CHỦ ĐỀ 2MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC NỘI TIẾP .Mục tiêu: -Củng cố các định nghĩa góc ở tâm,góc nội tiếp,góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung,góc có đỉnh ở trong hay ngoài đườ
Trang 1CHỦ ĐỀ 2
MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC NỘI TIẾP
<I>.Mục tiêu:
-Củng cố các định nghĩa góc ở tâm,góc nội tiếp,góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung,góc có đỉnh ở trong hay ngoài đường tròn tứ giác nội tiếp
-Rèn kĩ năng vận dụng các kiến thức trên để giải một số dạng toán về tứ giác nội tiếp -Bồi dưỡng tính cẩn thận,chính xác ,tư duy linh hoạt trong giải toán
<II>.Thời lượng: 6 tiết.
<III>.Loại chủ đề: Bám sát
<IV>.Tài liệu tham khảo SGK đại số 9 + SBT tốn 9 + nâng cao và phát tiển tốn 9
<V>.Nội dung
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT CƠ BẢN : 1.Các loại góc liên quan đến đường tròn.
m B A O
Góc ở tâm AOBs®AmB
m O B
A
2
B
y
O
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
1 ®AmB 2
E
n
m D A O
Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
®AmD ®BnC
2
O n
m
D
B
A
C
E
Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
®BnD ®AmC
2
2.Tứ giác nội tiếp:
Trang 2N M
D C
B A
I
-ẹũnh nghúa:Tửự giaực coự 4 ủổnh cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn ủửụùc goùi laứ tửự giaực noọi tieỏp
ủửụứng troứn
-ẹũnh lớ:Trong moọt tửự giaực noọi tieỏp,toồng soỏ ủo hai goực ủoỏi dieọn baống 1800
-ẹũnh lớ ủaỷo:Neỏu moọt tửự giaực coự toồng soỏ ủo hai goực ủoỏi dieọn baống 1800 thỡ tửự giaực ủoự noọi tieỏp ủửụùc trong moọt ủửụứng troứn
*Daỏu hieọu nhaọn bieỏt moọt tửự giaực noọi tieỏp.
+Tửự giaực coự toồng soỏ ủo hai goực ủoỏi dieọn baống 1800
+Tửự giaực coự goực ngoaứi taùi moọt ủổnh baống goực trong cuỷa ủổnh ủoỏi dieọn
+Tửự giaực coự hai ủổnh keà nhau cuứng nhỡn caùnh chửựa hai ủổnh coứn laùi dửụựi hai goực baống nhau
+Tửự giaực coự 4 ủổnh cuứng caựch ủeàu moọt ủieồm.ẹieồm ủoự chớnh laứ taõm cuỷa ủửụứng troứn
ủi qua 4 ủổnh cuỷa tửự giaực
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Tiết 1-2 Dạng 1: Chứng minh tứ giỏc nội tiếp đường trũn
Vớ dụ 1:.Cho AB,CD laứ hai dõy khoõng caột nhau cuỷa ủửụứng troứn (O).Goùi I laứ ủieồm
chớnh giửừa cuỷa cung AB.Hai dõy IC,ID laàn lửụùt caột dõy AB taùi M vaứ N
Chửựng minh raống :Tửự giaực MNDC noọi tieỏp ủửụùc trong một ủửụứng troứn
Hửụựng daón:
Vỡ I laứ ủieồm chớnh giửừa cuỷa cung AB IA IB
ó:MCD 1 đID (Đ/l góc nội tiếp)
2
1 ( đAI đBD) (Góc có đỉnh bên trong đ ờng tròn) 2
= ( đIB đBD)= đID
MCD BND
ặt khác:BND 180 ( ì kề bù)
MCD DNM 180 Vậy tứ giỏc CDNM nội tiếp đường trũn
Trang 3Q P
M H
C B
A
O
C
D
B
Q
A
O
P
O F
K
C B
A
Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC, vẽ cỏc đường cao BK, CF cắt nhau tại O.Chứng minh
cỏc tứ giỏc AFOK; BFKC nội tiếp đường trũn
Hướng dẫn:
Ta cú: AFO AKO900
AFO AKO 90 90 180
Vậy tứ giỏc AFOK nội tiếp đường trũn
Ta cú :BFC BKC 900
F, K cựng thuộc đường trũn đường kớnh BC
Tứ giỏc BFKC nội tiếp đường trũn đường kớnh BC
Vớ dụ 3 Cho tửự giaực ABCD noọi tieỏp trong ủửụứng troứn (O) coự AB=BD.Tieỏp tuyeỏn
cuỷa (O) taùi A caột ủửụứng thaỳng BC taùi P.Giao ủieồm cuỷa caực ủửụứng thaỳng AB vaứ CD laứ
Q.Chửựng minh raống tửự giaực APQC noọi tieỏp ủửụùc trong một ủửụứng troứn
Hửụựng daón:
AB=BD (gt) neõn AB BD
Ta cú:
1 PAQ đAB (Đ/l góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
2
óc có đỉnh bên
( đBC đDC) = đBD đAB
PAQ ậy tứ giác APQC nội tiếp đ ờng tròn
s
G
PCQ V
?1Hóy tớm cỏch khỏc để chứng minh tứ giỏc APQC nội tiếp
Vớ dụ 4: Cho tam giỏc đều ABC cú đường cao AH, M là một điểm trờn cạnh BC ( M
khụng trựng với B và C) Gọi P,Q theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ M đến
AB,AC Chứng minh năm điểm A, P , M, H , O cựng thuộc một đường trũn
Hướng dẫn
Gọi O là trung điểm của AM 1
2
Trong tam giỏc AHM vuụng tại H, cú HO là đường trung tuyến ứng
Với cạnh huyền AM 1
2
Tương tự , trong tam giỏc vuụng APM và AQM ta cũng cú:
1 ; 1
Trang 4E
D C
B
A
O' O
M F
E
D
C B
A
E
B
F
O' O
D
Suy ra: 1
2
AO MO HO PO QO AM Vậy 5 điểm A,P,H,M, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AM
?2 Tứ giác HPOQ là hình gì? Vì sao?
?3 Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC để PQ có độ dài nhỏ nhất?
Bài tập làm ở nhà:
Bài 1:Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Đường kính AC cuae
đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai E Đường kính AD của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
b) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
và tứ giác OO’EF nội tiếp
Hướng dẫn:
a) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau
Cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông
b) Chứng minh 0
180
ABC ABD
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC
và BD cắt nhau tại E Vẽ EF vuông góc với AD (F thuộc AD) Gọi M là trung điểm của
DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF ; CDFE nội tiếp
b) CA là tia phân giác của góc BCF
c) Tứ giác BCMF nội tiếp
Hướng dẫn:
a) Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 1800
b) Chứng minh BCA FCA
c) Chứng minh BCF BMF
Tiết 3-4 Dạng 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp giải các bài toán hình học
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Vẽ một đường thẳng
qua A cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D Vẽ một đường trẳng qua B cắt đường tròn (O) tại E và cắt đường tròn (O’) tại F ( Hai đoạn thẳng CD và EF không cắt
nhau) Chứng minh rằng CE//DF
Hướng Dẫn
Trang 5y
x
O
E D
C
B
A
x
O
E D
C
B
A
F H
Vẽ dây cung AB, ta cĩ DAB kề bù với CAB nên
CAB DAB
Tứ giác ABEC là tứ giác nội tiếp nên:
CAB CEB CEB DAB
Tứ giác ABFDlà tứ giác nội tiếp nên:
DAB DFB CEB DFB CE DF
?2 Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Vẽ một đường thẳng qua A cắt đường trịn (O) tại C và cắt đường trịn (O’) tại D.Vẽ dây CE của đường trịn (O) và dây
DF của đường trịn (O’) sao cho CE//DF Chứng minh ba điểm E,B,F thẳng hang
Ví dụ 2: Cho (O;R) và dây BC< 2R cố định ; Điểm A chạy trên cung lớn BC Gọi D
là hình chiếu của B trên AC; E là hình chiếu của C trên AB; đường thẳng xy là tiếp tuyến tại
A của đường trịn (O;R)
a)Chứng minh rằng :xy//ED và DEAO
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE ,AH cắt BC tại F
Chứng minh H là tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF
Hướng dẫn:
Xét tứ giác BEDC ta cĩ:
0
90
BEC BDC
E, D thuộc đường trịn đường kính BC
Tứ giác BEDC nội tiếp đường trịn đường kính BC
AED ACB
(1)
Mặt khác :Gĩc xAB là gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây cungAB nên 1
2
Gĩc ACB là gĩc nội tiếp chắn cung AB nên 1
2
xAB ACB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: xAB AED , mà hai gĩc này lại ở vị trí so le trong nên xy//ED
Ta lại cĩ:xy AO ( vì xy là tiếp tuyến) nên DEAO
?3 Hãy chứng minh câu b) bằng cách điền vào chỗ trống (….)
Tam giác ABC cĩ hai đường cao BD và CE cắt nhau
Tại H nên H là ……… của tam giác ABC
Trang 6d K
F
D
E
C B
A x
y
AF BC
Tam giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính……
nên EDB (1)
Tam giác HDCF nội tiếp đường tròn đường kính ……
Nên HDF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ………
Vậy DH là tia phân giác của góc …………
Chứng minh tương tự ta có : HF là tia phân giác của góc ……… .Vậy H là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB<AC và nội tiếp trong đường tròn (O); đường
thẳng xy là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) Một đường thẳng d song song với xy cắt
AB, AC, BC theo thứ tự tại E, D,F
a) Chứng minh rằng FBEFDC và FE.FD=FB.FC
b) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của (d) và (O) Chứng minh rằng FI.FK=FE.FD
Hướng dẫn : a)Ta có xy//d xAB FEB ( hai góc đồng vị)
Mà xAB ACB ( vì hai góc này cùng chắn một cung AB)
FE FD FB FC
b)Tứ giác BIKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O)
180
IBC IKC
( Theo tính chất của tứ giác nội tiếp)
Mà FIB IBC 1800( vì là hai góc kề bù)
FBI IKC
hay FBI FKC
FB FC FI FK
Từ (1) và (2) suy ra: FI.FK=FE.FD (ĐPCM)
Ví dụ 4:Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B và C A là điểm trên đường
tròn (O) AB cắt đường tròn (O’) tại D, AC cắt đường tròn (O’) tại E AO cắt DE tại H I là trung điểm của BC
Trang 71
2 1 1
H
O' O
E
D A
C B
a) Chứng minh rằng tứ giác OIDH nội tiếp đường trịn và AHDE
b) Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại A Chứng minh (d) //DE
Hướng dẫn
a) I là trung điểm của AB nên OI là đường
phân giác đồng thời là đường cao của tam giác
AOB OI A B và 1 1
2
Mà
1
C là gĩcnội tiếp của (O) chắn cung AB
nên 1 1
2
O C1 1(1)
Tứ giác BCED nội tiếp đường trịn (O’) nên 0
C D Mà 0
C C (kề bù)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
O D Tứ giác OIDH cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc
trong của đỉnh đối diện (
O D ) nên nội tiếp được trong đường trịn
OID OHD
Mà OID 900 OHD 90 0Vậy AH DE
b)Vì (d) là tiếp tuyến của (O) nên ( )d OA hay ( )d AH.Mà AH DE (cmt)
( )//d DE
Tiết 5-6
LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Một đường thẳng qua B cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D Tiếp tuyến của (O) tại C và của (O’) tại D cắt nhau tại I Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác ICD luơn đi qua một điểm cố định
Bài 2:Cho tam giác ABC, các đường phân giác của các gĩc trong B và C gặp nhau
tại S, các đường phân giác của các gĩc ngồi tại B và C gặp nhau tại E
a)Chứng minh tứ giác BSCE là tứ giác nội tiếp
Trang 8b)Chứng minh ba điểm A,S,E thẳng hàng.
c)Gọi M là trung điểm của SE Chứng minh tứ giác ABMC nội tiếp
Bài 3:Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA và MB
với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD vuông góc AB, CE vuông góc AM,
CF vuông góc BM Gọi I là giao điểm của BC và DF, K là giao điểm của BC và DF Chứng minh:
a) Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn
b) Tứ giác BFCD nội tiếp đường tròn
c) CD2 CE CF.
d) Tứ giác DKCI nội tiếp
e) IK//AB
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R , M là điểm trên nửa đường tròn , kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M , A và B cắt nhau tại C và D
.a)Chứng minh COD AMB
b) Chứng minh tích AC.BD luôn không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn
c) Tính tỉ số AMB
COD
S
S khi AC R2
d) Gọi P là giao điểm của AM và CO; Q là giao điểm của BM và OD Chứng minh
tứ giác CPQD nội tiếp
Chủ đề tự chọn Bám sát lớp 9
Tháng 3 năm 2010
Trường THCS Ân Hảo ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHỦ ĐỀ
Lớp 9A1 Thời gian 15’
Họ và tên: ………
Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm D ở giữa A và B Đường tròn đường kính
BD cắt BC tại E và CD tại F
Trang 9a)Chứng minh tứ giác ACBF nội tiếp.
b)Chứng minh rằng D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF
c)Gọi S là giao điểm của AB và CF chứng minh ba điểm S,D,E thẳng hang
BÀI LÀM
