Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f(x)

Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) 1- MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tốn học có vai trò vị trí đặc biệt quan trọng khoa học kĩ thuật đời sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng môn khoa học khác Thông qua việc học Toán, học sinh nắm vững nội dung tốn học phương pháp giải tốn từ vận dụng vào môn học khác môn khoa học tự nhiên Chính tốn học có vai trò quan trọng trường phổ thơng, đòi hỏi người thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương pháp dạy học giúp học sinh học giải toán, đồng thời vận dụng vào thực tế Các tốn có liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) tốn khó, vấn đề nan giải học sinh THPT, đặc biệt học sinh dự thi THPT Quốc Gia năm gần Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ơn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn đòi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Khi làm toán yêu cầu học sinh phải có kỹ năng, có suy luận tư toán học nhanh nhạy đồng thời phải nắm kiến thức Trong chương trình THPT vấn đề giải toán hàm số có liên quan đến đồ thị hàm f '( x) có nhiều khó khăn học sinh Trong trình dạy đọc tài liêu tham khảo, rút kỹ nhỏ giúp học sinh giải toán liên quan đến đồ thị f '( x) Xây dựng chương trình giải bước quan trọng, để có chương trình giải tối ưu trước hết phải nghiên cứu thật kĩ cấu trúc tốn, xem xét nhiều góc độ, nắm kiến thức từ định hướng giải phù hợp Các toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) tốn khó có nhiều tư logic tổng hợp nhiều kiến thức chương trình THPT, giáo viên cần trang bị cho học sinh để giúp em giải tốt tốn chương trình thi THPT Quốc Gia góp phần nâng cao tư tốn học, tạo điều kiện cho việc học tốn nói riêng q trình học tập nói chung Trong q trình dạy học, ơn thi THPT Quốc Gia tơi nhận thấy phần toán liên quan đến đồ thị hàm f '( x) học sinh lúng túng làm tốn Với đề tài tơi hy vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp toán liên quan đến đồ thị hàm f '( x) đồng thời hình thành học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát hiên giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn 1.2 Mục đích nghiên cứu Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Để cho học sinh thấy mối liên hệ đồ thị hàm số y = f '( x) với vấn đề hàm số y = f ( x) Từ làm tốt dạng toán này, mang lại kết cao kì thi, đặc biệt kì thi THPTQG 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài vận dụng số lý thuyết chương trình SGK 12 để giải dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm số y = f '( x) 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận Định lý: (1) Nếu hàm số u = g ( x) có đạo hàm x u '( x) hàm số y = f (u ) có đạo hàm u y '(u ) hàm hợp y = f ( g ( x)) có đạo hàm x là: y '( x) = y '(u ).u '( x) Dấu hàm số khoảng: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Khi +) f ( x) > với ∀x ∈ (−∞; a) ∪ (b; c) +) f ( x) < với ∀x ∈ (a; b) ∪ (c; +∞) x = a  +) f ( x) = ⇔  x = b  x = c Như vậy: a/ x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f '( x) nằm phía trục hồnh khoảng hàm số f ( x) đồng biến b/ x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f '( x) nằm phía trục hồnh khoảng hàm số f ( x) nghịch biến 2.1.1.Tính đơn điệu hàm số Định lý: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm I a) Nếu f '( x) > 0, ∀x ∈ I hàm số f đồng biến I b) Nếu f '( x) < 0, ∀x ∈ I hàm số f nghịch biến I +) Dấu hiệu hận biết tính đơn điệu hàm số bảng biến thiên x a b c y’ + f(b) y f(a) f(c) - Hàm số đồng biến khoảng (a; b) Trang 161, sách giáo khoa Đại số giải tích 11 NXB Giáo Dục Trang 5, sách giáo khoa Đại số giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) - Hàm số nghịch biến khoảng (b;c) 2.1.2 Cực trị hàm số Dấu hiệu nhận biết cực trị hàm số bảng biến thiên x x0 a f ’( x + ) f( x0 ) b (Cực đại) f( x ) x x0 a f(x ’ + b - ) f( x ) (Cực tiểu) f( x0 ) 2.1.3 Giá trị lớn nhỏ Dấu hiệu nhận biết giá trị lớn nhất, nhỏ bảng biến thiên x x0 a b ’ x f( + ) f( x0 ) f( x ) f ( x) = f ( x0 ) Ta có: Max [ a ;b ] x f( a ) f(b) x0 a f(x ) ’ + b - f( a ) Trang 13, sách giáo khoa Đại số giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục f(b) Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) f( x ) f( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) Tacó: Min [ a ;b ] Trang 13, sách giáo khoa Đại số giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) x a b f(x ’ + ) f(b) f( x ) f( a ) = f (a) Max f ( x) = f (b) Ta có: M [inf(x) ; [ a ;b ] a ;b ] x a f(x ’ b - ) f( a ) f( x ) f ( x) = f (b) ; Maxf ( x ) = f (a) Ta có: Min [ a ;b ] [ a ;b ] 2.1.4 Các toán liên quan đến tích phân +) Diện tích hình thang cong: f(b) S = S ( b) = F ( b) − F ( a) b S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx a 2.2 Thực trạng vấn đề Do giảm tải kiến thức bậc THPT mà số lượng tập SGK dùng phương pháp để giải ít, Phương pháp khơng mang tính chất phổ biến bắt buộc Chính lẽ mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp cách máy móc chưa biết sử dụng Trang 146, sách giáo khoa Đại số giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Đối với học sinh giỏi việc tiếp cận phương pháp để giải toán vấn đề cần thiết giúp cho em có kỉ năng, kỉ xảo việc giải tập vận dụng Trang 146, sách giáo khoa Đại số giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) cao đồng thời chuẩn bị cho em kiến thức vững vàng đạt kết cao kì thi THPTQG Hòa chung vào phấn đấu tổ chuyên môn nhà trường đội ngũ giáo viên tổ Tốn khơng ngừng phấn đấu đóng góp đáng kể vào thành tích chung nhà trường Tuy nhiên thực trạng dạy học toán trường THPT nói chung trường THPT Tĩnh gia nói riêng điều trăn trở Về phiá học sinh: + Mặc dù học sinh ý thức tầm quan trọng toán học, nhiên chất lượng học tập mơn Tốn chưa thật cao chưa đồng Chất lượng tương đối ổn định số lớp khối + Vẫn học sinh chưa xác định động mục đích học tập, học ý thức phấn đấu, vươn lên Mơn tốn học sinh thường mắc phải sai lầm từ phép biến đổi đơn giản, cách giải toán đồ thị hàm số f '( x) , có nhiều lỗ hổng kiến Khả tiếp thu học sinh hạn chế - Về phía giáo viên: Trong năm gần thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm nên lượng kiến thức rộng Bên cạnh hệ thống tập chưa đáp ứng nhu cầu thực tiễn, chưa có chiều sâu, dừng lại việc cải tiến phương pháp Trong trình giảng dạy ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức mà chưa trọng đến cách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá lĩnh hội kiến thức từ chưa khơi dậy niềm đam mê hứng thú học tập, chưa gợi động học tập cho hoạc sinh 2.3 Một số biện pháp Dạng 1: Tính đơn điệu hàm số Phương pháp chung: +) Nếu đồ thị hàm số y = f ¢( x) nằm trục hồnh f '( x) > +) Nếu đồ thị hàm số y = f ¢( x) nằm phía trục hồnh f '( x) < Từ suy tính đơn điệu hàm số Đối với hàm hợp sử dụng lưu ý thêm: đồ thị hàm số y = f ¢( x) cắt trục hồnh x0 f '( x) = Từ ta thiết lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x) Từ bảng biến thiên hàm số ta suy tính đơn điệu Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên Khẳng định sau sai ? A Hàm số f ( x) đồng biến ( - 2;1) B Hàm số f ( x) đồng biến ( 1;+¥ ) C Hàm số f ( x) nghịch biến đoạn có độ dài D Hàm số f ( x) nghịch biến ( - ¥ ;- 2) Phân tích tốn: Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Ta thấy đồ thị hàm số y = f ¢( x) nằm trục hoành x ∈ (−2;1) ∪ (1; +∞) nên f '( x) > với ∀x ∈ (−2;1) (1; +∞) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) nằm phía trục hồnh x ∈ (−∞; −2) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) ta thấy: ● f '( x) > é- < x < ắắ đ f ( x) ờx > ë đồng biến khoảng ( - 2;1) , ( 1;+¥ ) Suy A đúng, B ® f ( x) nghịch biến khoảng ( - ¥ ;- 2) Suy D ● f '( x) < x Û ê êx > ë g¢( x) = - f ¢( 3- 2x) é- < 3- 2x < g¢( x) < Û f ¢( 3- 2x) > Û ê Û ê3- 2x > ë Vậy g( x) nghịch biến khoảng Nhận xét: Dấu g¢( x) é1 ê < x< ê2 ê êx Nhận thấy nghiệm g¢( x) nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Ví dụ ( Đề thi THPTQG năm 2018) theo thi f ' x) 3- 2x = ¾¾ ắ ắ(ắ đ f Â( 3- 2x) = f Â( 3) < Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) Hai hàm số y = f ′ ( x ) y = g ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y = g ′ ( x ) 3  Hàm số h ( x ) = f ( x + ) − g  x − ÷ đồng biến khoảng đây?  31  A  5; ÷  5 2  9  B  ;3 ÷ 4    C  ; +∞ ÷   31  25  D  6; ÷   Một số dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) 3  Phân tích tốn: Hàm số h ( x ) = f ( x + ) − g  x − ÷ tổng hai hàm hợp  2 3  ta cần tìm x để : h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x − ÷ >  2 Lời giải 3  Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x − ÷ 2  25 9  < x + < , f ( x + ) > f ( 3) = 10 ; Dựa vào đồ thị, ∀x ∈  ;3 ÷, ta có 4  3  < x − < , g  x − ÷ < g ( ) = 2 2  3  9  Suy h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x − ÷ > 0, ∀x ∈  ;3 ÷ Do hàm số đồng biến 2  4  9   ;3 ÷.Chọn B 4  Nhận xét: Ở tốn ngồi việc dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) , y = g ′ ( x ) ta ý đến giá trị khoảng mà đề cho Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + dx + e , đồ thị hình bên đồ thị hàm số y = f '( x ) Xét hàm số g ( x) = f ( x - 2) Mệnh đề sai? A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số g ( x) nghịch biến khoảng ( - ¥ ; - 2) g ( x ) đồng biến khoảng ( 2; +¥ ) g ( x ) nghịch biến khoảng ( - 1;0) g ( x) nghịch biến khoảng ( 0;2) Hướng dẫn: Ta có: g '( x ) = x f ' ( x − ) éx = ê g '( x ) = Û ê êx - =- Û ê2 ê ëx - = éx = ê êx = ±1 ê êx = ±2 ë 10 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) éx theo thi f '( x) 2 đ x - 3> 1ắắ ắ ắ ắđ f Â( x - 3) > ( 2) x ẻ ( 2;+Ơ ) đ x > ¾¾ Từ ( 1) ( 2) , suy g¢( x) = 2xf ¢( x - 3) > trờn khong ( 2;+Ơ ) nờn gÂ( x) mang dấu + Nhận thấy nghiệm x = ±1 x = nghiệm bội lẻ nên g¢( x) qua nghiệm đổi dấu; nghiệm x = ±2 nghiệm bội chẵn (lí dựa vào đồ thị ta thấy f ¢( x) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ 1) nên qua nghiệm khơng đổi dấu Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ f ( 0) < 0, đồng thời đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g( x) = f ( x) là: A B C D Phân tích toán: - Hàm số g( x) = f ( x) hàm hợp nên éf ¢( x ) = g ¢( x) = f ¢( x ) f ( x ) ; g ¢( x ) = Û ê êf x = ê ë( ) - y = f ¢( x) cắt trục hoành điểm? - Lập bảng biến thiên hàm số g( x) = f ( x) éx = - f ¢( x) = Û ê êx = ( nghiem kep) ë y = f ( x) Lời giải Dựa vào đồ thị, ta có Bảng biến thiên hàm số 13 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) éx = - ê éf ¢( x) = theo BBT f x êx = ( nghiem kep) ê ( ) Xét g¢( x) = f ¢( x) f ( x) ; g¢( x) = Û êêf ( x) = ơắ ắ ắ ắđ ờờx = a( a 0) ë g x Bảng biến thiên hàm số ( ) Vậy hàm số g( x) có điểm cực trị Chọn C Nhận xét: Dấu g¢( x) xác định sau: Ví dụ chọn x = Ỵ ( - 1;b) theo thi f '( x) ( 1) ắ ắ ắđ f Â( 0) > x = ¾¾ ( 2)  Theo giả thiết f ( 0) < Từ ( 1) ( 2) , suy g¢( 0) < khoảng ( - 1;b) Nhận thấy x = - 2; x = a; x = b nghiệm đơn nên g¢( x) đổi dấu qua nghiệm Nghiệm x = nghiệm kép nên g¢( x) khơng đổi dấu qua nghiệm này, bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x = không ảnh hưởng đến q trình xét dấu g¢( x) Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ Đồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g( x) = f ( x- 2017) - 2018x + 2019 A B C D Lời giải Ta có g¢( x) = f '( x - 2017) - 2018; g¢( x) = Û f '( x - 2017) = 2018 Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) suy phương trình f '( x- 2017) = 2018 có đơn Suy hàm số g( x) có điểm cực trị Chọn A nghiệm 14 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Bài tập rèn luyện Bài Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình vẽ bên Hỏi hàm số g( x) = f ( x) + x đạt cực tiểu điểm ? A x = C x = Bài Cho hàm số B x = D Khơng có điểm cực tiểu y = f ( x) có đạo hàm ¡ Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình vẽ bên dưới.Hàm số g( x) = f ( x) A x = - Bài Cho hàm số B x=0 y = f ( x) x3 + x2 - x + đạt cực đại : C Đồ thị hàm số x = y = f ¢( x) D x=2 hình vẽ f x +1 f x Số điểm cực trị hàm số g( x) = e ( ) + ( ) A B C D ¢ Bài 4: Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình vẽ bên 15 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g( x) = f ( x + m) có trị ? A B C D Vô số điểm cực Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ so sánh giá trị hàm số Phương pháp chung: - Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta thiết lập bảng biến thiên , từ bảng biến thiên ta giải u cầu tốn Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục [ −2; 2] , có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Tìm giá trị x0 để hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn [ −2; 2] y A x0 = B x0 = −1 C x0 = − D x0 = x Phân tích tốn: −2 −1 O Ứng với x thuộc khoảng f '( x ) > 0; f '( x) < ? Từ thiết lập bảng biến thiên Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có bảng biến thiên: x y, - - + + f ( 1) - y Ta chọn đáp án D Ví dụ ( Đề thi ĐH Vinh lần năm 2017) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ bên Biết 16 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M f ( x ) đoạn [ 0;5] ? A m = f ( ) , M = f ( ) B m = f ( ) , M = f ( ) C m = f ( 1) , M = f ( ) D m = f ( ) , M = f ( ) Phân tích tốn : Học sinh dựa vào đồ thị hàm số f '( x ) để thiết lập bảng biến thiên Hướng dẫn: x y, - + f ( 0) + f ( 5) y f ( 2) f ( x) = f ( 2) f( 3) > é0;5ù ê ë ú û ( 2) ; f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) ⇒ f ( ) − f ( ) = f ( ) − f ( 3) < ⇒ f( 0) < ( 5) Ta chọn đáp án D Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) = f ′ ( x ) , y = h ( x ) = g ′ ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A g ( −1) > h ( −1) > f ( −1) y B h ( −1) > g ( −1) > f ( −1) C h ( −1) > f ( −1) > g ( −1) D f ( −1) > g ( −1) > h ( −1) x −2 Hướng dẫn: Pương pháp: Đồ thị hàm số f '( x ) cắt trục hoành điểm điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x) −1 −0,5 O 0,5 1,5 ( 3) ( ) ( 1) 17 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Tìm giao điểm đồ thị hàm số với trục hồnh ( có) sau dựa vào tính chất sau: f '( x ) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f ( x ) tăng I f '( x ) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f ( x ) giảm I Hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) = f ′ ( x ) , y = h ( x ) = g ′ ( x ) có đồ thị đường theo thứ tự ( 1) ;( 2) ;( 3) Từ đồ thị ta thấy: h ( −1) > g ( −1) > f ( −1) Ta chọn đáp án B Bài tập tự luyện Bài Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ bên Biết f ( ) + f ( 1) − f ( ) = f ( ) − f ( 3) Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M f ( x ) đoạn [ 0; 4] ? A m = f ( ) , M = f ( ) B m = f ( ) , M = f ( 1) C m = f ( ) , M = f ( ) D m = f ( 1) , M = f ( ) Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên ¡ đồ thị hàm số f ′ ( x ) đoạn [ −2;6] hình vẽ bên Tìm khẳng định khẳng định sau A C max f ( x ) = f ( −2 ) x∈[ −2;6] max f ( x ) = f ( ) x∈[ −2;6] B D max f ( x ) = f ( ) x∈[ −2;6] max f ( x ) = f ( −1) x∈[ −2;6] tục Dạng 4: Các toán liên quan đến tích phân Phương pháp: 18 Một số dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) b b ò f ( x)dx > b ò f ( x)dx < a ò f ( x)dx = S a S + S3 a b ò f ( x)dx = f (b) - f (a ) a Ví dụ 1.(Đề thi THPTQG năm 2017) số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′( x) hình bên Đặt h( x) = f ( x) − x Mệnh đề ? A h(4) = h(−2) > h(2) B h(4) = h(−2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(−2) D h(2) > h(−2) > h(4) Hướng dẫn: Ta có h '( x) = f '( x ) − x =  f ' ( x ) − x  Ta vẽ đường thẳng y = x 2 ù h ( 2) - h ( - 2) = ò h '( x )dx = ò é ëf '( x ) - x ûdx > Þ h ( 2) > h ( - 2) - - 2 ù h ( 4) - h ( 2) = ò h '( x )dx = ò é ëf '( x ) - x ûdx < Þ h ( 4) < h ( 2) - 2 4 ù é ù é ù h ( 4) - h ( - 2) = ò h '( x )dx = ò é ëf '( x ) - xûdx = ò ëf '( x ) - x ûdx + ò ëf '( x ) - x ûdx - - - 2 h(4) - h(- 2) = S1 - S2 > Þ h ( 4) > h ( - 2) Như ta có: h ( - 2) < h ( 4) < h ( 2) Ta chọn đáp án C 19 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục ¡ đồ thị hàm số f ′ ( x ) hình vẽ Khẳng định sau đúng? A f ( a ) > f ( b) f ( c) > f ( a ) B f ( a ) > f ( b) f ( c ) < f ( a ) C f ( a ) < f ( b) f ( c ) > f ( a ) D f ( a ) < f ( b) f ( c) < f ( a ) a Hướngdẫn: f ( a ) - f ( b) = ò f '( x )dx > Û f ( a ) > f ( b ) b c f ( c) - f ( a ) = ò f '( x )dx < Û f ( c ) < f ( a ) a Ta chọn đáp án B Ví dụ Cho số thực a , b , c , d thỏa mãn < a < b < c < d hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [ 0; d ] Khẳng định sau khẳng định đúng? y a c b d x O A M + m = f ( ) + C M + m = f ( b ) + Hướng dẫn: Ta có bảng biến thiên: x a y , - + f ( c) B M + m = f ( d ) + D M + m = f ( ) + f ( a) c b - f ( c) f ( a) d + 20 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) f ( 0) y f ( b) f ( d) f ( a) f ( c) So sánh f ( a ) ; f ( c) c b c f ( c) - f ( a ) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < Þ f ( c ) < f ( a ) Þ m = f ( c ) a a b So sánh f ( 0) ; f ( b) ; f ( d ) b a b f ( b) - f ( 0) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < Þ f ( b ) < f ( 0) d c a d f ( d ) - f ( b) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < Þ f ( d ) < f ( b ) b b c Þ f ( d ) < f ( b) < f ( 0) Þ M = f ( 0) Ta chọn đáp án A Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d Ỵ ¡ ; a ¹ 0) có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y =- điểm có hồnh độ dương đồ thị hàm số y = f '( x) cho hình vẽ bên Tìm phần ngun giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành? A B 27 C 29 D 35 Hướng dẫn: Ta có f '( x ) = 3ax + 2bx + c Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x ) ta thấy đồ thị hàm số y = f '( x) qua điểm ( - 1;0) , ( 3,0) , ( 1, - 4) ta tìm được: a = ; b =- 1; c = - Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y =- điểm có hồnh độ dương nên ta có: f '( x ) = Û x =- 1; x = Þ x = Suy ra: f '( x ) = x - x - Þ f ( x ) = x - x - 3x + C Như (C) qua điểm ( 3; - 9) ta tìm C = Þ f ( x ) = x - x - 3x 21 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Xét phương trình trình hồnh độ giao điểm trục hoành: 3 ±3 x - x - 3x = Û x = 0; x = 3+3 S= ò 3- x - x - 3x dx = 29, 25 Ta chọn đáp số C Bài tập tự luyện Bài Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục đoạn [- 1; 2] , có đồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ sau Mệnh đề sau ? f ( x ) = f ( 2) A max[- 1;2f ]( x) = f ( - 1) B max [- 1;2] f ( x) = f ( 1) D max f ( x) = C max [- 1;2] [- 1;2] ổử 3ữ fỗ ữ ç ÷ ç è2 ø Bài Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ , có đồ thị hàm số y = f '( x ) hình vẽ sau Đặt g ( x) = f ( x ) - x Mệnh đề sau ? A g ( - 1) < g ( 1) < g ( 2) B g ( 2) < g ( 1) < g ( - 1) C g ( 2) < g ( - 1) < g ( 1) D g ( 1) < g ( - 1) < g ( 2) Một số toán khác Gọi S quãng đường mà vật được, v vận tốc t thời gian Ta có : S ' = v Bài toán 1:( Mã Đề 101- Đề thi THPTQG năm 2017) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 (km) B s = 21,58 (km) C s = 15,50 (km) D s = 13,83 (km) Hướng dẫn: 22 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v ( t ) = at + bt + c ( km / h) ïìï ïìï ïï c = ïï c = ïï ï - Ta có: í 4a + 2b + c = Û íï b = Þ v ( t ) = t + 5t + ïï ïï - ïï - b ïï =2 ïï ïï a = ỵ ỵ 2a 31 Ta có v ( 1) = suy phương trình chuyển động vật tốc theo đường thẳng 31 y = Vậy quãng đường mà vật di chuyển là: æ 31 259 s = ũỗ t + 5t + 4÷ dt + dt = » 21,58 Ta chn ỏp ỏn B ữ ỗ ũ4 ữ ỗ ố ø 12 Bài toán 2: Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị phần đường   parabol với đỉnh I  ;8 ÷ trục đối xứng song song với trục 2  tung hình bên Tính qng đường s người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ bắt đầu chạy A s = 4,0 (km) B s = 2,3 (km) C s = 4,5 (km) D s = 5,3 (km) Hướng dẫn: Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v ( t ) = at + bt + c ( km / h) ìï ïï ïï c = ïï a b Ta có: í + + c = Û ïï ïï ïï - b = ïïỵ 2a ïìï c = ï í b = 32 Þ v ( t ) =- 32t + 32t ïï ïïỵ a =- 32 Vậy quãng đường mà vật di chuyển 45 phút là: 3/4 s = ò( - 32t + 32t ) dt = = 4,5 Ta chọn đáp án C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với học sinh khối 12, em nhận thức cách đầy đủ hàm số tích phân phương pháp áp dụng cách phổ biến tập cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng khó 23 Một số dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Kết nhận thấy số lượng học sinh giỏi hứng thú với phương pháp giải toán tập dạng em giải thành thạo Trong năm học 2017-2018, 2018-2019 qua buổi dạy sử dụng đồ thị hàm số f '(x) giúp học sinh giải tập tập có liên quan đến hàm số nhanh hơn, gọn hơn, đẹp Sử dụng đồ thị hàm số f '(x) công cụ mạnh để giải tốn có liên quan Đặc biệt toán hàm số Kết học sinh nắm kiến thức, hiểu áp dụng vào tập tương tự Cụ thể khoảng 30- 35% học sinh đạt kết trung bình, khoảng 6570% học sinh đạt kết Khá, Gỏi Loại Giỏi Loại Khá Loại TB Năm học Lớp Số HS SL % SL % SL % 12A1 45 15 33,3 16 35,5 10 31,2 2017-2018 12A3 45 10 22,2 21 46,7 13 31,1 12A2 45 12 26,7 18 40,0 15 33,3 2018 - 2019 12A6 45 20,0 21 46,7 15 33,3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Sử dụng số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) thường phương pháp hay, độc đáo, tổng hợp nhiều kiến thức cho học sinh, không phổ biến bậc THPT Qua trình tham khảo, nghiên cứu học hỏi sử dụng phương pháp để dạy cho học sinh nhận thấy có hiệu cao học sinh 3.2 Kiến nghị: Duy trì hoạt động viết sáng kiến kinh nghiệm năm học, hoạt động bổ ích thiết thực cho giáo viên, công tác chuyên môn Cần động viên kịp thời để phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm ngày phát triển sâu rộng Cần trang bị cho giáo viên dạy tài liệu tham khảo phù hợp với chương trình Tĩnh Gia, ngày 28 tháng năm 2019 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tơi xin cam đoan tồn nội dung đề tài ĐƠN VỊ thân nghiên cứu thực hiện, không chép nội dung NGƯỜI VIẾT SKKN Lê Đình Sơn 24 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan, Sách giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Trần Văn Hạo, Giải tốn đại số giải tích 11 (Tái lần thứ nhất), NXB Giáo Dục 25 ... Đồ thị hàm số f '( x ) cắt trục hoành điểm điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x) −1 −0,5 O 0,5 1,5 ( 3) ( ) ( 1) 17 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Tìm giao điểm đồ thị hàm số. .. vẽ f x +1 f x Số điểm cực trị hàm số g( x) = e ( ) + ( ) A B C D ¢ Bài 4: Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình vẽ bên 15 Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Có.. .Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f '( x) Để cho học sinh thấy mối liên hệ đồ thị hàm số y = f '( x) với vấn đề hàm số y = f ( x) Từ làm tốt dạng toán này, mang lại