2 Nón tiếp và nón pháp
2.2 Nón pháp
Cho A là một tập con khác rỗng của không gian định chuẩn E và
x ∈ A. Bây giờ ta nêu định nghĩa một vài nón pháp của A tại x.
Định nghĩa 2.3. ([5]) Nếu A là tập lồi thì
N(A, x) = (A−x)0 = {v ∈ E∗| hv, x −xi ≤ 0,∀x ∈ A}
được gọi là nón pháp của A tại x theo nghĩa của giải tích lồi.
Bổ đề 2.2. Nếu A là tập lồi thì N (A, x) = T (A, x)0 và N (A, x) =
∂δA(x).
Chứng minh. Đẳng thức đầu tiên suy ra từ mệnh đề 2.1(d) và đẳng thức thứ hai là hệ quả trực tiếp từ định nghĩa N (A, x)
Trong trường hợp không lồi, định nghĩa của nón pháp là mô phỏng của một trong những đẳng thức trên.
Định nghĩa 2.4. Nón NC(A, x) = TC(A, x)0 được gọi là nón pháp Clarke của A tại x.
Nhắc lại rằng, cl*M là bao đóng của M trong E∗ theo tô pô σ(E∗, E)
.
Chứng minh. Ta có: d0A(x, y) =max{hv,yi |v ∈ ∂0dA(x)} Sử dụng điều đó và mệnh đề 2.4 ta thu được:
y ∈ TC(A, x) ⇔ d0A(x, y) = 0 ⇔ hv, yi ≤ 0,∀v ∈ ∂0dA(x)
⇔ y ∈ (∂0dA(x))0,
suy ra NC(A, x) = (∂0dA(x))0. Định lý song cực cho ta điều phải chứng minh. Trong mối liên hệ trên, nhắc lại rằng dưới vi phân Clarke là lồi.
Định nghĩa 2.5. Cho A là một tập con khác rỗng của E và x ∈ A. Khi đó, ta nói:
NF (A, x) = ∂FδA(x) nón pháp Fréchet của A tại x, NV (A, x) =∂VδA(x) nón pháp nhớt của A tại x, NP (A, x) = ∂PδA(x) nón pháp gần kề của A tại x.
Mỗi u ∈ NF (A, x) được gọi là một pháp Fréchet của A tại x. Tương tự, ta cũng gọi pháp nhớt và pháp gần kề. Ta trình bày ra một đặc tính đơn giản đầu tiên nhưng hữu ích của nón pháp Fréchet.
Mệnh đề 2.10. Cho A là một tập con khác rỗng của E và x ∈ A. Khi đó, ∀x∗ ∈ E∗, những khẳng định sau là tương đương:
(a) x∗ ∈ NF (A, x).
(b) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho:
hx∗, x−xi ≤ εkx−xk,∀ ∈ A∩B(x, δ).
(c) Tồn tại một hàm ϕ : E →R, F- khả vi tại x với ϕ′(x) =x∗ và đạt cực đại trên A tại x.
Chứng minh. (a) ⇒(b): Điều này có được một cách trực tiếp từ định nghĩa nghĩa của NF (A, x)
(b)⇒ (c) : Dễ dàng kiểm tra được rằng hàm ϕ: E → R xác định bởi
ϕ(x) = min{0,hx∗, x−xi}, x∈ A hx∗, x−xi, x /∈ A có các tính chất đã nêu. (c) ⇒ (a): Theo (c) ta có ϕ(x) =ϕ(x) +hx∗, x−xi+r(x)
trong đó r(x)
kx−xk → 0 khi x → x. Vì ϕx ≤ ϕx,∀x ∈ A, ta có mệnh đề
(a).
Trong không gian Hilbert, nón pháp gần kề có thể đặc trưng bằng nhiều cách khác nhau.
Mệnh đề 2.11. Cho A là một tập hợp con khác rỗng của không gian Hilbert E và giả sử x ∈ A. Khi đó, ∀u ∈ E các khẳng định sau là tương đương:
(a) u ∈ NP (A, x).
(b) Hoặc u = 0 hoặc tồn tại λ > 0 và z ∈ E \A sao cho u = λ(z−x)
và x ∈ projA(z).
(c) Tồn tại ρ ≥ 0 sao cho: (u|x−x) ≤ρkx−xk2,∀x ∈ A.
(d) Tồn tại σ ≥ 0 và ε > 0 sao cho (u|x−x) ≤ σkx−xk2,∀x ∈ A∩B(x, ε).
e) Tồn tại r > 0 sao cho dA(x+ru) = rkuk. Chứng minh. Ta có:
x ∈ proj_A(z) ⇔ kz−xk ≤ kz −xk,∀x ∈ A
⇔(z −x|x−x) ≤(z−x|z−x),∀x ∈ A
Giản ước tích vô hướng trong sự bất đẳng thức cuối ta đi đến
x ∈ projA(z) ⇔ (z −x|x−x) ≤ 1
2kx−xk2,∀x ∈ A (2.13) Thứ 2, với bất kì ∀r > 0 ta có
kx−(x+ru)k2 = kx−xk2 −2r(u|x−x) + r2kuk2 (2.14)
(a) ⇒ (b): Điều này là hiển nhiên với u = 0. Nếu u ∈ ∂ρδA(x) và u 6= 0
thì tồn tại σ > 0 thỏa mãn:
Theo (2.13) ta nhận được x ∈ projA(z), ở đây z = x+ 21σu. Để ý rằng
z /∈ A và u = 2σ(z−x).
(b) ⇒ (c): Giả sử u như ở phần (b). Từ (2.13) suy ra
(u|x−x) ≤ λ 2 kx−xk2,∀ ∈ A. (c) ⇒ (d): Hiển nhiên. (d) ⇒ (e) Giả sử rằng (d) đúng và chọn r > 0 tùy ý. Sử dụng (2.14)) ta nhận được. kx−(x+ru)k2 ≥(1−2rσ)kx−xk2 + r2kuk2,∀x ∈ A∩B(x, ε) Cho x = x ta có : kx−(x+ru)k2 = r2kuk2. Vậy, dA(x+ru) = rkuk.
(e) ⇒(a): Điều kiện (e) kéo theo
kx−(x+ru)k2 ≥ r2kuk2,∀x ∈ A, (2.15) và theo (2.14) suy ra δA(x)−δA(x) ≥ (u|x−x)− 1 2r kx−xk2,∀x ∈ E. (2.16) Do đó, u ∈ NP (A, x). Biểu diễn hình học:
Sự tương đương của a) và b) có nghĩa là NP (A, x) chứa tất cả các điểm
u trên tia phát ra từ x và gặp một điểm z ∈ E\A nào đó mà với nó x là xấp xỉ tốt nhất đối với A. Nói chung, ta có NP(A, x) ⊆ NF (A, x).
Mệnh đề 2.12. Giả sử rằng E là một không gian Fréchet Banach trơn , A là lồi và đóng, x ∈ A. Khi đó:
NP (A, x) = NF (A, x) = NC(A, x) = N (A, x).
Chú ý rằng tính đóng của A được đưa vào chỉ để đảm bảo rằng δA
là lsc nêu ở định nghĩa dưới vi phân gần kề. Nếu A là lồi và đóng thì