Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach

Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach Nón tiếp và nón pháp trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ SÁU ANH NÓN TIẾP VÀ NÓN PHÁP TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NÓN TIẾP VÀ NÓN PHÁP TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI, 2014 Mục lục Một số kí hiệu Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach không gian Hilbert . . . 1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Tính liên tục hàm lồi . . . . . . . . 1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dưới vi phân Clarke, vi phân Michel–Penot Nón tiếp nón pháp 2.1 Nón tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nón pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Nón tiếp nón pháp đồ thị . . . 2.4 Biểu diễn nón tiếp . . . . . . . . . . . . 2.5 Đạo hàm tiếp liên định lý kiểu Lyusternik 2.6 Biểu diễn nón pháp . . . . . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 10 13 13 15 16 18 18 19 . . . . . . 22 22 29 33 37 44 47 55 Tài liệu tham khảo 56 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Sáu Anh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Nón tiếp nón pháp không gian Banach" hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Sáu Anh Bảng số kí hiệu R Rn R = R ∪ {−∞, +∞} f :X →R dom(f ) epi(f ) f ′ (x) ∇f (x) ∇2 f (x) E∗ int A A,clA domf epif f ′ (x) fG′ (x) f ′ (x; v) ∂f (x) ||.|| |x| x∗ , x KA NA (¯ x) f ≤g L(f, α) = {x ∈ X | f (x) C k −hàm idA B (y, ε) đường thẳng thực không gian Euclid n - chiều tập số thực suy rộng ánh xạ từ X vào R miền hữu hiệu f đồ thị f đạo hàm f x gradient f x ma trận Hessian f x không gian liên hợp E phần A bao đóng A miền hữu hiệu f đồ thị f đạo hàm Fréchet f x đạo hàm Gâteaux f x đạo hàm theo hướng v f x vi phân f x chuẩn không gian Banach trị tuyệt đối số x giá trị x∗ x nón lồi sinh A nón pháp A x¯ f (x) ≤ g(x) với x α} tập mức hàm khả vi liên tục đến cấp k ánh xạ đồng A cầu tâm y bán kính ε Mở đầu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong Giải tích biến phân giải tích hàm phi tuyến, nón tiếp nón pháp hai khái niệm quan trọng. Chúng có vai trò lớn nghiên cứu nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, v.v Nhiều tác giả (Minkowski, Fenchel, Bouligand, Clarke, HiriartUruty, Rockafellar, Robinson, Zowe, Kurcyusz, Lyusternik, Aubin, Schirotzek, Klatte Kummer, Penot, Borwen Zhu,. . . ) quan tâm nghiên cứu sử dụng; xem [4], [5] tài liệu dẫn đó. Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng toán giải tích, đặc biệt giải tích không trơn ứng dụng, chọn đề tài “Nón tiếp nón pháp không gian Banach” để nghiên cứu. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đạt hiểu biết tốt khái niệm tính chất số nón tiếp, số nón pháp không gian Banach ứng dụng chúng Giải tích biến phân. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu khái niệm tính chất nón tiếp nón pháp ứng dụng chúng Giải tích biến phân. 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Nón tiếp nón pháp ứng dụng. - Phạm vi nghiên cứu: Nón tính chất nón không gian Banach. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tìm hiểu tài liệu: Các báo đăng sách in liên quan mật thiết đến nón tiếp nón pháp ứng dụng. Sử dụng phương pháp Toán giải tích. 6. GIẢ THIẾT KHOA HỌC (DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP MỚI) Một tổng quan nón tiếp nón pháp số ứng dụng. Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm không gian Banach không gian Hilbert toán tử tuyến tính chúng. Những kiến thức trình bày chương chọn chủ yếu từ tài liệu [1],[2], [3], [4] [5]. 1.1 Không gian Banach không gian Hilbert Cho E không gian vectơ trường số R . Định nghĩa 1.1. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, E ánh xạ từ E vào R thỏa mãn điều kiện: 1) ||x|| ≥ với x ∈ E ; 2) ||x|| = x = θ (θ kí hiệu phần tử không); 3) ||λx|| = |λ|||x|| với số λ ∈ R x ∈ E; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với x, y ∈ E. Số ||x|| gọi chuẩn vectơ x ∈ E. Một không gian vectơ E với chuẩn xác định không gian ấy, gọi không gian định chuẩn. Mệnh đề 1.1. Giả sử E không gian định chuẩn. Với x, y ∈ E, đặt ρ(x, y) = ||x − y||. Khi đó, ρ metric E. Định nghĩa 1.2. Cho E không gian định chuẩn với chuẩn . . Nếu E với khoảng cách sinh chuẩn E: ρ(x, y) = ||x − y||, không gian metric đầy đủ E gọi không gian Banach. Nếu giả thiết thêm, suốt luận văn này, không gian Banach kí hiệu E. Chuẩn không gian Banach kí hiệu . . Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E gọi không gian Banach Fréchet trơn có chuẩn tương đương chuẩn H− khả vi E \ {0}. Định nghĩa 1.4. Cho E không gian định chuẩn với chuẩn . .Ta gọi ánh xạ tuyến tính x∗ : E → R phiếm hàm tuyến tính xác định E. Nếu x∗ phiếm hàm tuyến tính xác định E x ∈ E giá trị x∗ x kí hiệu x∗ , x , nghĩa x∗ , x = x∗(x). Dễ dàng kiểm tra rằng, tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục E với phép cộng ánh xạ tuyến tính phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập thành không gian tuyến tính thực. Ta gọi không gian không gian liên hợp E kí hiệu E ∗ . Không gian liên hợp E ∗ gọi không gian liên hợp thứ hai E kí hiệu E ∗∗. Định lý 1.1. Không gian liên hợp E ∗ E với chuẩn xác định x∗ = sup{ x∗, y : y ∈ E, y ≤ 1} không gian Banach. Tôpô τS sinh metric không gian định chuẩn E ∗ nêu định lý vừa nêu gọi tôpô mạnh E ∗. Định nghĩa 1.5. Tôpô τW E ∗ gọi tôpô yếu kí hiệu σ(E ∗∗, E ∗) hệ thống lân cận của E ∗ tập có dạng ∗ {x∗ ∈ E ∗ : x∗∗ i , x < ε, i = 1, ., k}, ∗∗ x∗∗ với i = 1, ., k ε > 0. i ∈ E Kr ∩ L≤ (γ, x) ⊆ clTr (A ∩ M1 , x) . (2.38) (b) Nếu γi ∈ ∪C (gi , x) , ∀i ∈ I (x) L< (γ, x) ⊆ I (M1 , x) , T (A, x) ∩ L< (γ, x) ⊆ I (A ∩ M1 , x) . (2.39) (2.40) Nếu thêm vào K ⊆ T (A, x) nón lồi thỏa mãn: K ∩ L< (γ, x) = ∅, (2.41) K ∩ L≤ (γ, x) ⊆ T (A ∩ M1 , x) . (2.42) Chứng minh. (2.39): Giả sử y ∈ L< (γ, x). Khi ta có: (g i )+ H (x, y) ≤ γi (y) < 0, ∀i ∈ I (x) Do đó, với i tồn εi ∈ (0, 1) cho [gi (x + rz) − gi (x)] < 0, ∀r ∈ (0, εi) , ∀z ∈ B (y, εi) . r (2.43) Giả sử i ∈ I \ I (x). Khi gi (x) < gi nửa liên tục x. Do đó, tồn δi > cho: gi (x) < 0, ∀x ∈ B (x, δi) . (2.44) Đặt ε = {εi |i ∈ I (x)} , δ = {δi |i ∈ I \ I (x)} , ε = ε, ε+δ y Nếu r ∈ (0, ε) z ∈ B (y, ε) từ (2.43) có gi (x + rz) < 0, ∀i ∈ I (x). Do dó, ta thu được: (x + rz) − x = r z ≤ r ( z − y + y ) ≤ (ε (ε + y )) δ. Từ suy ra, theo (2.44), gi (x + rz) < 0, ∀i ∈ I \ I (x). Do đó, ta kết luận y ∈ I (M1 , x). (2.40): Điều suy từ (2.39). (2.42): Giả sử y0 ∈ K ∩ L< (γ, x) y ∈ K ∩ L≤ (γ, x). Với λ ∈ (0, 1), đặt yλ = λy0 + (1 − λ) y Khi đó, ta có yλ ∈ K ⊆ T (A, x) γ (yλ ) ≤ λγi (y0 ) + (1 − λ) γi (y) < 0, ∀i ∈ I (x) . 41 Nên yλ ∈ L< (γ, x). Trong nhận xét (2.39) Mệnh đề 2.2 ta kết luận yλ ∈ T (A, x) ∩ I (M, x) ⊆ T (A ∩ Mi , x) vậy, y = limλ↓0 yλ ∈ T (A ∩ Mi , x) tập sau đóng (Mệnh đề 2.1). Nhận xét (a) Giả thiêt gi, ∀i ∈ I (x) nhận tia xấp xỉ lồi γi vào x giải thích đòi hỏi "khả vi". Nếu gi L− liên tục địa phương xung quanh x. Khi theo định lý 7.3.2 (Chương [5]), đạo hàm theo phương Clarke gi0 (x, ) chọn ∀γi ∈ ∪C (gi, x). (b) Chứng minh chứng tỏ (2.35), (2.39) tính lồi γi , i ∈ I (x) bỏ qua. Do đó, mệnh đề với γi thay đạo hàm G- theo phương ( H-đạo hàm ) gi x. (c) Điều kiện (2.37) (2.41) gọi điều kiện qui chuẩn hóa ràng buộc. Chú ý tập L< (γ, x) rỗng. Trong mệnh đề 2.16, tập A không giả thiết lồi. Tuy nhiên A lồi Tr (A, x) T (A, x) nón lồi (mệnh đề 2.1) ta chọn Kr = Tr (A, x) , K = Tr (A, x) K = T (A, x). Trong kết trước, ta sử dụng nón tiếp liên để xấp địa phương tập mức. Bây ta chọn nón tiếp Clarke. Định nghĩa 2.6. Tập M E gọi qui tiếp tuyến x ∈ M TC (M, x) = T (M, x) . Ta xét tập mức M = {x ∈ E|g (x) ≤ g (x)} . (2.45) Định lý 2.4. Cho g : E → R L− liên tục địa phương xung quanh x ∈ E giả sử ∈ / ∂0g (x). Khi đó, với M cho (2.45) ta có {y ∈ E|g ◦ (x, y) ≤ 0} ⊆ TC (M, x) . (2.46) Nếu g qui x (2.46) trở thành đẳng thức M qui tiếp tuyến x. 42 Chứng minh. (I) Theo định nghĩa ∂◦g (x) ∈ / ∂◦ g (x), tồn y0 ∈ E cho g ◦ (x, y) < 0. Giả sử y vài phần tử vế phải (2.46). Vì g ◦ (x, .) < tuyến tính dưới, suy g ◦ (x, y + εy0 ) < 0, ∀. Trong bước II ta rằng, y ∈ E thỏa mãn g (¯ x, y) thuộc TC (M, x). Điều suy y¯ + εy0 ∈ TC (M, x) với ε > TC (M, x) đóng (Mệnh đề 2.1), ta kết luận ε ↓ y ∈ TC (M, x). Điều (2.46). (II) Giả sử y ∈ E cho g ◦ (x, y) < 0. Theo định nghĩa g ◦ (x, y) tồn ε > δ > cho: g (x + ry) − g (x) ≤ −δr , ∀x ∈ B (x, ε) , ∀r ∈ (0, ε) . (2.47) Giả sử (xk ) dãy M hội tụ x rk ↓ . Theo (2.47) ta thu k đủ lớn g (xk + rk y) ≤ g (xk ) − δrk ≤ g (x) − δrk . Do đó, xk + rk y ∈ M, chứng tỏ y ∈ TC (M, x). (III) Ta kiểm tra điều kiện quy. Giả định g qui x. Vì (2.46) ta kiểm tra TC (M, x) ⊆ T (M, x) đúng, ta cần chứng tỏ T (M, x) tập hợp vế phải (2.46). Do đó, giả sử y ∈ T (M, x) cho. Khi đó, mệnh đề (2.3) chứng tỏ lim infr↓0 r−1dM (x + ry) = 0. Do đó, ∀ε > ta tìm dãy rk ↓ cho ∀k đủ lớn ta có dM (¯ x + rk y) εrk . Như vậy, tồn xk ∈ M thỏa mãn (x + rk y) − xk ≤ 2εrk . Giả sử λ số Lipschitz địa phương g xung quanh x. Khi đó, với k đủ lớn ta thu Dó đó: g (x + rk y) − g (xk ) ≤ λ (x + rk y) − xk ≤ 2εrk λ. 1 (g (x + rk y) − g (x)) ≤ (g (xk ) − g (x)) + 2ελ ≤ 2ελ. rk rk Cho k → ∞ ε ↓ 0, ta kết g ◦ (x, y) = gG (x, y) ≤ 0. Xấp xỉ tập mức Ta trở lại nón mật tiếp, xét tập A ∩ M, M = {x ∈ E|gi (x) ≤ 0, (i = 1, 2, ., m) , h (x) = 0} , 43 x ∈ A ∩ M. Ta đặt I = (1, 2, .m) I (x) = {i ∈ I|gi (x) = 0} chấp nhận giả thiết sau: (H) E F không gian Banach, A ⊆ E lồi đóng, khác rỗng; gi : E → R, i ∈ I, γi ∈ ∪C (gj , x) , ∀i ∈ I (x) ; gi nửa liên tục x với I ∈ I \ I (x); h : E → F liên tục E khả vi liên tục x. Định lý 2.5. Giả sử giả thiết (H) h′ (x) (R+ (A − x)) = F. (2.48) Khi (a) Luôn có R+ (A − x) ∩ L< (γ, x) ∩ kerh′ (x) ⊆ T (A ∩ M, x) . (b) Nếu R+ (A − x) ∩ L< (γ, x) ∩ kerh′ (x) = ∅ (2.49) R+ (A − x) ∩ L≤ (γ, x) ∩ kerh′ (x) ⊆ T (A ∩ M, x) . Chứng minh. (a) Giả sử y ∈ R+ (Ax) ∩ L< (γ, x) ∩ kerh′ (x). Theo định lý 2.3 ( với Q = {0}) ta thu y ∈ T (A ∩ kerh, x), mệnh đề 2.16 kéo theo y ∈ I (M1 , x). Do đó, ta có khẳng định theo mệnh đề 2.2. (b) Kiểm tra điều tương tự với kiểm tra công thức (2.42) mệnh đề 2.16. 2.5 Đạo hàm tiếp liên định lý kiểu Lyusternik Ta giới thiệu khái niệm tựa-đạo hàm cho hàm đa trị. Định nghĩa 2.7. Giả sử Φ : E ⇉ F hàm đa trị (x, y) thuộc đồ thị Φ. Hàm đa trị DΦ (x, y) : E ⇉ F định nghĩa (Φ (x + ru′) − y) , u ∈ E DΦ (x, y) (u) = lim sup ′ u →u r→0 r gọi đạo hàm tiếp liên Φ (x, y). 44 Từ định nghĩa suy graph (DΦ (x, y)) = T (graphΦ (x, y)), vế phải nón tiếp liên graphΦ (x, y). Điều giải thích DΦ (x, y) goi đạo hàm tiếp liên. Nếu Φ : E → F khả vi Hadamard x ′ DΦ (x, Φ (x)) (u) = Φ (x) u , ∀u ∈ E, nghĩa là, DΦ (x, Φx) đồng với đạo hàm Hadamard Φ′ (x). Đạo hàm tiếp liên công cụ thích hợp để thiết lập xấp xỉ tiếp tuyến kerΦ, Φ hàm đa trị. Định lý 2.6. Giả sử E F không gian Banach. Nếu Φ : E ⇉ F tuyến tính nửa mở xung quanh (x, 0) ∈ graphΦ (2.50) T (kerΦ, x) = ker (DΦ (x, 0)) . Chứng minh. (I) Đầu tiên, giả sử u ∈ T (kerΦ, x) cho . Khi tồn dãy uk → u rk ↓ cho ∈ Φ (x + rk uk ) , ∀k ∈ N. Suy ∈ lim sup Φ (x + rk uk ) ⊆ DΦ (x, 0) (u) . k→∞ r Do đó, u ∈ ker (DΦ (x, 0)). (II) Giả sử u ∈ ker (DΦ (x, 0)) cho. Nếu u = u ∈ T (kerΦ, x). Do đó, giả sử u = 0. Kí hiệu tham số nửa mở Φ xung quanh (x, 0) ρ r0. Theo định nghĩa DΦ (x, 0) tồn dãy uk → u, rk ↓ 0) vk ∈ Φ (x + rk uk ) cho lim vrkk = 0. Với k đủ lớn, ta k→∞ có x+rk uk ∈ x+r0BE vk ∈ r0 BF . Lại với k đủ lớn, ta có: uk ≥ vk vk ′ rk = ≤ . →0 ρrk . uk ρ u rk u k → ∞. Định nghĩa zk = x + rk .uk . Khi đó, ta thu ′ ′ ∈ vk + vk BF = vk + ρrk zk − x BF ⊆ Φ zk + rk zk − x BE ; bao hàm thức vừa nêu hệ nửa mở tuyến tính ′ ′ ′ Φ. Do đó, tồn zk ∈ ker (Φ) thỏa mãn: zk − zk ≤ rk r uk . Định ′ nghĩa yk = r1k zk − x . Khi đó, x + rk yk ∈ kerΦ. Ta phải chứng tỏ ′ yk → u k → ∞. Điều suy từ yk − uk = r1k zk − zk ≤ ′ rk uk → k → ∞. Do yk − u ≤ yk − uk + uk−u → 45 k → ∞. Nhận xét Ta định lý không gian tiếp xúc cổ điển (Định lý 2.2) suy từ Định lý 2.6. Ta dùng giả thiết kí hiệu Định lý 2.2. Vì ánh xạ tuyến tính liên tục h′ (x) toàn ánh, ánh xạ mở theo định lý ánh xạ mở Banach. Do x → h′ (x) (x − x)là mở với tốc độ tuyến tính ρ xung quanh x. Hơn thế, h khả vi liên tục x ∈ ker (h), tồn ánh xạ r : E → F cho ′ r(x) x→x x lim h (x) = h (x) (x − x) + r (x) , (2.51) = ta có x1 −x2 (r (x1 ) − r (x2 )) [(h (x1) − h (x2)) = x1 −x − h′ (x) (x1 − x2)] → x1, x2 → x. Ở quan hệ giới hạn theo Mệnh đề 3.2.4(v) (Chương [5]) h khả vi chặt. Do với ε > 0] tồn δ > cho r (x1 ) − r (x2) ≤ ε x1 − x2 , ∀x1, x2 ∈ BE (x, δ) . (2.52) Đặc biệt, ta cho ε ∈ (0, ρ). Khi Định lý 10.3.6 (Chương 10 [5]) chứng tỏ ánh xạ h nửa mở tuyến tính xung quanh x. Do đó, Định lí 2.6 kéo theo T (kerh, x) = ker (Dh (x)) = kerh′ (x) . (2.53) Lập luận chứng rỏ giả thiết định lý Lyusternik yếu chút. Trong mối quan hệ ta xem xét hàm đa trị h′ (x)−1 : F ⇉ E định nghĩa bởi: h′ (x)−1 (y) = {x ∈ E|h′ (x) (x) = y, y ∈ F } . Chú thích h′ (x)−1 trình h′ (x)−1 kí hiệu chuẩn theo (10.50) (chương 10 [5]). Mệnh đề 2.17. Giả sử h : E → F F − khả vi x ∈ ker (h) , h′ (x) toàn ánh, ánh xạ r (2.51) liên tục Lipschitz địa phương x với số Lipschitz λ < h′ (x) −1 . Khi (2.53) đúng. 46 Chứng minh. Ánh xạ Φ : x → h′ (x) (x) xem hàm đa trị , mở với tốc độ tuyến tính xung quanh (0, 0) trình bị chặn. Theo Mệnh đề 10.4.2 (Chương 10 [5]) cận mở Φ xung quanh (0, 0) ′ ′ ope (Φ) (0, 0) = h′ (x) −1 . Vì h (x) tuyến tính, ánh xạ x → h (x − x) mở với tốc độ tuyến tính xung quanh (x, 0) với cận mở −1 h′ (x) . Theo Định lý 10.3.6 (Chương 10 [5]) 11.5.2 (Chương 11 [5]), ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2.3. Lấy h : R2 → R định nghĩa h (x1 , x2) = ax1 + bx2 + x1x2, x1 ≤ ax1 + bx2 − x1x2, x1 < |a| + |b| > 2. Hàm h thỏa mãn giả thiết (0, 0), h không khả vi (0, x2) x2 = định lý Lyusternik cố điển không ứng dụng. 2.6 Biểu diễn nón pháp Trong phần ta đặc trưng nón pháp tập M ⊆ E xác định bất đẳng thức đẳng thức. Nón pháp Clarke với tập mức Ta xét tập M = {x ∈ E|f (x) ≤ f (x)} . (2.54) Định lý 2.7. Cho f : E → R thường L- liên tục địa phương xung quanh x. Giả sử ∈ / ∂◦ f (x). Khi đó, với M (2.54) ta có NC (M, x) ⊆ R+ ∂◦f (x) . (2.55) Nếu thêm vào f qui x (2.55) trở thành đẳng thức. Chứng minh. Từ (2.55) ta suy NC (M, x) ⊆ {y ∈ E|f ◦ (x, y) ≤ 0}◦ = (∂◦ f (x))◦◦ . (2.56) Đẳng thức suy từ 7.3.7(b) (Chương [5]). Ứng dụng định lý song cực cho vế phải nhắc lại ∂◦f (x) compact yếu* không chứa , Ta có điều cần chứng minh. Nếu f qui x theo 47 Định lý 2.4 bao hàm thức (2.56) đẳng thức, dó bao hàm thức (2.55) đẳng thức. Giả sử M định nghĩa bởi: M = {x ∈ E|fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , n} . (2.57) Hệ 2.3. Với i = 1, 2, ., n cho fi : E → R H-khả vi ngặt x, f1 (x) = f2 (x) = . = fn (x) = 0. Nếu phiếm hàm f1′ (x) , f2′ (x) , ., fn′ (x) độc lập tuyến tính dương tập M (2.57) qui x có n NC (M, x) = i=1 λi fi′ (x) |λi ≥ 0, i = 1, 2, ., n . (2.58) Chứng minh. Định nghĩa f = max {f1, f2, .fn} . Theo Mệnh đề 7.3.9(c)(Chương [5]), fi L- liên tục địa phương xung quanh x nên f thế. Theo Mệnh đề 7.4.7 (Chương [5]), f qui x. Vì M = {x ∈ E|f (x) ≤ 0}, từ đinh lý 2.7 suy (2.55) đẳng thức . Cuối cùng, qui tắc cực đại Mệnh đề 7.4.7 (Chương [5]) suy (2.58). Nón pháp gần kề tập mức Tiếp theo trình bày chứng minh đầy đủ có tính hình học cho biểu diễn NP (M, x) không gian Hilbert chứng minh nhiều kĩ thuật cho NF (M, x) không gian Banach Fréchet trơn. Ta xét tập M = {x ∈ E|f (x) ≤ 0} . (2.59) Định lý 2.8. Cho E không gian Hilbert giả sử M xác định (2.59) f : E → R thường lsc . Giả sử x ∈ M u ∈ NP (M, x). Khi đó, (C1) ∀ε > η > tồn x ∈ E cho: x − x < η, |f (x) − f (x)| < η, ∂P f (x) ∩ BE ∗ (0, ε) = ∅ 48 (C2) ∀ε > tồn x ∈ E, v ∈ ∂P f (x) λ > cho: x − x < ε, |f (x) − f (x)| < ε, λv − u < ε. Chứng minh. Giả sử (C1) không đúng, ta chứng rỏ (C2 ) có đúng. Hiển nhiên ta giả sử u = 0. (I) Vì u ∈ NP (M, x), mệnh đề 2.11 suy ∃ρ > 0, σ > cho ≥ (u|x − x) − σ x − x , ∀x ∈ M ∩ B (x, ρ u ) . (2.60) Vì f lsc , tồn m > cho, giảm bớt ρ cần, f (x) ≥ −m, ∀x ∈ B (x, ρ u ). Phiếm hàm x → u|x − x − σ x − x đạt giá trị dương . Nhờ tính liên tục, với η > đủ nhỏ ta x = x + 2ηu η ∈ 0, 2σ có: u|x − x − δ x − x > 0, ∀x ∈ K = B (x + 2ηu, 2η u ) \ {x} . Do đó, x ∈ K x ∈ / M nên f (x) > 0. (II) Với số dương α < η, m1 đặt hα (x) = α−1 (max {0, x−x−ηu − η u })2 , pα (z) = f (z) + hα (z) + δB(x,ρ u ) (z) . Vì (C1) không đúng, không đạo hàm gần kề f x nên infE pα < 0. Theo định lý 8.3.3 (chương [5]), áp dụng cho pα với λ= 2εα α pε , ε = εα = , − inf E α tồn yα , wα cho phiếm hàm yα − wα < λ, pα (yα ) < infpα + εα < α z − wα (2.61) đạt giá trị cực tiểu toàn cục z = yα . Ngoài ra, pα (yα ) < ta có yα ∈ B (x, ρ u ). Hơn nữa, ta thu đánh giá sau α yα − wα hα (yα ) ≤ hα (yα ) + < hα (yα ) + εα , yα − wα < λ = pα (yα ) + εα − f (yα ) < infpα + 2εα − (yα ) ≤ −f (yα ) ≤ m, 2εα ≤ − inf pα . z → pα (z) + E 49 Định nghĩa hα rằng: √ (2.62) hα − x − ηu ≤ mα + η u , √ nghĩa yα ∈ Kα = B (x + ηu, mα + η u ). Mặt khác, pα (yα ) < kéo theo f (yα ) < nên yα ∈ / K: (2.63) yα − x − 2ηu > 2η u . Áp dụng đồng thức hình bình hành cho yα − x − ηu η ta thu yα − x + yα − x − 2ηu = yα − x − ηu + 2η u Sự đánh giá (2.62) (2.63) cho ta: √ yα − x ≤ η u + mα + 2η u √ = 4η u mα + mα, − 4η u . chứng tỏ rằng: lim yα = x. α→0 (III) Hơn nữa, ta có: f (yα ) ≤ pα (y2 ) < inf pα + εα ≤ p2 (x) + εα = f (x) + εα . E Do đó, lim f (yα ) = f (x) (nhắc lại f lsc εα → α → 0). α→0 (IV) Vì yα điểm cực tiểu toàn cục phiếm hàm (2.61) yα thuộc B (x, ρ u ) với α đủ nhỏ, phiếm hàm f − gα , gα (z) = −hα (z) − α2 z − wα đạt cực tiểu địa phương yα . Ta có: gα (yα ) = −h′ (yα ) − α (yα − wα ) = k (α) (x + ηu − yα ) + α (wα − yα ) , ′ đó: k (α) = 2( yα −x−ηu −η u ) α yα −x−ηu hα (yα ) > 0, hα (yα ) = 0. Lưu ý F- đạo hàm hα L− liên tục địa phương trường hợp đặc biệt h′α (x) = hα (x) = 0. Do đó, với α đủ nhỏ gα′ (yα ) gradien xấp xỉ f x. (V) Giả sử infα → 0, K (α) = 0. Khi đó, với dãy αi → ta có 50 gα′ (yαi ) → i → ∞ nên (C1) đúng, suy mâu thuẫn. Do lim inf dương. Ta có gα′ (yα ) = ηK (α) (u + (1)) α → 0. Suy ∀α đủ nhỏ: yα − x < ε, |f (yα ) − f (x)| < ε, ′ gα (yα ) − u < ε ηK (α) Do đó, khẳng định (C2) với x = yα , λ = ηK(α) v = g ′ (yα ) Nón pháp gần kề với tập mức Ta xét tập M = {x ∈ E|f (x) = 0} . (2.64) Định lý 2.9. Cho E không Hilbert M xác định (2.64), f : E → R liên tục. Giả sử x ∈ M u ∈ NP (M, x). Khi đó, (D1) ∀ε > η > tồn x ∈ E cho x − x < η, |f (x) − f (x)| < η, (∂P f (x) ∪ ∂P (−f ) (x)) ∩ BE∗ (0, ε) = ∅ (D2) ∀ε > tồn x ∈ E, v ∈ ∂P f (x) ∪ ∂P (−f ) (x) , λ > cho x − x < ε, |f (x) − f (x)| < ε, λv − u < ε. Tóm tắt chứng minh: Như chứng minh định lý 2.8 ta giả sử u = 0. Định nghĩa ρ, K, hα trên, m cận |f |. Khi đó, f (x) = 0, ∀x ∈ K, (vì K lồi f liên tục) nên f không đổi dấu K. Định nghĩa : p2 = f + hα + δB(x,ρ u ) f dương K, −fα + δB(x,ρ u ) f âm K. Lý luận tương tự chứng minh trước ta có điều phải chứng minh. Nón pháp Fréchet với tập mức 51 Ta chuyển sang nón pháp Fréchet . Trong mối quan hệ ta sử dụng điều kiện sau: lim inf d (0, ∂F f (x)) > 0, x→f x (2.65) x →f x nghĩa x → x f (x) → f (x) Điều kiện (2.65) sử dụng loại trừ trường hợp tương tự (C1) Định lý 2.8. Định lý 2.10. Cho E không gian Fréchet Banach trơn M = {x ∈ E|f (x) ≤ 0} , f : E → R thường lsc. Giả sử (2.65) đúng. Cho x ∈ M u ∈ NF (M, x). Khi đó, ∀ε > 0, tồn x ∈ E, v ∈ ∂F f (x) , λ > cho: x − x < ε, |f (x) − f (x)| < ε, λv − u < ε. Chứng minh. . Ta chứng minh vắn tắt định lý này. Giả sử có c cho < c < lim infx→f xd (0, ∂F f (x)). Điều chứng tỏ η, δ ∈ (0, ε) chọn cho: (x + K (u, η)) ∩ M ∩ B (x, δ) = {x} , K (u, η) kí hiệu nón Bishop-Phelps. Định nghĩa: A = x + K (u, 2η) gi (x) = f (x) + idA , ∀x ∈ E. Ta phân biệt trường hợp: (I) Nếu inf gi < nguyên lý biến phân Ekeland hệ 8.2.6 B(x,δ) (chương [5])đảm bảo tồn yi ∈ B (x, δ) làm cực tiểu phiếm hàm hi (x) = gi (x) + x − yi i B (x, δ) cho gi (yi) < 0. Có thể η yi − x ≤ dA (yi ) → 2η + i → ∞ yi → x i → ∞. Do dó yi ∈ B (x, δ) với i đủ lớn. (II) Nếu inf gi = tập hợp yi = x với ∀i. Do đó, B(x,δ) trường hợp, yi cực tiểu địa phương hi , ∀i đủ lớn. Theo qui tắc 52 tổng xấp xỉ định lý 9.2.6 (chương [5]), Với i đó, tồn xi , zi ∈ B ◦ (x, δ) , x∗i ∈ ∂F f (xi) zi∗ ∈ ∂F dA (zi ) cho |f (xi ) − f (x)| < δ x∗i + izi∗ < η + 1i . (2.66) Bằng cách sử dụng định lý tách, chứng tỏ ∂F dA (zi ) ⊆ {α (−u + 2η u BE∗ |α > 0)} ∩ BE∗ . Bởi vậy, zi∗ = αi (−u + 2η u b∗) với αi > b∗ ∈ BE∗ . Từ c (2.66) suy x∗i − iαi u < 2iαi u η+η+ 1i . Ta phải có iαi > (2 u (1+2η)) khác ta có: x∗i < 0, mâu thuẫn với cách chọn c. Đặt ta nhận λi = iαi λi x∗i − u < 2η u + Vì thế, i > có λv − u < ε. u (1+2η) cε 2η u (1 + 2η) u (1 + 2η) + . c ic cách lấy λ = λi , x = xi v = x∗i ta Nón pháp Fréchet với tập mức Ta xét tới điều kiện : lim inf d (0,∂F f (x) ∪ ∂F (−f ) (x)) > 0. x→x (2.67) Định lý 2.11. Cho E không gian Fréchet Banach trơn M = {x ∈ E|f (x) = 0}, f : E → R liên tục. Giả sử (2.67) đúng. Cho x ∈ M u ∈ NF (M, x). Khi ∀ε > 0, ∃x ∈ E, v ∈ ∂F f (x) ∪ ∂F (−f ) (x) λ > cho x − x < ε, |f (x) − f (x)| < ε, λv − u < ε. Chứng minh. Ta chứng minh vắn tắt định lý này. Giả sử c số cho: < c < lim inf d (0, ∂F f (x) ∪ ∂F (−f ) (x)) Một lần chứng tỏ rằng, η, δ ∈ B (0, ε) chọn cho (x + K (u, η)) ∩ M ∩ B (x, δ) = {x} . Vì f liên tục, ta suy ra: 53 (a) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (x + K (u, η)) ∩ B (x, δ) (b) f (x) ≤ 0, ∀x ∈ x + K (u, η) ∩ B (x, δ). Đặt A = x + K (u, 2η) , ∀i   f + idA trường hợp (a), gi = −f + idA trường hợp (b)  . Phần lại chứng minh tương tự Định lý 2.10. Kết luận Chương trình bày số nội dung nón tiếp nón pháp không gian Banach không gian Hilbert. 54 Kết luận Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung sau: Một số nội dung không gian Banach, không gian Hilbert số kiến thức đạo hàm suy rộng. Những khái niệm tính chất nón tiếp nón pháp ứng dụng chúng không gian Banach. Vì khả điều kiện có hạn, luận văn chắn tránh thiếu sót. Kính mong thầy cô đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn tốt hơn. 55 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà nội. [2] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007),Lý thuyết Tối ưu không trơn, NXB ĐHQG Hà nội. [3] Nguyễn Đông Yên (2007),Giáo trình Giải tích đa trị, NXB KH Tự nhiên Công nghệ, Hà nội. Tài liệu tiếng Anh [4] F. H. Clarke (1990), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia. [5] W. Schirotzek (2007), Nonsmooth Analysis , Springer. 56 [...]... nghiên cứu những khái niệm và tính chất cơ bản của những nón tiếp và nón pháp cùng ứng dụng của chúng trong Giải tích biến phân Ngoài những trường hợp cụ thể, ta luôn giả sử rằng E là không gian định chuẩn, A là một tập con khác rỗng của E, x ∈ A Nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ Chương 11 của [5] 2.1 Nón tiếp Ta định nghĩa những nón tiếp khác nhau xem như những xấp xỉ của A gần x Kí hiệu... đề 1.9 f đóng khi và chỉ khi f nửa liên tục dưới Hệ quả 1.6 Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E lồi Khi đó, bao đóng A của A theo tôpô mạnh là đóng theo tôpô yếu của E Hệ quả 1.7 Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E, x0 thuộc bao đóng yếu của A Khi đó, tồn tại dãy các tổ hợp lồi các phần tử của A, hội tụ đến x0 theo chuẩn Giả sử E là một không gian Banach, E ∗ là một không gian liên hợp tôpô... Φ : Rn → 2C từ không gian Euclide Rn vào tập số phức C Với Φ là ánh xạ đa trị trong ví dụ 1.4 ta có: Graph(Φ) = (a, x) ∈ Rn × C : xn + a1 xn−1 + + an−1 x + a0 = 0 , Dom(Φ) = Rn , Im(Φ) = C Định nghĩa 1.26 Cho X, Y là hai không gian tô pô và Φ : X ⇉ Y là ánh xạ đa trị i) Nếu Graph(Φ) là tập đóng trong không gian tô pô tích X × Y thì Φ được gọi là ánh xạ đóng ii) Nếu X, Y là các không gian định chuẩn... lý 1.6 (Định lý Hahn -Banach, Định lý tách (xem [1], [2]) Cho A và B là hai tập lồi trong không gian Banach E, có tính chất A ∩ B = ∅ và intA = ∅ Khi đó A và B có thể tách được bằng một phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức ∃x∗ ∈ E ∗ \ {0}, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B : 12 x∗ , x x∗ , y 1.3 1.3.1 Hàm lồi Định nghĩa Cho E là không gian Banach, D ⊂ E, f : D → R Định nghĩa 1.18 Cho hàm f : D → R, trong đó D ⊂ E, R = R... là nón pháp của A tại x theo nghĩa của giải tích lồi Bổ đề 2.2 Nếu A là tập lồi thì N (A, x) = T (A, x)0 và N (A, x) = ∂δA (x) Chứng minh Đẳng thức đầu tiên suy ra từ mệnh đề 2.1(d) và đẳng thức thứ hai là hệ quả trực tiếp từ định nghĩa N (A, x) Trong trường hợp không lồi, định nghĩa của nón pháp là mô phỏng của một trong những đẳng thức trên Định nghĩa 2.4 Nón NC (A, x) = TC (A, x)0 được gọi là nón. .. chứng minh Trong mối liên hệ trên, nhắc lại rằng dưới vi phân Clarke là lồi Định nghĩa 2.5 Cho A là một tập con khác rỗng của E và x ∈ A Khi đó, ta nói: NF (A, x) = ∂F δA (x) nón pháp Fréchet của A tại x, NV (A, x) = ∂V δA (x) nón pháp nhớt của A tại x, NP (A, x) = ∂P δA (x) nón pháp gần kề của A tại x Mỗi u ∈ NF (A, x) được gọi là một pháp Fréchet của A tại x Tương tự, ta cũng gọi pháp nhớt và pháp gần... ↓ 0∀k : x + rk y ∈ A} là nón các tia của A tại x ii) T (A, x) := {y ∈ E | ∃rk ↓ 0 ∃yk → y ∀k : x + rk yk ∈ A} là nón mật tiếp của A tại x (hoặc nón tiếp tuyến Bouligand của A tại x) iii) TC (A, x) := {y ∈ E | ∀xk →A x, ∀rk ↓ 0∃yk → y∀k : xk + rk yk ∈ A} là nón tiếp Clarke của A tại x iv) Ir (A, x) := {y ∈ E | ∃ε > 0∀r ∈ (0, ε) : x + ry ∈ A}, nón các tia hướng vào trong hoặc nón các phương chấp nhận... E và x ∈ A ∩ B thì TC (A, x) ∩ H (B, x) ⊆ Tc (A ∩ B, x) Ta phát biểu mà không có chứng minh kết quả tương giao của Rockafellar mạnh hơn kết quả vừa nêu Mệnh đề 2.8 Cho A, B ⊆ E, x ∈ A ∩ B và giả sử rằng Tc (A, x) ∩ H (B, x) khác rỗng Khi đó: TC (A, x) ∩ TC (B, x) ⊆ TC (A ∩ B, x) 2.2 Nón pháp Cho A là một tập con khác rỗng của không gian định chuẩn E và x ∈ A Bây giờ ta nêu định nghĩa một vài nón pháp. .. Graph(Φ) là tập lồi trong không gian tích X × Y thì Φ được gọi là ánh xạ đa trị lồi iii) Nếu Φ (x) là tập đóng với mọi x ∈ X thì Φ (x) được gọi là ánh xạ có giá trị đóng iv) Nếu Y là không gian định chuẩn và nếu Φ(x) là tập lồi thì Φ (x) được gọi là ánh xạ có giá trị lồi 17 1.5 Đạo hàm theo hướng Giả định rằng E và F là các không gian định chuẩn, D ⊆ E là mở và khác rỗng, x ∈ D và f : D → F Ta sẽ... lồi khác rỗng trong E, x0 ∈ A nón pháp của A tại x0, kí hiệu là NA (x0), là tập NA (x0) = {x∗ ∈ E ∗ : x∗, x − x0 ≤ 0 ∀x ∈ A} Định lý 1.5 (Định lí Carathéodory) Giả sử dim E < ∞ và A ⊂ E Khi đó, mỗi điểm của tập coA là tổ hợp lồi không quá n + 1 điểm khác nhau của A Định nghĩa 1.16 Tập H trong không gian E được gọi là siêu phẳng nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính khác không x∗ từ E vào R và số α ∈ R sao . 19 2 Nón tiếp và nón pháp 22 2.1 Nón tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Nón pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Nón tiếp và nón pháp. trơn và ứng dụng, tôi chọn đề tài Nón tiếp và nón pháp trong không gian Banach để nghiên cứu. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đạt được một sự hiểu biết tốt về khái niệm và tính chất của một số nón tiếp, . chúng trong Giải tích biến phân. 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Nón tiếp và nón pháp cùng ứng dụng. - P hạm v i nghiên cứu: Nón và tính chất của nón trong không gian