2 Nón tiếp và nón pháp
2.6 Biểu diễn của nón pháp
Trong phần này ta đặc trưng nón pháp của tập M ⊆ E được xác định bằng một bất đẳng thức hoặc đẳng thức.
Nón pháp Clarke với tập dưới mức
Ta xét tập
M = {x ∈ E|f (x) ≤ f (x)}. (2.54)
Định lý 2.7. Cho f : E → R là chính thường và L- liên tục địa phương xung quanh x. Giả sử rằng 0∈/ ∂◦f (x). Khi đó, với M như trong (2.54) ta có
NC(M, x) ⊆R+∂◦f (x). (2.55)
Nếu thêm vào f là chính qui tại x thì (2.55) trở thành đẳng thức. Chứng minh. Từ (2.55) ta suy ra
NC(M, x) ⊆ {y ∈ E|f◦(x, y) ≤ 0}◦ = (∂◦f (x))◦◦. (2.56) Đẳng thức ở đây suy ra từ 7.3.7(b) (Chương 7 trong [5]). Ứng dụng định lý song cực cho vế phải và nhắc lại rằng ∂◦f (x) là compact yếu* không chứa 0 , Ta có điều cần chứng minh. Nếu f là chính qui tại x thì theo
Định lý 2.4 bao hàm thức trong (2.56) là một đẳng thức, do dó bao hàm thức trong (2.55) cũng là đẳng thức.
Giả sử M định nghĩa bởi:
M = {x ∈ E|fi(x) ≤ 0, i = 1,2, ...., n}. (2.57)
Hệ quả 2.3. Với i = 1,2, ..., n cho fi : E → R là H-khả vi ngặt tại x, trong đó f1(x) = f2(x) = ... = fn(x) = 0. Nếu các phiếm hàm f1′(x), f2′ (x), ..., fn′ (x) là độc lập tuyến tính dương thì tậpM trong (2.57) là chính qui tại x và có NC(M, x) = ( n X i=1 λifi′(x)|λi ≥0, i = 1,2, ..., n ) . (2.58) Chứng minh. Định nghĩa f = max{f1, f2, ...fn}.
Theo Mệnh đề 7.3.9(c)(Chương 7 trong [5]), mọi fi là L- liên tục địa phương xung quanh x nên fcũng thế. Theo Mệnh đề 7.4.7 (Chương 7 trong [5]), f cũng chính qui tại x. Vì M = {x ∈ E|f (x) ≤ 0}, từ đinh lý 2.7 suy ra (2.55) là đẳng thức . Cuối cùng, qui tắc cực đại của Mệnh đề 7.4.7 (Chương 7 trong [5]) suy ra (2.58).
Nón pháp gần kề của tập mức dưới
Tiếp theo chúng ta trình bày một chứng minh đầy đủ có tính hình học cho biểu diễn của NP (M, x) trong một không gian Hilbert và khi đó chỉ ra chứng minh nhiều kĩ thuật hơn cho NF (M, x) trong không gian Banach Fréchet trơn. Ta xét tập
M = {x ∈ E|f (x) ≤ 0}. (2.59)
Định lý 2.8. Cho E là không gian Hilbert và giả sử M xác định bởi (2.59) trong đó f : E → R là chính thường và lsc . Giả sử x ∈ M và u ∈ NP (M, x). Khi đó, hoặc
(C1) ∀ε > 0 và η > 0 tồn tại x ∈ E sao cho:
kx−xk< η,|f (x)−f (x)| < η, ∂P f (x)∩BE∗ (0, ε) 6= ∅ hoặc
(C2) ∀ε > 0 tồn tại x ∈ E, v ∈ ∂Pf (x) và λ >0 sao cho: kx−xk < ε,|f (x)−f (x)| < ε,kλv −uk < ε.
Chứng minh. Giả sử rằng (C1) không đúng, ta sẽ chứng rỏ rằng (C2) có đúng. Hiển nhiên ta có thể giả sử rằng u 6= 0.
(I) Vì u ∈ NP (M, x), mệnh đề 2.11 suy ra ∃ρ > 0, σ > 0 sao cho
0 ≥ (u|x−x)−σkx−xk,∀x ∈ M ∩ B(x, ρkuk). (2.60) Vìf là lsc , tồn tạim > 0sao cho, giảm bớtρ nếu cần,f (x) ≥ −m,∀x∈ B(x, ρkuk). Phiếm hàm x 7→ u|x−x−σkx−xk2 đạt giá trị dương tại x = x+ 2ηu nếu η ∈ 0,21σ
. Nhờ tính liên tục, với η > 0 đủ nhỏ ta có:
u|x−x−δkx−xk> 0,∀x ∈ K = B(x+ 2ηu,2ηkuk)\ {x}.
Do đó, nếu x ∈ K thì x /∈ M nên f (x) > 0. (II) Với số dương α < min
η, m1 đặt
hα(x) = α−1(max{0,kx−x−ηuk −ηkuk})2, pα(z) = f (z) + hα(z) +δB(x,ρkuk)(z).
Vì (C1) không đúng, 0 không là dưới đạo hàm gần kề của f tại x nên
infEpα < 0. Theo định lý 8.3.3 (chương 8 trong [5]), áp dụng cho pα với
λ = r 2εα α , ε = εα = min α 2,−inf E pε 2
tồn tại yα, wα sao cho
kyα−wαk < λ, pα(yα) < infpα+εα < 0
và phiếm hàm
z 7→pα(z) + α
2 kz −wαk2 (2.61)
đạt được giá trị cực tiểu toàn cục tại z = yα. Ngoài ra, vì pα(yα) < 0 ta có yα ∈ B(x, ρkuk). Hơn nữa, ta thu được đánh giá sau
hα(yα) ≤hα(yα) + α 2 kyα−wαk2 < hα(yα) +εα,vì kyα−wαk < λ = pα(yα) +εα −f (yα) < infpα+ 2εα−(yα) ≤ −f (yα) ≤ m,vì 2εα ≤ −inf E pα.
Định nghĩa của hα chỉ ra rằng:
khα−x−ηuk ≤ √mα+ ηkuk, (2.62) nghĩa là yα ∈ Kα = B(x+ηu,√
mα+ηkuk). Mặt khác, pα(yα) < 0
kéo theo f (yα) < 0 nên yα ∈/ K:
kyα−x−2ηuk> 2ηkuk. (2.63) Áp dụng đồng nhất thức hình bình hành cho yα − x− ηu và η ta thu được
kyα−xk2 +kyα−x−2ηuk2 = 2kyα−x−ηuk+ 2η2kuk2.
Sự đánh giá (2.62) và (2.63) cho ta:
kyα −xk2 ≤ 2 ηkuk+√ mα2 + 2η2kuk2 −4η2kuk2 = 4ηkuk√mα+mα, chứng tỏ rằng: lim α→0yα = x. (III) Hơn nữa, ta có:
f (yα) ≤ pα(y2) < inf
E pα +εα ≤ p2(x) +εα = f (x) +εα.
Do đó, lim
α→0f (yα) = f (x) (nhắc lại f là lsc và εα →0 khi α →0).
(IV) Vì yα là điểm cực tiểu toàn cục của phiếm hàm trong (2.61) và yα
thuộc B(x, ρkuk) với α đủ nhỏ, phiếm hàm f −gα, trong đó gα(z) =
−hα(z) − α2 kz−wαk2 đạt cực tiểu địa phương tại yα. Ta có:
gα′ (yα) =−h′(yα)−α(yα −wα) = k(α) (x+ηu−yα) +α(wα−yα), trong đó: k(α) = ( 2(kyα−x−ηuk−ηkuk) αkyα−x−ηuk nếuhα(yα) > 0, 0 nếuhα(yα) = 0.
Lưu ý rằng F- đạo hàm củahαlà L−liên tục địa phương và trong trường hợp đặc biệt h′α(x) = 0 khi hα(x) = 0. Do đó, với mọi α đủ nhỏ gα′ (yα)
gradien dưới xấp xỉ của f tại x.
gα′ (yαi) → 0 khi i → ∞ nên (C1) đúng, suy ra mâu thuẫn. Do vậy
liminf là dương. Ta có gα′ (yα) = ηK (α) (u+ 0 (1)) khi α → 0. Suy ra
∀α đủ nhỏ: kyα−xk< ε,|f (yα)−f (x)| < ε, 1 ηK(α)g ′ α(yα)−u < ε Do đó, khẳng định (C2) đúng với x = yα, λ = ηK1(α) và v = g′(yα) Nón pháp gần kề với tập mức Ta xét tập M = {x ∈ E|f (x) = 0}. (2.64)
Định lý 2.9. Cho E là không Hilbert và M xác định bởi (2.64), trong đó f : E →R là liên tục. Giả sử x∈ M và u ∈ NP (M, x). Khi đó, hoặc
(D1) ∀ε > 0 và η > 0 tồn tại x ∈ E sao cho
kx−xk< η,|f (x)−f (x)| < η,
(∂P f (x)∪∂P (−f) (x))∩BE∗ (0, ε) 6= ∅
hoặc
(D2) ∀ε > 0 tồn tại x ∈ E, v ∈ ∂Pf (x)∪∂P (−f) (x), λ > 0 sao cho kx−xk < ε,|f (x)−f (x)| < ε,kλv −uk < ε.
Tóm tắt chứng minh:
Như trong chứng minh của định lý 2.8 ta có thể giả sử u 6= 0. Định nghĩa
ρ, K, hα như ở trên, m là cận trên của |f|. Khi đó, f (x) 6= 0,∀x ∈ K, (vì K là lồi và f liên tục) nên f không đổi dấu trên K. Định nghĩa :
p2 =
f +hα+δB(x,ρkuk) nếuf dương trên K, −fα+δB(x,ρkuk) nếuf âm trên K.
Lý luận tương tự như trong chứng minh trước ta có điều phải chứng minh.
Ta chuyển sang nón pháp Fréchet . Trong mối quan hệ này ta có thể sử dụng điều kiện sau:
lim
x→f inf
x d(0, ∂Ff (x)) > 0, (2.65) ở đây x →f x nghĩa là x → x và f (x) → f (x) Điều kiện (2.65) sẽ sử dụng loại trừ trường hợp tương tự (C1) trong Định lý 2.8.
Định lý 2.10. Cho E là không gian Fréchet Banach trơn và M = {x ∈ E|f (x) ≤ 0},
trong đó f : E → R là chính thường và lsc. Giả sử rằng (2.65) đúng. Cho x ∈ M và u ∈ NF (M, x). Khi đó, ∀ε > 0, tồn tại x ∈ E, v ∈ ∂Ff (x), λ > 0 sao cho:
kx−xk < ε,|f (x)−f (x)| < ε,kλv −uk < ε.
Chứng minh. . Ta chứng minh vắn tắt định lý này. Giả sử có c sao cho
0< c < liminfx→fxd(0, ∂Ff (x)). Điều đó chứng tỏ rằng η, δ ∈ (0, ε) có thể chọn sao cho:
(x+K(u, η))∩M ∩B(x, δ) = {x},
trong đó K(u, η) kí hiệu là nón Bishop-Phelps. Định nghĩa: A = x+
K(u,2η) và gi(x) = f (x) +idA,∀x ∈ E. Ta phân biệt 2 trường hợp: (I) Nếu inf
B(x,δ)gi < 0 thì nguyên lý biến phân Ekeland của hệ quả 8.2.6 (chương 8 trong [5])đảm bảo sự tồn tại yi ∈ B(x, δ) làm cực tiểu phiếm hàm
hi(x) = gi(x) + 1
i kx−yik
trên B(x, δ) và sao cho gi(yi) < 0. Có thể chỉ ra rằng
η
2η + 1kyi −xk ≤ dA(yi) →0
khi i → ∞ và vì vậy yi →x khi i → ∞. Do dó yi ∈ B(x, δ) với i đủ lớn. (II) Nếu inf
B(x,δ)gi = 0 thì tập hợp yi = x với ∀i. Do đó, trong cả 2 trường hợp, yi là cực tiểu địa phương của hi,∀i đủ lớn. Theo qui tắc
tổng xấp xỉ của định lý 9.2.6 (chương 9 trong [5]), Với những i đó, tồn tại xi, zi ∈ B◦(x, δ), x∗i ∈ ∂Ff (xi) và zi∗ ∈ ∂FdA(zi) sao cho
|f (xi)−f (x)| < δ và
kx∗i +izi∗k< η + 1i. (2.66) Bằng cách sử dụng định lý tách, có thể chứng tỏ rằng
∂FdA(zi) ⊆ {α(−u+ 2ηkukBE∗|α > 0)} ∩BE∗.
Bởi vậy, zi∗ = αi(−u+ 2ηkukb∗) với một αi > 0 và một b∗ ∈ BE∗. Từ (2.66) suy rakx∗i −iαiuk < 2iαikukη+η+1i. Ta phải cóiαi > (2kuk(1+2c η))
bởi vì nếu khác đi ta có: kx∗ik < 0, mâu thuẫn với cách chọn c. Đặt
λi = iαi1 ta nhận được kλix∗i −uk < 2ηkuk+ 2ηkuk(1 + 2η) c + 2kuk(1 + 2η) ic . Vì thế, nếu i > 4kuk(1+2cε η) thì bằng cách lấy λ = λi, x = xi và v = x∗i ta có kλv −uk < ε. Nón pháp Fréchet với tập mức
Ta xét tới điều kiện :
lim
x→xinf d (0,∂Ff (x)∪∂F (−f) (x)) > 0. (2.67)
Định lý 2.11. Cho E là không gian Fréchet Banach trơn và M =
{x∈ E|f (x) = 0}, trong đó f : E → R liên tục. Giả sử rằng (2.67)
đúng. Cho x ∈ M và u ∈ NF (M, x). Khi đó ∀ε > 0,∃x ∈ E, v ∈ ∂Ff (x)∪∂F (−f) (x) và λ > 0 sao cho
kx−xk < ε,|f (x)−f (x)| < ε,kλv −uk < ε.
Chứng minh. Ta chứng minh vắn tắt định lý này. Giả sử c là số sao cho:
0 < c < liminf d(0, ∂Ff (x)∪∂F (−f) (x)) Một lần nữa chứng tỏ rằng,
η, δ ∈ B(0, ε) có thể chọn sao cho
(x+K(u, η))∩M ∩B(x, δ) = {x}.
(a) f (x) ≥ 0,∀x∈ (x+K(u, η))∩B(x, δ) hoặc (b) f (x) ≤ 0,∀x ∈ x+K(u, η)∩B(x, δ). Đặt A= x+ K(u,2η),∀i gi =
f + idAtrong trường hợp (a), −f + idAtrong trường hợp (b) .
Phần còn lại của chứng minh tương tự Định lý 2.10.
Kết luận
Chương 2 đã trình bày một số nội dung về nón tiếp và nón pháp trong không gian Banach và không gian Hilbert.
Kết luận
Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống các nội dung sau:
Một số nội dung về không gian Banach, không gian Hilbert và một số kiến thức về đạo hàm suy rộng.
Những khái niệm và tính chất cơ bản của những nón tiếp và nón pháp cùng ứng dụng của chúng trong không gian Banach.
Vì khả năng và điều kiện có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh được thiếu sót. Kính mong các thầy cô và các đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn được tốt hơn.
Tài liệu tham khảo
Tài liệu tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà nội.
[2] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007),Lý thuyết Tối ưu không trơn, NXB ĐHQG Hà nội.
[3] Nguyễn Đông Yên (2007),Giáo trình Giải tích đa trị, NXB KH Tự nhiên và Công nghệ, Hà nội.
Tài liệu tiếng Anh
[4] F. H. Clarke (1990), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia.