2 Nón tiếp và nón pháp
2.3Nón tiếp và nón pháp của trên đồ thị
Cho f : E → R là hàm chính thường và x ∈ domf. Mục đích của ta là đưa ra những biểu diễn các nón xấp xỉ của epif tại x. Ta nhắc lại dưới H− đạo hàm theo hướng:
fH (x, y) = lim
r↓0
x→y
inf1
r (f (x+rz)−f (x)), y ∈ E.
Mệnh đề 2.13. Cho f : E → R là hàm chính thường và x ∈ domf.
a) Luôn có T (epif,(x, f (x))) = epi f−H (x, .).
b) Nếuf là L−liên tục địa phương xung quanh xthì:T (epi(f,(x, f (x)))) =
epi f0(x, .). Chứng minh.
(a) (I) Giả sử y(y, ρ) ∈ T (epif,(x, f(x))) đã cho. Khi đó tồn tại dãy (rk) trong (0; +∞) và (zk, ρk) trong đó E×R thỏa mãnrk ↓ 0, zk → y, và ρk →ρ khi k → ∞ sao cho (x, f (x) +rk(zk, ρk)) ∈ epif.∀k ∈
N
1
rk
(f (x+rk.zk)−f (x)) ≤ ρk,∀k ∈ N.
Do đó, f−+H (x, y) ≤ ρ. Nghĩa là (y, ρ) ∈ epif−+H (x, .).
(II) Bây giờ, giả sử (y, ρ) ∈ epif−+H (x, .) đã cho. Khi đó, ta có:
inf 0<r<ε kz−yk<ε 1 r (f (x+ rz)) −f (x) ≤ρ,∀ε > 0. Do đó, ∀k ∈ N tồn tại rk ∈ 0,1k và zk ∈ B y, 1k sao cho 1 rk (f (x) +rk.zk) < ρ+ 1 k,∀k ∈ N.
Như vậy, ta có thấy rằng rk ↓ 0 zk, ρ+ 1k
→ (y, ρ) và (x, f (x)) +
rk zk, ρ+ k1
∈ epi f. Do đó (y, ρ) ∈ T (epi f,(x, f (x))).
Hệ quả 2.2. Nếu f : E → R là L− liên tục địa phương xung quanh x ∈ domf thì ∀x∗ ∈ E∗ ta có
x∗ ∈ ∂◦f (x) ⇔ (x∗,−1) ∈ NC(epi f,(x, f (x))).
Chứng minh. Theo Mệnh đề 7.3.7 (chương 3 trong [5]) ta có:x∗ ∈ ∂◦f (x)
khi và chỉ khi
f◦(x, y) ≥(x∗, y),∀y ∈ E.
Do đó, sử dụng mệnh đề (2.13) và định nghĩa của nón pháp Clarke, ta thu được x∗ ∈ ∂◦(x, .) ⇔ (y, ρ) ∈ epif◦(x, .),∀y ∈ E,∀ρ ≤ f◦(x, y) ↔ h(x∗,−1),(y, ρ)i = hx∗, yi −ρ≤ 0,∀(y, ρ) ∈ epif◦(x, .) ↔ (x∗,−1) ∈ TC(epif,(x, f(x)))0 = NC(epif,(x, f(x))) Chú ý 2.1. Theo mệnh đề 2.13 ta có: fH (x, y) = inf{ρ ∈ R|(y,ρ) ∈ T (epif,(x, f(x)))},∀y ∈ E, f◦(x, y) = inf{ρ ∈ R|(y,ρ) ∈ TC(epif,(x, f (x)))},∀y ∈ E,
Điều này chứng tỏ rằng các đạo hàm theo hướng có thể định nghĩa với sự hỗ trợ của các nón xấp xỉ. Hơn thế, hệ quả 2.2 chứng tỏ rằng các dưới vi phân có thể định nghĩa nhờ các nón pháp.
Mệnh đề 2.14. Cho E là một không gian Hilbert và f : E →R là chính thường, lsc và x ∈ domf. Khi đó với mọi x∗ ∈ E ta có:
x∗ ∈ ∂Pf (x) ↔ (x∗,−1) ∈ NP (epif,(x, f (x))).
Chứng minh. ⇒ : Giả sử x∗ ∈ ∂Pf (x) đã cho. Theo định nghĩa của dưới vi phân xấp xỉ, tồn tại σ > 0 và δ > 0 sao cho ∀x ∈ B(x, δ)
và tất cả α ≥f (x) ta có:
α −f (x) +σh
kx−xk2 + (α−f (x))2i
Nói cách khác, nếu x ∈ B(x, δ) và (x, α) ∈ epif thì (x∗,−1)|(x, α)−x, f(x) = ((x∗,−1)|(x−x∗), α−f (x)) = (x∗|x−x)−α+ f (x) ≤ σk(x, α)−(x, f (x))k2. Theo Mệnh đề 2.11, ta kết luận rằng (x∗,−1) ∈ NP (epif,(x, f (x))).
⇐ : Giả sử rằng (x∗,−1) ∈ NP (epif,(x, f(x))) Theo mệnh đề 2.11, tồn tại η > 0 sao cho ∀(x, α) ∈ epif ta có:
(η(x∗,−1)|(x−x, α−f (x)))≥ 1
2k(x−x, α−f (x))k2.
Từ đây và (2.13) suy ra
(x, f(x)) ∈ projepi(f)(p), p = (x, f (x)) + η(x∗,−1), (2.18) trong đó projepi(f) là hình chiếu lên epi(f). Theo định nghĩa của phép chiếu ta có:
kη(x∗,−1)k2 ≤ kp−(x, α)k2,∀(x, α) ∈ epi(f)
Đặc biệt, bằng cách chọn α = f (x) ta thu được
δ2kx∗k2 +δ2 ≤ kx−y +δx∗k2(f (x)−f (x)−δ)2.
Đánh giá k.k2 theo tích vô hướng, bất đẳng thức trên chuyển thành
δ2 + 2δ(x∗|x−x)− kx−xk2 ≤ (f (x)−f (x) +δ)2. (2.19) Chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho ∀x ∈ B(x, ε) vế phải của (2.19) dương và đồng thời f (x) > f (x)−δ (điều này luôn có thể vì f là lsc tại
∀x). Với mọi x như thế ta thu được từ (2.19): f (x) ≥ g(x), trong đó g(x) = f (x)−δ + δ2 + 2δ(x∗|x−x)− kx−xk2 1 2 .
Nhận xét rằng hàm g hai lần khả vi liên lục trên B(x, ε) (thu nhỏ ε
ở trên nếu cần) và g′ (x) = x∗. Ta có thể suy ra rằng, với σ > 0 nào đó ta có:
g(x) ≥g(x) + (x∗|x−x)−σkx−xk2,∀x ∈ B(x, ε).
Kết hợp điều này với f (x) ≥g(x) và f (x) = g(x) ta được
f (x) ≥f (x) + (x∗|x−x)−σkx−xk2,∀x∈ B(x, ε).
Do đó, x∗ ∈ ∂Pf (x). Bây giờ ta có thể suy ra một kết quả tương tự với mệnh đề 2.14 cho dưới vi phân nhớt (Fréchet ) và nón pháp nhớt (Fréchet ).
Mệnh đề 2.15. Cho f : E →R là hàm chính thường, lsc và x ∈ domf. Khi đó, ∀x∗ ∈ E ta có:
x∗ ∈ ∂Vf (x) ↔ (x∗,−1) ∈ NV (epif,(x, f(x))). (2.20)
Nếu thêm vào đó E là không gian Banach Fréchet trơn thì
x∗ ∈ ∂Ff (x) ↔ (x∗,−1) ∈ NF (epif,(x, f (x))). (2.21)
Chứng minh. (I): Giả sử x∗ ∈ ∂Vf (x) đã cho. Theo định nghĩa tồn tại một hàm g lớp C1sao cho g′ (x) = x∗ và f −g đạt cực tiểu địa phương tại x. Định nghĩa h(y, r) = g(y) −r,∀y gần x và r ∈ R. Khi đó, h là hàm thuộc C1 thỏa mãn h′(x, f(x)) = (x∗,−1) và
δepif (y, r)−h(y, r) ≤ δepif (x, f (x))−h(x, f (x)).
Suy ra (x∗,−1)∈ ∂Vδepif (x, f (x)) = NV (epif,(x, f(x))).
(II): Giả sử (x∗,−1) ∈ NV (epif,(x, f (x))). Khi đó tồn tại hàm h :
E × R → R thuộc C1 sao cho h′(x, f (x)) = (x∗,−1) và h(x, t) ≥
h(x, f(x)) = 0,∀(x, t) ∈ epif đủ gần (x, f (x)). Khi đề cập đến phương
trình h(x, f (x)) = 0 ta lưu ý rằng h có thể chọn theo cách đó. Định lý hàm ẩn đảm bảo sự tồn tại của hàm g : E → R thuộc C1 thỏa mãn
h(x, g(x)) = 0,∀x gần x như g(x) =f (x) và
g′(x) = −h|2(x, g(x))−1 ◦h|1(x, g(x)) = x∗
Vì h khả vi liên tục và h|2(x, g(x)) = −1, tồn tại ε > 0 sao cho
khi x ∈ B(x, ε) và f (x)−ε < s < t < f (x) +ε. Vì g là liên tục tại x
và f là lsc tại x, tồn tại δ ∈ (0, ε) sao cho
f (x)−ε ≤ g(x) ≤ f (x) +ε
và
f (x) > f (x)−ε,∀x ∈ B(x, δ).
Giả sử x ∈ B(x, δ). Nếu f (x) ≥ f (x) +ε thì ta có ngay
f (x)−g(x) ≥0 = f (x)−g(x)
Nhưng bất đẳng thức bên trên cũng đúng nếu f (x) < f (x) + ε bởi vì trong trường hợp này
h(x, f (x)) ≤0 = h(x, g(x)).
Như vậy , ta đã chứng tỏ rằng: x∗ ∈ ∂Vf (x).
(III) Khẳng định thêm suy ra từ những điều ở trên, Định lý 9.17 (chương 9 trong [5]) và định nghĩa của nón pháp Fréchet. Trong mối quan hệ này, lưu ý rằng nếu E Fréchet trơn thì E ×R cũng vậy.
Lưu ý: Ta thu được ở đây sự đặc trưng (2.21) xem như một kết quả của (2.20). Một cách tổng quát hơn, như ta sẽ thấy sau, (2.21) đúng không cần giả thiết E là Fréchet trơn.