Sự hội tụ theo trung bình của dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức 1.1 Phần tử ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ 1.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu 1.4 Một số bất đẳng thức nhiên Sự hội tụ theo trung bình dãy giá trị không gian Banach 2.1 Một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt 2.2 Các bổ đề 2.3 Kết 4 phần tử ngẫu nhiên nhận 11 11 12 18 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên, nhằm tìm quy luật tượng tưởng chừng quy luật Lý thuyết xác suất đời vào nửa cuối kỷ thứ 17 Ngày nay, lý thuyết xác suất phát triển mạnh mẽ, có sở lý thuyết chặt chẽ có nhiều ứng dụng đời sống người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết đến kinh tế, từ nông học tới y học Một hướng mở rộng lý thuyết xác suất nghiên cứu vấn đề không gian Banach, lĩnh vực gần phát triển mạnh mẽ thu nhiều kết sâu sắc Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu, nghiên cứu đề tài "Sự hội tụ theo trung bình dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach" Luận văn gồm chương: Chương Kiến thức Trong chương này, trình bày số khái niệm phần tử ngẫu nhiên, dạng hội tụ phần tử ngẫu nhiên, đặc trưng phần tử ngẫu nhiên số bất đẳng thức bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức H¨older, bất đẳng thức Cr , bất đẳng thức Lévy nhằm phục vụ chứng minh kết Các chứng minh xem [2] Chương Sự hội tụ theo trung bình dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Đây nội dung luận văn, bao gồm tiết Trong tiết 2.1, trình bày số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt Tiết 2.2 trình bày bổ đề Trong tiết 2.3 đưa kết Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn trực tiếp thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy quan tâm nhiệt tình hướng dẫn mà thầy dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu đề tài Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo TS Lê Văn Thành, thầy giáo TS Nguyễn Thanh Diệu, học viên Trình Hoài Nam, học viên Lê Đăng Thị thường xuyên động viên, quan tâm, giúp đỡ tác giả trình thực luận văn Đồng thời, tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhệm thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Cao học 19 XSTK Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo, ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 05 năm 2013 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong toàn luận văn, giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ, E không gian Banach thực khả ly, B(E) σ- đại số Borel Ký hiệu C số dương, số không thiết phải giống lần xuất 1.1 Phần tử ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa Ta nói ánh xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E X F/B(E) đo (nghĩa với B ∈ B(E) X −1 (B) ∈ F) 1.1.2 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên X: Ω → E gọi phần tử ngẫu nhiên rời rạc |X(Ω)| không đếm Đặc biệt, |X(Ω)| hữu hạn X gọi phần tử ngẫu nhiên đơn giản (|X(Ω)| lực lượng tập hợp X(Ω)) 1.1.3 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi hội tụ hầu chắn (h.c.c) đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞) tồn tập N ∈ F cho P (N ) = Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, n → ∞), với ω ∈ Ω \ N −−→ X (khi n → ∞) Ký hiệu Xn h.c.c 1.1.4 Định lý Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên Xn X phần tử ngẫu nhiên h.c.c −−→ X 1.1.5 Định lý Ánh xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên X giới hạn dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc (tức tồn dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc {Xn , n ≥ 1} cho lim sup Xn (ω) − X(ω) = 0) n→∞ ω∈Ω 1.1.6 Định lý Ánh xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên X giới hạn (theo chuẩn) dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn , n ≥ 1} cho Xn (ω) ≤ X(ω) với n ≥ ω ∈ Ω (tức tồn dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn , n ≥ 1} thoả mãn limn→∞ Xn (ω) − X(ω) = Xn (ω) ≤ X(ω) với n ≥ ω ∈ Ω) 1.1.7 Định lý Giả sử E1 , E2 không gian Banach thực khả ly, T : E1 → E2 ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo X : Ω → E1 phần tử ngẫu nhiên Khi ánh xạ T ◦ X : Ω → E2 phần tử ngẫu nhiên 1.1.8 Hệ Giả sử ánh xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên Khi đó, ánh xạ X : Ω → R biến ngẫu nhiên 1.1.9 Định lý Ánh xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên với f ∈ E∗ f(X) biến ngẫu nhiên 1.1.10 Hệ Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên, a, b ∈ R ξ : Ω → R biến ngẫu nhiên Khi aX + bY, ξX phần tử ngẫu nhiên 1.1.11 Định nghĩa Một tập hữu hạn phần tử ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn nhận giá trị E gọi độc lập với B1 , B2 , , Bn ∈ B(E) ta có P (X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , , Xn ∈ Bn ) = P (X1 ∈ B1 )P (X2 ∈ B2 ) P (Xn ∈ Bn ) Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} E gọi độc lập tập hữu hạn độc lập 1.1.12 Định nghĩa Một phần tử ngẫu nhiên X nhận giá trị E gọi đối xứng X -X có phân phối 1.1.13 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên Borel X nhận giá trị E gọi phần tử ngẫu nhiên Randon với ε > 0, tồn tập compact K E cho P {X ∈ K} ≥ − ε 1.2 Các dạng hội tụ 1.2.1 Định nghĩa Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên xác định Ω nhận giá trị E Ta nói dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ đến X (khi n → ∞) • hầu chắn : P (limn→∞ Xn − X = 0) = Ký hiệu Xn h.c.c −−→ X • đầy đủ với ε > Ký hiệu Xn c − → ∞ n=1 P ( Xn − X > ε) < ∞ X • theo xác suất với ε > limn→∞ P ( Xn − X > ε) = Ký hiệu Xn P − → X • theo trung bình cấp p limn→∞ E Xn − X Ký hiệu Xn Lp − → p = X • theo phân phối PXn w → − PX PX : B(E) → R B → P (X −1 (B)) 1.2.2 Định lý Xn → X h.c.c (khi n → ∞) với ε > 0, lim P (sup Xm − X > ε) = n→∞ m≥n Lp P → X (khi n → ∞) −−→ X Xn − → X Xn − 1.2.3 Định lý Nếu Xn h.c.c c h.c.c → X Xn −−→ X (khi n → ∞) Nếu Xn − −−→ C ∈ E Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập Xn h.c.c c → C (khi n → ∞) Xn − 1.2.4 Định nghĩa Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} dãy • hầu chắn (h.c.c) P (limm,n→∞ Xm − Xn = 0) = 1; • theo xác suất limm,n→∞ P ( Xm − Xn > ε) = với ε > 0; • theo trung bình cấp p>0 limm,n→∞ E Xm − Xn p = 1.2.5 Định lý Dãy {Xn , n ≥ 1} h.c.c dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ h.c.c 1.2.6 Định lý Dãy {Xn , n ≥ 1} dãy h.c.c hai điều kiện sau thoả mãn: (i) limn→∞ P (supk,l≥n Xk − Xl > ε) = với ε > 0; (ii) limn→∞ P (supk≥n Xk − Xn > ε) = với ε > 1.2.7 Định lý Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} theo xác suất tồn dãy {Xnk , k ≥ 1} ⊂ {Xn , n ≥ 1} cho {Xnk , k ≥ 1} hội tụ h.c.c 1.2.8 Định lý Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất dãy theo xác suất 1.2.9 Định lý Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo trung bình cấp p (p ≥ 1) dãy theo trung bình cấp p 1.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên Phần tử m ∈ E gọi kỳ vọng X với f ∈ E∗ ta có f (m) = E(f (X)) Ký hiệu m = EX 1.3.2 Định lý Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên, ξ biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E Khi đó, tồn EX, EY, Eξ Tồn E(X+Y) E(X+Y)=EX+EY; Tồn E(aX) E(aX)=aEX; Tồn E(αξ) E(αξ) = αEξ; Nếu P (X = α) = EX = α; Nếu ξ f (X) độc lập với f ∈ E∗ tồn E(ξX) E(ξX) = EξEX; Với ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E ( E không gian Banach thực khả ly) tồn E(T(X)) E(T(X))=T(E(X)) 1.3.3 Định lý Nếu E X < ∞ tồn EX EX ≤ E X 1.4 Một số bất đẳng thức 1.4.1 Định lý (Bất đẳng thức H¨ older) Giả sử p,q ∈ (1; +∞) cho p1 + 1q = X, Y phần tử ngẫu nhiên Khi đó, E XY ≤ X p Y q 1.4.2 Định lý (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử X phần tử ngẫu nhiên, ánh xạ ϕ : E → R hàm lồi liên tục, X ϕ(X) khả tích ϕ(EX) ≤ E(ϕ(X)) 1.4.3 Định lý (Bất đẳng thức Cr ) Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên, r>0 Khi đó, E X + Y r ≤ Cr (E X r + E Y r ) Cr = max(1, 2r−1 ) phụ thuộc vào r 1.4.4 Định lý (Xem [4])(Bất đẳng thức Lévy) Cho (Xi ) dãy phần tử ngẫu nhiên đối xứng Với k, đặt Sk = ki=1 Xi Khi với số nguyên N với t>0 ta có P {max Sk > t} ≤ 2P { SN > t} k≤N P {max Xi > t} ≤ 2P { SN > t} i≤N 1.4.5 Định lý (Xem [5])Với p ≥ tồn số dương Cp cho không gian Banach khả ly E dãy hữu hạn {Xi : ≤ i ≤ n} phần tử ngẫu nhiên độc lập, với Xi ∈ Lp (i = 1, n) ta có: (i) Với ≤ p ≤ 2, n p E Xi p E| Sn − E Sn | ≤ Cp i=1 Nếu p = C2 = (ii) Với p > 2, n p n p/2 E| Sn − E Sn | ≤ Cp (( E Xi ) i=1 E Xi p ) + i=1 1.4.6 Định lý (Xem [4]) Cho (Xi )i≤N dãy phần ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị E Khi với t>0, N N P {max Xi > t} ≥ i≤N P { Xi > t}/(1 + i P { Xi > t}) i Nếu P {maxi≤N Xi > t} ≤ 1/2 N P { Xi > t} ≤ 2P {max Xi > t} i≤N i Chứng minh Với x ≥ ta có − x ≤ exp(−x) − exp(−x) ≥ x/(1 + x) Do đó, N (1 − P { Xi > t}) P {max Xi > t} = − i≤N i=1 N P { Xi > t}) ≥ − exp(− i N ≥ N P { Xi > t}/(1 + i P { Xi > t}) (1.1) i Nếu P {maxi≤N Xi > t} ≤ 1/2 N N P { Xi > t}/(1 + i P { Xi > t}) ≤ 1/2 i Suy N i P { Xi > t} ≤ N Dẫn đến N i P { Xi > t}/(1 + i P { Xi > t}) ≥ N Do P {maxi≤N Xi > t} ≥ i P { Xi > t}/2 hay N i P { Xi > t} ≤ 2P {maxi≤N Xi > t} N i P { Xi > t}/2 1.4.7 Định lý (Xem [4]) Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối với {Xn , n ≥ 1} Khi với t,a>0 P { Xn ≤ a}P { Xn > t + a} ≤ P { Xn − Xn > t} Trường hợp đặc biệt, P { Xn ≤ a} ≥ 1/2 P { Xn > t + a} ≤ 2P { Xn − Xn > t} 10 1.4.8 Định lý (Xem [4])Cho < p < ∞ (Xi )i≤N dãy phần ngẫu nhiên độc lập, đối xứng Lp (E) Đặt Sk = ki=1 Xi , k ≤ N Khi đó, E SN p ≤ 2.3p E max Xi i≤N p + 2(3t0 )p t0 = inf{t > : P { SN > t} ≤ (8.3p )−1 } 28 n +E n −1/p Xi I( Xi > n1/p ) |r i=1 n ≤ cE| n n −1/p Xi I( Xi > n 1/p ) −E n −1/p i=1 n + cE n−1/p Xi I( Xi > n1/p ) |r i=1 Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n ≤ cn n −r/p E Xi I( Xi > n 1/p ) r + cn −r/p Xi I( Xi > n1/p ) r E Xi I( Xi > n1/p ) r E i=1 n i=1 n ≤ cn−r/p E Xi I( Xi > n1/p ) r + cn−r/p i=1 n i=1 ≤ cn−r/p E Xi r I( Xi > n1/p ) → (2.35) i=1 Nếu r>2 n E n −1/p Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n = E| n n −1/p Xi I( Xi > n 1/p ) −E n −1/p i=1 n + E n−1/p Xi I( Xi > n1/p ) i=1 Xi I( Xi > n1/p ) |r i=1 n ≤ cE| n n −1/p Xi I( Xi > n 1/p ) −E n −1/p i=1 n + cE n−1/p Xi I( Xi > n1/p ) |r i=1 Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n ≤ c(n −2/p n E Xi I( Xi > n 1/p r/2 ) ) + cn −r/p i=1 n + cn−r/p E r i=1 n ≤ c(n n E Xi I( Xi > n i=1 r i=1 Xi I( Xi > n1/p ) −2/p E Xi I( Xi > n1/p ) 1/p r/2 )) + cn −r/p E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 29 n + cn −r/p Xi I( Xi > n1/p ) E r i=1 n ≤ c(n −2/p n E Xi I( Xi > n 1/p r/2 )) + cn −r/p i=1 n + cn−r/p ≤ c(n i=1 E Xi I( Xi > n1/p ) i=1 n −2/p r n E Xi I( Xi > n 1/p r/2 )) + cn −r/p i=1 n + cn−r/p E Xi r I( Xi > n1/p ) E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 E Xi r I( Xi > n1/p ) → (2.36) i=1 2.3.4 Định lý Cho p > 0, r > 0, {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Giả sử n−1/p ni=1 Xi → theo xác suất n lim n−r/p n→∞ E Xi r = (2.37) i=1 Khi n E n −1/p Xi r → i=1 Chứng minh Từ bổ đề 2.2.11 2.2.12 ta giả thiết {Xn , n ≥ 1} đối xứng Do theo bổ đề 2.2.7 E n−1/p ni=1 Xi I( Xi ≤ n1/p ) r → Ta cần chứng minh E n−1/p ni=1 Xi I( Xi > n1/p ) r → Trước hết ta chứng minh ∀s ∈ (0, r] n n −s/p E Xi s I( Xi > n1/p ) → (2.38) i=1 Thật vậy, n n −s/p n s E Xi I( Xi > n i=1 1/p )≤n −r/p E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 n ≤ n−r/p E Xi i=1 r (2.37) −−−→ (2.39) 30 Biến đổi tương tự Định lý 2.3.3 ta thu n E n −1/p Xi I( Xi > n1/p ) r → i=1 2.3.5 Hệ Cho p > 0, r > 0, {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối nhận giá trị không gian Banach Khi đó, n−1/p ni=1 Xi → theo xác suất limx→∞ xp P { X > x} = 0, < r < p, E X r < ∞, r ≥ p, n r i=1 Xi E n−1/p (2.40) → Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử E n−1/p ni=1 Xi r → điều cho thấy Lp P → n−1/p ni=1 Xi −→ dẫn đến n−1/p ni=1 Xi − Nếu 0 n1/p } ≥ P {n−1/p max Xi > n1/p } 1≤i≤n i=1 Suy P {n−1/p max1≤i≤n Xi > n1/p } → Dẫn đến P {max1≤i≤n Xi > n1/p } → Sử dụng Định lý 1.4.6 ta nP { X > n1/p } ≤ 2P { max Xi > n1/p } → 1≤i≤n Điều chứng tỏ limx→∞ xp P { X > x} = Nếu r ≥ p E X r < ∞ Điều kiện cần: Theo bổ đề 2.2.7 E n−1/p ni=1 Xi I( Xi ≤ n1/p ) Ta cần chứng minh E n−1/p ni=1 Xi I( Xi > n1/p ) r → Trước hết ta chứng minh ∀s ∈ (0, r] r → n n −s/p E Xi s I( Xi > n1/p ) → i=1 (2.41) 31 Thật vậy, s n1/p ) i=1 n =n ∞ −s/p P { Xi s I( Xi > n1/p ) > x} dx i=1 n ∞ ≤ n P { Xi > x 1/s 1/p n P { Xi > n1/p } } dx + i=1 i=1 ∞ nP { Xi > x1/s n1/p } dx + nP { Xi > n1/p } ≤ ∞ x−p/s (x1/s n1/p )p P { Xi > x1/s n1/p } dx + (n1/p )p P { Xi > n1/p } ≤ (2.40) −−−→ (2.42) Nếu s ≥ p n n −s/p n s E Xi I( Xi > n 1/p )≤n −s/p i=1 E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 n ≤ n−s/p E Xi r ≤ n−s/p+1 E X r (2.40) −−−→ (2.43) i=1 Biến đổi tương tự Định lý 2.3.3 ta thu n E n −1/p Xi I( Xi > n1/p ) r → i=1 2.3.6 Hệ Cho 11 {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach với nghĩa zero compact khả tích cấp theo nghĩa Cesàro Nếu limn→∞ n−r ni=1 E Xi r = E n−1 ni=1 Xi r → Chứng minh Theo Định lý 2.3.2, ta có n−1 ni=1 Xi → theo xác suất Sử dụng Định lý 2.3.4 ta có điều phải chứng minh Thay điều kiện n−1/p ni=1 Xi → theo xác suất điều kiện n−1/p bị chặn theo xác suất ta thu kết tương tự n i=1 Xi 2.3.8 Định lý Cho < r < p < ∞ {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Nếu n−1/p ni=1 Xi bị chặn theo xác suất n lim sup xp sup n−1 x→∞ n≥1 P { Xi > x} < ∞ (2.44) i=1 n sup E n n≥1 −1/p Xi r < ∞ (2.45) i=1 Chứng minh Từ bổ đề 2.2.11 2.2.12 ta giả thiết {Xn , n ≥ 1} đối xứng Do theo bổ đề 2.2.7 supn≥1 E n−1/p ni=1 Xi I( Xi ≤ n1/p ) r < ∞ 33 Ta cần chứng minh supn≥1 E n−1/p ni=1 Xi I( Xi > n1/p ) Trước hết ta chứng minh ∀s ∈ (0, r] r < ∞ n sup n −s/p n≥1 E Xi s I( Xi > n1/p ) < ∞ (2.46) i=1 Thật vậy, với s ≤ r < p (2.44) ta có n n −s/p E Xi s I( Xi > n1/p ) i=1 n =n ∞ −s/p P { Xi s I( Xi > n1/p ) > x} dx i=1 n ∞ ≤ n P { Xi > x 1/s 1/p n i=1 i=1 n ∞ ≤ x −p/s p/s x n(n n −1 P { Xi > x 1/s 1/p n }) dx + n n i=1 −1 P { Xi > n1/p } i=1 n ∞ x−p/s xp/s n sup(n−1 ≤ P { Xi > n1/p } } dx + n≥1 P { Xi > x1/s n1/p }) dx i=1 n + n sup(n−1 n≥1 P { Xi > n1/p }) (2.47) i=1 n suy sup n −s/p n≥1 E Xi s I( Xi > n1/p ) i=1 ∞ −p/s ≤ sup x n (x 1/s 1/p p n ) sup(n n≥1 −1 P { Xi > x1/s n1/p }) dx i=1 n + sup(n1/p )p sup(n−1 n≥1 P { Xi > n1/p }) < ∞ i=1 Sử dụng Định lý 1.4.5, bất đẳng thức Cr (2.46) ta có n sup E n n≥1 Thật vậy, −1/p Xi I( Xi > n1/p ) i=1 r < ∞ (2.48) 34 Nếu < r ≤ n E n n −1/p Xi I( Xi > n 1/p r ) =n −r/p Xi I( Xi > n1/p ) E i=1 n r i=1 ≤ n−r/p E Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n ≤ n−r/p E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 n Suy sup E n −1/p n≥1 Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n ≤ sup n−r/p n≥1 E Xi r I( Xi > n1/p ) < ∞ (2.49) i=1 Nếu < r ≤ n E n −1/p Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n = E| n n −1/p Xi I( Xi > n 1/p ) −E n −1/p i=1 n + E n−1/p Xi I( Xi > n1/p ) i=1 Xi I( Xi > n1/p ) |r i=1 n ≤ cE| n n −1/p Xi I( Xi > n 1/p ) −E n −1/p i=1 n + cE n−1/p Xi I( Xi > n1/p ) |r i=1 Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n ≤ cn −r/p n E Xi I( Xi > n 1/p ) r + cn −r/p i=1 n ≤ cn−r/p E Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 r + cn−r/p i=1 n i=1 E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 r n E Xi I( Xi > n1/p ) ≤ cn−r/p Xi I( Xi > n1/p ) E 35 n Suy sup E n −1/p n≥1 Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n ≤ c sup n−r/p n≥1 E Xi r I( Xi > n1/p ) < ∞ (2.50) i=1 Nếu r>2 n E n −1/p Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n = E| n n −1/p Xi I( Xi > n 1/p ) −E n −1/p i=1 n + E n−1/p Xi I( Xi > n1/p ) i=1 Xi I( Xi > n1/p ) |r i=1 n ≤ cE| n n −1/p Xi I( Xi > n 1/p ) −E n −1/p i=1 n + cE n−1/p Xi I( Xi > n1/p ) |r i=1 Xi I( Xi > n1/p ) r i=1 n ≤ c(n n −2/p E Xi I( Xi > n 1/p r/2 ) ) + cn −r/p i=1 n + cn−r/p E r i=1 n ≤ c(n n E Xi I( Xi > n 1/p r/2 )) + cn −r/p i=1 n + cn−r/p E r i=1 n ≤ c(n n E Xi I( Xi > n 1/p r/2 )) + cn −r/p i=1 n + cn−r/p ≤ c(n i=1 E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 E Xi I( Xi > n1/p ) i=1 n −2/p E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 Xi I( Xi > n1/p ) −2/p r i=1 Xi I( Xi > n1/p ) −2/p E Xi I( Xi > n1/p ) r n E Xi I( Xi > n 1/p r/2 )) + cn −r/p E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 36 n Suy sup E n −1/p n≥1 ≤ c(sup n Xi I( Xi > n1/p ) i=1 n −2/p n≥1 r E Xi I( Xi > n1/p ))r/2 i=1 n + c sup n−r/p n≥1 E Xi r I( Xi > n1/p ) < ∞ (2.51) i=1 Cuối cùng, trình bày kết mối liên hệ tính bị chặn theo xác suất tính bị chặn theo trung bình 2.3.9 Định lý Cho p > 0, r > 0, {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Nếu n−1/p ni=1 Xi bị chặn theo xác suất n lim sup n−r/p n→∞ E Xi r n1/p ) r < ∞ Trước hết ta chứng minh ∀s ∈ (0, r] n sup n −s/p n≥1 E Xi s I( Xi > n1/p ) < ∞ i=1 Thật vậy, (2.52) ta có n n −s/p n s E Xi I( Xi > n i=1 1/p )≤n −r/p E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 n ≤ n−r/p E Xi r i=1 n Suy sup n n≥1 −s/p E Xi s I( Xi > n1/p ) i=1 (2.54) 37 n ≤ sup n −r/p n≥1 E Xi r < ∞ (2.55) i=1 Biến đổi tương tự Định lý 2.3.8 ta thu n sup E n −1/p n≥1 Xi I( Xi > n1/p ) r < ∞ i=1 2.3.10 Hệ Cho p > 0, r > 0, {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập,cùng phân phối nhận giá trị không gian Banach Khi đó, n−1/p ni=1 Xi bị chặn theo xác suất lim supx→∞ xp P { X > x} < ∞, < r < p, E X r < ∞, r ≥ p, (2.56) n sup E n −1/p n≥1 Xi r < ∞ i=1 Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử supn≥1 E n−1/p ni=1 Xi r < ∞ suy n−1/p ni=1 Xi bị chặn theo xác suất Nếu 0 n1/p } < ε i=1 Theo bất đẳng thức Lévy n 2P { n −1/p Xi > n1/p } ≥ P {n−1/p max Xi > n1/p } 1≤i≤n i=1 Suy P {n−1/p max1≤i≤n Xi > n1/p } < 2ε P {max1≤i≤n Xi > n1/p } < 2ε Vì nP { X > n1/p } ≤ 2P {max1≤i≤n Xi > n1/p } nên limx→∞ sup nP { X > n1/p } < ∞ Dẫn đến limx→∞ sup xp P { X > x} < ∞ Nếu r ≥ p E X r < ∞ 38 Điều kiện cần: Theo bổ đề 2.2.7 supn≥1 E n−1/p ni=1 Xi I( Xi ≤ n1/p ) ∞ Ta cần chứng minh supn≥1 E n−1/p ni=1 Xi I( Xi > n1/p ) r < ∞ Trước hết ta chứng minh ∀s ∈ (0, r] r < n sup n −s/p n≥1 E Xi s I( Xi > n1/p ) < ∞ (2.57) i=1 Thật vậy, với s n1/p ) i=1 n =n ∞ −s/p P { Xi s I( Xi > n1/p ) > x} dx i=1 n ∞ n P { Xi > x ≤ 1/s 1/p n P { Xi > n1/p } } dx + i=1 i=1 ∞ nP { Xi > x1/s n1/p } dx + nP { Xi > n1/p } ≤ ∞ x−p/s xp/s nP { Xi > x1/s n1/p } dx + nP { Xi > n1/p } ≤ n Suy sup n −s/p n≥1 E Xi s I( Xi > n1/p ) i=1 ∞ x−p/s sup((x1/s n1/p )p P { Xi > x1/s n1/p }) dx ≤ n≥1 + sup(n1/p )p P { Xi > n1/p } < ∞ (2.58) n≥1 Nếu s ≥ p n n −s/p n s E Xi I( Xi > n 1/p )≤n −s/p i=1 E Xi r I( Xi > n1/p ) i=1 n ≤ n−s/p E Xi r ≤ n−s/p+1 E X r (2.56) −−−→ (2.59) i=1 Biến đổi tương tự Định lý 2.3.8 ta thu n sup E n n≥1 −1/p Xi I( Xi > n1/p ) i=1 r < ∞ 39 40 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày hệ thống kiến thức phần tử ngẫu nhiên 2) Trình bày bất đẳng thức quen thuộc phần tử ngẫu nhiên 3) Nghiên cứu hội tụ theo trung bình luật mạnh số lớn MarcinkiwiczZygmund không gian Banach với điều kiện không gian Banach không gian Rademacher dạng p, 1[...]... CHƯƠNG 2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CỦA DÃY CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 2.1 Một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt Trong mục này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt mà chúng tôi sẽ đi sâu nghiên cứu trong các mục sau 2.1.1 Định nghĩa Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là chặt đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của. .. bản của luật mạnh số lớn Marcinkiewicz đối với phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly tuỳ ý 15 2.2.9 Bổ đề Cho 1 ≤ p < 2, E là không gian Banach khả ly và {Xn , n ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối nhận giá trị trên không gian Banach với E X1 p < ∞ Khi đó Sn /n1/p 0 khi và chỉ khi Sn /n1/p P − → h.c.c −−→ 0 Chứng minh Điều kiện đủ là rõ ràng P → 0 Không. .. đây chỉ ra một số đặc trưng của không gian Rademacher dạng p, liên quan đến các luật số lớn đối với dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều cấp p hoặc compact khả tích đều cấp p theo nghĩa Cesàro 2.3.1 Định lý Cho 1 n1/p ) < ∞ (2.51) i=1 Cuối cùng, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về mối liên hệ giữa tính bị chặn theo xác suất và tính bị chặn theo trung bình 2.3.9 Định lý Cho p > 0, r > 0, và {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Banach Nếu n−1/p ni=1 Xi bị chặn theo xác suất và n lim sup n−r/p n→∞ E Xi r ... HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CỦA DÃY CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 2.1 Một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt Trong mục này, giới thiệu số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt... kết Các chứng minh xem [2] Chương Sự hội tụ theo trung bình dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Đây nội dung luận văn, bao gồm tiết Trong tiết 2.1, trình bày số lớp phần tử ngẫu. .. nhiên nhận giá trị không gian Banach khả ly tuỳ ý 15 2.2.9 Bổ đề Cho ≤ p < 2, E không gian Banach khả ly {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối nhận giá trị không gian Banach