũng như năng lực bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi còn những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được thêm những ý kiến đóng góp cho luận văn này của các thầy cô và các độc giả. Với tấm lòng biết ơn sâu sắc chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo thuộc tổ bộ môn Toán ứng dụng - Khoa toán tin - Trường đại học sư phạm Hà Nội đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và góp ý cho luận văn. Xin cảm ơn TS. Nguyễn Hồng Hải, TS. Trần Quang Vinh đã đọc và góp ý sâu sắc cho luận văn. Đặc biệt chúng tôi muốn tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS. Nguyễn Văn Hùng, cán bộ thuộc Viện CNTT- Viện KH & CN Việt Nam người đã tận tình hướng dẫn về khoa học và giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình làm luận văn này. Cũng nhân dịp này, chúng tôi xin cảm ơn cơ quan, những người thân trong gia đình cũng như các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện về thời gian, khích lệ về tinh thần và hỗ trợ về vật chất trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, năm 2012. Tác giả Nguyễn Thị Hảo 3 CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1. Thời điểm Markov và thời điểm dừng Ta luôn giữ giả thiết sau:  (Ω,,) là không gian xác suất với  chứa tất cả các tập có xác suất 0 (tập  được gọi là có xác suất 0 nếu tồn tại ∈ sao cho  (  ) = 0 và ⊂). Trong trường hợp này, ta nói ( Ω,, ) là không gian xác suất đầy đủ.  ℕ= { 0,1,2,… } , ℕ  = ℕ∪ { ∞ } .  ℝ  = ℝ∪ { −∞ } ∪{+∞}.  {ℱ  ,n ∈ℕ} là dãy các - trường không giảm. Kí hiệu ℱ  = ℱ    là -trường bé nhất chứa tất cả ℱ  ,n ∈ℕ. 1.1.1. Định nghĩa Giả sử :Ω→ℕ∪{∞} là biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị ∞). Ta nói rằng  là thời điểm Markor đối với {ℱ  ,n ∈ℕ}, nếu { : (  ) =  } ∈ℱ  , ∀∈ℕ. Nếu thêm vào đó  ( < ∞ ) = 1, thì  được gọi là thời điểm dừng. Chú ý:  là thời điểm Markov khi và chỉ khi { : (  ) ≤ } ∈ℱ  , ∀∈ℕ. 1.1.2. Tính chất Tính chất 1: Giả sử  là thời điểm Markov đối với {ℱ  ,∈ℕ}. Khi đó, { <  } ∈ℱ  Tính chất 2: Nếu   ,  là các thời điểm Markov đối với {ℱ  ,∈ℕ} thì 4   ∧  = min (   ,  ) ;   ∨   = max (   ,  ) ;  +   là các thời điểm Markov đối với {ℱ  ,∈ℕ}. Tính chất 3: Nếu   ,  ,… là dãy các thời điểm Markov đối với {ℱ  ,∈ℕ}, thì    = sup    ;    = inf    cũng là thời điểm Markov đối với {ℱ  ,∈ℕ}. Tính chất 4: Nếu  là thời điểm Markov đối với {ℱ  ,∈ℕ}, thì ∈ℱ  . Nếu  và  là các thời điểm Markov đối với {ℱ  ,∈ℕ} sao cho  ( ≤  ) = 1, thì ℱ  ⊂ℱ  Tính chất 5: Nếu   ,  ,… là dãy các thời điểm Markov đối với {ℱ  ,∈ℕ}, và = inf    , thì ℱ  = ℱ    . Tính chất 6: Nếu  và  là các thời điểm Markov đối với {ℱ  ,∈ℕ}, thì các biến cố { <  } , { =  } , { ≤ } thuộc vào ℱ  ∩ℱ  Tính chất 7: Giả sử {   ,ℱ  ,∈ℕ } là dãy tương thích và  là thời điểm Markov đối với { ℱ  ,∈ℕ } , thì   :Ω→ℝ,   (  ) =   () (  ) nếu ∈{ (  ) < ∞} 0 nếu ∈{ (  ) = ∞} là đo được đối với ℱ  , tức là,   ∈ℱ  . Tính chất 8: Giả sử:Ω→ℝ  là biến ngẫu nhiên ℱ  -đo được va  là thời điểm Markov đối với { ℱ  ,∈ℕ } . Khi đó,  là ℱ  -đo được nếu và chỉ nếu 5 với mọi ∈ℕ, hạn chế của  trên {= } là ℱ  -đo được, tức là,  {  } ∈ ℱ  . Nếu  là biến ngẫu nhiên không âm hoặc có kỳ vọng hữu hạn thì ta có  (  | ℱ  ) =  (  | ℱ  ) trên tập { :=  } , ∀∈ℕ  . 1.2. Martingale Các định nghĩa dưới đây có hiệu lực khi thay tập số nguyên không âm ℕ= { 0,1,… } bằng tập hữu hạn { 0,1,…, } ,∈ℕ. 1.2.1. Định nghĩa Giả sử(Ω,,) là không gian xác suất. Dãy = {   ,ℱ  ,∈ℕ } được gọi là: Martingale trên (đối với { ℱ  ,∈ℕ } ), nếu: (i) {   ,ℱ  ,∈ℕ } là dãy tương thích; (ii)  |   | < ∞,∀∈ℕ; (iii) Với ≤,,∈ℕ  (   | ℱ  ) ≤  , −hầu chắc chắn. Martingale dưới (đối với { ℱ  ,∈ℕ } ), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện và (iii’) Với ≤,,∈ℕ  (   | ℱ  ) ≥  , −hầu chắc chắn. Martingale (đối với { ℱ  ,∈ℕ } ), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện và (iii’’) Với ≤,,∈ℕ  (   | ℱ  ) =   , −hầu chắc chắn. 6 1.2.2. Các tính chất  Tính chất 1: Nếu = {   ,ℱ  ,∈ℕ } là Martingale, thì hàm trung bình (  ) không phụ thuộc ∈ℕ.  Tính chất 2: Nếu = {   ,ℱ  ,∈ℕ } là Martingale dưới, thì hàm trung bình (  ) không giảm theo ∈ℕ.  Tính chất 3: Nếu = {   ,ℱ  ,∈ℕ } là Martingale, thì hàm ,1 ≤ < ∞ không giảm theo ∈ℕ. 1.2.3. Định lý Doob (Định lý hội tụ cup martingale) Nếu {   ,ℱ  ,∈ℕ } là martingale dưới và   - bị chặn, tức là    |   | < ∞, thì dãy (  ) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên   nào đó với  |   | < ∞. Chứng minh: Ký hiệu   là số lần cắt ngang từ dưới lên trên đoạn [,] của dãy {   ,= 0,1,…, } , và đặt   = lim →   . Từ bất đẳng thức cắt ngang ta có ( − )   ≤sup   |   | + |  | < ∞, Suy ra   < ∞ hầu chắc chắn, Suy ra, với mọi ,  { lim inf  < < < lim sup  } = 0 Mà { lim inf  < lim sup  } =  { lim inf  < < < lim sup  } 7 Trong đó hợp lấy theo tất cả các số hữu tỷ ,. Do đó  { lim inf  < lim sup  } = 0 Từ đó rút ra (  ) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên   nào đó. Theo Bổ đề Fatou ta có  |   | = lim → |   | ≤sup   |   | < ∞ Hệ quả 1: Nếu {   ,ℱ  ,∈ℕ } là martingale dưới không dương (hoặc martingale không âm), thì dãy (  ) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên   . Hệ quả 2: Giả sử {   ,ℱ  ,∈ℕ } là martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm). Khi đó, dãy   = {   ,ℱ  ,∈ℕ  } , với   = lim →   ,ℱ  = ℱ     lập thành martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm) Hệ quả 3: Giả sử (  ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, và (  ) là dãy các tổng riêng của nó:   =   ,   =   +   + ⋯+  . Khi đó, các điều khẳng định sau là tương đương: (i) (  ) hội tụ hầu chắc chắn; (ii) (  ) hội tụ theo xác suất; (iii) (  ) hội tụ theo phân phối. 1.3. Bổ đề Fatou Giả sử ,  ,  ,… là dãy biến ngẫu nhiên.  Nếu   ≥,≥1 và > −∞ thì 8    ≤   .  Nếu   ≤,≥1 và < ∞ thì    ≤   .  Nếu |  | ≤,≥1 và < ∞ thì    ≤   ≤   ≤   . 1.4. Định lý Caratheodory Giả sử  là một tập hợp nào đó,  là đại số các tập con của . Giả sử   là một độ đo xác định trên  (nghĩa là   là một hàm tập hợp, không âm, - cộng tính trên ) và -hữu hạn (nghĩa là tồn tại dãy (   ) ⊂ sao cho ⋃     =  và   (   ) < ∞,= 1,2,…). Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo  xác định trên () sao cho  (  ) =   (  ) ,∈. [...]... với ‖ =0 có tính chất RN đối với ( , , ) Chú ý: Bạn đọc lưu ý trong phần nói về tính chất RN ở trên, tính chất hội tụ là độc lập với không gian xác suất cơ của các Martingale nhận giá trị trong sở Nếu không là nguyên tử thuần túy và có một trong bảy tính chất thì cũng có tất cả các tính chất còn lại đối với không gian xác suất khác và đặc biệt cũng có tính chất (D) Chứng minh : Phần chính của chứng... đây của không gian Banach có tính chất (D) và vì thế cũng có tính chất RN đối với bất kì không gian xác suất ( , Σ, ): (i) Các không gian phản xạ, (ii) đối ngẫu tách được của các không gian Banach (tức là, và có một không gian Banach sao cho (iii) Các không gian hoàn toàn yếu hoàn toàn yếu và ∗ ∗ tách được = ), với đối ngẫu tách được (tức là, là tách được) Chứng minh: Không gian phản xạ có tính chất. .. ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TÍNH CHẤT RADONNIKODYM Kí hiệu và những chú thích sơ bộ Để trình bầy rõ ràng hơn, chúng tôi sẽ chỉ xét trường hợp không gian độ đo cơ đại số Σ của các tập con đo được và sở là không gian xác suất S, với một một trên Σ với ( ) = 1 Người đọc quan tâm thì độ đo dương cộng tính có thể nhận thấy rất rõ ràng cho trường hợp không gian đo... thuần túy thì mọi không gian Banach có tính chất RN đối với ( , , ) (b) Nếu không là nguyên tử thuần túy thì một không gian Banach có tính chất (D) nếu và chỉ nếu nó có tính chất RN đối với ( , , ) Trước khi chứng minh Định lý này ta cần đưa ra Bổ đề sau: Bổ đề 2.1.1 Nếu ( , , ) là không gian xác suất và là một hàm -liên tục tuyệt đối, nhận giá trị trong , -cộng tính, có biến phân bị chặn trên một -đại... tổng của , mà mỗi biến ngẫu nhiên có thể nhận một trong hai giá trị và đều có kì vọng bằng 0 Rõ ràng | ( )| ≡ 1 và | | = ‖ ‖ = 1 ( ) không hội tụ mạnh trong Nhưng hơn , tại vô tỉ bất kì Mặt khác, vì ( )∗ = mọi , và bất kì = ( )∗ , dãy ∈ phần tử nào của Hơn nữa, do và dãy 〈 ( ), 〉 hội tụ với ( ) hội tụ yếu nhưng không đến bất kì = ( )∗ nên một martingale = ( )∗ , có thể hội tụ đến trị trong không gian. .. có một phép biểu diễn tích phân, đó là ( , ) sao cho ( )= ( ) ( )∀ ∈ được gọi là có tính chất (D) nếu có tính chất RN đối với độ đo Lebesgue trên các tập Borel của các khoảng đơn vị Bochner và Taylor [3] đã định nghĩa tính chất (D) đối với không gian Banach X là tính chất mà một hàm của biến phân bị chặn mạnh trên khoảng đơn vị là khả vi (mạnh) hầu khắp nơi Có thể nhận ra từ các phương pháp trong luận. .. chuẩn cho sự tồn tại của toán tử kì vọng điều kiện là không thích hợp Để thuận tiện ta giới thiệu định nghĩa sau đây 2.1 Tính chất Radon-Nikodym 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Không gian Banach X gọi là có tính chất Radon-Nikodym (RN) đối ( , , ) nếu mọi hàm tập (tức là -cộng tính nhận giá trị trong ( ) < ∞ ) mà liên tục tuyệt đối đối với ( ) = 0 hay tương đương, ∃ ∈ Không gian của biến phân bị chặn... và ( ) -không gian của các hàm liên tục cộng tính vô hướng bị chặn trên nhận giá trị vô hướng trên , cả hai không gian này đều được xét theo chuẩn đều ( ) = Cho tương ứng ( ) (bất biến đối với hàm đặc trưng) cảm sinh ra phép đẳng cấu đại số tập hợp giữa Σ và Σ , tức là ( ) = Tương ứng này là (Σ) = Σ Bây giờ cho một hàm cộng tính hoặc -cộng tính (nhận giá trị vô hướng hoặc nhận giá trị trong ) trên Σ,... không gian đầy đủ (tức là không gian topo trong không gian topo* của ) không hội tụ mạnh hoặc yếu Chú ý cuối cùng đã được kiểm chứng bởi miền không tách rời trong ( ) = ( ( ), … , ( ) ( ) | =| có một dãy tiến đến 0, thì chuỗi của biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong kiện khắp nơi, nhưng không tuyệt đối nếu Σ| | ( ), … ) có một Điều đó đã được chú ý, tuy nhiên, đối với bất kì dãy Σ nhận giá hội. .. hội tụ vô điều | = +∞ Nhưng | nên chuỗi phương sai có thể phân kì Do đó có thể các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong chặn đều, kì vọng 0 và Σ sao cho bị hội tụ hầu khắp nơi (ngay cả khi vô điều kiện) mà không có chuỗi phương sai hội tụ, mâu thuẫn với một Định lý đã biết trong trường hợp nhận giá trị vô hướng Ví dụ trên có thể được xem xét như các dạng khác của martingale trong phản ví dụ của . kiện liên quan trong không gian Banach. Luận văn với đề tài Sự hội tụ của martingale nhận giá trị trên không gian Banach có tính chất Radon – Nikodym”. Caratheodory 8 CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TÍNH CHẤT RADON- NIKODYM 9 2.1. Tính chất Radon-Nikodym 10 2.1.1.