BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Văn Thành GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Nghệ An, năm 2018 i LI CAM OAN Luên Ăn n y ữủc ho n th nh tÔi Trữớng Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS Lả Vôn Th nh v GS TSKH Nguyạn Duy Tián Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi CĂc kát quÊ ữủc trẳnh b y luên Ăn l trung thỹc, ữủc cĂc ỗng tĂc giÊ cho php sỷ dửng v chữa tứng ữủc cổng bố trữợc õ TĂc giÊ Nguyạn Th Thừy ii LI CM èN Luên Ăn n y ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS Lả Vôn Th nh v GS TSKH Nguyạn Duy Tián TĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng kẵnh trồng, biát ỡn sƠu s-c tợi hai ThƯy- nhỳng ngữới  t b i toĂn, hữợng dăn, ởng viản, giúp ù tên tẳnh v chu Ăo suốt quĂ trẳnh tĂc giÊ hồc têp v thỹc hiằn luªn ¡n T¡c gi£ xin c£m ìn ThS Vơ Thà Ngồc nh v TS Dữỡng XuƠn GiĂp vã nhỳng thÊo luên v gõp ỵ tứ lúc viát bÊn thÊo cho tợi ho n thiằn luên Ăn Trong quĂ trẳnh ho n th nh luên Ăn, tĂc giÊ Â nhên ữủc sỹ quan tƠm v gõp ỵ cừa GS TS Nguyạn Vôn QuÊng, TS Nguyạn Th Thá, TS Nguyạn Trung Hỏa, TS Nguyạn Thanh Diằu, TS Vó Th Hỗng VƠn, PGS TS Ki·u Ph÷ìng Chi, PGS TS Phan ùc Th nh, ThS Nguy¹n Ngåc Tù, còng c¡c nh khoa håc v bÔn b ỗng nghiằp TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn vã nhỳng sỹ giúp ù quỵ bĂu õ TĂc giÊ xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn tợi Viằn Sữ phÔm tỹ nhiản v Phỏng o tÔo Sau ¤i håc, Tr÷íng ¤i håc Vinh v· sü trđ v tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi tĂc giÊ ho n th nh nhi»m vư cõa mët nghi¶n cùu sinh T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tỵi Vi»n Nghiản cựu cao cĐp vã ToĂn vẳ  hộ trủ v tÔo iãu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ ữủc hồc têp v nghiản cựu tÔi Viằn TĂc giÊ xin gûi líi c£m ìn tỵi Sð Gi¡o dưc v o tÔo tnh Nghằ An, Trữớng THPT Thanh Chữỡng Tê To¡n Tr÷íng THPT Thanh Ch÷ìng 3, °c bi»t l ThS Trnh Vôn ThÔch v cổ TrƯn Th Lữỡng  luổn tÔo iãu kiằn v giúp ù tĂc giÊ thíi gian thüc hi»n nhi»m vư cõa mët nghi¶n cùu sinh Cuèi còng, t¡c gi£ xin b y tä láng biát ỡn tợi gia ẳnh  luổn l chộ dỹa vỳng ch-c cho tĂc giÊ yản tƠm hồc têp, nghiản cùu v cỉng t¡c Nguy¹n Thà Thõy iii MƯC LƯC Mởt số kẵ hiằu thữớng dũng luên Ăn M Ưu Chữỡng Mởt số luêt số lợn ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ trà khỉng gian Banach 1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 9 1.2 Luêt số lợn ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khæng gian Banach 22 Chữỡng Sỹ hởi tử Ưy theo trung bẳnh v sü hëi tư ¦y õ cõa m£ng c¡c ph¦n tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Banach 41 2.1 Sỹ hởi tử Ưy theo trung bẳnh cừa mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khæng gian Banach 41 2.2 Sü hëi tư ¦y õ cõa m£ng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ởc lêp ổi mởt nhên gi¡ trà khæng gian Banach 54 Chữỡng DÔng tờng quĂt cừa mởt số bĐt ng thực cỹc Ôi ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Banach 3.1 Mởt số kián thực chuân b 68 68 3.2 DÔng tờng quĂt cừa mởt số bĐt ng thực cỹc Ôi ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Banach 71 3.3 Luêt mÔnh số lợn dÔng (p; q) 83 Kát luên v kián ngh 96 Danh mửc cĂc cổng trẳnh liản quan trỹc tiáp ¸n luªn ¡n 97 T i li»u tham kh£o 98 MậT Sẩ K HIU THìNG DềNG TRONG LUN N N R R+ ( ; F; P) E B(E) logx + log x E EX Var(X) I(A) h.c.c m_n m^n tr i tr i-j (kXk) d(k) [x] d X=Y lim inf Amn lim sup Amn s X f(n) g(n) C Têp hủp cĂc số nguyản dữỡng Têp hủp cĂc số thỹc Têp hủp cĂc số thỹc khổng Ơm Khổng gian xĂc suĐt Ưy Khổng gian Banach thỹc khÊ li - Ôi số Borel cừa E Logarit cỡ số tü nhi¶n cõa sè thüc x log(x _ e), x R Khỉng gian li¶n hđp cõa khỉng gian E Kẳ vồng cừa phƯn tỷ ngău nhiản X Phữỡng sai cừa X H m ch tiảu cừa têp hủp A HƯu ch-c ch-n GiĂ tr lợn nhĐt cừa hai số thüc m v n Gi¡ trà nhä nh§t cõa hai sè thüc m v n Trang thù i t i liằu ữủc trẵch dăn Tứ trang thự i án trang thự j t i liằu ữủc trẵch dăn Median cừa bián ngău nhiản kXk Số cĂc ữợc nguyản dữỡng cừa số nguyản k PhƯn nguyản cừa số thỹc x PhƯn tỷ ngău nhiản X v Y phƠn phối Giợi hÔn dữợi cừa mÊng cĂc bián cố Amn Giợi hÔn trản cừa mÊng cĂc bián cố Amn PhƯn tỷ ngău nhiản ối xựng hõa cừa phƯn tỷ ngău nhiản X H m f(n) tữỡng ữỡng vợi h m g(n) n ! 1, theo ngh¾a lim f(n) n!1 g(n) =1 Kát thúc chựng minh Kẵ hiằu cho mởt hơng số dữỡng v cõ th khổng giống mội lƯn xuĐt hiằn Mé Lỵ chồn U ãti 1.1 Luêt số lợn l mởt b i toĂn cờ in cừa lỵ thuyát xĂc suĐt, nõ khng nh trung bẳnh cởng cừa cĂc bián ngău nhiản ởc lêp phƠn phối hởi tử vã kẳ vồng cừa cĂc bián ngău nhiản õ theo mởt nghắa n o õ Trong nhiãu nôm gƯn Ơy, luêt số lợn văn ữủc nhiãu nh toĂn hồc tiáp tửc quan tƠm nghiản cựu Luêt số lợn cõ nhiãu ựng dửng thống kả, toĂn kinh tá, khoa hồc tỹ nhiản v nhiãu lắnh vỹc khĂc Chẵnh vẳ vêy, viằc nghiản cựu luêt số lợn khổng ch cõ ỵ nghắa lỵ thuyát m cỏn cõ ỵ nghắa thỹc tiạn 1.2 Logic tỹ nhiản cừa sỹ phĂt trin cĂc nh lỵ giợi hÔn lỵ thuyát xĂc suĐt  dăn án nhiãu kát quÊ têng qu¡t hìn c¡c k¸t qu£ cê iºn Mët nhỳng hữợng tờng quĂt õ l tứ nhỳng kát quÊ Â cõ ối vợi cĂc bián ngău nhiản nhên giĂ tr thỹc m rởng sang cho cĂc phƯn tỷ nhên gi¡ trà khỉng gian Banach, ho°c tø c¡c k¸t quÊ Â cõ ối vợi dÂy m rởng sang cĂc kát quÊ ối vợi mÊng hai hay nhiãu ch số cĂc phƯn tỷ ngău nhiản Cõ rĐt nhiãu cƠu họi ữủc t nhữ tứ cĂc kát quÊ cho dÂy mởt ch số  cõ, liằu rơng cõ th thiát lêp ữủc cĂc kát quÊ tữỡng tỹ cho mÊng nhiãu ch số khổng? , phữỡng phĂp chựng minh cĂc kát quÊ cho d Ây mởt ch số cõ vên dửng ÷đc tr÷íng hđp m£ng nhi·u ch¿ sè khỉng? , Trong luên Ăn n y, chúng tổi nghiản cựu mởt số nh lỵ giợi hÔn dÔng luêt số lợn mÊng hai ch số cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên gi¡ trà khæng gian Banach thüc kh£ li C¡c kát quÊ thu ữủc ối vợi mÊng hai ch số câ thº têng qu¡t th nh m£ng nhi·u ch¿ sè bơng phữỡng phĂp ho n to n tữỡng tỹ ối vợi cĐu trúc nhiãu ch số, quan hằ thự tỹ thổng thữớng trản têp cĂc ch số khổng cõ tẵnh chĐt tuyán tẵnh Vẳ vêy, m rởng cĂc nh lỵ giợi hÔn ối tứ trữớng hủp dÂy mởt ch sè sang tr÷íng hđp m£ng nhi·u ch¿ sè chóng ta s³ g°p nhi·u khâ kh«n hìn i·u n y gâp phƯn l m cho cĂc kát quÊ nghiản cựu vã cĂc nh lỵ giợi hÔn ối vợi mÊng nhiãu ch số cõ nhiãu ỵ nghắa 1.3 Bản cÔnh cĂc dÔng hởi tử hƯu ch-c ch-n, hởi tử Ưy õ, hëi tư theo x¡c su§t, hëi tư theo trung bẳnh, lỵ thuyát xĂc suĐt ta cỏn xt án hởi tử Ưy theo trung bẳnh Hởi tử Ưy theo trung bẳnh l mởt dÔng hởi tử mÔnh hìn hëi tư ¦y õ v hëi tư theo trung bẳnh Tuy nhiản, cĂc kát quÊ vã sỹ hởi tử n y chữa thêt phong phú 1.4 XĂc suĐt trản khổng gian Banach l mởt hữợng nghiản cựu quan trồng cừa lỵ thuyát xĂc suĐt Cõ rĐt nhiãu nh lỵ giợi hÔn úng khổng gian thỹc khổng cỏn úng khổng gian Banach Vợi cĂc lỵ nảu tr¶n, chóng tỉi chån · t i nghi¶n cùu cho luên Ăn cừa mẳnh l : Luêt số lợn v sỹ hởi tử Ưy theo trung bẳnh ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Banach Mửc ẵch nghiản cựu Trong luên Ăn n y, chúng tổi ữa iãu kiằn luêt mÔnh số lợn v luêt yáu số lợn ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Banach tữỡng ữỡng vợi Bản cÔnh õ, luên Ăn ữa iãu kiằn thu ữủc sỹ hởi tử Ưy theo trung bẳnh cĐp p cừa mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Rademacher dÔng p (1 p 2) Trong tr÷íng hđp khỉng gian Banach khỉng l khỉng gian Rademacher dÔng p, chúng tổi chựng minh ữủc hởi tử Ưy theo trung bẳnh ko theo luêt mÔnh số lợn Luên Ăn cụng nghiản cựu iãu kiằn cƯn v õ cho sü hëi tư ¦y õ cõa têng k²p cõ trồng số cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ởc lêp ổi mởt, phƠn phối Cuối cũng, chúng tổi trẳnh b y cĂc dÔng tờng quĂt cừa mởt số bĐt ¯ng thùc cê iºn v ùng döng mët c¡c bĐt ng thực õ chựng minh rơng luêt mÔnh số lợn dÔng (p; q) ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ko theo luêt mÔnh số lợn ối tữủng nghiản cựu ối tữủng nghiản cựu l mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ởc lêp phƠn phối, ởc lêp khổng phƠn phối v ởc lêp ổi mởt phƠn phối nhên giĂ tr khổng gian Banach thỹc khÊ li 4 PhÔm vi nghiản cựu Luên Ăn têp trung nghiản cựu luêt số lợn, sỹ hởi tử Ưy theo trung bẳnh v sỹ hởi tử Ưy ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Banach thỹc, khÊ li vợi giÊ thiát ởc lêp v ởc lêp ổi mởt ỗng thới, luên Ăn cụng nghiản cựu dÔng têng qu¡t cõa mët sè b§t ¯ng thùc cê iºn nhữ cĂc bĐt ng thực Etemadi, Lvy, Ottaviani, Hoffmann-J rgensen cho mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ởc lêp Sau õ, chúng tổi vên dửng dÔng tờng quĂt cừa bĐt ng thực Ottaviani chựng minh luêt mÔnh số lợn dÔng (p; q) ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ko theo luêt mÔnh số lợn Phữỡng phĂp nghiản cựu Chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp ởc lêp nghiản cựu t i liằu, seminar theo nhõm dữợi sỹ chừ trẳ cừa thƯy hữợng dăn, v trao ời vợi cĂc nh khoa hồc v ngo i nữợc CĂc cổng cử chừ yáu sỷ dửng luên Ăn l cĂc bĐt ng thực cỹc Ôi nhữ bĐt ng thực de Acosta, b§t ¯ng thùc L²vy, b§t ¯ng thùc Hoffmann-J rgensen, b§t ¯ng thùc Ottaviani, b§t ¯ng thùc èi xùng yáu, bĐt ng thực ối xựng mÔnh c biằt, luên Ăn sỷ dửng phữỡng phĂp dÂy con, phữỡng phĂp xĐp x¿, v ph÷ìng ph¡p èi xùng hâa º chùng minh cĂc kát quÊ vã luêt số lợn v sỹ hởi tử cừa mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn CĂc kát quÊ cừa luên Ăn gõp phƯn l m phong phú thảm cho hữợng nghiản cựu vã luêt số lợn, sỹ hởi tử ¦y õ, v sü hëi tö ¦y õ theo trung bẳnh ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên gi¡ trà khỉng gian Banach Luªn ¡n l t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n, håc vi¶n cao hồc v nghiản cựu sinh chuyản ng nh Lỵ thuyát xĂc suĐt v Thống kả toĂn hồc Tờng quan v cĐu trúc luên Ăn 7.1 Tờng quan vã luên Ăn Khổng quĂ nõi rơng lch sỷ cừa lỵ thuyát xĂc suĐt l cƠu chuyằn cừa cĂc nh lỵ giợi hÔn, õ cõ luêt mÔnh số lợn v luêt yáu số lợn Luêt số lợn Ưu tiản ÷đc Bernoulli [4] cỉng bè v o n«m 1713 V· sau kát quÊ n y ữủc m rởng bi Poisson, Chebyshev, Markov v Khintchin Tuy nhiản phÊi án nôm 1909 luêt mÔnh số lợn ữủc Borel [5] phĂt hiằn v kát quÊ n y ữủc Kolmogorov [23] ho n thiằn v o nôm 1933 Luêt mÔnh số lợn cừa Kolmogorov  ch rơng trữớng hủp dÂy cĂc bián ngău nhiản fXn; n 1g ởc lêp v cõ moment cĐp hỳu hÔn, náu E(Xn EXn)2 n=1 n X th¼ Pn i=1 (Xi EXi) n < ; ! h.c.c n ! 1: ỗng thới, Kolmogorov cụng ch rơng náu dÂy cĂc bián ngău nhiản fXn; n 1g ởc lêp phƠn phối thẳ iãu kiằn cƯn v luêt mÔnh số lợn xÊy l cĂc bián ngău nhiản õ cõ ký vồng hỳu hÔn Sau õ kát quÊ n y  ÷ñc mð rëng bði Marcinkiewicz v Zygmund [30], [31] èi vợi mÊng cĂc bián ngău nhiản nhên giĂ tr thỹc, nôm 1973 Smythe [47]  thiát lêp luêt mÔnh số lợn dÔng Kolmogorov Sau õ, luêt mÔnh số lợn Marcinkiewicz-Zygmund ối vợi mÊng nhiãu ch số cụng ữủc nghiản cựu bði Gut [16], Klesov [21] Ð Vi»t Nam, luªt sè lợn ối vợi mÊng hai ch số cĂc bián ngău nhiản nhên giĂ tr thỹc cụng ữủc nghiản cựu bi c¡c t¡c gi£ Giang v Ti¸n [15], Th nh [50], Qu£ng v Huy [39], Qu£ng v Hu§n [38], Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, nhiãu tĂc giÊ tiáp tửc nghiản cựu cĂc nh lỵ giợi hÔn ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian p khÊ trỡn nhữ QuÊng v HuĐn [40], [41] v khổng gian Banach Rademacher dÔng p nhữ Rosalsky v Th nh [43], [45] Trong luên Ăn, chúng tổi tiáp tửc nghiản cựu luêt số lợn ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Banach bĐt kẳ Cử th hỡn, chúng tổi  ữa iãu kiằn luêt mÔnh số lợn v luêt yáu số lợn tữỡng ữỡng vợi Vã dÔng hởi tử Ưy theo trung bẳnh cĐp p (p > 0); khĂi niằm n y ữủc ữa Ưu tiản bi Chow [7] cho trữớng hủp dÂy cĂc bián ngău nhiản nhên giĂ tr thỹc Nôm 2006, cĂc tĂc giÊ Rosalsky, Th nh v Volodin [44]  thiát lêp sỹ hởi tử Ưy theo trung bẳnh cĐp p ối vợi dÂy cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr 90 i·u n y ngh¾a l S (mn) Tø P mn m _ n ! 1: 1=p ! (3.3.16) nh lỵ 1.2.10, ta thu ữủc luêt mÔnh số lợn (3.3.2) Chựng minh nh lỵ 3.3.2 Ưu tiản, ta ch rơng luêt mÔnh số lợn (3.3.1) ko theo S2m2n P 2(m+n)=p Vợi m v ma (xij)2m 1; n 2n xij E; vỵi 2m+1 2n+1 X X Khi â h m g2m2n : E m 1; (3.2.4) vỵi = 2n ! [0; 1) l n¸u q > 2q 1; v=2 n¸u < q ; q X i=1 (uv)1+ q=p n n ;1 j ta x²t X m m i u+1 2m l+1 2n g2m2n ( ((xij)2m 2n )) = u=2 (3.3.17) ! m _ n ! 1: v=1 x ij : o ÷đc, èi xùng thäa m¢n i·u ki»n : °t V11 = S2m2n ; v 2m Xi V1j = 2n V n i;2 +j =1 2 ij kl m2n ij D = X m n X2m+i 1;j; Vij = X2m+i 1;2n+j 1; i ; j ; i1 j=1 2 U klm n = (U ) m D2 ;V = ij n ; â ð v trẵ khĂc l; náu i k; j U = V l+1 ;0 ij l m k ;1 n ; = (Dij)2m 2n ; â X v trẵ khĂc náu i k + 1; j ij kl m n n kl 1; m kl S(2 ; ; k; l) = S2m2n = g2m2n m k ;1 k n 1; 2m; l n; 1; l 2n (U2m2n ) kl T (2 ; ; k; l) = T2m2n = g2m2n l k (D2m2n ) ; m 1: Khi â ta câ ¡nh gi¡ sau: 2m+1 2n+1 m n S(2 ; ; 1; 1) = g m n 2 11 (U2m2n ) = X X u=2 m 22+2q=p q v kS2m2n k =2 n 2(m+n)=p q : (uv)1+q=p kS2m2n k (3.3.18) 91 Tứ cĂch t trản, ta thu ữủc fVmn; m 1; n 1g cơng ëc lªp Do â ¡p dưng dÔng tờng quĂt cừa bĐt ng thực Ottaviani ( nh lỵ 3.2.4), vợi mồi " > ta cõ P S(2m; 2n; 1; 1) > P k 2m " @ max l 2n m n 2P (S(2 ; ; k 2m @ A S(2 ; ; k; l) > " m n m n ; ) > ") : (3.3.19) (2 n 1P( max m T ; k; l ) ; ) >" A l 2n M°t kh¡c, tø i·u ki»n (3.3.1), ta suy 2m+1 2n+1 m n m n uX X S(2 ; ; ; ) = m q n =2 kSuvk ! h.c.c m _ n ! 1: (uv)1+q=p v=2 Vẳ vêy, ta cõ m n m n (3.3.20) P (S(2 ; ; ; ) > ") ! m _ n ! 1: Hìn núa 2m+1 2n+1 m n m n m Xk n T (2 ; ; 0; 0) = S(2 ; ; ; ) Vỵi k 2m m n 1; 2n l T (2 ; ; k; l) = n 2m+1 2n+1 u=2 m v =2 X X m+1 X 1; ta câ uv 1+q=p q Vij i=k+1 j=l+1 X X n+1 m 12 u+1 m v+1 = uv u=2m+k v=2n+l ( ) X2 m 1+q=p i=k+1 j=l+1 X X X X Do â, ta suy d T (2 m; 2n ; k; l) = uv 2m+1 2n+1 u=2 m+k v=2n+l n+1 1+q=p i=k+1 j=l+1 X X l b£ n ëc lªp cõa X) g 21 m+1 u+1 2m v+1 2m X X 1; n (v¼ Xmn; m f ( ) u+1 2m v+ q m X u=2 m X X 2m+1 2n+1 v=2 n i=1 (uv)1+q=p X X j=1 kSklkq : X u+1 2m v+1 2n () (2n2m)1+q=p =1 l=1 ij X S q: (2n2m )1+q=p k tsk t=1 s=1 q +i 1;2n+j X q i k;j l : 92 Vỵi k m 1; ta câ 2m+1 2n+1 m n T (2 ; ; k; 0) = u=2 m +k v=2 (uv) n d = m X 2n+1 +k 1+q=p q X 2m+i 1;j 2n+1 1; n (uv) n X j=1 i k;j XX b£n ëc lªp cõa X) u+1 2m v=2 m g q v i=k+1 l ;m 2m u+1 X mn u=2 j=1 XX (uv) n 1+q=p v=2 (v¼ f X 2m+1 v i=k+1 X X m+1 u=2 u+1 2m 1+q=p v q V i=1 ij j=1 X X XX 2m+1 2n+1 XX kS kq : t=1 (2n2m )1+q=p ts s=1 Tữỡng tỹ, vợi m l n 1; ta câ 2m+1 2n+1 n T (2 ; ; 0; l) = d uv u v+1 2n 1+q=p u=2 m v=2 n+l ( ) q Vi;j l 2m+1 2n+1 i=1 j=l+1 X X XX X s=1 Do â k max 2m P( m; T (2 n 2m+1 2n+1 ; k; l ) P ) @ X X t n >" n =1 s=1 a(m; n; k; l) = : a(m; sup 1+q=p 2m2n ) n¸u k lim m+1 tsk >"A (3.3.21) : n+1 v : l ( )=0 mn _ !1 a m; n; k; l ; vỵi måi k ;l M°t kh¡c, vỵi m 1; n 1; ta câ 2m+1 2n+1 k=1 l=1 XX (2n2m)1+q=p k ð tr½ kh¡c n; k; l j < v j S kl < m 1;n k 1;l q m1+q=p k (2 ) °t Khi â, S q: (2n2m )1+q=p k tsk t=1 0 l X S kl k q= 1 a(m; n; k; l) k=1 l=1 XX Khi â theo Bê · 3.3.5, i·u ki»n (3.3.1) k²o theo kl kSklk (kl)1=p q : : 2m+1 2n+1 lim m_n!1 Xk X =1 l=1 S (2n2m)1+q=p k q k kl = h.c.c (3.3.22) 93 K¸t hđp hai i·u ki»n (3.3.21) v (3.3.22), ta câ max m n (3.3.23) P (T (2 ; ; k; l) > ") ! m _ n ! 1: l m k 2n Tø c¡c i·u ki»n (3.3.19), (3.3.20) v (3.3.23), ta câ m n P S(2 ; ; 1; 1) > " ! m _ n ! 1: V¼ " > tũy ỵ, iãu n y nghắa l m S(2 ; 2n P ; 1; 1) ! m _ n ! 1: Tø c¡c i·u ki»n (3.3.18) v (3.3.24) ta thu (3.3.24) ữủc (3.3.17) Tiáp theo, ta ch¿ r¬ng i·u ki»n (3.3.1) k²o theo p + E kXk log kXk < 1: (3.3.25) Theo (3.3.1) ta thu ÷đc XX 1 s q (3.3.26) amnkSmn k < h.c.c ; m=1 n=1 âa mn = (mn)1+q=p ;m 1; n 1: °t 1 XX bmn = k Sû dưng Bê · 3.3.4, vỵi måi t akl; m 1; n =m l=n ta câ mnk mnk P m 1; n sup K¸t hđp c¡c P mn k X s q > t XX a i·u ki»n (3.3.26) v (3.3.27), ta câ sup b s q kX k < h.c.c mn mn Hìn núa, ta câ bmn p q ! k mn m=1 n=1 b 1: (mn) q=p : S s q >t (3.3.27) 94 Do â k ( mn)1=p m 1; n sup q m 1; n s Xmn k = !1 m 1; n (mn) Mt khĂc, ta lÔi cõ lim sup k mnk X s = 0: q=p ( ) m 1; n 1=p sup > mn h.c.c : < s q kXmn k > sup lim P q=p s q kXmn k sup i·u n y suy (mn) k k mn X s > (mn) 1=p : Tø i·u n y, ta suy s P lim sup kXmn k > (mn) 1=p = 0: c¡c ph¦n tû ngău nhiản ởc lêp, phƠn phối Do fX; Xmn; m 1; n 1g l n¶n theo bê · Borel-Cantelli, tỗn tÔi > thọa mÂn 1 XX s p (3.3.28) P(kX k > mn) < 1: m=1 n=1 Khi â, ¡p döng (1.1.12), ta câ ¡nh gi¡ sau 1 XX Xk s p s p dkP(kX k > k) P(kX k > mn) = m=1 n=1 Xk =1 = =1 1 X s p P( l < kX k dk = (l + 1)) l=k l XX (3.3.29) s p dkP( l < kX k (l + 1)) l=1 k=1 C 1X + s p l log (l)P( l < kX k (l + 1)) l=1 s p + s C E kX k log (kX k) : s p + s K¸t hđp c¡c i·u ki»n (3.3.28) v (3.3.29) ta thu ÷ñc E kX k log (kX k) < 1: Theo Bê · 3.1.3 ta chùng minh ÷đc (3.3.25) Ci còng, k¸t hđp c¡c i·u ki»n (3.3.17), (3.3.29) v Bê · 3.3.6 ta chựng minh ữủc (3.3.2) 95 Kát luên cừa Chữỡng Trong chữỡng n y, luên Ăn  giÊi quyát ữủc nhỳng vĐn ã sau: - Chựng minh ữủc dÔng tờng quĂt cừa cĂc bĐt ng thực Etemadi, Lvy, Ottaviani v BĐt ng thực Hoffmann-J rgensen ối vợi mÊng hai ch số cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ởc lêp - ữa khĂi niằm luêt mÔnh số lợn dÔng (p; q) cho mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản v chựng minh ữủc luêt mÔnh số lợn dÔng (p; q) ko theo luêt mÔnh số lợn 96 KT LUN V KIN NGH Kát luên chung Luên Ăn -  thu ữủc cĂc kát quÊ chẵnh sau Ơy: ữa ữủc iãu kiằn luêt yáu số lợn v luêt mÔnh số lợn tữỡng ữỡng vợi ối vợi mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ởc lêp khổng phƠn phối v ởc lêp phƠn phối - ữa ữủc c trững cừa khổng gian Rademacher dÔng p liản quan án sỹ hởi tử Ưy theo trung bẳnh cĐp p: Trong khổng gian Banach khÊ li tũy ỵ, luên Ăn chựng minh ữủc hởi tử Ưy theo trung bẳnh cĐp p cừa tờng Smn=(mn) (p+1)=p ko theo luêt mÔnh số lợn Smn=mn ! h.c.c m _ n ! - ÷a ÷đc i·u ki»n c¦n v õ cho sü hëi tư ¦y cừa tờng cõ trồng số cĂc phƯn tỷ ngău nhiản ởc lêp ổi mởt, phƠn phối - Thiát lêp ữủc cĂc dÔng tờng quĂt cừa cĂc bĐt ng thùc Etemadi, L²vy, Ottaviani v b§t ¯ng thùc Hoffmann-J rgensen - ữa khĂi niằm luêt mÔnh số lợn dÔng (p; q) cho mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản v chựng minh ữủc luêt mÔnh số lợn dÔng (p; q) ko theo luêt mÔnh số lợn Kián ngh vã nhỳng hữợng nghiản cựu tiáp theo Trong thới gian tợi, chúng tổi dỹ nh nghiản cựu cĂc vĐn ã sau Ơy: - Chuyn cĂc kát quÊ cho trữớng hủp mởt ch¿ sè cõa Li, Qi and Rosalsky t i li»u [27] sang tr÷íng hđp hai ch¿ sè - ÷a i·u ki»n º hëi tư ¦y õ v hëi tử theo trung bẳnh cĐp p ko theo hởi tử Ưy theo trung bẳnh cĐp p: - Nghiản cựu sỹ hởi tử Ưy theo trung bẳnh cĐp p cừa tờng cõ trồng số mÊng cĂc phƯn tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Banach 97 DANH MƯC CỈNG TRœNH LI–N QUAN TRÜC TI˜P ˜N LUŠN •N A Rosalsky, L V Thanh and N T Thuy (2014), On the laws of large num-bers for double arrays of independent random elements in Banach spaces Acta Mathematica Sinica, English Series 30, 1353-1364 L V Thanh and N T Thuy (2016), On complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Acta Math Hungar., 150, 456-471 L V Thanh and N T Thuy (2018), Necessary and sufficient conditions for complete convergence for double weighted sums of pairwise independent identically distributed random elements in Banach spaces, to appear in Acta Math Hungar V T N Anh, L V Thanh and N T Thuy (2016), On generalizations of maximal inequalities for double arrays of independent random elements in Banach spaces, Vietnam Institute for Advanced study in Mathematics (VIASM) preprint V T N Anh and N T Thuy (2017), On the conditions for the complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Vinh University Journal of Science: Natural sciences., 46 no 2A, 31-42 98 T€I LI›U THAM KHƒO [1] A de Acosta (1981), Inequalities for B-valued random vectors with applica-tions to the strong law of large numbers, Ann Probab 9, 157-161 [2] V T N Anh, L V Thanh and N T Thuy (2016), On generalizations of maximal inequalities for double arrays of independent random elements in Banach spaces, Vietnam Institute for Advanced Study in Mathematics (VIASM) preprint [3] P Bai, P Y Chen and S H Sung (2014), On complete convergence and the strong law of large numbers for pairwise independent random variables, Acta Math Hungar 142, no 2, 502 518 [4] J Bernoulli (1713), On the law of large numbers, part four of Ars conjectandi (Enghlish translation), translated by Oscar Sheynin, Berlin: NG Verlag [5] E Borel (1909), Sur les probabiliti²s et leurs applications arithm²tiques, Rend Circ Mat Palermo 26, 247-271 r [6] P Y Chen and D C Wang (2012), L convergence for B-valued random elements Acta Math Sin (Engl Ser.) 28, no 4, 857 868 [7] Y S Chow (1988), On the rate of moment convergence of sample sums and extremes, Bull Inst Math Acad Sinica, 16, 177-201 [8] S Csorgo, K Tandori, and V Totik (1983), On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables, Acta Math Hungar 42, no 3-4, 319-330 [9] L V Dung and N D Tien (2010), Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces, Statist Probab Lett 80, 756-763 [10] N Etemadi (1981), An elementary proof of the strong law of large numbers, Z Wahrsch Verw Gebiete 55, 119-122 [11] N Etemadi (1985), Tail probabilities for sums of independent Banach space valued random variables, Sankhy Ser A 47, no 2, 209-214 99 [12] N Etemadi (1985), On some classical results in probability theory Sankhy Ser A 47 , no 2, 215-221 [13] N Etemadi (1991), Maximal inequalities for partial sums of independent ran-dom vectors with multi-dimensional time parameters Comm Statist Theory Methods 20, 3909-3923 [14] N V Giang (1995), Marcinkiewicz-Zygmund laws for Banach space valued random variables with multidimensional parameters, Teor Veroyatnost i Primenen, 40, 213-219 [in Russian] (English translation in Theory Probab Appl 40, 175 181) [15] N V Giang and N D Tien (1991), The strong law of large numbers for multiparametric independent random variables, (Russian); translated from Litovsk Mat Sb 31, 103-114 [16] A Gut (1978), Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices, Ann Probab, 6, 469-482 [17] A Gut (2005), Probability: A graduate course Springer-Verlag, New York [18] G H Hardy and E M Wright (1960), An introduction to the theory of th numbers.,4 Ed Oxford: Clarendon [19] J Hoffmann-J rgensen (1974), Sums of independent Banach space valued random variables Studia Math 52, 159-186 [20] J Hoffmann-J rgensen and G Pisier (1976), The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces Ann Probab 4, 587-599 [21] O Klesov (1985), Strong law of large numbers for multiple sums of indepen-dent identically distributed random variables, Theory Probab Math Statist 50, 1006-1014 [22] O Klesov (2014), Limit theorems for multi-indexed sums of random variables Springer-Verlag, New York [23] A N Kolmogorov (1933), Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung English translation: Foundations of the Theory of Probability (1956) Chelsea, New York [24] M Ledoux and M Talagrand (1991), Probability in Banach spaces Isoperimetry and processes., Springer-Verlag, Berlin 100 [25] D Li and A Rosalsky (2013), New versions of some classical stochastic inequalities, Stoch Anal Appl 31, no 1, 62-79 [26] D Li, Y Qi and A Rosalsky (2015), An extension of theorems of Hechner and Heinkel Asymptotic Laws and Methods in Stochastics: A Volume in Honour of Miklâs Csorgo Fields Institute Communications Series, Springer-Verlag, New York [27] D Li, Y Qi and A Rosalsky (2016), A characterization of a new type of strong law of large numbers Trans American Math Soc 368, no 1, 539-561 [28] M Ledoux and M Talagrand (1991), Probability in Banach spaces Isoperimetry and processes., Springer-Verlag, Berlin [29] M Lo±ve (1977), Probability Theory I, th Ed.; Springer-Verlag, New York [30] J Marcinkiewicz and A Zygmund (1937), Sur les fonctions ind²pendantes, Fund Math 29, 60-90 [31] J Marcinkiewicz and A Zygmund (1938), Quelque the²or²mes sur les func-tions ind²pendantes, Studia Math VII 104-120 [32] T Mikosch and R Norvaisa (1987), Strong laws of large numbers for fields of Banach space valued random variables, Probab Theory Related Fields 74, 241-253 [33] F Mâricz (1977), Moment inequalities for the maximum of partial sums of random fields Acta Sci Math (Szeged), 39, no 3-4, 353 366 [34] F Mâricz (1980), Strong laws of large numbers for quasistationary random fields Z Wahrsch Verw Gebiete, 51, no 3, 249 268 [35] F Mâricz (1981), The Kronecker lemmas for multiple series and some appli-cations, Acta Math Acad Sci Hungar., 37, 39-50 [36] R Parker and A Rosalsky (2017), On complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Lobachevskii Journal of Mathematics., 38, 177-191 [37] G Pisier (1986), Probabilistic methods in the geometry of Bannach spaces, Springer-Verlag, Berlin [38] N V Quang and N V Huan (2008), Weak law of large numbers for adapted double arrays of random variables, J Probab Stat Sci , (2), 125-134 101 [39] N V Quang and N N Huy (2008), On the weak law of large numbers for double arrays of Banach space valued random elements, J Korean Math Soc , 45 (3), 795-805 [40] N V Quang and N V Huan (2009), On the strong law of large numbers and Lp-convergence for double arrays of random elements in p-uniformly smooth Banach spaces, Statist Probab Lett., 79 (18), 1891-1899 [41] N V Quang and N V Huan (2009), A characterization of p-uniformly smooth Banach spaces and weak laws of large numbers for ddimensional adapted arrays, Sankhya: The Indian Journal of Statistics, 72-A (2), 344-358 [42] A Rosalsky, L.V Thanh and N T Thuy (2014), On the laws of large num-bers for double arrays of independent random elements in Banach spaces Acta Mathematica Sinica 30, 1353-1364 [43] A Rosalsky and L V Thanh (2006), Strong and weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces, Stochastic Analysis Applications, 24, 1097-1117 [44] A Rosalsky, L V Thanh and A Volodin (2006), On complete convergence in mean of normed Sums of independent random elements in Banach spaces, Stoch Anal Appl., 24, 23-35 [45] A Rosalsky and L V Thanh (2007), On almost sure and mean convergence of normed double sums of Banach space valued random elements, Stochastic Analysis Applications, 25, 895-911 [46] A Rosalsky and L V Thanh (2009), Weak laws of large numbers of double sums of independent random elements in Rademacher type p and stable type p Banach spaces Nonlinear Anal 71, e1065-e1074 [47] R.T Smythe (1973), Strong laws of large numbers for r-dimensional arrays of random variables Ann Probab 1, no 1, 164-170 [48] T C Son, D H Thang and L V Dung (2014), Complete convergence in mean for double arrays of random variables with values in Banach spaces Appl Math 59, no 2, 177-190 [49] U Stadtmuller and L V Thanh (2011), On the strong limit theorems for double arrays of blockwise M-dependent random variables Acta Math Sin (Engl Ser.) 27, 1923-1934 102 [50] L V Thanh (2005), Strong law of large numbers and Lp convergence for double arrays of independent random variables Acta Math Vietnam 30, 225-232 [51] L V Thanh and N T Thuy (2016), On complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Acta Math Hungar., 150, 456-471 [52] L V Thanh and N T Thuy (2018), Necessary and sufficient conditions for complete convergence for double weighted sums of pairwise independent identically distributed random elements in Banach spaces, to appear in Acta Math Hungar [53] L X Wang, L Zheng, C Xu and S Hu (2015), Complete consistency for the estimator of nonparametric regression models based on extended negatively dependent errors Statistics 49, no 2, 396-407 [54] L X Zhang and J W Wen (2001), A strong law of large numbers for Bvalued random fields Chinese Ann Math Ser A 22, no 2, 205-216 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên... ch số cõ nhiãu ỵ nghắa 3 1.3 Bản cÔnh cĂc dÔng hởi tử hƯu ch-c ch-n, hởi tử Ưy ừ, hởi tử theo xĂc suĐt, hởi tử theo trung bẳnh, lỵ thuyát xĂc suĐt ta cỏn xt án hởi tử Ưy theo trung bẳnh Hởi tử. .. khæng gian Banach 22 Chữỡng Sỹ hởi tử Ưy theo trung bẳnh v sü hëi tư ¦y õ cõa m£ng c¡c ph¦n tỷ ngău nhiản nhên giĂ tr khổng gian Banach 41 2.1 Sỹ hởi tử Ưy theo trung