Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach

Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ SÁU ANH

NÓN TIẾP VÀ NÓN PHÁP TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Giáo viên hướng dẫn:

PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI, 2014

Mục lục

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert 8

1.2 Tập lồi 10

1.3 Hàm lồi 13

1.3.1 Định nghĩa 13

1.3.2 Tính liên tục của hàm lồi 15

1.4 Ánh xạ đa trị 16

1.5 Đạo hàm theo hướng 18

1.6 Dưới vi phân Fréchet 18

1.7 Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel–Penot 19

2 Nón tiếp và nón pháp 22 2.1 Nón tiếp 22

2.2 Nón pháp 29

2.3 Nón tiếp và nón pháp của trên đồ thị 33

2.4 Biểu diễn của nón tiếp 37

2.5 Đạo hàm tiếp liên và định lý kiểu Lyusternik 44

2.6 Biểu diễn của nón pháp 47

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Sáu Anh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm,luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Nón tiếp vànón pháp trong không gian Banach" được hoàn thành bởi nhậnthức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Sáu Anh

dom(f ) miền hữu hiệu của f

epi(f ) trên đồ thị của f

f′(x) đạo hàm của f tại x

∇f(x) gradient của f tại x

∇2f (x) ma trận Hessian của f tại x

E∗ không gian liên hợp của E

f′(x) đạo hàm Fréchet của f tại x

fG′ (x) đạo hàm Gâteaux của f tại x

f′(x; v) đạo hàm theo hướng v của f tại x

∂f (x) dưới vi phân của f tại x

||.|| chuẩn trong không gian Banach

|x| trị tuyệt đối của số x

hx∗, xi giá trị của x∗ tại x

Mở đầu

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong Giải tích biến phân và giải tích hàm phi tuyến, nón tiếp và nónpháp là hai khái niệm quan trọng Chúng có vai trò lớn trong nghiên cứucủa nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối

ưu, v.v Nhiều tác giả (Minkowski, Fenchel, Bouligand, Clarke, Uruty, Rockafellar, Robinson, Zowe, Kurcyusz, Lyusternik, Aubin, Schi-rotzek, Klatte và Kummer, Penot, Borwen và Zhu, ) quan tâm nghiêncứu và sử dụng; xem [4], [5] và các tài liệu dẫn trong đó

Hiriart-Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan

hệ và những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là giải tích không trơn

và ứng dụng, tôi chọn đề tài “Nón tiếp và nón pháp trong khônggian Banach” để nghiên cứu

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đạt được một sự hiểu biết tốt về khái niệm và tính chất của một sốnón tiếp, của một số nón pháp trong không gian Banach và ứng dụngcủa chúng trong Giải tích biến phân

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu những khái niệm và tính chất cơ bản của những nón tiếp

và nón pháp cùng ứng dụng của chúng trong Giải tích biến phân

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu: Nón tiếp và nón pháp cùng ứng dụng

- Phạm vi nghiên cứu: Nón và tính chất của nón trong không gian nach

Ba-5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quanmật thiết đến nón tiếp và nón pháp cùng ứng dụng Sử dụng các phươngpháp của Toán giải tích

6 GIẢ THIẾT KHOA HỌC (DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP MỚI)Một tổng quan về nón tiếp và nón pháp cùng một số ứng dụng.

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất

về không gian Banach và không gian Hilbert cùng những toán tử tuyếntính trên chúng Những kiến thức trình bày trong chương này được chọnchủ yếu từ các tài liệu [1],[2], [3], [4] và [5]

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert

Cho E là một không gian vectơ trên trường số R

Định nghĩa 1.1 Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong E là một ánh xạ đi từ

E vào R thỏa mãn các điều kiện:

1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ E ;

2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ R và mọi x ∈ E;

4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ E

Số ||x|| được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E Một không gian vectơ

E cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là mộtkhông gian định chuẩn

Mệnh đề 1.1 Giả sử E là một không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈

E, đặt

ρ(x, y) = ||x − y||

Khi đó, ρ là một metric trên E

Định nghĩa 1.2 Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn k.k.Nếu E với khoảng cách sinh bởi chuẩn của E: ρ(x, y) = ||x − y||, là mộtkhông gian metric đầy đủ thì E gọi là không gian Banach.

Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, không gianBanach được kí hiệu là E Chuẩn trong các không gian Banach luônđược kí hiệu bởi k.k

Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E được gọi là không gian BanachFréchet trơn nếu nó có chuẩn tương đương và chuẩn đó H− khả vi trên

E\ {0}

Định nghĩa 1.4 Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn k.k.Tagọi mỗi ánh xạ tuyến tính x∗ : E →R là một phiếm hàm tuyến tính xácđịnh trên E

Nếu x∗ là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên E và x ∈ E thìgiá trị của x∗ tại x sẽ được kí hiệu là hx∗, xi, nghĩa là hx∗, xi = x∗(x)

Dễ dàng kiểm tra được rằng, tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyếntính liên tục trên E với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh

xạ tuyến tính với số thực lập thành một không gian tuyến tính thực Tagọi không gian này là không gian liên hợp của E và được kí hiệu là E∗.Không gian liên hợp của E∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của E và

kí hiệu là E∗∗

Định lý 1.1 Không gian liên hợp E∗ của E với chuẩn xác định bởi

kx∗k = sup{hx∗, yi : y ∈ E, kyk ≤ 1}

là một không gian Banach

Tôpô τS sinh bởi metric của không gian định chuẩn E∗ nêu trong định

lý vừa nêu gọi là tôpô mạnh trong E∗

Định nghĩa 1.5 Tôpô τW trong E∗ gọi là tôpô yếu và kí hiệu là σ(E∗∗, E∗)nếu hệ thống các lân cận của 0 của E∗ là các tập có dạng

{x∗ ∈ E∗ : hx∗∗i , x∗i < ε, i = 1, , k},trong đó x∗∗

i ∈ E∗∗ với i = 1, , k và ε > 0

Định nghĩa 1.6 Tôpô τ∗ trong E∗ gọi là tôpô yếu* và kí hiệu làσ(E∗, E) nếu hệ thống các lân cận của 0 của E∗ là các tập có dạng

{x∗ ∈ E∗ : hx∗, xii < ε, i = 1, , k},trong đó xi ∈ E với i = 1, , k

Định nghĩa 1.7 Tập A ⊂ E mà là đóng (compact, bị chặn) theo tô pôyếu trong E gọi là tập đóng (tương ứng,compact, bị chặn) yếu Tập Ađóng (compact, bị chặn) theo tô pô yếu* trong không gian liên hợp E∗

của E thì gọi là tập đóng yếu* (tương ứng, compact yếu*, bị chặn yếu*) Kí hiệu cl*M là bao đóng của M trong E∗ theo tô pô σ(E∗, E)

1.2 Tập lồi

Giả sử E là một không gian Banach, R là tập số thực

Định nghĩa 1.8 Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu

∀x1, x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx1 + (1− λ) x2 ∈ A

Ví dụ 1.1 Cả không gian E là tập lồi Tập A = ∅ là tập lồi

Mệnh đề 1.2 Giả Aα ⊂ E (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ sốbất kì Khi đó A = T

α ∈I

Aα cũng lồi

Mệnh đề 1.3 Giả sử tập Ai ⊂ E lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi đó

λ1A1 + + λmAm cũng là tập lồi

Mệnh đề 1.4 Giả sử Ei là không gian Banach, tập Ai ⊂ Ei lồi

(i = 1, 2, , m) Khi đó tích Đềcác A1 × × Am là tập lồi trong

E1× × Em

Mệnh đề 1.5 Giả sử E1, E2 là các không gian Banach, T : E1 → E2

là toán tử tuyến tính Khi đó,

a) A ⊂ E1 lồi thì T (A) lồi;

b) B ⊂ E2 lồi thì nghịch ảnh T−1(B) của B là tập lồi

Định nghĩa 1.9 Véc tơ x ∈ E được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ

Định lý 1.3 coA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A

Hệ quả 1.1 Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi củaA

Định nghĩa 1.11 Giả sử A ⊂ E Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa

A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là coA

Mệnh đề 1.6 Giả A ⊂ E lồi Khi đó,

i) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi;

ii) Nếu x1 ∈ intA, x2 ∈ A, thì {λx1 + (1− λ)x2 : 0 < x1 ≤ 1} ⊂intA

Định nghĩa 1.12 Tập K ⊂ E được gọi là nón có đỉnh 0, nếu

∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K

K được gọi là nón đỉnh x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh 0

Định nghĩa 1.13 Nón K có đỉnh 0 được gọi là nón lồi, nếu K là mộttập lồi, vậy

∀x, y ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ x + y ∈ K, λx ∈ K

Hệ quả 1.2 Tập K ⊂ E là nón lồi khi và chỉ khi K chứa tất cả các

tổ hợp tuyến tính dương của các phần tử của K, tức là nếu x1, , xm ∈

Định nghĩa 1.14 Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập

A và điểm 0 là một nón lồi, kí hiệu là KA và được gọi là nón lồi sinhbởi tập A

Định nghĩa 1.15 Cho A là một tập lồi khác rỗng trong E, x0 ∈ A.nón pháp của A tại x0, kí hiệu là NA(x0), là tập

α, và viết là H(x∗, α)

Định nghĩa 1.17 Cho các tập hợp A, B ⊂ E Ta nói phiếm hàm tuyếntính liên tục x∗ 6= 0 tách A và B, nếu tồn tại số α sao cho

hx∗, yi ≤ α ≤ hx∗, xi (∀x ∈ A, ∀y ∈ B) ,Nếu như có hx∗, yi < α < hx∗, xi (∀x ∈ A, ∀y ∈ B) , thì ta nói x∗ táchngặt A và B

Khi đó siêu phẳng H (x∗, α) = {x ∈ E : hx∗, xi = α} được gọi là siêuphẳng tách A và B, các tập A và B được gọi là tách được

Định lý 1.6 (Định lý Hahn-Banach, Định lý tách (xem [1], [2]) Cho A

và B là hai tập lồi trong không gian Banach E, có tính chất A ∩ B = ∅

và intA 6= ∅ Khi đó A và B có thể tách được bằng một phiếm hàm tuyếntính khác 0, tức

∃x∗ ∈ E∗ \ {0}, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B : hx∗, xi > hx∗, yi

1.3 Hàm lồi

1.3.1 Định nghĩa

Cho E là không gian Banach, D ⊂ E, f : D → R

Định nghĩa 1.18 Cho hàm f : D → R, trong đó D ⊂ E, R =

R∪ {−∞, +∞}, các tập

dom f = {x ∈ D| f(x) < +∞} ,epi f = {(x, α) ∈ D ×R| f(x) ≤ α} , α ∈ Rđược gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f

Định nghĩa 1.19 Hàm f : D → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của

nó là một tập lồi trong D ×R Nếu dom f 6= ∅ và −∞ < f(x) với mọi

x ∈ D ta nói hàm f là chính thường

Định nghĩa 1.20 Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epif là tập lồitrong E ×R Hàm f được gọi là lõm trên D (concave on D), nếu −f làhàm lồi trên D

Định lý 1.7 Giả sử D là tập lồi trong không gian E,

hàm f : D → (−∞, +∞] Khi đó, f lồi trên D khi và chỉ khi

f (λx + (1− λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) (∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ D) Mệnh đề 1.8 Giả sử f : E → (−∞, +∞] Khi đó, f là hàm lồi khi vàchỉ khi

f (λx + (1− λ) y) < λr + (1 − λ) s,(∀λ ∈ (0, 1) , ∀x, y : f (x) < r, f (y) < s) Định lý 1.8 Giả sử f là hàm lồi trên E, µ ∈ [−∞, +∞] Khi đó, cáctập mức {x : f (x) ≤ µ} và {x : f (x) ≤ µ} lồi

Hệ quả 1.4 Giả sử fα là hàm lồi trên E, λα ∈ R (∀α ∈ I), I là tậpchỉ số bất kì Khi đó, tập A = {x ∈ E : fα(x)≤ λα, ∀α ∈ I} lồi

Ví dụ 1.1 (Hàm chỉ) Cho C 6= ∅ là một tập lồi trong E.

Đặt

δC(x) :=



0 khi x ∈ C,+∞ khi x /∈ C

Ta nói δC là hàm chỉ của C

+ ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có: δC(x) = 0, δC(y) = 0

Do C lồi nên λx + (1 − λ)y ∈ C

Suy ra δC[λx + (1− λ)y] = 0 = λδC(x) + (1− λ)δC(y)

Suy ra δC[λx + (1− λ)y] ≤ λδC(x) + (1− λ)δC(y)

Ví dụ 1.2 (Hàm tựa) Cho C 6= ∅ là một tập lồi trong E Đặt SC(y) :=supx∈Chy, xi với y ∈ E∗ Ta nói SC là hàm tựa của C

Định nghĩa 1.21 Hàm f được gọi là đóng, nếu epif đóng trong E ×R.Định lý 1.9 Hàm f đóng khi và chỉ khi tất cả các tập có dạng {x : f (x) ≤ α}của f là đóng

Định lý 1.10 Giả sử f1, , fm là các hàm lồi chính thường trên E Khi

đó, tổng f1 + + fm là một hàm lồi

1.3.2 Tính liên tục của hàm lồi

Định lý 1.11 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên E Khi đó cáckhẳng định sau là tương đương:

i) f bị chặn trong một lân cận của x ;

ii) f liên tục tại x ;

iii) int(epif) 6= ∅ ;

iv) int(domf) 6= ∅ và f liên tục trên int(domf)

Đồng thời, int(epif) = {(x, µ) ∈ E ×R : x ∈ int(domf), f (x) < µ} Định nghĩa 1.22 Giả sử E là không gian Banach Hàm f : E → Rđược gọi là Lipschitz địa phương xung quanh x ∈ E, nếu tồn tại lân cận

U của x ∈ E, số L > 0 sao cho ∀x, x′ ∈ U,

|f (x) − f (x′)| ≤ L kx − x′k Khi đó ta nói f là L−liên tục địa phương xung quanh x; Nếu U = E thì

ta nói f là L− liên tục với hằng số L hay f là hàm Lipschitz với hằng

gọi là phiếm hàm khoảng cách

Dễ thấy, nếu A là tập lồi đóng thì dA là một hàm lồi và dA luôn làhàm Lipschitz với hằng số 1: |dA(x)− dA(y)|6 kx − yk với mọi x, y ∈ E.Định lý 1.12 Giả sử E là không gian Banach; f là hàm lồi trên tập

mở D ⊂ E; f bị chặn trên một lân cận của một điểm nào đó thuộc D.Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D

Hệ quả 1.5 Giả sử f : D → R là hàm lồi, liên tục tại x thuộc tập lồi

mở D Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D

Định nghĩa 1.23 i) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (lsc) tại x ∈ E(với f (x) < ∞), nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho

f (x)− ε ≤ f (y) (∀y ∈ U)

ii) Nếu f (x) = +∞, thì f được gọi là nửa liên tục dưới (lsc) tại x, nếuvới mọi N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho: f (y) ≥ N (∀y ∈ U) iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (lsc), nếu f nửa liên tục dướitại mọi x ∈ E

Mệnh đề 1.9 f đóng khi và chỉ khi f nửa liên tục dưới

Hệ quả 1.6 Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E lồi Khi đó,bao đóng A của A theo tôpô mạnh là đóng theo tôpô yếu của E

Hệ quả 1.7 Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E, x0 thuộc baođóng yếu của A Khi đó, tồn tại dãy các tổ hợp lồi các phần tử của A,hội tụ đến x0 theo chuẩn

Giả sử E là một không gian Banach, E∗ là một không gian liên hợptôpô của E, f là hàm xác định trên E

Định nghĩa 1.24 Hàm liên hợp với f được xác định trên E∗ như sau:

f∗(x∗) = sup

x ∈E {hx∗, xi − f (x)} Định lý 1.13 Định lý Caratheodory đối với nón lồi

Giả sử A ⊂Rnsao cho dimA = m ( A 6= ∅) , KA là nón lồi sinh bởi tập

A Khi đó mỗi điểm

x 6= 0, x ∈ Atồn tại hệ {x1, x2, , xm} độc lập tuyến tính sao cho x được biểu diễndưới dạng x = λ1x1 + + λmxm trong đó λi > 0, xi ∈ A i = 1, n
,

1.4 Ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.25 Giả sử X, Y là hai tập Kí hiệu 2Y là tập tất cảcác tập con của Y Một ánh xạ đa trị Φ đi từ tập X vào tập Y là mộtánh xạ từ X vào 2Y Kí hiệu Φ : X ⇉ Y Đồ thị của ánh xạ đa trịGraph(Φ) ⊂ X × Y được xác định như sau:

Graph(Φ) = {(x, y)|y ∈ Φ(x)}

Ánh xạ đa trị Φ được gọi là không tầm thường nếu Graph(Φ) 6= ∅, nghĩa

là tồn tại x ∈ X sao cho Φ(x) 6= ∅ Nếu Φ(x) 6= ∅ với mọi x ∈ X thì tanói rằng ánh xạ đa trị Φ là chính thường Miền hữu hiệu của ánh xạ đatrị Φ , kí hiệu Dom(Φ) là tập {x ∈ X, Φ(x) 6= ∅} Ảnh của ánh xạ đatrị Φ được cho bởi Im(Φ) = ∪

x ∈X Φ(x) Nếu M là tập con khác rỗng của

X và Φ là ánh xạ đa trị từ X vào Y thì ta dùng kí hiệu Φ|M để chỉ ánh

xạ đa trị thu hẹp của Φ lên M và được định nghĩa:

Φ|M =

Φ(x), x ∈ M,

là các hệ sốthực Qui tắc cho tương ứng với mỗi véc tơ a = (a1, , an) ∈ Rnvới tậpnghiệm ký hiệu bởi Φ(a) của (1.1) cho ta một ánh xạ đa trị Φ :Rn → 2Ctừkhông gian Euclide Rn vào tập số phức C

Với Φ là ánh xạ đa trị trong ví dụ 1.4 ta có:

Graph(Φ) = 

(a, x)∈ Rn×C : xn+ a1xn−1+ + an −1x + a0 = 0

,Dom(Φ) =Rn, Im(Φ) = C

Định nghĩa 1.26 Cho X, Y là hai không gian tô pô và Φ : X ⇉ Y làánh xạ đa trị

i) Nếu Graph(Φ) là tập đóng trong không gian tô pô tích X × Y thì Φđược gọi là ánh xạ đóng

ii) Nếu X, Y là các không gian định chuẩn thì nếu Graph(Φ) là tập lồitrong không gian tích X × Y thì Φ được gọi là ánh xạ đa trị lồi.iii) Nếu Φ (x) là tập đóng với mọi x ∈ X thì Φ (x) được gọi là ánh xạ

có giá trị đóng

iv) Nếu Y là không gian định chuẩn và nếu Φ(x) là tập lồi thì Φ (x)được gọi là ánh xạ có giá trị lồi

1.5 Đạo hàm theo hướng

Giả định rằng E và F là các không gian định chuẩn, D ⊆ E là mở

và khác rỗng, x ∈ D và f : D → F Ta sẽ nhắc lại một số khái niệm cổđiển Để bắt đầu, ta xem xét đạo hàm theo hướng y Ta viết:

∆f (x,y) := f (x + y)− f (x) , ∀y ∈ D − xChúng ta sử dụng các chữ viết tắt sau đây:

• G− đạo hàm : đạo hàm Gateaux,

• H− đạo hàm : đạo hàm Hadamard,

• F − đạo hàm : đạo hàm Fréchet

Định nghĩa 1.27 Giả sử y ∈ E Ta gọi:

r∆f (x, rz) là H-đạo hàm theo hướng chặt

của f tại x theo hướng y, nếu các giới hạn tương ứng tồn tại

Bổ đề 1.1 (a) Nếu fH (x, y) tồn tại, khi đó fG(x, y) cũng tồn tại và

cả hai đạo hàm theo hướng trùng nhau

(b) Nếu f là L−liên tục địa phương xung quanh x, khi đó fH (x, y) tồntại khi và chỉ khi fG(x, y) tồn tại

1.6 Dưới vi phân Fréchet

Định nghĩa 1.28 Giả sử rằng E là một không gian Banach, f : E → R

là chính thường và lsc, x ∈ domf

(a) Phiếm hàm f được gọi là dưới khả vi Fréchet (F − dưới khả vi) tại xnếu tồn tại x∗ ∈ E∗ (gọi là F −dưới đạo hàm của f tại x) sao cho :

số dương σ thì x∗ được gọi là gradien dưới gần kề của f tại x

Tập hợp:

∂Ff (x) = tập của tất cả các F-dưới đạo hàm của f tại x

∂Vf (x) = tập của tất cả các dưới đạo hàm nhớt của f tại x

∂Pf (x) = tập của tất cả các gradien gần kề của f tại x

được gọi là dưới vi phân của Fréchet (F − dưới vi phân ), dưới vi phânnhớt, dưới vi phân gần kề của f tại x theo thứ tự tương ứng

1.7 Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel–Penot

f◦(x, y) := lim

r →0sup1

r (f (x + ry)− f (x))được gọi là đạo hàm theo hướng Clarke của f tại x theo hướng y và

Định lý 1.14 Giả sử f là L− liên tục địa phương xung quanh x vớihằng số λ > 0 Khi đó :

(a) f◦(x, ) và f♦(x, ) là tuyến tính dưới và L−liên tục với hằng số λtrên E thỏa mãn :

fH (x, y) ≤ f♦(x, y) ≤ f◦(x, y) ≤ λ kyk , ∀y ∈ E

Trong trường hợp đặc biệt, f◦(x, ) và f♦(x, ) là xấp xỉ lồi hữu hạntrên của f tại x

(b) ∀y ∈ E ta có: f◦(x,−y) = (−f) (x, y) , f♦(x,−y) = (−f) (x, y)

Ví dụ 1.5 Giả sử E :=R, f (x) := |x| − |sinx| và x := π Khi đó ta có:

fH (π, y) =

2y, y < 0,

0, y ≥ 0

f♦(π, y) =



0, y < 0,2y, y ≥ 0

Ta thấy rằng trong các đạo hàm theo hướng trên , phiếm hàm fH(π, )

là xấp xỉ địa phương tốt nhất của f tại π nhưng nó không là lồi Vì nếu

f là lồi thì ∂f (x) = {x∗ | hx∗, yi ≤ fG(x, y) ,∀y ∈ E}.Trong trường hợpkhông lồi ta có:

Định nghĩa 1.30 Nếu f là L−liên tục địa phương xung quanh x thì:

∂◦f (x) := {x∗ ∈ E∗ | hx∗, yi ≤ f◦(x, y) ,∀y ∈ E}

gọi là dưới vi phân Clarke hoặc gradien suy rộng Clarke của f tại x và

∂♦f (x) := 

x∗ ∈ E∗ | hx∗, yi ≤ f♦(x, y) ,∀y ∈ E gọi là dưới vi phân Michel- Penot của f tại x

Mệnh đề 1.10 Nếu f là L− liên tục địa phương xung quanh x , khi đóvới mọi ta có:

∂◦(σf ) = σ∂◦f (x)và

∂♦(σf ) (x) = σ∂♦f (x) Chứng minh Xem 7.3, Chương 7 trong [5]

Kết luận

Trong chương này chúng ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất

cơ bản của tập lồi, hàm lồi, hàm Lipschitz, ánh xạ đa trị và số khái niệmđạo hàm cổ điển Những nội dung này sẽ dùng như là những kiến thứcchuẩn bị cho chương sau

Chương 2

Nón tiếp và nón pháp

Chương này nghiên cứu những khái niệm và tính chất cơ bản củanhững nón tiếp và nón pháp cùng ứng dụng của chúng trong Giải tíchbiến phân Ngoài những trường hợp cụ thể, ta luôn giả sử rằng E làkhông gian định chuẩn, A là một tập con khác rỗng của E, x ∈ A Nộidung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ Chương 11 của [5]

iii) TC(A, x) := {y ∈ E | ∀xk →A x,∀rk ↓ 0∃yk → y∀k : xk + rkyk ∈ A}

là nón tiếp Clarke của A tại x

iv) Ir(A, x) := {y ∈ E | ∃ε > 0∀r ∈ (0, ε) : x + ry ∈ A}, nón các tia hướngvào trong hoặc nón các phương chấp nhận được của A tại x

v) I (A, x) := {y ∈ E | ∃ε > 0∀r ∈ (0, ε) ∀z ∈ B (y, ε) : x + rz ∈ A}, nóncác phương trong của A tại x

vi) H (A, x) := {y ∈ E | ∀xk →A x∀rk ↓ 0∀yk → y∀k : xk+ rk.yk ∈ A}

là nón các siêu tiếp của A tại x

Mệnh đề 2.1

(a) Ta có: I (A, x) ⊆ Ir(A, x) ⊆ Tr(A, x) ⊆ T (A, x)

H (A, x) ⊆ TC(A, x) ⊆ T (A, x)

Mỗi trong các tập nêu trên là một nón, I (A, x) và H (A, x) có thểrỗng, những nón khác chứa phần tử 0

(b) T (A, x) và TC(A, x) là đóng ,TC(A, x) là lồi

(c) Nếu U là một lân cận của x, thì T (A, x) = T (A ∩ U, x) và tương tưnhư những nón khác ở phần (a)

(I) Ta chứng tỏ rằng T (A, x) là đóng Giả sử (zn) là một dãy trong

T (A, x), hội tụ đến y ∈ E, ∀n ∈ N Khi đó tồn tại dãy (rn

k) trong(0, +∞) và (yn

yk(n) → zn < 1

n,∀k ≥ k (n) Đặt rn := r(n)k(n), yn := y(n)k(n) và rn ↓ 0, chúng ta thu được rn ↓ 0 và

yn → y khi n → ∞ như x + rn.yn ∈ A, ∀n Cho nên: y ∈ T (A, x)(II) Bây giờ ta kiểm tra TC (A, x) là lồi Giả sử y1, y2 ∈ TC(A, x) Vì

TC(A, x) là một nón, ta chỉ cần chứng tỏ rằng y1 + y2 ∈ TC(A, x)

Giả sử rằng rk ↓ 0 và xk →A x khi k → ∞ Khi đó tồn tại y(1)

Tr(A, x)∩ Ir(B, x) ⊆ Tr(A∩ B, x) , (2.1)

T (A, x)∩ I (B, x) ⊆ T (A ∩ B, x) (2.2)Chứng minh Ta kiểm tra (2.2) còn (2.1) ta làm tương tự Giả sử y ∈

T (A, x) ∩ I (B, x) Khi đó tồn tại dãy rk ↓ 0 và yk → y sao cho x +

rk.yk ∈ A, ∀k ∈ N Ngoài ra, tồn tại ε > 0 sao cho x + rB (y, ε) ∈

B,∀r ∈ (0, ε) Với mọi k đủ lớn ta thu được x + rkyk ∈ A ∩ B Do đó,

Chứng minh Xem Chương 11 của [5].

Bây giờ ta thiết lập một biểu diễn của nón tiếp Clarke theo thuật ngữcủa đạo hàm theo hướng Clarke Dễ dàng thấy rằng

|dA(x)− dA(y) ≤ kx − yk| , ∀x, y ∈ E, (2.3)nghĩa là phiếm hàm khoảng cách dA(.) là L- liên tục (là hàm Lipschitz)

Hơn thế, xk+ rkyk = zk ∈ A, ∀k Do đó y ∈ TC(A, x) Bây giờ ta giả sử

y ∈ TC(A, x) Theo định nghĩa của d0

A, tồn tại rk ↓ 0 và x′

k → x thỏamãn:

d0A(x, y) ≥ lim

k →∞sup 1

r (dA(xk + rky)− dA(xk)) ≥ 0

Do đó, vế phải của (2.4) là không lớn hơn 0 Giả sử zk ∈ A sao cho:

k + x

′

k− x → 0

và vì thế zk → x Vì y ∈ TC(a, x), tồn tại yk → y thỏa mãn zk + rkyk ∈

A,∀k ∈ N Hơn nữa, vì dA là L−liên tục với L là một hằng số, ta thuđược:

1

k +kyk − yk

.Như vậy, vế phải của (2.4) lớn nhất bằng 0

Hệ quả 2.1 Nếu A là lồi thì TC(A, x) = T (A, x) = cl(R+(A− x)).Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1(d), ta có đẳng thức thứ 2 đúng Bây giờ

ta sẽ chứng tỏ rằng TC(A, x) = cl(R+(A− x)) Vì A lồi, phiếm hàm dA

là lồi và L-liên tục Do đó, dA là chính quy và vì thế d0

A(x, ) = dA,G(x, ).Theo mệnh đề 2.4, u ∈ TC(A, x) là tương đương với dA,G(x, u) = 0 và vìvậy lim

r ↓0 r−1dA(x + ru) = 0 Quan hệ vừa nêu đúng khi và chỉ khi ∀k ∈ Ntồn tại rk ∈ 0,1k
và xk ∈ A sao cho

Những "đặc trưng hình cầu" của nón tiếp Clarke và nón siêu tiếp sẽhữu ích trong phần tiếp theo

Bổ đề 2.1 a Ta có y ∈ TC(A, x) khi và chỉ khi ∀ε > 0 tồn tại δ > 0sao cho

A∩ B (x, δ) + ry ⊆ A + rB (0, ε) , ∀r ∈ (0, δ)

b Ta có: y ∈ H (A, x) khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 sao cho u + rv ∈ Akhi u ∈ A ∩ B (x, ε) , v ∈ B (y, ε) , r ∈ (0, ε).

Mệnh đề 2.5 H (A, x) luôn mở Nếu H (A, x) khác rỗng thì int TC(A, x) =

H (A, x)

Chứng minh Dễ dàng từ bổ đề 2.1 suy ra H (A, x) là mở Vì nó là mộttập con của TC(A, x), ta luôn có: H (A, x) ⊆ intTC(A, x) Giả sử rằng

H (A, x) là khác rỗng, ta có thể chỉ ra:

intTC(A, x) ⊆ H (A, x) (2.6)

Để chỉ ra điều đó ta chỉ cần kiểm tra hệ thức

H (A, x) + TC(A, x)⊆ H (A, x) (2.7)Thật thế, giả sử y ∈ intTC(A, x) đã cho Chọn z ∈ H (A, x) Khi đó

y − ηz ∈ TC(A, x) với η > 0 đủ nhỏ Vì ηz ∈ H (A, x) ta có:

y = ηz + (y− ηz) ∈ H (A, x) Như vậy điều còn lại là kiểm tra ( 2.7) Giả sử y1 ∈ H (A, x) và y2 ∈

TC(A, x) đã cho Ta phải chứng tỏ rằng với ε > 0 nào đó,

A∩ B (x, ε) + rB (y1 + y2, ε)⊆ A, ∀r ∈ (0, ε) (2.8)

Vì y1 ∈ H (A, x), tồn tại ε1 > 0 sao cho

A∩ B (x, ε1) + rB (y1, ε1) ⊆ A, ∀r ∈ (0, ε1) (2.9)Ngoài ra, y2 ∈ TC(A, x) suy ra rằng, với một ε2 > 0 nào đó, ta có:

A∩ B (x, ε2) + ry2 ⊆ A + B0, rε1

2

,∀r ∈ (0, ε2) (2.10)Bây giờ, giả sử có ε sao cho

,

ở đây z ∈ A ∩ B (x, ε) và z′

∈ B (0, 1) Vì ε ≤ ε2, theo (2.10) ta thấyrằng với z′′