SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG III ------SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài SỬ DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH TRÒN VÀ MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NH
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG III
- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài
SỬ DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH TRÒN VÀ MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG
ĐỐI VỚI HỌC SINH LỚP 10
Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2013
Trang 2A ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, chúng ta đang tiến hành đổi mới giáo dục phổ thông Mục tiêu của các cấp học đều hướng đến việc hình thành năng lực nhận thức, năng lực hành động, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực thích ứng cho học sinh, phát huy tính tích cực, chủ động, độc lập sáng tạo trong nhận thức của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, gắn học với hành, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh
Trong môn Toán ở trường phổ thông các bài toán về giải bất phương trình và
hệ bất phương trình chứa tham số ngày càng được quan tâm đúng mức và có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vào vẻ đẹp, tính độc đáo của các phương pháp giải chúng Bài tập về bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số rất phong phú và
đa dạng cả về nội dung và phương pháp giải
Để tìm nghiệm hoặc điều kiện có nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số có thể xuất phát từ nhiều kiến thức khác nhau và giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó có phương pháp đồ thị dùng để tìm nghiệm hoặc điều kiện có nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số Với mục đích thay đổi hình thức của bài toán đại số thông thường thành việc sử dụng đồ thị để giải Phương pháp này tuy không phải là chiếc chìa khoá vạn năng để có thể giải được cho mọi bài toán về bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số và chưa chắc phương pháp này đã là phương pháp thích hợp nhất nhưng nó lại có nét lý thú và độc đáo riêng của nó, giúp học sinh thấy được sự liên hệ mật thiết, qua lại giữa các phân môn của môn Toán với nhau Đó là nội dung mà tôi muốn đề cập đến trong phạm vi của sáng kiến kinh nghiệm này:
“Sử dụng mối liên hệ giữa đường tròn, hình tròn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số nhằm nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10”.
Trang 3B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I THỰC TRẠNG
Ngày nay trong các đề thi đại học, cao đẳng hàng năm thường hay có một câu liên quan đến bất phương trình hoặc hệ bất phương trình Thấy được tầm quan trọng đó nên trong quá trình ôn luyện cho học sinh lớp 10 ở trường THPT Nông Cống III Tôi nhận thấy phần lớn học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi gặp các bài toán về bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số Các em không tìm được hướng giải quyết cho bài toán hoặc sử dụng những phương pháp rất phức tạp Trong năm học 2011 – 2012, qua kết quả khảo sát ở lớp 10C4, 10C5 ở trường THPT Nông cống III Kết quả thu được như sau:
Lớp
10C4 1/45 2,2% 4/45 8,9% 14/45 31,1% 19/45 42,2% 7/45 15,6% 10C5 1/47 2,1% 6/47 12,8% 18/47 38,3% 17/47 36,2% 5/47 10,6%
Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường
phổ thông tôi chọn đề tài “Sử dụng mối liên hệ giữa đường tròn, hình tròn và
miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số nhằm nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10” Nhằm đơn giản các bài toán đại số, khắc sâu kiến thức cơ bản về
hình học và hình thành kỹ năng giải bài toán về bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số
Trang 4II CƠ SỞ LÝ LUẬN
1 Kiến thức cơ bản
Khi sử dụng phương pháp đồ thị: Sử dụng mối liên hệ giữa đường tròn, hình tròn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số bất
phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số các em học sinh cần ôn lại các kiến thức về đường tròn, biểu diễn hình tròn, biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để có thể nhanh chóng nhận dạng và tiếp cận được với phương pháp này
*Đường tròn
* Hình tròn
O
b
I
Là tập hợp những điểm (x;y) thỏa mãn:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (I)
là đường tròn tâm I(a;b), bán kính R
y
Trang 5*Bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
(ax + by + c < 0, ax + by + c > 0, ax + by + c 0, ax + by + c 0 với a2 + b2 > 0) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by +c < 0
- Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax + by +c = 0
- Bước 2: Xét một điểm M(x0; y0) không nằm trên (d)
Nếu ax0 + by0 +c < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by +c < 0
Nếu ax0 + by0 +c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm
M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by +c < 0
* Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax + by +c 0, ax + by + c 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ (là đường thẳng (d))
2 Các bước thực hiện
Bước 1: Xác định rõ bất phương trình hoặc mỗi bất phương trình trong hệ
được viết dưới dạng nào Hoặc mổi phương trình hay bất phương trình đó sau khi đặt ẩn phụ được đưa về dạng nào, dạng (I), (II), hay (III)
Bước 2: Thực hiện vẽ hình và xét mối liên hệ giữa các hình vừa vẽ.
3 Các dạng thường gặp
O
I b
a
y
x
Là tập hợp những điểm (x;y) thỏa mãn:
(x – a)2 + (y – b)2 R2 (II)
là hình tròn tâm I(a;b), bán kính R
(III)
Trang 6Dạng 1: Hệ bất phương trình chứa 1 phương trình là phương trình đường
tròn (dạng (I)) và 1 hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn (dạng (III))
Dạng 2: Hệ bất phương trình chứa 1 bất phương trình là bất phương trình
hình tròn (dạng (II)) và 1 hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn (dạng (III))
Dạng 3: Sử dụng các phép biến đổi để đưa bất phương trình hoặc hệ bất
phương trình về dạng 1 hoặc dạng 2 như ở trên
III BÀI TOÁN MINH HỌA
1 Một số bài toán về hệ bất phương trình
Bài 1 Cho hệ:
) 2 (
) 1 ( 0 2 4 3
2
x
y x
Tìm a để hệ có nghiệm
Nhận xét: Bất phương trình (1) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn Phương
trình (2) là đường tròn có tâm là gốc tọa độ O, bán kính R = a, với a 0 Hệ (1), (2) có nghiệm khi đường tròn xác định bởi (2) và nửa mặt phẳng xác định bởi (1)
có điểm chung
Giải
Bất phương trình (1) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình (2) là phương trình đường tròn tâm O bán kính R = a, với a 0 (hiển nhiên khi a < 0 hệ
vô nghiệm)
Nửa mặt phẳng xác định bởi (1) được biểu diễn bằng miền gạch chéo trong
hình vẽ
2
1
3
2 x
H
y
O
0 2 4
3 x y
Trang 7Xét vị trí mà đường tròn (2) tiếp xúc với đường thẳng : 3x – 4y – 2 = 0
d(O, ) = R = a
a
5
2 )
4 ( 3
2 2
Hệ có nghiệm khi đường tròn và miền gạch chéo có điểm chung hay bán kính của đường tròn không nhỏ hơn khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng , tức là:
R = a52 a254 Vậy hệ có nghiệm khi a 254
Bài 2 Cho hệ:
) 4 (
) 3 (
1 2 2
2
a y x
a y
x
Tìm những giá trị a > 0 để hệ có nghiệm
a Phương trình (3) là phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O, bán kính là R = 1 a 2 Bất phương trình (4) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, có nghiệm là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y – a = 0 Hệ có nghiệm khi nửa mặt phẳng và đường tròn có điểm
chung
Giải
Phương trình (3) là phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính
là R = 1 a 2 (dĩ nhiên ta chỉ xét khi 1 2 0
a hay 1 a 1, vì khi a <-1 hoặc a >
1 thì hệ đã cho vô nghiệm)
Trang 8Nửa mặt phẳng xác định bởi (4) là phần gạch chéo trong hình vẽ
Đường tròn (3) có điểm chung với nửa mặt phẳng gạch chéo khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng : x + y – a = 0 lớn hơn hoặc bằng bán kính R của đường tròn
Tức là: R OH
2
a
2 1
2
2 a
a
3
2
2
a
3
6
0
a (do a > 0)
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi
3
6
0 a
Bài 3 Cho hệ:
4
0 2 4 ) 2 5 (
2 2
2 2
a x
a a x a x
Tìm a để hệ có nghiệm
Nhận xét: Xét trong hệ tọa độ Oxa, bất phương trình thứ nhất đưa về tích của
hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn (ẩn x và ẩn a), phương trình thứ hai là phương trình đường tròn Hệ có nghiệm khi các điểm M(x ; a) nằm trên cung đường tròn thõa mãn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải
y
a
O
x + y – a = 0, (a > 0) H
Trang 9Xét hệ tọa độ Oxa Điểm M trong hệ tọa độ có dạng (x ; a) Hệ đã cho được
viết lại thành: ( )(2 42 42) 0 ((65))
a x
a x a x
Bất phương trình (5) được viết lại
0 2 4
0
a x
a x
hoặc
0 2 4
0
a x
a x
Phương trình (6) là phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O, bán kính R=2
Những điểm M(x ; a) thỏa mãn (5) nằm trong hai góc đối đỉnh AO1B và
CO1D (không kể cạnh) Những điểm M(x ; a) thỏa mãn (6) là đường tròn tâm O, bán kính R = 2 Từ hình vẽ suy ra nghiệm của hệ (5), (6) chính là cung AB và CD của đường tròn (không kể 4 đầu mút (A, B, C, D) của cung)
Do A, D là giao điểm của đường thẳng x + a = 0 với đường tròn x2 + a2 = 4, hai điểm B, C là giao điểm của đường thẳng x + 4a + 2 = 0 với đường tròn
x2 + a2 = 4 Giải ra ta tìm được tọa độ của các điểm A(-2 ; 0), B(- 2; 2), C( 2;
2), D(1730; 1716 )
Từ đó, suy ra hệ có nghiệm khi0 a 2 hoặc
17
16
2
Vậy hệ đã cho có nghiệm khi 0 a 2 hoặc 2 a 1716
2
-2
a
x O
B
A
D C
2
2
17
16
x+a=0 x+4a+2=0
O1
Trang 10Bài 4 Cho hệ: (5 22) 24 4 2 0 ((87))
2 2
a x
a a x a x
Tìm a để hệ có nghiệm
Nhận xét: Hệ (7), (8) được suy ra từ hệ (5), (6) Hệ có nghiệm khi phần hình
tròn tâm O bán kính R = 2 thỏa mãn (7)
Giải
Làm tương tự như bài 3, ta thấy các điểm M(x ; a) thỏa mãn hệ đã cho được biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ
Nhìn vào đồ thị ta thấy đường thẳng a = m cắt miền gạch chéo khi
2 m 2 Vậy hệ có nghiệm khi 2 a 2
Đặc biệt, hệ có nghiệm duy nhất khi a 2 ,a 2 hoặc a 32
Bài 5 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
) 10 (
) 9 ( 1
1 2
y x
m xy y
x
Giải
x a
A B
C D O
2
x+a=0
O 1 3
2
Trang 11Hệ (9), (10) được viết lại dưới dạng:
) ' 10 (
) ' 9 ( 1
) ( 1 2
y x
y x m
xy
Do (10’) nên 1 (xy) 0
Hệ (9’), (10’)
)
"
10 (
)
"
9 ( 1
1 )
1 ( ) 1 ( 1
)) (
1 (
y x
m y
x y
x
y x m
xy
Từ (9’’), ta thấy hệ phương trình chỉ có nghiệm khi m 1 0 m 1
Khi đó, các điểm (x;y) thỏa mãn (9’’) nằm trong đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R m 1(kể cả đường tròn), các điểm (x ; y) thỏa mãn (10’’) nằm ở nữa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng :xy 1 (kể cả bờ ), (là miền gạch chéo trong hình vẽ)
Hệ (9’’), (10’’) có nghiệm duy nhất khi đường thẳng x + y = 1 tiếp xúc với đường tròn (x – 1)2 + (y – 1)2 = m + 1, tức là m 1 d(I, )
2
1
1
m m Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m 21
x+y=1
x
1 O
y
Trang 12Đặc biệt, nếu bài toán trở thành: tìm m để hệ bất phương trình (9), (10) có
nghiệm thì khi đó: R = m 1 d(I, ) m 21
Bài 6 Tìm m để hệ sau có nghiệm không âm
) 13 ( 0 20
8 4
) 12 ( 9
3
) 11 ( 2
2
2
2 y x y m x
y x
y x
Nhận xét: Miền nghiệm của (11), (12) là nửa mặt phẳng có bờ là các đường
thẳng 2x + y = 2 và x + 3y = 9 Phương trình (13) là một đường tròn Hệ có nghiệm khi các cung tròn thỏa mãn (11), (12)
Giải
Hệ đã cho được viết lại thành
) ' 13 ( )
4 ( ) 2 (
) 12 ( 9
3
) 11 ( 2
2
2
x
y x
y x
Các điểm M(x ; y) với tọa độ không âm thỏa mãn (11), (12) được biểu diễn bằng miền gạch chéo trong hình Đó là tứ giác ABCD với A(1; 0), B(0; 2), C(0; 3), D(9; 0) Các điểm M(x ; y) với tọa độ không âm thỏa mãn (13’) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(2; 4) và bán kính R = m (dĩ nhiên ta chỉ xét khi m 0, vì khi m < 0 (13’) vô nghiệm)
C
O
x 2
9 1
4
2 A
B
D I
2x+y=2
x+3y=9 H
y
Trang 13Từ hình vẽ, hệ có nghiệm khi: d(I,x 3y 9 ) R max(IA,IB,IC,ID).
Trong đó:
d(I,x 3y 9 ) 105
R m
IA 17 ,IB 8 ,IC 5 ,ID 65 max(IA,IB,IC,ID) 65
2
5 65 10
5
m m
Vậy hệ có nghiệm khi 65
2
5
2 Một số bài toán về bất phương trình
Bài 1 Cho a > 0 Giải và biện luận bất phương trình sau:
x a x
ax 2
Giải
Xét bất phương trình 2ax x2 a x (với a > 0)
Đặt y 2ax x2
0 2
0
2
2 y ax x
y
) (
0
a y a x y
Do đó đồ thị y 2ax x2 là nửa đường tròn có tâm I(a ; 0), bán kính R = a (với
a > 0)
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
2 2 2 ) (
0
a y a x
x a y y
) 3 (
) 2 (
) 1 ( )
(
0
2 2 2
a y a x
a y x y
Trang 14Miền nghiệm của (2) thỏa mãn (1) là miền gạch chéo trên hình vẽ Miền nghiệm của (3) thỏa mãn (1) là nữa đường tròn trên hình vẽ
Từ đồ thị ta thấy với a 0, bất phương trình đều có nghiệm x0 x 2a (*)
Với x0 là hoành độ giao điểm của đường thẳng x + y = a với nửa đường tròn (x – a)2 + y2 = a2 , (a > 0) Hay x0 là nghiệm của phương trình:
a x 2ax x2
2
) 2 2 ( 0
4
a x a
ax x
a x
Từ (*) suy ra a 0 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là:
a x a
2 2
) 2 2 (
Kết luận: Với a 0 bất phương trình có nghiệm a x 2a
2
) 2 2 (
Bài 2 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
2
x a x a
Giải
Ta chỉ xét a 0( vì khi a < 0 thì a x không có nghĩa)
Khi đó đặt: u a x , u 0
x a
v , v 0
Bất phương trình đã cho trở thành:
) 6 ( 2
) 5 ( 2
) 4 ( 0
, 0
2
2 v a u
v u
v u
y
O
I
x
a y
x
a M
x 0
Trang 15Xét trên hệ trục Ouv, các điểm (u; v) thỏa mãn (4) và (5) là miền gạch chéo trên hình vẽ (kể cả các điểm nằm trên các đoạn thẳng OA, OB, AB) Những điểm (u; v) thõa mãn (6) là các đường tròn đồng tâm (có tâm là gốc tọa độ, bán kính R=
a
2 ), do đó những điểm thỏa mãn (4) và (6) là phần của đường tròn như trên hình vẽ
Từ đồ thị ta thấy hệ bất phương trình có nghiệm khi: 0 R 2
hay 0 2a 2 0 a 2
Vậy bất phương trình có nghiệm khi 0 a 2
Bài 3 Cho bất phương trình: x a x
3
4 ) 2 (
1 2
Tìm a để tập hợp nghiệm của bất phương trình là đoạn có độ dài bằng 59
Giải
Xét bất phương trình x a x
3
4 ) 2 (
1 2
Đặt y 1 (x 2a) 2 , y 0
1 )
2 (
0
2
2 y a x
y
Do đó bất phương trình đã cho tương đương với hệ:
) 9 ( 0
3 4
) 8 ( 1 )
2 (
) 7 ( 0
2 2
y x
y a x y
Xét trên hệ trục tọa độ Oxy, các điểm (x; y) thỏa mãn (7), (8) là nửa đường tròn có tâm I(- 2a; 0), bán kính R = 1 (phần nửa đường tròn không nằm dưới trục
hoành) Gọi L là độ dài tập nghiệm của bất phương trình.
O
2 v
u
u+v=2
2 B
A
Trang 16Từ hình vẽ ta thấy tập hợp nghiệm của bất phương trình có độ dài bằng:
L 2R = 2 > 59 Vậy trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Từ hình vẽ ta thấy tập hợp nghiệm của bất phương trình hoặc là tập rỗng hoặc là có độ dài
5
8 ) 1 ( 5
3
5
9 Vậy trường hợp này cũng không thỏa mãn yêu cầu bài toán
x O
I
y
4x – 3y = 0
Trường hợp 1:
Nếu tâm I(-2a; 0) trùng với điểm (-1; 0) hoặc nằm bên trái điểm này trên trục hoành
L
-1 -2
x O
y
4x – 3y = 0
Trường hợp 2 :
Nếu tâm I(-2a ; 0) trùng với điểm O(0; 0) hoặc tâm I(-2a ; 0)nằm bên phải điểm O(0; 0) trên trục hoành
5 3
M
