MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC DẠY CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO TRONG CÔNG TÁC BDHSG Chúng ta biết phương pháp giảng dạy giáo viên có khác Tuy nhiên đích cuối kết nhận thức học sinh sau buổi dạy dạy học Với ý nghĩa đó, xin mạnh dạn đưa kinh nghiệm công tác bồi dưỡng học sinh trường THCS Trần Phú Nội dung chủ đề: “Chuyên đề sử dụng đẳng thức bất đẳng thức quen thuộc để tìm GTNN GTLN số biểu thức đơn giản chương trình lớp 9” Trình tự sau: I Yêu cầu học sinh ghi lại đẳng thức học (Học sinh ghi lại HĐT GV chốt vấn đề) * GV nên lưu ý HS việc ghi đẳng thức nhiều kiểu ghi khác Chẳng hạn (A ± B)2 = A2 + B2 ± 2AB = ± 2AB + A2 + B2 = … II Yêu cầu học sinh ghi biểu thức sau dạng bình phương tổng hay hiệu Nội dung a) x + 2x +1 b) x2 + - 4x c) x2 + y2 - 2xy d) (x + y –z)2 + z2 +z(x + y – z).2 Trả lời học sinh • Lưu ý: GV lấy thêm nhiều VD tương tự hay VD liên quan đến HĐT khác để học sinh nắm vấn đề III Yêu cầu học sinh viết biểu thức sau dạng (ax ± b)2 ± c hay c - (ax ± b)2 Nội dung Trả lời học sinh a) x + 2x +4 b) x2 + – 5x c) -3x2 + - 5x d) - 3x - 0,5x2 IV Chứng minh a) x2 – 5x + > với x b) 3x2 -7xy + 5y2 ≥ với x, y c) GV nên tìm thêm ví dụ để học sinh nắm vấn đề V Một số tập nâng cao a) Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) b) Cho a, b, c, d > Chứng minh : a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a+b a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Giải a) Khai triển vế trái đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ a) ⇒ b) (ad - bc)2 ≥ Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 Giải Cách : Từ x + y = ta có y = - x Do : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + ≥ Vậy S = ⇔ x = y = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d= 1, Ta có :(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ 4≤2(x2 + y2) = 2S ⇔ S≥2 ⇒mim S=2 x = y = a) Cho a>0, b >0 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Giải a) HS tự giải b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương b) Cho a, b, c > Chứng minh : bc ca bc ab ca ab ; ; , ta lần lợt có: a b a c b c bc ca bc ca bc ab bc ab + ≥2 = 2c; + ≥2 = 2b ; a b a b a c a c ca ab ca ab + ≥2 = 2a cộng vế ta bất đẳng thức cần chứng b c b c minh Dấu xảy a = b = c c) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : 3a + 5b ≥ 3a.5b ⇔ (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ⇔ 122 ≥ 60P ⇔P ≤ 12 Dấu xảy 3a = 5b = 12 : ⇔ a = ; b = 6/5 Vậy Max P = 12 a = 2, b = 1,2 5 Cho số a, b không âm mãn thoả a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = a3 + b3 Giải Ta có b = - a, M = a3 + (1 - a)3 = a3 + -3a +3a2 - a3 = – 3a(1- a) Dấu = xảy a = hay a= Vậy max M = ⇔ a = ; b = Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Giải Hiệu vế trái vế phải (a - b)2(a + b) a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ Giải a) Xét hiệu : (a + 1)2 - 4a = a2 + 2a + - 4a = a2 2a + = (a - 1)2 ≥ b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥4c bất đẳng thức có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc=64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) Giải a) Ta có : (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) Do (a - b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a - b)2 + (a - c)2 + (b -c)2 Khai triển rút gọn, ta đươc : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) Giải Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 - ab - ac - ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 = (2) Do ta có : a = 0, 2b = a , 2c = a , 2d = a Suy : a = b = c = d = 10 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 - 3a - 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Giải 2M = (a + b - 2)2 + (a - 1)2 + (b - 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998 Dấu = xảy có đồng thời : a + b − = a − = b − = Vậy M =1998⇔a = b= 11 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 - 3(x + y)+ CMR GTNN P Giải ta có 2P = 2x2 + 2xy + 2y2 - 6(x + y)+ = (x2 + y2 +4 + 2xy - 4x - 4y) + (x2 -2x +1)+ (y2 -2y +1) = (x +y -2)2 + (x - 1)2 +(y - 1)2 ≥ Dấu = xảy x = y = Vậy MinP = x = y = 12 Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 - 2x + 8y - 6z + 15 = Giải Đưa đẳng thức cho dạng : (x - 1)2 + 4(y + 1)2 + (z - 3)2 + = 13 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = Giải A= 1 1 = ≤ max A= ⇔ x = 2 x − 4x + ( x − ) + 5 14 Giải phương trình : Giải x − 4x + 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 3(x + 1) + + 5(x + 1) + 16 = − (x + 1) Vế trái phương trình không nhỏ 6, vế phải không lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1 15 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x,y >0 2x+xy = a+b a+b Giải Bất đẳng thức Cauchy ab ≤ viết lại dạng ab ≤ ÷ (*) (a, b ≥ 0) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy Ta : 2x + xy 2x.xy ≤ ÷ =4 Suy x2y ≤ Dấu = xảy 2x = xy = 4:2 tức x = 1, y = ⇒ max A = ⇔ x = 2, y = 16 Cho S = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − Hãy so sánh S 1998 1999 Giải Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : > a + b ab Áp dụng ta có S > 1998 1999 17 Cho số x y dấu Chứng minh : x y2 x y x y + ≥2 a) b) + ÷− + ÷ ≥ x y x y x y x y4 x y2 x y c) + ÷− + ÷+ + ÷ ≥ x y x y x y x y x y x + y − 2xy (x − y) + ≥2 + −2= = ≥ Vậy Giải a) y x y x xy xy x y2 x y x y2 x y x y b) Ta có : A = + ÷− + ÷ = + ÷− + ÷+ + ÷ x y x y x y x y x y 2 x y2 x y x y Theo câu a : A ≥ + ÷− + ÷+ = − 1÷ + − ÷ ≥ x y x y x y x y4 x y2 x y + ≥ (câu c) Từ câu b suy : + ÷− + ÷ ≥ Vì y x y x y x a) x y4 x y2 x y Do : + ÷− + ÷+ + ÷ ≥ x y x y x y 18 Cho số x y khác Chứng minh : x y x y2 + + ≥ + ÷ 2 y x y x x y x y2 + = a ⇒ + + = a2 Giải Đặt y x y x x y2 Dễ dàng chứng minh + ≥ y x Nên a2 ≥ 4, | a | ≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 - + ≥ 3a ⇔ a2 - 3a + ≥ ⇔ (a - 1)(a -2) ≥0 (2) Từ (1) suy a = a = -2 Nếu a = (2) Nếu a = -2 (2) Bài toán chứng minh x y2 z2 x y z 19 Cho số x, y, z dương Chứng minh : + + ≥ + + y z x y z x Giải Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : 2 x y z x y z − 1÷ + − 1÷ + − ÷ + + + ÷ ≥ y z x y z x 20 Cho hai số dương a,b thoả mãn a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ Giải Giả sử a + b > ⇒ (a + b)3 > ⇔ a3 + b3 + 3ab(a + b) > ⇔ + 3ab(a + b) > ⇒ ab(a + b) > ⇒ ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương (a + b) ta được: ab > a2 - ab + b2 ⇒ (a - b)2 < 0, vô lí Vậy a + b > x y z 21 Tìm giá trị nhỏ : A = y + z + x với x, y, z > Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : x y z x y z A = + + ≥ 33 = y z x y z x x y z x y z Do + + ÷ = ⇔ = = ⇔ x = y = z y z x y z x 22 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = Giải Ta có x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x - y)2 ≥ ⇒ x2 - 2xy + y2 ≥ Từ suy 2(x2 + y2) ≥ 16 ⇒ x2 + y2 ≥ A = khi x = y = 23 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ; x + y + z = Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ 3 xyz (1) = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x + y)(y + z)(z + x) (2) Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A 3 2 2 ⇔ ⇒ A ≤ ÷ max A = ÷ x = y = z = 9 9 VI Kết luận: Kiến thức học sinh học GV nghiên cứu hữu hạn kiến thức toán học vô tận Rất mong niềm đam mê nghiên cứu toán học ngày chuyên sâu đáp ứng niềm mong chờ quý phụ huynh học sinh Người soạn Trịnh Thanh Việt