Cấu trúc phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian banach khả ly

Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Hỏa Thị Hơng Cấu trúc phân tử ngẫu nhiên Nhận giá trị trên không gian Banach khả ly Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán ==== Vinh - 2007 === 1 lời nói đầu Xác suất - thống kê là một lĩnh vực khoa học đầy khó khăn và phức tạp nhng cũng đầy lý thú và hấp dẫn. Nó có nhiều đóng góp vào việc chứng minh một lớp các bài toán và một vài ứng dụng trong thực tiễn. Chính điều đó đã khiến tôi muốn đi sâu hơn vào việc nghiên cứu một bộ phận nhỏ trong lý thuyết xác suất đó là: "Cấu trúc phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly". ở phạm vi của khoá luận tác giả chỉ mới nêu lên một số tính chất của các phần tử ngẫu nhiên và ứng dụng của nó. Bên cạnh đó còn nêu lên một số mệnh đề, định lý có chứng minh. Khoá luận đợc chia làm 3 phần. Phần I: Các kiến thức chuẩn bị Phần II: Phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận giá trị trên không gian R. Phần III: Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại Đại Học Vinh. Thông qua khoá luận này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Nguyễn Hữu Minh ngời đã hớng tình và nhiệt tình giúp đỡ trong suốt quá trình thực hiện để hoàn thành khoá luận. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán Đại Học Vinh và các bạn cùng khoá đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này. Do thời gian nghiên cứu không nhiều và hạn chế của bản thân nên đề tài sẽ không tránh khỏi khiếm khuyết. Tôi mong muốn nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của tôi đợc hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 5 năm 2007 Tác giả 2 mục lục Trang Lời nói đầu 1 Phần I: Các kiến thức chuẩn bị 3 Phần II: Phần tử ngẫu nhiên R - giá trị 7 Đ1. Định nghĩa và một số tính chất của hàm chỉ tiêu 7 Đ2. ứng dụng của hàm chỉ tiêu 11 Đ3. Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên R (R - giá trị) 13 Đ4. Không gian khi (X) 15 Phần III: Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly 21 Đ1: Cấu trúc phần tử ngẫu nhiên B - giá trị 21 Đ2. Kỳ vọng toán của phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly 24 Đ3. Côvarian của phần tử ngẫu nhiên B - giá trị 28 Đ4. Phơng sai của phần tử ngẫu nhiên trên không gian Banach 29 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 3 Phần I Các kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian véc tơ Định nghĩa: Một tập hợp E cùng với một phép cộng E x E E và một phép nhân vô h- ớng /R x E E đợc gọi là không gian véc tơ nếu thoả mãn các điều kiện sau: i, x + y = y + x ; x, y E ii, (x + y) + z = x + (y + z) ; x, y, z E iii, Tồn tại phân tử E để x + = x ; x E 4i, x E, tồn tại - x E để x + (- x) = 5i, 1 . x = x ; x E 6i, (x) = () . x , /R; x E 7i, (x + y) = x + y ; /R ; x, y E 8i, ( + ) x = x + x ; , /R ; x E 1.2. Không gian định chuẩn 1.2.1. Định nghĩa Giả sử E - không gian tuyến tính trên /R và || . ||: E /R là một hàm từ E /R x ||x|| Hàm || . || đợc gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện: i, ||x|| 0 ; x E ||x|| = 0 x = 0 ii, ||x|| = || . ||x||; /R ; x E iii, ||x + y|| ||x|| + ||y|| ; x, y E Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn trên nó đợc gọi là không gian định chuẩn. Ký hiệu: (E; || . ||) ; hay E 4 1.2.2. Tính chất của chuẩn * Định lý 1: Nếu x ||x|| là một chuẩn trên E thì d(x, y) = ||x - y|| là một Mêtric trên E. Mêtric này thoả mãn: d(x + z, y + z) = d(x, y) và d(x, y) = || . d(x, y) x, y, z E; R. Chứng minh +) Rõ ràng d(x, y) = ||x - y|| 0 x, y E d(x, y) = 0 ||x - y|| = 0 x - y = 0 x = y +) x, y E ta có: d(x, y) = ||x - y|| = ||- (y - x) || = ||y - x|| = d(y, x) +) x, y, z E ta có: d(x, y) = ||x - y|| = || (x - z) + (z - y)|| ||x - z|| + ||z - y|| = = d(x, z) + d(z, y) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) * Định lý 2: Nếu E - không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn || . || là liên tục đều trên E. Chứng minh x, y E ta có: ||x|| = || (x - y) + y|| ||x - y|| + ||y|| (1) ||y|| = || (y - x) + x|| ||y - x|| + ||x|| (2) Từ (1) ||x|| - ||y|| ||x - y|| (2) ||x|| - ||y|| - ||y - x|| = - ||x - y|| - ||x - y|| ||x|| - ||y|| ||x - y|| ||x|| - ||y|| ||x - y|| > 0 nên chọn = thì từ x, y E ||x - y|| < = ||x|| - ||y|| < || . || là liên tục đều trên E. 5 * Định lý 3: Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ (x; y) x + y từ E x E E và (; x) x từ R x E E là liên tục Chứng minh Giả sử (x, y) và (x 0 , y 0 ) E x E. Ta có: || (x + y) - (x 0 + y 0 )|| = ||(x - x 0 ) + (y - y 0 )|| ||x - x 0 || + ||y - y 0 || Điều này cho ta tính liên tục của ánh xạ (x, y) x + y tại mọi điểm (x 0 ; y 0 ). Với (; x) và ( 0 , x 0 ) R x E. Ta có: ||x - 0 x 0 || = || 0 (x - x 0 ) + ( - 0 ) x 0 + ( - 0 ) (x - x 0 )|| 0 . ||x - x 0 || + - 0 . ||x 0 || + - 0 . ||x - x 0 ||. Bất đẳng thức này cho ta tính liên tục của hàm (; x) x tại điểm ( 0 , x 0 ). * Định lý 4: Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó a E ánh xạ x a + x là phép đồng phôi đẳng cự từ E lên E và /R; 0 ánh xạ x x là phép đồng phôi đều E lên E. Chứng minh Dễ thấy các ánh xạ này là những song ánh. Kết luận về tính liên tục hai chiều đợc suy ra từ các đẳng thức: || (a + x) - (a + y) || = ||x - y|| ||x - y|| = || . ||x - y||. 1.3. Không gian Banach Định nghĩa: Giả sử E - không gian định chuẩn . E đợc gọi Banach nếu E đối với Mêtric sinh bởi chuẩn là không gian mêtric đầy đủ (nghĩa là mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ). Hay cách khác: > 0 ; tồn tại n 0 ; n n 0 ; k N có: ||x n+k - x n || < . 1.4. Không gian Hilbert Định nghĩa: Giả sử E - không gian tuyến tính trên trờng K. : E x E K. (x, y) (x, y). 6 Hàm đợc gọi là một tích vô hớng trên E nếu: i, (x, x) 0 x E (x, x) = 0 x = 0 ii, (x 1 + x 2 , y) = (x 1 , y) + (x 2 , y) x 1 , x 2 , y E. iii, (x, y) = . (x, y) ; K ; x, y E. Không gian tuyến tính E cùng với một tích vô hớng trên nó đợc gọi là không gian tiền Hilbert. Định nghĩa: Giả sử E là không gian tiền Hilbert, E là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hớng đợc xác định bởi: ||x + y|| ||x|| + ||y|| Nếu E là không gian Banach thì E đợc gọi là không gian Hilbert. 1.5. ánh xạ tuyến tính liên tục Định nghĩa: Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn. ánh xạ T : E F đợc gọi là tuyến tính liên tục nếu T là tuyến tính, T liên tục, tức là: T(x + y) = . Tx + . Ty , /R ; x, y E và xx lim n Tx n = Tx x E. 1.6. Hàm số đo đợc Định nghĩa: Cho một không gian Mêtric X, một - đại số F những tập hợp con của X và một tập hợp A F. Một hàm số f(x) xác định trên X gọi là đo đợc trên tập hợp A đối với - đại số F nếu: a R : {x A : f(x) < a} F 7 Phần II Phần tử ngẫu nhiên R - Giá trị Trong phần này ta sử dụng hàm chỉ tiêu để tìm hiểu sâu hơn định nghĩa theo cấu trúc phần tử ngẫu nhiên. Đ1. Định nghĩa và một số tính chất của hàm chỉ tiêu 1.1. Định nghĩa Cho là một tập hợp bất kỳ. A là - đại số các tập con của . Khi đó ta gọi bộ (, A) là không gian đo. Tập con A A đợc gọi là tập đo đợc hay là biến cố. Ta gọi ánh xạ I A : /R sao cho: Hay là: là hàm chỉ tiêu tập A hay hàm chỉ tiêu của biến cố A. 1.2. Tính chất 1.2.1. Tính chất 1 Hàm chỉ tiêu của tập A (I A ) là một biến ngẫu nhiên (BNN). Ta có: - đại số A = {A, A ; ; } Với c là số thực bất kỳ (c /R) với c > 1 { : I A () > c} = với c 0 (1) A với 0 < c 1 Vì , , A là các biến cố nên I A () là biến ngẫu nhiên. Ngợc lại: 8 1 nếu A 0 nếu A I A () = 1 nếu biến cố A xảy ra 0 nếu biến cố A không xảy ra I A () = I A () là BNN ta có: A = { : I A () = 1} Vậy A là biến cố. Ta có mệnh đề: Hàm I A () là BNN khi và chỉ khi A là biến cố. Từ (1) ta có: nếu c > 1 { : I A () c } = nếu c 0 A nếu 0 < c 1 nếu c > 1 { : I A () c } = nếu c 0 A nếu 0 < c 1 1.2.2. Tính chất 2 Nếu A B thì I A I B và ngợc lại. Nếu A = B thì I A = I B và ngợc lại. Chứng minh Tr ờng hợp 1 : Nếu B xảy ra A xảy ra hoặc A không xảy ra. Nghĩa là nếu I B = 1 thì I A = 1 hoặc I A = 0. Do vậy: I B - I A 0 I A I B Kết luận: Nếu A B thì I A I B . Chiều ngợc lại chứng minh tơng tự. Tr ờng hợp 2 : Nếu B không xảy ra A không xảy ra Nghĩa là I B = 0 I A = 0 Do vậy: I A = I B = 0 Kết luận: Nếu A = B thì I A = I B 1.2.3. Tính chất 3 A I = 1 - I A Trớc tiên chứng minh: I A+B = I A + I B ; I A.B = I A . I B 9 Chứng minh +) I A+B = I A + I B . Thật vậy: Nếu A xảy ra thì A + B xảy ra. Do vậy: I A+B = 1 = 1 + 0 = I A + I B . Nếu A không xảy ra A + B không xảy ra. Do đó: I A+B = 0 = 0 + 0 = I A + I B +) I AB = I A . I B (Chứng minh tơng tự). +) Để chứng minh: A I = 1 - I A Ta có: A I + I A = A + A I = I = 1 A I = 1 - I A 1.2.4. Tính chất 4 n i i A 1 = I = 1 i n A i I = Chứng minh Vận dụng phơng pháp quy nạp. Với n = 2 theo chứng minh 1.2.3. Ta có: I A 1 .A 2 = I A 1 . I A 2 Giả sử đúng với n = k tức là: I k21 A .AA = I 1 A . I 2 A . I k A (k > 2) Ta phải chứng minh đúng với n = k + 1. Thật vậy: I 1kk21 A).A .AA( + = I ) A .AA ( k21 . I 1k A + = I 1 A . I 2 A . I k A . I 1k A + Vậy n i i A 1 = I = 1 i n A i I = 1.2.5. Tính chất 5 = n i i A 1 I = 1 i n A i I = (Chứng minh nh tính chất 4) 1.2.6. Tính chất 6 10 . chuẩn bị Phần II: Phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận giá trị trên không gian R. Phần III: Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly. Khoá. Đ3. Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên R (R - giá trị) 13 Đ4. Không gian khi (X) 15 Phần III: Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả