Với hình thức thi trắc nghiệm thì một dạng toán nào đó, các câu hỏi không chỉ dừng lại ở một cách hỏi nhất định hay những câu hỏi đơn thuần mà các câu hỏi tư duy mở được xuất hiện nhiều. Nếu không có phương pháp thì học sinh khó có thể giải quyết các câu hỏi tư duy mở và vì thế khó đạt điểm cao trong kì thi. Trước đây với cách thi tự luận thì các dạng toán như: đồ thị của Đạo hàm, tính đơn điệu của hàm hợp, cực trị của hàm hợp, nhận dạng đồ thị rất ít khi gặp. Nhưng hình thức thi mới đã xuất hiện rất nhiều các câu hỏi ở các dạng toán hàm hợp và đồ thị đạo hàm. Các dạng toán mới này làm cho nhiều giáo viên phải mất thời gian, công sức nghiên cứu và tìm ra các phương pháp truyền đạt sao cho hiệu quả. Đồng thời học sinh cũng gặp không ít khó khăn trong lối tư duy để giải toán. Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn nghiên cứu chuyên đề “Phương pháp giải một số dạng toán liên qua tới đồ thị của Đạo hàm”.
MỤC LỤC MỤC LỤC:………………………………………………………………………………… …1 A LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO…………………………………………… B NỘI DUNG:…………………………………………………………………………………2 I NHỮNG LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ:………… 1.1 Tính đơn điệu hàm số:…………………………………………………… … 1.2 Cực trị hàm số:……………………………………………………… ……… 1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:…………………………… ……… 1.4 Sự tương giao đồ thị hàm số y f ( x) với trục hoành:……………….……….4 1.5 Liên quan đến đồ thị đạo hàm cấp:……………………………….……… II NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ:………………………………………………………….6 II.1 Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:…… ….6 II.2 Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ …… …22 II.3 DẠNG 3: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ…………………………………… …43 II.4 DẠNG 4: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ…………………………………………… ….52 C KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA CHUYÊN ĐỀ: …………………………………………57 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 12 Thời lượng: từ đến tiết (tùy đối tượng HS) A LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ THAM GIA HỘI THẢO Công tác ôn thi THPT Quốc gia nhiệm vụ quan trọng việc nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường, đồng thời đáp ứng kỳ vọng nhiều học sinh phụ huynh học sinh Tuy nhiên, cơng việc địi hỏi nỗ lực khơng mệt mỏi thầy trò Trong năm học vừa qua, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong mơn Tốn đổi hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ơn luyện Việc thay đổi hình thức thi đương nhiên kéo theo thay đổi cách tiếp cận kiến thức cách đặt câu hỏi Với hình thức thi trắc nghiệm dạng tốn đó, câu hỏi khơng dừng lại cách hỏi định hay câu hỏi đơn mà câu hỏi tư mở xuất nhiều Nếu khơng có phương pháp học sinh khó giải câu hỏi tư mở khó đạt điểm cao kì thi Trước với cách thi tự luận dạng tốn như: đồ thị Đạo hàm, tính đơn điệu hàm hợp, cực trị hàm hợp, nhận dạng đồ thị gặp Nhưng hình thức thi xuất nhiều câu hỏi dạng toán hàm hợp đồ thị đạo hàm Các dạng toán làm cho nhiều giáo viên phải thời gian, công sức nghiên cứu tìm phương pháp truyền đạt cho hiệu Đồng thời học sinh gặp khơng khó khăn lối tư để giải toán Xuất phát từ thực tế đó, tơi lựa chọn nghiên cứu chun đề “Phương pháp giải số dạng toán liên qua tới đồ thị Đạo hàm” B NỘI DUNG Chuyên đề chia làm nội dung Phương pháp tìm khoảng đơn điệu hàm số Phương pháp giải toán cực trị hàm số Bài tốn tìm GTLN,GTNN hàm số Nhận diện đồ thị Thời điểm sử dụng: Sau chương I Giải tích 12 : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, dạy xong tồn chương trình 12 dùng để ơn thi THPT Quốc Gia I NHỮNG LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ 1.1 Tính đơn điệu hàm số 1.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x ) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn x , x �K , x1 x2 � f x1 f x2 +) Hàm số y f ( x) đồng biến (tăng) K x , x �K , x1 x2 � f x1 f x2 +) Hàm số y f ( x) nghịch biến (giảm) K y f ( x ) 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng K f� x �0, x �K +) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f� x �0, x �K +) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f ( x ) có đạo hàm khoảng K f� x 0, x �K hàm số đồng biến khoảng K +) Nếu f� x 0, x �K hàm số nghịch biến khoảng K +) Nếu f� x 0, x �K hàm số khơng đổi khoảng K +) Nếu Chú ý +) Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y f ( x) liên tục a; b đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y f ( x ) liên tục đoạn f� x 0, x � a; b hàm số đồng biến đoạn a; b có đạo hàm f� x �0, x �K ( f � x �0, x �K ) f � x số điểm hữu hạn +) Nếu K hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) 1.2 Cực trị hàm số y f x a; b 1.2.1 Định nghĩa: Cho hàm số xác định liên tục khoảng (có thể a �; b �) điểm x0 � a; b f x f x0 x � x0 h; x0 h +) Nếu tồn số h cho với x �x0 ta nói f x hàm số đạt cực đại x0 f x f x0 x � x0 h; x0 h +) Nếu tồn số h cho với x �x0 ta nói f x hàm số đạt cực tiểu x0 y f x 1.2.2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số liên tục K x0 h; x0 h có đạo hàm K K \{x0 } , với h x h; x0 f � x x0 ; x0 h x0 điểm khoảng f x cực đại hàm số f� x khoảng x0 h; x0 f � x x0 ; x0 h x0 điểm +) Nếu f x cực tiểu hàm số Minh họa bảng biến thiến Bảng 1: +) Nếu f� x Hàm số y = f ( x) đạt cực đại điểm x = x0 Bảng 2: Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu điểm x = x0 Minh họa đồ thị a; b chứa điểm c +) Giả sử hàm số f xác định khoảng a; b hàm số f +) Nếu giá trị f c lớn giá trị f khoảng đạt cực đại x c a; b hàm số f +) Nếu giá trị f c nhỏ giá trị f khoảng đạt cực tiểu x c Hàm số f đạt cực đại x c Hàm số f đạt cực tiểu x c Với a; b khoảng chứa tất số thực thỏa a x b 1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y f x Định nghĩa: Cho hàm số xác định tập D y f x +) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số tập D , M max f x f x0 M D với x �D tồn x0 �D cho Kí hiệu: y f x +) Số m gọi giá trị lớn (GTNN) hàm số tập D , f x �M f x �m m f x f x0 m D với x �D tồn x0 �D cho Kí hiệu: 1.4 Liên quan tới đồ thị đạo hàm cấp Phương pháp: Sử dụng phương pháp kết hợp phương pháp PP1: Đồ thị hàm số số f ( x) f '( x ) cắt trục hoành điểm điểm cực trị đồ thị hàm PP2: Tìm giao điểm đồ thị hàm số với trục hồnh (nếu có) Sau dựa vào tính chất sau f '( x ) > 0, " x �K � f ( x ) Minh hoạ hàm số tăng K y = sin x f '( x ) < 0, " x �K � f ( x ) giảm K II : NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ II.1 Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f ( x) y = f ( u) BÀI TỐN : Tìm khoảng đơn điệu hàm số ; biết đồ thị hàm số y f� x Ví dụ mức độ nhận biết: Loại 1: Cho đồ thị hàm số y f x Phương pháp: y f� x - Khoảng đồng biến hàm số trục hồnh , tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y f x - Khoảng nghịch biến hàm số phía trục hồnh khoảng mà đồ thị hàm số y f x y f� x khoảng mà đồ thị hàm số nằm phía y f� x nằm y f� x hình vẽ ( đồ thị f � x cắt Ox có đồ thị điểm có hồnh độ 1, 2,5, Chọn khẳng định ? Ví dụ Cho hàm số y f x A f x nghịch biến khoảng 1; B f x đồng biến khoảng 5;6 C f x nghịch biến khoảng 1;5 D f x đồng biến khoảng 4;5 Lời giải Từ đồ thị hàm số y f� x ta nhận thấy khoảng 1; 5; đồ thị hàm số nằm �;1 , 2;5 , 6; � đồ thị hàm số nằm phía phía trục hồnh, khoảng trục hoành y f x 1; 5; , nghịch biến Do ta có: hàm số đồng biến khoảng khoảng �;1 , 2;5 , 6; � Chọn B Ví dụ 2: Cho hàm số sai ? y = f ( x) Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình bên Khẳng định sau - 2;1) đồng biến ( f x 1;+�) B Hàm số ( ) đồng biến ( f x C Hàm số ( ) nghịch biến đoạn có độ dài f x - �;- 2) D Hàm số ( ) nghịch biến ( A Hàm số f ( x) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) ta thấy: � - < x 1 � f ' x >0 - 2;1) ( 1;+�) +) ( ) đồng biến khoảng ( , Suy A đúng, B f ' x 5 � Ta có g� ( x) =- f � ( 3- 2x) � � - < 3- 2x < �< x < � � � � g ( x) < � f ( 3- 2x) > � � 2 � � 3- 2x > � x nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Chọn C Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình bên nghịch biến khoảng khoảng sau ? 0;+�) B ( C ( Lời giải - 1;3) - 2;1) D ( � x=0 f� ( x) = � � � x=3 � � 2+ ex = theo thi f '( x) � g� � x = ( x) = ex f � ( 2+ ex ) ; g�( x) = � f �( 2+ ex ) = 0������ � 2+ ex = � Xét Bảng biến thiên gx - �;0) Dựa vào bảng biến thiên, suy hàm số ( ) nghịch biến ( Chọn A Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình bên f ( 3- 2x) Hàm số g( x) = đồng biến khoảng khoảng sau ? A � 1� � - �;- � � � � � � 2� B �1 � � � - ;1� � � �2 � � 1;2 C ( ) Lời giải - �;1) D ( � x � � 3- 2x � f � ( 3- 2x) < � � �1 � � 1< 3- 2x < � - < x