mot so dang toan ve lien quan gtln gtnn trong khong gian oxyz mot so dang toan lien quan den gtlggtnn trong khong gian oxyzy

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LIÊN QUAN GTLN- GTNN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Dạng 1: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A1; A2; A3;…; An.Xét ve tơ: w  k1 MA1  k2 MA2  k3 MA3   kn MAn mp(P): ax + by + cz = d = Trong k1; k2; k3; ; kn  R vàk1  k2  k3   kn  Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho w nhỏ PP: +Gọi G điểm thỏa mãn: k1GA1  k2 GA2  k3 GA3   kn GAn  Xác định điểm G +Ta có: MAk  MG  GAk với i =1, 2, 3,…,n i i w  (k1  k2  k3   kn ) MG  k1GA1  k2 GA2  k3 GA3   kn GAn + w = (k1  k2  k3   kn ) MG w  k1  k2  k3   kn MG +Vì k1  k2  k3   kn số khác khơng nên w có giá trị nhỏ MG nhỏ nhất, mà M  (P) nê n M=hc( P)G Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1; 0; -1); B(2; -2; 1); C(0; -1; 0) mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho: 2MA  4MB  3MC đạt giá trị nhỏ Giải: Gọi G(xG; yG; zG) điểm thỏa mãn: 2GA  4GB  3GC   G(6;5; 6) Ta có: 2MA  4MB  3MC  MG  2GA  4GB  3GC  MG 2MA  4MB  3MC  MG min  M  hc( P)G Gọi (d) làđườ ng thẳ ng qua G vàvuô ng gó c vớ i mp(P)  vtcp u( d )  vtpt n( P)  (1; 2;2)  x  y  z   x  y  z    Tọa độđiể mM : 2 ( d) : 2  x – 2y  2z    32 x    32 10   Vậ y: M ; ;  y   9    10  z   Dạng 2: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A1; A2; A3;…; An Xét biểu thức: T  k1MA12  k2 MA22  k3 MA32   kn MAN2 Trong k1; k1; k1; ; k1  R Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho: a) T có giá trị nhỏ biết: k1  k2  k3   kn > b) T có giá trị lớn biết: k1  k2  k3   kn < PP: Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn +Gọi G điểm thỏa mãn: k1GA1  k2 GA2  k3 GA3   kn GAn  Xác định điểm G +Ta có: MAk  MG  GAk với i =1, 2, 3,…,n i  MA    MG  GA  ki ki i  MG2  2MG.GA  GA2 Do : T=  k1  k2  k3   kn  MG2  k1GA12  k2GA22  k3GA32   knGAn2 Vì k1GA12  k2GA22  k3GA32   knGAn2 khô ng đổ i nê n: a)k1  k2  k3   kn  0; T đạt giátr ònhỏnhấ t  MG nhỏnhấ t b)k1  k2  k3   kn  0; T đạt giátròlớ n nhấ t  MG nhỏnhấ t màM  (P) nê n MG nhỏnhấ t  M  hc( P )G Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1; 4; 5); B(0; 3; 1); C(2; -1; 0) mặt phẳng (P): 3x - 3y -2z - 15 = Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho: a) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ b) MA2 + 2MB2 – MC2 có giá trị lớn Giải: a) Gọi G(xG; yG; zG) điểm thỏa mãn: GA  GB  GC   G(1;2;2) Ta có: MA2  MB2  MC2  3MG2  GA2  GB2  GC2  MA2  MB2  MC2   MG nhỏnhấ t  M  hc( P)G  M (4; 1; 0)   b) Gọi G(xG; yG; zG) điểm thỏa mãn: GA  2GB  4GC   G(7; 14; 7) Ta có: MA2  2MB2  MC2   MG2  GA2  2GB2  4GC2  MA2  2MB2  MC2   MG nhỏnhấ t  M  hc( P)G   m ã  16 61 15   M ; ;   11 11 11  Dạng 3: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) mp (P):ax + by + cz + d =0 Tìm điểm M thuộc mp(P) cho: a)MA + MB nhỏ b) MA  MB lớn với d( A,(P))  d( A,(P)) PP: - Xét vị trí điểm A,B so với mp(P) + Nếu (axA + byA + czA + d )( axB + byB + czB + d) > hai điểm A, B phía với mp(P) + Nếu (axA + byA + czA + d )( axB + byB + czB + d) < hai điểm A, B khác phía với mp(P) a)MA + MB nhỏ Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA + MB  AB dấu đẳng thức xãy  A, M, B thẳng hàng điểm M thuộc đoạn AB Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác phía với mp(P) Vì A, B khác phía với mp(P) nên min(MA+MB) = AB  M  AB (P) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Trường hợp 2: Hai điểm A, B phía với mp(P) Khi MA + MB  AB khơng có dấu đẳng thức - Gọi A’ =Đ(P)A A’ B khác phía với mp(P) MA’ = MA nên MA + MB = MA’ + MB  A' B ; min(MA + MB) = A’B  M  A' B (P) b) MA  MB lớn Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA  MB  AB dấu đẳng thức xãy  A, M, B thẳng hàng điểm M thuộc đường thẳng AB Trường hợp 1: Hai điểm A, B phía với mp(P) - Vì A, B phía với mp(P) nên max MA  MB = AB  M  AB (P) Trường hợp 2: Hai điểm A, B khác phía với mp(P) Khi MA  MB  AB khơng có dấu đẳng thức - Gọi A’ =Đ(P)A A’ B phía với mp(P) MA’ = MA nên MA  MB = MA ' MB  A’B max MA  MB = A’B  M  A' B (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1; -1; 2); B(-2; 1; 0); C(2; 0; 1) mặt phẳng (P): 2x - y -z +3 = Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho: a) MA + MB có giá trị nhỏ b) MA  MC có giá trị lớn c) MA + MC có giá trị nhỏ d) MA  MB có giá trị lớn Giải: Đặt f(x;y;x) = 2x - y -z +3; f(xA;yA;xA) = > ; f(xB;yB;xB) = -2 < 0; f(xC;yC;xC) = > Các điểm A, C nằm phía với mm (P); A, B nằm khác phía với mp (P) a) MA + MB có giá trị nhỏ Ta có MA + MB  AB A, B nằm khác phía với mp (P) nên min(MA + MA) = AB  M  AB (P) x 1 y  z   3 2   x  1  x 1 y  z     1 2   Tọa độđiể m M  3 y điể m M  1; ;  2   y  Vậ 3 3  2x  y  z3     z   AB  (3;2; 2)  ( AB) : b) MA  MC có giá trị lớn Ta có MA  MC  AC A, C nằm phía với mp (P) nên max( MA  MC ) = AC  M  AC (P) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn x 1 y  z   1 1  x  1  x 1 y  z     Tọa độđiể mM  y điể m M  1; 3; 4)  1   y  3 Vậ 2x  y  z3   z    AC  (1;1; 1)  ( AC) : c) MA + MC có giá trị nhỏ Ta có MA + MC  AC A, C nằm phía với mp (P) Gọi H(x;y;z) = hc(P)A ; (d) đường thẳng qua A vả vng góc với mp(P) Ta cóu( d )  vtptn( P)  (2; 1; 1)  ( d) : x 1 y  z   1 1 Ta cóH=hc( P) A  H  (d) ( P)  1 x     x 1 y  z  1 1    1   Tọa độđiể m H:  H ; ;  1 1   y   3 3 2x  y  z3     z     5 10  Gọi A '  Đ( P ) A  A '  ; ;   3 3 Ta có: MA + MC = MA’ + MC  A’C A, C nằm phía với mp (P) nên A’, C khác phía với mp(P) nên min(MA + MC) = A’C  M  A' C ( P) 11 1 7 x  y 1 z 1 ; ; )  (A 'C) :   3 11 1 7  x  y 1 z 1    Tọa độđiể m M  11 1 7 2x  y  z 3   A 'C  (  1 x     1 12    y  Vậ y điể mM ; ;   5 5   12 z   d) MA  MB có giá trị lớn  5 10  Gọi A'  Đ( P) A  A '  ; ;  , A,B khác phía với mp(P) nên A’, B  3 3 phía Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ta có : MA  MB  MA ' MB  A ' B nê n max( MA  MB )  A ' B  M  ( A ' B) ( P)  1 10  x  y 1 z Ta có: A ' B   ; ;     ( A ' B) : 2 10  3   7 x    x  y 1 z  7 10      Tọa độđiể mM  Vậ y điể mM ; ; 2 10   y    3  2x  y  z3    10  z   Dạng 4: Trong khơng gian Oxyz cho điểm: A, B, A1, A2, A3,…, An.và đường thẳng x  x  ta1   d : y  y  ta2 z  z  ta  1)Xét w  k1 MA1  k2 MA2  k3 MA3   kn MAn Trong k1; k2; k3; ; kn  R vàk1  k2  k3   kn  Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) cho w nhỏ 2)Xét biểu thức: T  k1MA 12  k 2MA 22   k nMA 2n Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) để a)T có giá trị nhỏ biết: k1  k2  k3   kn > b)T có giá trị lớn biết: k1  k2  k3   kn < 3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d)để diện tích tam giác MAB nhỏ nhất(AB, (d) chéo nhau) PP: Vì điểm M  (d)  M(x0  ta1;y0  ta2;z0  ta3 ) Tính w , T, diện tích tam giác MAB ta biểu thức theo t, tốn đưa tình GTNN, GTLN biểu thức theo t Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho điểm: A(1;4;2), B(-1;2;4) đường thẳng  d : x11  y 1  2z Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) cho a) w  3OM  2AM  4BM nhỏ b) T = MA2 + MB2 nhỏ c) Diện tích tam giác MAB nhỏ Giải: Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a)Vì M  (d)  M(1  t; 2  t;2t),t  R Ta có : OM=(1  t; 2  t;2t); AM  ( t; t  6;2t  2); BM  (2  t; t  4;2t  4) w  3OM  2AM  4BM  (5  t; t  2;2t  12)   319 319  w  6t  54t  173   t     t  R 2  2 w   7  319 3 t  M  ; ; 3  2 2  b)Ta có: MA=(-t;6-t;2-2t); MB=(t-2;4-t;4-2t) T=MA +MB  12t  48t  76  12(t  2)2  28  28, t  R minT  28  t   M(1;0;4) c)Ta có : AM=(-t;t-6;2t-2);AB=(-2;-2;2)   AM,AB  (6t  16;  2t; 4t  12)   S( MAB)  19  24 1 24   AM,AB  56t  304t  416  56  t      2 7 7  minS( MAB)   12 38  24 19 t M ; ;  7 7 7  Dạng 5: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho hai điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) đường x  x  ta1  thẳng  d  : y  y  ta2 Tìm điểm M (d) cho z  z  ta  a) MA + MB nhỏ b) MA  MB lớn PP: M  (d)  M(x  ta1; y  ta2 ;z0  ta3 ) a)MA  MB  k  (t  a)2  m2  (t  b)2  n2    Trong mp Oxy xé t điể m N(t;0)  Ox, H(a;m); K(b;n) vớ i m.n0(m  n) MA  MB  k HN  KN  kHK; max( MA  MB )  HK N,H,K thẳ ng hà ng   N  Ox KH H,K nằ m cù n g phía trụ c Ox  VD1: Trong hệ Oxyz cho điểm A(1; 5; 0); B(3; 3; 6) đường thẳng x  1  2t  (d) : y   t Tìm điểm M (d) Sao cho MA + MB nhỏ z  2t  Giải: M  (d)  M( 1  2t;1  t;2t)  20 20  MA  MB  9t  20  9t  36t  56=3  t   (t  2)2   9   Trong mp Oxy chọn điể m N(t;0)  Ox; H(0; 20  20 );K(2; ) 3 20 20  (t  2)2   MA  MB  3(HN  KN)  3HK 9 H,N,K thẳ ng hà ng min(MA  MB)  3HK    N  HK Ox m hai phía trục Ox vì H, K nằ HN  KN  t  (HK) : 20x  3y  20   N(1; 0)  N(t; 0)  t  Vậ y điể m M(1;0;2) VD2: Trong hệ Oxyz cho điểm A(-1; -1; 0); B(5; 2; -3) đường thẳng x   t  (d) : y  2t Tìm điểm M (d) Sao cho  z  1  t  MA  MB lớn Giải: M  (d)  M(1 t;2t; 1 t) MA  MB   35 35  6t  2t   6t  4t  24 =  (t  )2   (t  )2   36   35 1 35 Trong mp Oxy chọn điể m N(t;0)  Ox; H( ; ); K( ; ) 6 3 35 35 HN  KN  (t  )2   (t  )2   MA  MB  6( HN  KN )  6HK 36 Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn H,N,K thẳ ng hà ng max( MA  MB )  6HK    N  HK m cù ng phía trục Ox vì H, K nằ 2 (HK) : 35x  18y  35   N( ; 0)  N(t; 0)  t  3 1 Vậ y điể m M( ; ; ) 3 Ox Dạng 6: Trong khơng gian với hệ Oxyz Cho hai điểm phân biệt A B Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa B cách A khoảng lớn PP: Gọi H hình chiếu A lên (P), tam giác ABH vng H     d A;  P  AH  AB  maxd A;  P = AB  H  B Khi (P) mặt phẳng qua B vng góc với AB Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm B(1; 2; -1) cách gốc toạ độ khoảng lớn Giải: Gọi H hình chiếu A mp(P) cần tìm, OH  OB     d O;  P  OH  OB  maxd O;  P = OB Vậy mp(P) qua B(1; 2; -1) nhận OB  (1; 2;  1) làm véc tơ pháp tuyến mp(P) : 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) =  x  y  z   Dạng7: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho điểm A(xA;yA;zA) đường thẳng x  x  ta1   d : y  y  ta2 z  z  ta  a) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A , song song với (d) d( (d),(P)) lớn b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) cho d (A, (P)) lớn PP: a) + Gọi H hình chiếu A (d), + mặt phẳng (P) qua A (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I hình chiếu H lên (P)) + Ta có : HI  AH = const  HI lớn A  I Khi (P) qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến b) + Gọi H hình chiếu A lên (d); K hình chiếu A lên mp(P) + Ta có: d (A,(P)) = AK  AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A,(P)) max  AK = AH  K  H + Viết PT mp (P) qua H nhận AH làm VTPT Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn VD: Trong khơng gian Oxyz cho A(10; 2; -1) đường thẳng (d) có phương trình : x 1 y z 1   a) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A , song song với (d) d( (d),(P)) lớn b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) cho d (A, (P)) lớn Giải: a) + Gọi (Q) mp qua A vng góc (d)  vtpt n(Q)  vtcp u(d)  (2;1;3) (Q): 2x + y + 3z - 19 = 0; H = hc(d)A x   x 1 y z 1      H  (Q) (d); Tọa độđiể mH   y   H(3;1; 4) 2x  y  3z  19  z    + Mặt phẳng (P) qua A (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I hình chiếu H lên (P)) + Ta có : HI  AH = const  d (d,(P)) lớn  HI lớn  A  I Khi (P) qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến Ta có AH = (-7 ; -1 ; 5) (P) : -7( x -10) - ( y - 2) + 5( z + 1) =  7x + y - 5z – 77 = b)Gọi H hình chiếu A lên (d); K hình chiếu A lên mp(P) Ta có: d (A,(P)) = AK  AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do max d(A,(P))= AH  K  H; mp (P) qua H nhận AH = (-7 ; -1 ; 5) làm VTPT  (P): 7x + y - 5z - = Dạng 8: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho mp (Q); đường thẳng (d) (d’) Lập phương trình mp(P) chứa (d) cho a) Góc mp(P) mp(Q) nhỏ ((d) khơng vng góc với mp(Q)) b) Góc mp(P) (d’) lớn ( (d) (d’) chéo nhau) PP: a) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = ( a  b  c  ) chứa (d) Lấy M  (d )  M  (P) ta có phương trình (1) Vec tơ pháp tuyến (P) : n(P) (a; b; c) véc tơ phương VTCP u(d) vng góc với ta có phương trình (2) VTPT: n(Q)  H = cos ( P ,  Q ) = cos(nP ,nQ ) (3) 1   2   3   H phương trình ẩn   Góc (P) (Q) nhỏ H max b) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = ( a  b  c  ) chứa (d) Lấy M  (d )  M  (P) ta có phương trình (1) Vec tơ pháp tuyến (P) : n(P) (a; b; c) véc tơ phương VTCP u(d) vng góc với ta có phương trình (2) VTCP (d’): u(d')  K = sin ( P ,  d’  ) = cos(nP , ud' ) (3) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1   2   3   H phương trình ẩn   Góc (P) (d’) lớn nhất Kmax  x  t  VD: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho đường thẳng (d)  y  1  2t ; z   t  (d’) x   y   z  mp(Q): 2x – y – 2z – = Viết phương trình mp(P) chứa đường 1 thẳng (d) a) Tạo với mp(Q) góc nhỏ b) Tạo với (d’) góc lớn Giải: Gọi (P): ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2  0) chứa (d) a)M  0;  1; 2  (d)  M  (P)   b  2c  d   d  b  2c(1) vtpt n(P)  (a; b; c); vtcp u(d)  ( 1;2;1);(P)  (d)  n(P)  u(d)  a  2b  c   a  2b  c(2) vtpt n(Q)  (2; 1; 2)  cos((P),(Q))  cos(n(P) ,n(Q) )  (2)(3)   cos((P),(Q))  2a  b  2c a b c 2 (3); 3b 5b2  4b  2c2  b   cos((P),(Q))   ((P),(Q))  900  b   cos((P),(Q))   2  c  c 2   4    b  b  ((P),(Q))min  cos((P),(Q))  max  c    1  b  c  cos((P),(Q))    1 b a=1  b  c; Chọn b=1;c=-1   ; Vậ y(P) : x  y  z   d=3  b)vtcp u(d')  (1;1;1)  sin((P),(d')  cos(n(P) ,u(d') )  (2)(3')   sin((P),(d'))  Người thực hiện: 3b  2c 15b2  12bc  6c2 Nguyễn Bá Tường - Trang 10 - a b  c  a b c 2  (3') Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2c  b   sin((P),(d')  6c2   b   K  sin((P),(d'))  c 3 b 2x   6x  12x  15  c  c    12    15  b  b (x  c  R) b 4x  12x  4x  12x  24x  12x  72 ; Dặ t f (x)   f '(x)  6x  12x  15 6x  12x  15 6x  12x  15    x  f '(x)   24x  12x  72     x  3  2 BBT 3 - x f’(x) f(x) - + + ((P),(d'))max  Maxf (x)  a  c  x    2; chọn b=1;c=2   b d  3 Vậ y(P) : 4x  y  2z   Dạng 9: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho mp (P); điểm A  (P), điểm B≠A, đường thẳng (d’) cắt (P) Lập phương trình đường thẳng (d) nằm mp(P) thỏa a) (d) qua A cách điểm B khoảng nhỏ nhất, lớn b) (d) qua A khoảng cách (d) (d’) lớn ( (d’) khơng qua A) c) (d) qua A tạo với (d’) góc nhỏ nhất, lớn PP: a) (d) nằm mp(P) qua A cách điểm B khoảng nhỏ nhất, lớn Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 11 - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Gọi u(d)  (a; b; c)làmộ t VTCP củ a (d)(a2 +b2 +c2 >0) Vì d  (P)  u(d)  n(P)  (1); TìmAB;  u(d) ,AB    u(d) ,AB    d(B,(d))  (2) u(d) (1)(2)   d(B,(d))  f (a,b) (cóthểtheo a, c hoặ c b, c) + xé t b=0  d(B,(d)) c  d(B,(d))  f (t) b a  Tìm Max f(t); f(t)  t   b  pt(d) c   xé t b  đặ t t= b) (d) nằm mp(P) qua A khoảng cách (d) (d’) lớn Gọi u(d)  (a; b; c)làmộ t VTCP củ a (d)(a2 +b2 +c2 >0) Vì d  (P)  u(d)  n(P)  (1); Tìm  u(d) ,u(d')  ; Lấ y M  (d')   Tìm AM vàtính  u(d) ,u(d')  AM    u(d) ,u(d')  AM    d((d),(d'))  (2)  u(d) ,u(d')    (1)(2)   d((d),(d'))  f (a,b) (cóthểtheo a, c hoặ c b, c) + xé t b=0  d(B,(d))  xé t b  đặ t t= c  d(B,(d))  f (t) b a  Tìm Max f(t);  t   b  pt(d) c  c) nằm mp(P) qua A tạo với (d’) góc nhỏ nhất, lớn * Vì ln tồn đường thẳng (d) qua A tạo với đường thẳng (d’) góc 900, nên Max((d),(d'))  90  VTCP u(d)   n(P) ,u(d)  Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 12 - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Gọi u(d)  (a; b; c)làmộ t VTCP củ a (d)(a2 +b2 +c2 >0) Vì d  (P)  u(d)  n(P)  (1) Tìm cos((d),(d')  u(d) u(d') (2) u(d) u(d') (1)(2)   cos((d),(d')  f (a,b) (cóthểtheo a, c hoặ c b, c) + xé t b=0  cos((d),(d')  xé t b  đặ t t= c  d(B,(d))  f (t) b a  Tìm Max f(t);min f(t)  t   b  pt(d) c  VD: Trong khơng gian Oxyz cho (P): x + 2y – z – = 0; điểm A(1; 0; 0)và B(0; 2; -3) a)Viết phương trình đường thẳng (d)  (P) qua điểm Avà d(B,(d)) lớn nhất, nhỏ b) Viết phương trình đường thẳng (d)  (P) qua điểm A cách (d’): x 1 y 1 z   khoảng lớn 2 c) Viết phương trình đường thẳng (d)  (P) qua điểm A tạo với đường thẳng (d’): x 1 y 1 z   góc lớn nhất, nhỏ 2 Giải: a)Ta cóVTPT n(P)  (1;2; 1) Gọi u(d)  (a; b; c)làVTCP củ a (d) (a2 +b2 +c2 >0) Ta cód  (P)  u(d)  n(P)  a  2b  c   c  a  2b(1)  u(d)  (a; b;a  2b) AB  (1;2; 3);  u(d) ,AB  (2a  7b;2a  2b;2a  b)    u(d) ,AB (2a  7b)2  (2a  2b)2  (2a  b)2    d(B,(d))   a2  b2  (a  2b)2 u(d) 12a2  24ab  54b2  2a2  4ab  5b2 Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 13 - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  Nế u b=0(a  0)  d(B,(d))  12t  24t  54 a  Nế u b   d(B,(d))  (vớ i t=  R) b 2t  4t  12t  24t  54 96t  96 Đặ t f(t)=  f '(t)  2t  4t  (2t  4t  5)2 f '(t)   t  1 BBT t - f’(t) f(t) + -1 + 14 - 6   d(B,(d))  14  max d(B,(d))   14  t  1  a  1  a   b b chọn a=1;b=-1; c=1 (d): x 1 y z   1 1   d(B,(d))    b  chọn a=1; c=1 b)Ta cóVTPT n(P)  (1;2; 1) VTCP u(d')  (1; 2;1);d'  M(1; 1; 0) Gọi u(d)  (a; b; c)làVTCP củ a (d) (a2 +b2 +c2 >0) Ta cód  (P)  u(d)  n(P)  a  2b  c   c  a  2b(1)  u(d)  (a; b;a  2b);  u(d) ,u(d')   (2a  5b;2b; 2a  b); AM  (0; 1; 0)    u(d) ,u(d')  AM  2b    u(d) ,u(d')  AM 2b 4b2   d((d),(d'))    2 8a2  24ab  30b2  u(d) ,u(d')  8a  24ab  30b    Nế u b=0(a  0)  d((d),(d'))   Nế u b   d((d),(d'))  Người thực hiện: a (vớ i t=  R) b 4t  12t  15 Nguyễn Bá Tường - Trang 14 - Gia sư Thành Được đặ t f(t)= BBT www.daythem.edu.vn 2(8t  12)  f '(t)  ; f '(t)   t   2 4t  12t  15 (4t  12t  15) - t  f’(t) + + - f(t) 0 3 a 3 3b t    a b 2 x 1 y z Chọn a=3; b=-2; c=-1  (d):   2 1 c)Ta cóV TPT n(P)  (1;2; 1) VTCP u(d')  (1; 2;1);d'  M(1; 1; 0) Maxd((d), (d'))  Gọi u(d)  (a; b; c)làVTCP củ a (d) (a2 +b2 +c2 >0) Ta cód  (P)  u(d)  n(P)  a  2b  c   c  a  2b(1)  u(d)  (a; b;a  2b) Gọi   (d,d')  cos  u(d) u(d') u(d) u(d')  Nế u b=0(a  0)  cos= 2a 2a2   6a2  12ab  15b2 2a2  4ab  5b2 3 2t a  Nế u b   cos  (vớ i t=  R) b 6t  12t  15 2t 60t  24 Đặ t f(t)=  f '(t)  6t  12t  15 (6t  12t  15)2 f '(t)   t  BBT: t - f’(t) f(t) 2  + + 279 Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 15 - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 62  cos  93  max cos   b    nhỏnhấ t x   t  Chọn a=1; c=1  (d) y  t  R z  t  62 2 a 2 2b t    a   lớ n nhấ t 93 b 5 chọn a=2; b=-5; c=-8  mincos   (d): x 1 y z   5 8 Dạng 10: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d1), (d2)và hai điểm A,B (A  (d1) ) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A cắt (d1) thỏa a) (d) cách điểm B khoảng nhỏ nhất, lớn b) Khoảng cách (d) (d2) lớn c) (d) tạo với (d2) góc nhỏ nhất, lớn PP: a)Giảsử(d) (d1)  M  Tọa độđiể m M theo t VTCP u(d)  AM; AB;  AM,AB    AM,AB   d(B,(d))  =f(t) AM Tìm maxf(t); f(t)  t  (d) b)Giảsử(d) (d1)  M  Tọa độđiể m M theo t VTCP u(d)  AM; d2  M (x ; y 0;z0 ); VTCP u(d2 ) Tính  u(d2 ) AM  ; AM 0;  u(d2 ) AM  AM      u(d2 ) AM  AM   d(d,d2 )   f (t)  u(d2 ) AM    Tìm maxf(t)  t  (d) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 16 - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn c)Giảsử(d) (d1 )  M  Tọa độđiể m M theo t VTCP u(d)  AM; d2  M (x ; y ;z0 ); VTCP u(d2 ) AM.u(d2 )   (d,d2 )  cos  cos(AM,u(d2 ) )   f (t) AM u(d2 ) Tìm f(t); max f(t)  t  (d) VD: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d1): x 1 y z  x5 y z     , (d2): 1 2 hai điểm A0;-1;2), B(2;1;1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A cắt (d1) thỏa a) (d) cách điểm B khoảng nhỏ nhất, lớn b) Khoảng cách (d) (d2) lớn c)(d) tạo với (d2) góc nhỏ nhất, lớn Giải: a)Giảsử(d) (d1 )  M  M(1  2t; t;2  t),t  R VTCP u(d)  AM  (2t  1; t  1;  t); AB  (2;2; 1)  AM,AB  (t  1; 1;2t    d(B,(d))   AM,AB   AM 5t  18t  18 = 6t  2t  5t  18t  18 98(2t  1) Đặ t f (t)   f '(t)  2 6t  2t  6t  2t   f '(t)   t  BBT: t  2 - f’(t) + + - 41 10 f(t) 6 + khơng tồn f(t)  x     y  1  t 41 1 +max f(t)=f( )=  VTCP u(d) =(0; ; )  (d):  10 2  z   t  Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 17 - Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b)Giảsử(d) (d1 )  M  M( 1  2t; t;2  t),t  R VTCP u(d)  AM  (2t  1; t  1;  t) d2  N(5; 0; 0); VTCP u(d2 )  (2; 2;1)  u(d2 ) AM   (t  1; 4t  1;6t); AM  (5;1; 2);  u(d2 ) AM  AM  6  3t      u(d2 ) AM  AM 6  3t t  4t    d(d,d2 )   3 53t  10t   u(d2 ) AM  53t  10t    t  4t  48t  420t  222 đặ t f (t)   f '(t)  53t  10t  (53t  10t  2)2 1 37 f '(t)   t  hoặ ct  1 - BBT: t f’(t) + - + + f(t) 53 225 7901 53 max f(t)=f( 37 x y 1 z  1 1   )=  u(d) =(-2; ; )  (d) : 1 2 2 2 b)Giảsử(d) (d1 )  M  M( 1  2t; t;2  t),t  R  VTCP u(d)  AM  (2t  1; t  1;  t) VTCP u(d2 )  (2; 2;1)   (d,d2 )  cos  cos(u(d) ,u(d2 ) )  u(d) u(d2 ) u(d) u(d2 )  t4 6t  2t  t  8t  16 t  8t  16 16t  188t  46  Đặ t f (t)   f '(t)  6t  2t  6t  2t  (6t  2t  2)2 23 f '(t)   t  hoặ c t= Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 18 - Gia sư Thành Được BBT: t  f’(t) www.daythem.edu.vn + 23 - + + 15 f(t) 6 15 206 15 1 1 x y 1 z    + max f(t)=f( )=  u(d)  ( ; ; )  (d) : 1 1 2 4 4 23 15 25 23 x y 1 z   u(d)  (22; ; )  (d) :   +min f(t)=f( )= 25 23 206 2 22 2 Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 19 - ... Tính w , T, diện tích tam giác MAB ta biểu thức theo t, tốn đưa tình GTNN, GTLN biểu thức theo t Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho điểm: A(1;4;2), B(-1;2;4) đường thẳng  d : x11  y 1  2z... y  z   Dạng7: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho điểm A(xA;yA;zA) đường thẳng x  x  ta1   d : y  y  ta2 z  z  ta  a) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A , song song với (d) d(... Được www.daythem.edu.vn VD: Trong khơng gian Oxyz cho A(10; 2; -1) đường thẳng (d) có phương trình : x 1 y z 1   a) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A , song song với (d) d( (d),(P)) lớn