tổng hợp bài tập bồi dưỡng HSG toán lớp 9 lời giải chi tiết

I. Số học (số vô tỷ và phép khai căn) Bài 1. Chứng minh 7 là số vô tỉ. HD giải Giả sử 7 là số hữu tỉ thì có thể đặt m 7 n  (tối giản).  2 2 2 2 m 7 hay 7n m n   (1). Đẳng thức này chứng tỏ m 2 chia hết cho 7 mà 7 là số nguyên tố nên m 7. Đặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2  n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số m n không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 không phải là số hữu tỉ;  do đó 7 là số vô tỉ. (ĐPCM) Tổng quát: Căn bậc 2 của các số nguyên tố đều là số vô tỉ Bài 2: So sánh các số thực sau (không dù

Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) I.- Số học (số vô tỷ phép khai căn) ***Bài Chứng minh số vô tỉ HD giải Giả sử số hữu tỉ đặt m2 m (tối giản)   hay 7n  m (1) 7 n n Đẳng thức chứng tỏ m chia hết cho mà số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2 = 49k2  n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 số nguyên tố nên n phân số m không tối giản, trái giả thiết n Vậy số hữu tỉ;  m n chia hết số vô tỉ (ĐPCM) * Tổng quát: Căn bậc số nguyên tố số vô tỉ ***Bài 2: So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a) c)  15 23  19 27 b) 17   d) 45 HD giải: Đưa số phương > < so sánh a) b) c)  15   16    Vậy  15 < 17    16        49  45 23  19 23  16 23  2.4     25  27 3 ***Bài Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhỏ HD giải Các số 1,42 2 Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) ***Bà : Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ HD giải : Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết  Vậy c phải số vô tỉ ***Bà : Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương a số vô tỉ HD giải: Chứng minh ***Bài Chứng minh số sau số vô tỉ : 1 a) b) m  với m, n số hữu tỉ, n ≠ n HD giải = m2 –  a) Giả sử  = m (m : số hữu tỉ)  b) Giả sử m +  = a (a : số hữu tỉ)  n =a–m  n số hữu tỉ (vô lí) = n(a – m) số hữu tỉ, vô lí ***Bà Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? HD giải: Có, chẳng hạn  (5  2)  ***Bà 8: Xét xem số a b số vô tỉ không : a) ab a số vô tỉ b b) a + b a số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) Trả lời: a) Có thể b & c) Không thể Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) ***Bài 0,9999 (20 chữ số 9) Tìm 20 chữ số thập phân số : Giải: Đặt 0,999…9 = a Cần chứng minh 20 chữ số thập phân Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có : < a <  a(a – 1) <  a2 – a <  a2 < a Từ a2 < a < suy a < 0,9999 Vậy a chữ số a < = 0, 9999… 9…… ( 20 chữ số sau dấu phẩy) 20 chữ số ***Bài 10: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : G  3x   5x   x  x  HD giải: Đặt biểu thức > 0; Giải tim x ***Bài 11 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A  x2  x  E 1  3x B G 2x   x C    9x x  x2 x 4 D x  5x  H  x  2x    x HD giải: Đặt biểu thức > 0; Giải tim x ***Bài 12 So sánh :  13  c) a) a   b= 1 b) 1 n   n  n+1  n (n số nguyên dương) Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) HD giải a) Xét a2 b2 Từ suy a = b  13    (2  1)     Vậy hai số b)  c) Ta có : Mà n   n 1    n   n   n   n   n   n nên n+1  n   n   n  n+2  n   n   n II Đại Số học (bất đẳng thức Cauchy) ***Bài 13 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: 1 1 1  2    a b c a b c HD giải: Biến đổi BT 1 1  1 2(c  b  a 1 1                2 = a b c c abc a b c  ab bc ca  a b = 1   Suy điều phải chứng minh a b c ***Bài 14: So sánh : a) a   b= 1 b) n   n  c)  13  1 n+1  n (n số nguyên dương) HD giải a) Xét a2 b2 Từ suy a = b b)  13    (2  1)     Vậy hai số c) Ta có : Mà  n   n 1   n   n   n   n   n   n nên ***Bài 15 Giải phương trình :  n+1  n   n   n  n+2  n   n   n 3x  6x   5x  10x  21   2x  x Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) HD giải Viết lại phương trình dạng : 3(x  1)2   5(x  1)2  16   (x  1) Vế trái phương trình không nhỏ 6, vế phải không lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1 ***Bài 16 Cho S 1 1      1.1998 2.1997 k(1998  k  1) 1998  Hãy so sánh S 1998 1999 HD giải Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : Thay vào ta có S > ***Bài 17  ab a  b 1998 1999 a) Cho a, b, c > Chứng minh : bc ca ab   abc a b c b) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab HD giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương bc ca bc ab ca ab , ta có: ; ; a b a c b c bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab  2  2c;  2  2b ;  2  2a a b a b a c a c b c b c cộng vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c b) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :  (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b)  122 ≥ 60P  P ≤ 3a  5b  3a.5b 12 12  max P = 5 Dấu xảy 3a = 5b = 12 :  a = ; b = 6/5 ***Bài 18: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = HD giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ 3 xyz (1) Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x  y)(y  z)(z  x) (2) 2 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A  A ≤   9 3 2 max A =   x = y = z = 9 ***Bài 19: Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x  y2 2 xy 55 Cách : Xét; x  y  2(x  y)  x  y  2(x  y)   2xy  (x  y  2)  Cách : x  y2   x  y2 Biến đổi tương đương 2 2   (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ xy  x  y  (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥  (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥  (x2 + y2 – 4)2 ≥ Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy : x  y x  y  2xy  2xy (x  y)  2.1 (x > y)    (x  y)   (x  y) xy xy xy xy xy Dấu đẳng thức xảy khi: x 6 6  6  6 ;y ;y x  2 2 ***Bà 20 : Tìm giá trị nhỏ : A  x y z   với x, y, z > y z x HD giải: giả sử x ≥ y ≥ z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : A x y z x y z    33  y z x y z x Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) x y z x y z Do          x  y  z y z x y z x Cách : Ta có : x y z x y y z y x y            Ta có   (do x, y > 0) y z x y x z x x y x nên để chứng minh x y z y z y    ta cần chứng minh :    z x x y z x (1) (1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)  xy + z2 – yz – xz ≥  y(x – z) – z(x – z) ≥  (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z   y z x PHH sưu tầm & soạn lại HD giải - 2015