Dãy biến ngẫu nhiên khả tích và tương thích { ,ℱ , ≥0} được gọi là martingale tiệm cận nếu và chỉ nếu lim ∫ = tồn tại (hay ( ( )) ∈
hội tụ). Tức là, với mọi > 0, tồn tại ∈ sao cho với mọi > , ∈
thì | − | < .
2.6.2. Martingale tiệm cận nhận giá trị thực
Trong phần này chúng ta sẽ nêu một kết quả về sự hội tụ cup martingale tiệm cận nhận giá trị thực. Trước khi phát biểu kết quả, chúng ta cần một kết quả phụ sau đây
Bổ đề 2.6.2.
Cho { , ≥ 0} là một dãy các biến ngẫu nhiên khả tích và
sup | | < ∞
Khi đó hai phát biểu sau là tương đương:
(i) Dãy (∫ ) ∈ hội tụ.
Định lý 2.6.2 (Martingale tiệm cận nhận giá trị thực)
Nếu { ,ℱ , ≥ 0} là martingale tiện cận -bị chặn nhận giá trị thực thì hội tụ hầu chắc chắn.
Chứng minh
Do Bổ đề 2.6.2, không mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng ≥ 0.
Giả sử dãy không hội tụ để chỉ ra rằng trong trường hợp đó thì không là dãy Cauchy.
Có các số thực < sao cho ( ) > 0, với
= { : lim inf ( ) < < < lim sup ( )}
Cho =( ) ( ). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng, với bất kì số nguyên ≥1 luôn tồn tại các thời điểm dừng bị chặn ≥ , ≥ sao cho
− ≥
(tức là dãy (∫ ) ∈ không là Cauchy).
Thật vậy, cho = /2 và cho số nguyên ≥1 bất kì. Khi đó tồn tại số nguyên ≥ và một tập ∈ ℱ sao cho
({ : ∈ ∪ , ∉ ∩ }) ≤
(Để chỉ ra điều này, ta kí hiệu:
Tập chỉ số = { : ∈ ℱ , ∩ =∅} và đặt =⋃ ∈ .
Khi đó { ( )} là một dãy tăng các số thực và ( ) → ( ) khi → ∞. Do đó có một số nguyên sao cho | ( )− ( )| < /2, để tập
≔ chứa và ({ : ∈ ∪ , ∉ ∩ }) ≤ .)
Ω = : inf ( ) < < < sup ( )
thì ( \Ω )≤ .
Tiếp theo ta đặt ≔ ∈ : inf ( ) < ; ≔ { ∈ : sup ( ) > }
Khi đó ta có
(1) ∈ ℱ , ∈ ℱ , ⊂ ⊂ ,
( ) ≥ ( )−2 , ( \ ) ≤ 2 .
Cho thời điểm dừng , như sau: ( ) = , ớ ∉ , inf{ : ≤ ≤ , ( ) < }, ớ ∈ , ( ) = , ớ ∉ , , ớ ∈ \ , inf { : ≤ ≤ , ( ) > }, ớ ∈ . Với ≤ ≤ ≤ và (1) ta có − = ( − ) ≥ ( − ) = ( − ) + \ − \ ≥( − ) ( ) + 0− ( − ) ≥ ( − )( ( )−2 )−2 = ( − ) ( )−2 = 2 − = .
2.6.3. Martingale tiệm cận nhận giá trị vector Định lý 2.6.3.
Giả sử không gian Banach E có tính chất Radon-nikodym và không gian đối ngẫu ′ tách được. Cho ( ) ∈ là martingale tiệm cận nhận giá trị trong E sao cho sup ∈ ∫‖ ‖ <∞ (tức là, ( ) ∈ là -bị chặn). Khi đó, tồn tại biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong sao cho dãy ( )
∈ hội tụ
yếu hầu khắp nơi tới ( )∈ , ∈ Ω.
Bổ đề 2.6.3.
Cho ( ) là một dãy các biến ngẫu nhiên sao cho sup ∫‖ ‖ <∞. Khi
đó, với dương a bất kì, ta có
sup‖ ‖> ≤ 1sup ‖ ‖
Bổ đề 2.6.4
Cho k là một số nguyên dương cố định, ∈ ℱ . Nếu (∫ ) thỏa mãn tồn tại giới hạn lim ∫ = ∈ thì ∫
∈ .
Định nghĩa -liên tục
Một hàm tập trên được gọi là -liên tục nếu lim ( , )→ ( ) = 0.
Định lý Vitali-Hahn-Saks:
Cho ( , , )là không gian đo và là một dãy các hàm tập cộng tính, nhận giá trị vecto, -liên tục trên . Nếu lim ( ) = ( ) tồn tại với mọi ∈
, thì lim ( , )→ ( ) = 0 với i=1, 2, ...
Chứng minh Định lý này đã được đưa ra bởi Dunford và Schwartz trong [11, chương 3].
Hệ quả Vitali-Hahn-Saks:
Cho không gian xác suất (Ω,ℱ, ) và là một dãy các độ đo hữu hạn trên
ℱ nhận giá trị trong sao cho tồn tại lim ( ) = ( ) với mọi ∈ ℱ.
Khi đó là một độ đo.
Chứng minh Hệ quả này có thể xem trong Dunford và Schwartz [11, pp.321]
Chứng minh Định lý 2.6.3:
Cho là một số dương không đổi, và thời điểm dừng sao cho là đầu tiên để ‖ ‖ ≥ , và = ∞ nếu ‖ ‖ < với mọi .
Đặt = sup ‖ ∧ ‖ Khi đó ≤ trên { = ∞}
Trên tập ≔{ = ∞}, theo Bổ đề Fatou ta có
≤ lim inf ‖ ∧ ‖ ≤ lim sup ‖ ∧ ‖
Hơn nữa, do infimum của hai thời điểm dừng cũng là thời điểm dừng nên
lim inf ‖ ∧ ‖ ≤sup ‖ ‖ ≔ <∞ Ta có ‖ ∧ ‖ ≤ ‖ ‖ trên { < ∞}, nên ≤ +‖ ‖, và do đó
≤ + . Cho
, ∈ ,∫ ∧ − ∧ = ∫ {( ∧ )⋁( ⋀ )} − {( ∧ )⋁( ⋀ )} sao cho có thể chỉ ra ∈ nhỏ hơn cho trước nào đó mà ( ⋀ )∈ . Do đó ( ∧ ) là một martingale tiệm cận. Do định nghĩa của nên dãy ( ∧ ) chỉ có thể khác với ( ) khi ‖ ‖ ≥ . Theo Bổ đề 2.6.3, độ đo của
một tập có dãy càng nhỏ thì càng lớn. Không mất tính tổng quát, ta giả sử dãy ( ) có tính chất = sup ‖ ‖ ∈ .
Kí hiệu dãy độ đo nhận giá trị trong với ∈ như sau
( ) = , ∈ ℱ.
Cho ∈ ℱ. Do Bổ đề 2.6.4 nên lim ( ) = ( ) tồn tại với mọi ∈ ℱ . Khi đó với mọi > 0tồn tại tập ∈ ∪ ℱ sao cho ({ : ∈ ∪ , ∉
∩ }) < . Mà ‖ ‖ ≤ ,∀ , ta có
− ≤ .
Do đó ( ) = lim ( ) tồn tại với mọi ∈ ℱ, và biến phân của vị chặn bởi ∫ . Theo bổ để Vitali-Hahn-Saks thì là một độ đo. Và từ tính chất Radon-Nikodym của suy ra rằng tồn tại biến ngẫu nhiên sao cho
lim = , ∈ ℱ.
Gọi ( ) là một dãy trù mật trong các hình cầu đơn vị của không gian đối ngẫu của (tức là tập các hàm tuyến tính bị chặn trên ). Dãy này tồn tại vì không gian đối ngẫu này được giả thiết là tách được (nghĩa là nó có một tập con đếm được trù mật). Với cố định ta có
(2) lim ( ) = ( ) , ∈ ℱ.
Áp dụng Định lý hội tụ của martingale tiệm cận nhận giá trị thực, ta thấy lim (X ) tồn tại hầu khắp nơi và do (2) suy ra rằng lim (X ) = ( ) ngoại trừ trên tập có độ đo không, Ω . Do đó với mọi thì hội tụ yếu đến
ngoại trừ trên tập ∪ Ω (có độ đo không). Mà = sup ‖ ‖ ∈ nên ( ) là hữu hạn với mọi ngoại trừ trên tập độ đo nhỏ tùy ý.(đpcm)
2.6.4. Điều kiện Martingale tiệm cận nhận giá trị trong không gian Banach hội tụ mạnh
Định lý 2.6.4.
Với một không gian Banach E, các khẳng định sau là tương đương:
(i) hữu hạn chiều.
(ii) Mọi martingale tiệm cận ( ) ∈ nhận giá trị trong sao cho
∈ ∫‖ ‖ < ∞, hội tụ mạnh hầu khắp nơi.
(iii) Mọi martingale tiệm cận ( ) ∈ nhận giá trị trong sao cho
‖ ( )‖ ≤ 1, ∈ và ∈ , hội tụ mạnh hầu khắp nơi.
Chứng minh Định lý này dựa trên một Bổ đề quan trong của Dvoretzky- Rogers (1950). Chúng tôi sẽ đi phát biểu Bổ đề trước khi đi vào chứng minh Định lý.
Bổ đề Dvoretzky- Rogers:
Cho là bao đóng của một tập bị chặn (trong không gian Euclid n chiều), và là một số nguyên sao cho 1 ≤ ≤ . Khi đó có các điểm , … , trên biên của sao cho nếu , … , là số thực bất kì với 1 ≤ ≤ , thì
+⋯+ nằm trên với
= 2 + ( −1) ( +⋯+ ).
Hệ quả Dvoretzky- Rogers:
Cho là không gian Banach hữu hạn chiều và , … , là các số dương. Khi đó tồn tại các điểm , … , trên sao cho ‖ ‖ = , = 1, … , và
≤ 3 ,
Với ∑ ′ kí hiệu cho phép lấy tổng trên tập con bất kì của {1, … , }.
Chứng minh Định lý 2.6.4:
Chứng minh( ) ⇒ ( )
Cho { , … , } là cơ sở của không gian . Khi đó với mỗi ∈ , ∈ Ω, ta có
( ) = ( ) +⋯+ ( ) ,
Và với mỗi 1≤ ≤ cho ta một martingale tiệm cận nhận giá trị thực ∈ , với sup ∈ ∫ <∞. Do đó tính hội tụ mạnh hầu khắp nơi của dãy ( ) ∈ tương đương với tính hội tụ từng tọa độ. Bài toán trở về trường hợp trong Định lý martingale tiệm cận nhận giá trị thực (Định lý 2.6.2) mà ta đã chứng minh.
Chứng minh (ii)⇒ (iii)
Do ‖ ( )‖ ≤ 1 với mọi ∈ và ∈ Ω nên sup ∈ ∫‖ ‖ <∞.
Khi đó thì theo (ii) ta có martingale tiệm cận ( ) ∈ nhận giá trị trong hội tụ mạnh hầu khắp nơi.
Chứng minh (iii) ⇒ (i) (phản chứng)
Giả sử vô hạn chiều và xây dựng được một martingale tiệm cận nhận giá trị trong sao cho ‖ ( )‖ ≤ 1 với mọi ∈ và ∈ Ω mà không hội tụ mạnh hầu khắp nơi.
Với mỗi số nguyên , ta chia [0, 1) thành các khoảng nhỏ { }, 1 ≤ ≤ 2
= −1
Áp dụng Hệ quả Dvoretzky- Rogers với / ( )
≔ = , 1 ≤ ≤ 2 , và vector = , với là các vector đơn vị phân biệt, sao cho
(3) ≤ 3 ( ) .
Đặt
( ) = ( ) , ∈ Ω,
Với là hàm chỉ tiêu trên , để ℱ = ( , , … , ) là -đại số sinh bởi { ( )}, 1 ≤ ≤ 2 .
Bây giờ ta sẽ chứng minh ( ) ∈ là martingale tiệm cận.
Thật vậy, cho ∈ ℱ , ∈ ℕ và ∈ sao cho ≥ . Tồn tại một số nguyên sao cho ≥ ≥ . Với mỗi ≤ ≤ ta có định nghĩa
{ = }∩ =∪ ∈ = Ω
(với là tập chỉ số tương ứng với tổng Σ′ trên tập con bất kì của {1, … , }), khi đó = ∈ { }∩ = ∈ . Do (3) ta có với mỗi ≤ ≤ thì ∈ ≤ √3 ∈ / ≤ √3 1 2 ∈ /
= √3 √2 (Ω ) / ≤ √3 √2 . Vì thế ta có ≤ ≤ √3 1 √2 ≤ ,
Với chọn đủ lớn sao cho với > 0 bất kì ta đều có ∑ √
√ ≤ . Như vậy ta đã chứng minh được rằng
∈∪ ∈ ℱ ⇒ → 0,
Do đó ( ) ∈ là martingale tiệm cận. Đặc biệt, ta có
∈∪ ∈ ℱ ⇒ → 0.
Hơn nữa ‖ ( )‖ ≤1, ∈ , ∈ Ω, như vậy nên
(4) → 0, với mọi ∈ ℱ ≔ (∪ ∈ ℱ ).
Nhớ rằng ta đang giả sử rằng vô hạn chiều. Bây giờ giả sử ( ) ∈ hội tụ mạnh hầu khắp nơi, với ∈ Ω, tức là lim ∈ ( ) = ( ). Thì theo Định lý hội tụ Lebesgue ta có
( ) = ( ) , với mọi ∈ ℱ.
Kết hợp với (4) thì
Và do là ℱ-đo được nên ( ) = 0 hầu khắp nơi với ∈ Ω. Nhưng điều này mâu thuẫn với giả sử là hội tụ mạnh: lim ∈ ( ) = ( ), khi ‖ ( )‖ ≤ 1, ∈ , ∈ Ω. Vì thế nên giả sử vô hạn chiều mà ( ) ∈ hội tụ mạnh hầu khắp nơi ∈ Ω, là không đúng. (đpcm)
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày về tính chất Radon-Nikodym và ứng dụng quan trọng của nó trong việc xét tính hội tụ của các Martingale trong không gian Banach. Những kết quả chính mà tác giả đã đạt được trong luận văn này là:
1. Tìm hiểu về tính chất Radon-Nikodym và chứng minh được một martingale nhận giá trị trên không gian Banach có tính chất Radon- Nikodym thì hội tụ mạnh hầu khắp nơi.
2. Đưa ra được phản ví dụ.
3. Trình bày một số ứng dụng của Định lý Radon-Nikodym trong martingale tiệm cận nhận giá trị trong không gian Banach.
Luận văn nhằm giúp những người muốn tham khảo tìm hiểu thêm về Định lý Radon-Nikodym. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2006),Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục, Hà Nội
Tiếng Anh
2. P. Billingsley (1965), Erogodic theory and information, New York.
3. S. Bochner, A. E. Taylor (1968), “Linear functionals on certain spaces of abstractly-valued functions”, Ann. Of Math. (2) 39 1938, 913-44, pp. 21- 41.
4. N. Bourbaki (1959), Eléments de mathématique, Livre VI, Chapitre 6,
Intégration vectorielle (Act. Sci. Ind. 1281), Paris.
5. S. D. Chatterji (1960), “Martingales of Banach-valued random variables”,
Bull. Amer. Math. Soc. 66, pp. 395-398
6. S. D. Chatterji (1964), “A note on the convergence of Banach-space valued martingales”, Math. Ann. 153, pp. 142-149.
7. Y. S. Chow (1966), “Some convergence theorems for independent random variables”, Ann. Math. Statist. 37, pp. 1482-1493.
8. J. A. Clarkson, “Uniformly convex spaces”, Trans. Amer. Math. Soc. 40, pp. 396-414.
9. J. Dieudonné (1950), “Sur un théorème de Jessen”, Fund. Math. 37, pp. 242-248.
10. J. L. Doob (1953), Stochastic processes, New York.
11. N. Dunford, J. T. Schwartz (1958), Linear operators, Part I, New York. 12. P. Halmos (1950), Measure theory, New York.
13. E. Hille, R. S. Phillips (1957), “Functional analysis and semigroups”,
Amer. Math. Soc. Colloquium Publ. 31, Providence.
14. M. Metivier (1963), “Limites projectives de mesures; martingales; applications”, Annali Math. Pura Appl. 63, 225-352.
15. R. S. Phillips (1945), “On weakly compact subsets of a Banach-space”,
Amer. J. Math. 65, pp. 108-136.
16. C. E. Rickart (1943), “Decomposition of additive set functions”, Duke Math. J. 10, pp. 653-665.
17. W. Rudin (1964), “An arithmetic property of Riemann sums”, Proc. Amer. Math. Soc. 15, pp. 321-324.
18. U. Ronnow (1967), “On integral representation of vextor valued measures”, Math. Scand. 21, pp. 45-53.
19. F. Scalora (1961), “Abstract martingale convergence theorems”, Pacific J. Math. 11, 347-374.
20. A. I. Tulcea, C. I. Tulcea (1963), “Abstract ergodic theorems”, Trans. Amer. Math. Soc. 107, pp. 107-142.
21. A. I. Tulcea, C. I. Tulcea (1962), “on the lifting property. II, Representation of linear operators on spaces L , 1 ≤ γ <∞”, J. Math. Mech. 11, pp. 773-796.