Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ———————————- PHẠM VĂN HIỂN MỘT SỐ BÀI TỐN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Bích Huy TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Cơng trình hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, Trường Đại học Sư phạm TP.HCM Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn, Trường Đại học KHTN - ĐHQG TP.HCM Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Hữu Khánh, Trường Đại học Cần Thơ Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Có thể tìm hiểu luận án thư viện: • Thư viện Quốc gia Việt Nam • Thư viện Đại học Sư phạm TP.HCM • Thư viện Khoa học tổng hợp TP.HCM MỞ ĐẦU Trong luận án xét lớp tốn Cauchy chứa kì dị Đó tốn Cauchy u (t) = f (t, u(t)), t ∈ [0, T ), u(0) = u0 , (1) họ (cũng gọi thang) không gian Banach (Xs , s ), s ∈ [a, b] thỏa mãn Xs ⊂ Xs , x s ≤ x s , ∀x ∈ Xs , s < s Tính kì dị thể chỗ ánh xạ f không tác động từ khơng gian vào mà vào không gian rộng f (t, Xs ) ⊂ Xs , s < s , thỏa mãn điều kiện Lipschitz dạng C u−v s −s , u, v ∈ Xs , s < s (2) C αs (B), B ⊂ Xs bị chặn, s < s , s −s (3) f (t, u) − f (t, v) s ≤ s điều kiện cô đặc dạng αs f (t, B) ≤ αs độ đo phi compact Kuratowski Xs Các nhà toán học L.Ovcyannikov T.Yamanaka người sử dụng thang không gian Banach nghiên cứu mở rộng định lý Cauchy—Kowalevskaya cho hệ phương trình đạo hàm riêng: ∂u = ∂t n i=1 ∂u + a0 u ≡ Lu(t, x), u(0, x) = u0 (x) ∂xi (4) Họ xây dựng thang không gian Banach sau Với số dương s, đặt Xs không gian hàm giải tích cầu mở Bs = {x ∈ Rn : x < s} liên tục Bs với chuẩn: u s = k∈N sk sup |Dα u(x)| < ∞, k! x∈Bs |α|=k α = (α1 , , αn ) ∈ Nn đa số |α| = α1 + + αn Ta chứng minh Lu s ≤ C u s −s s , 0 0, γ > độc lập với v1 , v2 , s , s Khi với s < b tốn có nghiệm không gian C([0, 1), Xs ) 11 Chương SỬ DỤNG ÁNH XẠ CO TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 2.1 Bài toán với điều kiện Lipschitz địa phương Cho số λ > (b − a)/T chọn phù hợp, đặt ∆λ = {(t, s) : ≤ λt < b − s, s ∈ [a, b)} E không gian hàm u ∈ ∩(t,s)∈∆λ C([0, t], Xs ) thỏa mãn: u E := sup (b − s)(1−β) (b − s − λt)β u(t) s < ∞ (t,s)∈∆λ Bổ đề 2.1.1 Không gian (E, E) không gian Banach Định lý 2.1.2 Giả sử u0 ∈ Xb tồn số dương M, r, C cho với s, s ∈ [a, b], s < s t ∈ [0, T ] thì: (i) Ánh xạ f : [0, T ] × Bs (u0 , r) → Xs liên tục f (t, u0 ) M/(b − s) s ≤ (ii) Với u, v ∈ Bs (u0 , r), có: f (t, u) − f (t, v) s ≤ C u−v s −s s (2.1) Khi với β ∈ (0, 1) có giá trị λ đủ lớn R cho tốn (1) có nghiệm u mà u E ≤ R 12 2.2 Bài tốn có chậm du = f (t, A(t, u(t)), B(u(h(t)))), t ∈ (0, T0 ), u(0) = u0 dt 2.2.1 (2.2) Sự tồn nghiệm toán tổng quát Định lý 2.2.1 Giả sử u0 ∈ Xb Tồn số C, R cho i) f ([0, T0 ) × Bs (u0 , R) × Bs (u0 , R)) ⊂ Xs , f (t, u1 , v1 ) − f (t, u2 , v2 ) s ≤ C( u1 − u2 s + v1 − v2 s ) với u1 , u2 , v1 , v2 ∈ Bs (u0 , R) s ∈ [a, b] ii) Với s < r, f liên tục từ [0, T0 ) × Br (u0 , R) × Br (u0 , R) vào Xs Với s < r, A(t, ) ∈ L(Xr , Xs ), t ∈ [0, T0 ) hàm số t → A(t, ) liên tục theo chuẩn tốn tử tuyến tính; nữa, có hàm số α(t) ∈ L1 (0, T0 ) cho A(t, ) L(Xr ,Xs ) ≤ α(t), ∀ t ∈ (0, T0 ), r, s ∈ [a, b], s < r Tồn số C1 , q cho B ∈ L(Xr , Xs ), B L(Xr ,Xs ) ≤ C1 , ∀ r, s ∈ [a, b], s < r (r − s)q Hàm số h : [0, T0 ) → [0, T0 ) liên tục, h(t) < t với t ∈ (0, T0 ), tồn hàm số S : ∆ = {(t, T ) : ≤ t ≤ T < T0 } → [a, b] thỏa mãn: S liên tục ∆, giảm theo biến t, T lim T →0 dt = [S(h(t), T ) − S(t, T )]q Khi tồn T < T0 để tốn (2.2) có nghiệm u ∈ C([0, T ], Xa ) thỏa mãn u(t) ∈ XS(t,T ) , u(t) S(t,T ) 13 ≤ R, ∀ t ∈ [0, T ] 2.2.2 Bài toán áp dụng Chúng ta xét toán: (l ) (l ) ∂1 u(t, x) = g[t, x, ∂2 u(t, σ(t)x), ∂2 u(h(t), x)], t ∈ (0, T0 ), x ∈ Ω = (−R0 , R0 ); u(0, x) = 0, x ∈ Ω (2.3) Chúng ta đặt Xs = Gs (Ω), Ω = (−R0 , R0 ), không gian hàm thuộc lớp Gevrey kết hợp với chuẩn: u s = sup |u(k) (x)| k s : x ∈ Ω, k ∈ Z+ Λ(k) Trong Λ(k) = 2−8 (k!)λ k −2−λ , k ≥ Λ(0) = 2−6 Khi (Xs , s ), s ∈ [a, b] thang không gian Banach Cho V ⊂ Rm tập mở Chúng ta ký hiệu g ∈ C[0, T0 ) ⊗ Gs (V ) g : [0, T0 ) × V → R có đạo hàm riêng ∂ k g liên tục theo y ∈ V với k ∈ (Z+ )m , ∃C > : |∂ k g(t, y)| ≤ CΛ(k) , ∀ (t, y) ∈ [0, T0 ) × V, k ∈ (Z+ )m s|k| Định lý 2.2.2 Giả sử: Hàm số g thuộc lớp C[0, T0 ) ⊗ GS (U ) Các hàm số σ, h liên tục [0, T0 ) thỏa mãn: T0 < σ(t) < 1, < h(t) < t, ∀ t ∈ (0, T0 ), dt < ∞ [1 − σ(t)]λl1 Tồn hàm số S : ∆ = {(t, T ) : ≤ t ≤ T < T0 } → [a, S/4], (a > 0) cho S liên tục theo (t, T ), giảm theo biến thứ T lim T →0 dt = [S(h(t), T ) − S(t, T )]λl2 14 Chọn R ≤ min{25 R1 , S} Khi đó, tồn số < T < T0 cho tốn (2.3) có nghiệm u lớp hàm Gevrey bậc λ u(t) ∈ XS(t,T ) , u(t) S(t,T ) ≤ R, ∀ t ∈ [0, T ] Ví dụ 2.2.3 Cho α > thỏa mãn tính chất αλl2 < S(t, T ) = S − S −a t T0 α , ≤ t ≤ T < T0 Giả sử: Hàm số h liên tục [0, T0 ) thỏa hai điều kiện: a) < h(t) ≤ mt, t ∈ (0, T0 ) m ∈ (0, 1), b) T0 = < h(t) < t1/p , t ∈ (0, 1) p ∈ (0, 1) Hàm số σ liên tục [0, T0 ) < σ(t) ≤ − t T0 β , t ∈ [0, T0 ), β ∈ 0, λl1 Khi đó, giả thiết định lý 2.2.2 2.3 Bài tốn miền vơ hạn Định lý 2.3.1 Cho giả thiết: f : [0, +∞) × Xs → Xs ánh xạ liên tục với s < s u0 ∈ Xs với s > a Tồn C>0 cho với t > 0, s > s u, v ∈ Xs f (t, u) − f (t, v) s ≤ C u−v s −s s Khi với S > a, tốn (1) có nghiệm u ∈ C([0, ∞), XS ) 15 Chương SỬ DỤNG TÍNH COMPACT TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TỐN 3.1 Khơng gian Fréchet độ đo phi compact Cho thang không gian Banach {Xs }s , s ∈ [a, b], số dương λ > (b − a)T −1 , đặt Tλ = (b − a)λ−1 < T , định nghĩa: • ∆λ = (t, s) : s ∈ [a, b), t ∈ 0, b−s λ ; • Et,s , (t, s) ∈ ∆λ , không gian Banach hàm liên tục [0, t] nhận giá trị Xs chuẩn u t,s = supτ ∈[0,t] u(τ ) s ; • E = u ∈ C([0, Tλ ), Xa ) : u|[0,t] ∈ Et,s , ∀(t, s) ∈ ∆λ Cho dãy {(tn , sn )}n trù mật ∆λ Với n ∈ N u ∈ Etn ,sn , đặt pn (u) = sup u(τ ) sn Khi (E, {pn }n ) khơng τ ∈[0,tn ] gian Fréchet • Cho số β > xác định cần thiết, gọi M tập tập Ω ⊂ E có tính chất: (M1) Tồn số R > cho sup(t,s)∈∆λ (b−s−λt)β u(t) với u ∈ Ω; (M2) Ω|[0,t] đồng liên tục Et,s , ∀(t, s) ∈ ∆λ 16 s 0, κ ∈ (0, 1), λ thỏa mãn bất đẳng thức λ > max M 21+β C ; β − κ)β κβ (1 tốn (1) có nghiệm khơng gian E Nhận xét 3.2.2 Chúng ta có số nhận xét so sánh kết Định lý 3.2.1 luận án với [2] rộng với giá trị s cho Để khoảng tồn nghiệm t ∈ 0, b−s λ trước cần λ nhỏ Điều kiện cho λ định lý λ > max M 21+β C ; β κβ (1 − κ)β , tham số β > 0, κ ∈ (0, 1) chọn tùy ý Do để chọn λ tốt tùy thuộc C M mà cần làm cho κβ (1 − κ)β hay β/(2β ) lớn tốt Chẳng hạn với β = 1/ ln(2), κ = β/(1 + β) điều kiện là: λ > max 2Ce ln(2), M (1 + ln(2))1+1/ ln(2) Với a = 0, b = 1, báo [2], tác giả sử dụng giả thiết (đặc biệt u0 = θ ∈ Xs với s) Kết [2] tồn nghiệm u xác định [0, 1/(2λ)) u(t) ∈ X1−λt λ = max{4C, 4M } Với giá trị β, κ chọn cụ thể nhận xét trên, kết tốt [2] 3.3 Giải tốn có chậm Xét tốn u (t) = f (t, u(t), u(h(t))), t ∈ (0, T ), u(0) = u0 ∈ Xb , 18 (3.2) p ∈ (0, 1), h : [0, T ] → [0, T ] liên tục thỏa mãn ≤ h(t) ≤ t1/p , ∀t ∈ [0, T ] Hơn nữa, chúng tơi xét tốn theo hai trường hợp: ánh xạ f cô đặc cầu tồn khơng gian Sự khác biệt hai trường hợp hệ số kì dị điều kiện đặc khác (hệ số γ ) Chúng sử dụng giả thiết sau cho trường hợp địa phương: (A1) Hàm số h : [0, T ) → [0, ∞) liên tục thỏa mãn h(t) < t1/p , t ∈ (0, T ) với p ∈ (0, 1); (A2) Tồn số L, r cho với s < s f liên tục từ [0, T ) × B s (u0 , r) × B s (u0 , r) vào Xs thỏa mãn f (t, u,v) s ≤L u s + + v ps s −s , ∀(t, u, v) ∈ [0, T ) × B s (u0 , r) × B s (u0 , r); αs f (t,Ω1 , Ω2 ) ≤ L αs (Ω1 ) + αsp (Ω2 ) s −s , ∀t ∈ [0, T ) tập Ω1 ⊂ B s (u0 , r), Ω2 ⊂ B s (u0 , r) Trường hợp toàn cục, bên cạnh điều kiện (A1) giữ lại điều kiện (A2) thay điều kiện sau: (A2’) Tồn số L, γ cho với s < s f liên tục từ [0, T ) × Xs × Xs vào Xs thỏa mãn + v ps , ∀(u, v) ∈ Xs × Xs ; (s − s)γ αp (Ω2 ) αs f (t,Ω1 , Ω2 ) ≤ L αs (Ω1 ) + s , ∀t ∈ [0, T ) (s − s)γ f (t, u,v) s ≤L u s + tập bị chặn Ω1 ⊂ Xs , Ω2 ⊂ Xs Định lý 3.3.1 Giả sử giả thiết (A1)-(A2) (A1)-(A2’) Khi tồn số λ > cho tốn (3.2) có nghiệm u thỏa mãn u(t) ∈ Xs với t ∈ [0, (b − s)/λ), s ∈ [a, b) 19 3.4 Cấu trúc tập nghiệm lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach Chúng ta tìm hiểu cấu trúc Rδ tập nghiệm toán Cauchy: u (t) = f (t, u(t)) + g(t, u(t)), t ∈ [0, T ), u(0) (3.3) = u0 , f (t, ) g(t, ) tác động liên tục thang không gian Banach {Xs } Chúng ta sử dụng ∆λ định nghĩa mục 3.1, thay đổi không gian E theo định nghĩa sau: E := u ∈ ∩(t,s)∈∆λ Et,s : u E sup (b − s − λt)2 u(t) = s cho với t ∈ [0, T ], s < s , u, v ∈ Xs thì: f (t, u) − f (t, v) s ≤ C u−v s −s s (g) g : [0, T ] × Xs → Xs compact với s < s Đặt t F u(t) = u0 + t f (τ, u(τ ))dτ, Su(t) = g(τ, u(τ ))dτ (3.4) Và chứng minh có giả thiết (f1) (f2) ánh xạ F ánh xạ co có điểm bất động E Định lý 3.4.1 Giả sử u0 ∈ Xb giả thiết (f 1), (f 2), (g) Gọi y điểm bất động ánh xạ co F , giả sử tồn MR (y) với R và: MR (y) = R→∞ R lim (3.5) Khi đó, λ > 4C tập nghiệm (3.3) E Rδ 20 KẾT LUẬN I Luận án đạt kết sau: Chứng minh tồn nghiệm tồn cục cho hai lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach với kì dị yếu tốn cấp bậc khơng ngun Xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ nghiệm lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach có thứ tự Xét tốn có chậm thang không gian Banach: u (t) = f (t, u(t), u(h(t))), u(0) = u0 , với h(t) < t1/p , t ∈ (0, 1) p ∈ (0, 1) Các kết thu bao gồm 3.1 Khi f thỏa mãn iu kin Lipschitz theo bin th hai v Hăolder theo biến thứ ba f (t, u1 , v1 )−f (t, u2 , v2 ) s ≤ C s −s u1 −u2 s + v1 −v2 p s u1 , u2 , v1 , v2 ∈ Xs , s < s tốn có nghiệm địa phương 3.2 Khi f không phụ thuộc biến thứ hai thỏa mãn: f (t, v1 ) − f (t, v2 ) s ≤ C v1 − v2 (s − s)γ p s , s 1) 21 , 3.3 Trường hợp f thỏa mãn điều kiện tính compact: + v ps , s (s − s)γ αp (Ω2 ) αs f (t, Ω1 , Ω2 ) ≤ L αs (Ω1 ) + s (s − s)γ f (t, u, v) ≤L u s+ ,s < s αs độ đo phi compact Kuratowski Xs γ = f xác định [0, T ] × B s (u0 , r) × B s (u0 , r), γ > tùy ý f xác định [0, T ] × Xs × Xs Bằng cách xây dựng không gian Fréchet độ đo phi compact nhận giá trị nón, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm toán Chứng minh tồn nghiệm tốn Cauchy có chậm thang khơng gian Banach có dạng u (t) = f (t, A(t)u(t), B(u(h(t)))) Việc áp dụng kết tổng quát cho phương trình: (l ) (l ) ∂t u(t, x) = g[t, x, ∂2 u(t, σ(t)x), ∂2 u(h(t), x)], mở rộng điều kiện đặt lên σ(t), h(t) Chứng minh tính Rδ tập nghiệm lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach có dạng u (t) = f (t, u(t)) + g(t, u(t)), f ánh xạ Lipschitz g ánh xạ compact thang không gian II Các nghiên cứu luận án tiếp tục theo hướng: Nghiên cứu sâu toán Cauchy thang khơng gian Banach có thứ tự 22 Nghiên cứu tốn Cauchy thang khơng gian Hilber (Xs , , s ) với ánh xạ thỏa mãn điều kiện Lipschitz phía dạng f (t, u) − f (t, v), u − v s ≤ C u−v s −s s , u, v ∈ Xs , s < s Tìm tốn, mơ hình đưa tốn Cauchy thang khơng gian Banach DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Phạm Văn Hiển, Cấu trúc Topo tập nghiệm tốn Cauchy có nhiễu thang khơng gian Banach, Hội thảo khoa học trường Đại học Sư phạm TP.HCM, ISBN: 978-604-958-502-9, tháng 10 năm 20181 Nguyễn Bích Huy, Phạm Văn Hiển, THE CAUCHY PROBLEM IN SCALE OF BANACH SPACES WITH DEVIATING VARIABLES, Fixed Point Theory (đã có thư xác nhận đăng bài)2 Nguyễn Bích Huy, Phạm Văn Hiển, VECTOR-VALUED MEASURES OF NONCOMPACTNESS AND THE CAUCHY PROBLEM WITH DELAY IN A SCALE OF BANACH SPACES, J Fixed Point Theory Appl 22, 36 (2020)3 Nội dung báo trình bày mục 3.4 Nội dung báo trình bày mục 1.4 2.2 Nội dung báo trình bày mục 3.1 3.3 23 Tài liệu tham khảo [1] R R Akhmerov, M I Kamenskii, A S Potapov, B N Sadovskii, Measure of Noncompactness and Condensing operators, Birkhăauser, Basel, 1992 [2] M Ghisi, The Cauchy-Kowalevsky theorem and noncompactness measure, J Math Sci Univ Tokyo, (1994), 627-647 [3] J Holmes, R C Thompson, Well-posedness and continuity properties of the Fornberg-Whitham equations in Besov spaces, J Diff Eq., Vol 263 (7), 4355-4381 (2017) [4] N.B Huy, N.A.Sum, N.A.Tuan, A second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces and application to Kirchhoff equations, J Diff Eq., 206 (2004), 253-264 [5] L.Nirenberg, An abstract form of the nonlinear CauchyKowalewski theorem, J Differential Geom (1972), 561-576 [6] T.Nishida, A note on a theorem of Nirenberg J Diff Geometry, 12 (1977), 629 - 633 [7] LV.Ovcyannikov, A nonlinear Cauchy problem in a scale of Banach spaces, Sov Math Dolk 12 (1971), 1497-1502 [8] T Yamanaka, M Kawagishi, A Cauchy-Kowalevskaya type theory in the Gevrey class for PDEs with shrinking, Nonlinear Analysis, 64 (2006), 1860-1884 24 ... lặp Trong luận án, xây dựng dãy lặp để nghiên cứu lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach: • Bài tốn với kì dị yếu • Bài tốn bậc khơng ngun với kì dị yếu • Bài tốn thang khơng gian có thứ tự • Bài. .. T.Nishida [6] chứng minh tồn nghiệm địa phương toán Cauchy thang không gian Banach tổng quát với điều kiện (2) Tiếp theo, toán Cauchy thang không gian Banach nghiên cứu nhiều tác K Asano, R.E Caflish,... học tổng hợp TP.HCM MỞ ĐẦU Trong luận án xét lớp tốn Cauchy chứa kì dị Đó toán Cauchy u (t) = f (t, u(t)), t ∈ [0, T ), u(0) = u0 , (1) họ (cũng gọi thang) không gian Banach (Xs , s ), s ∈ [a,