Phân loại và phương pháp giải một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ GIẢI PHÁP Tên sáng kiến: Phân loại phương pháp giải số toán liên quan đến đồ thị hàm số (Đặng Thị Hạnh - trường THPT Chuyên Bến Tre) Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy học chương trình phổ thơng Mơ tả chất sáng kiến 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Trong trình học tập lớp tự ôn luyện nhằm đạt kết cao kì thi trung học phổ thông quốc gia, tốn quen thuộc mà học sinh thường gặp “Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho, cho biết hàm số y = f ( x) hàm số y = f ( x ) hàm số y =  f ( x )  có điểm cực trị ? ” toán “Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cho, cho biết hàm số y = f ( x − ) đồng biến khoảng nào?” toán “Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho, cho biết phương trình f  f ( x )  = có nghiệm ?” Bài tốn đơn giản ta biết biểu thức f ( x ) hàm số y = f ( x ) ta biểu thức f ( x ) hàm số y = f ( x ) Chính tốn thường gây khó khăn cho học sinh kể học sinh giỏi, học sinh tìm lời giải lời giải chưa trọn vẹn Chẳng hạn, toán “Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cho, cho biết hàm số y = f ( x − ) đồng biến khoảng nào?” học sinh lúng túng tìm đạo hàm hàm số y = f ( x − ) tìm đạo hàm hàm số y = f ( x − ) bị mắc sai lầm lí luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số y = f ( x − ) dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Do u cầu đặt cần tìm phương pháp giải số tốn Chính mà sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào tìm lời giải cho tốn qua rút nhận xét, kinh nghiệm nhằm giúp học sinh tìm đúng, đầy đủ nhanh để đáp ứng tốt cho kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia Đồng thời sau dạng tốn có đưa phương pháp để sáng tạo tốn tương tự Trong sáng kiến kinh nghiệm này, hàm số nhắc đến hàm đa thức bậc ba hàm đa thức bậc bốn Do tơi tập trung vào giải vấn đề sau: Phân toán thường gặp thành hai dạng: Dạng biết đồ thị hàm số y = f ( x ) dạng biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Trong dạng tơi tập trung vào giải tốn sau: Bài tốn 1: Dựa vào đồ thị cho, tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số tìm số điểm cực trị hàm số tìm số nghiệm phương trình cho trước Bài tốn 2: Dựa vào đồ thị cho, tìm điều kiện tham số để đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) cho trước, tìm điều kiện tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị tìm điều kiện tham số để phương trình cho có bốn, năm nghiệm dạng hàm số có đưa phương pháp giải toán nêu số sai lầm mà học sinh thường mắc phải nhằm giúp em rút kinh nghiệm giải toán tương tự Trong sáng kiến kinh nghiệm này, chủ yếu dùng kiến thức đạo hàm hàm số hợp, biến thiên, cực trị đồ thị hàm số để giải toán dạng biết đồ thị hàm số y = f ( x ) đồng thời đòi hỏi học sinh kỹ tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số tìm điểm cực trị hàm biết đồ thị hàm số y = f '( x) Phương pháp có thuận lợi sau: - Nội dung đạo hàm hàm số hợp, biến thiên, cực trị đồ thị hàm số học sinh học sách giáo khoa nên học sinh thấy quen thuộc dễ tiếp thu - Rèn luyện cho học sinh kỹ dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) suy biến thiên, cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) Vì sáng kiến chủ yếu sử dụng kiến thức biến thiên, cực trị đồ thị hàm số nên đối tượng áp dụng kết sáng kiến học sinh lớp 12 Trong trình giải tốn ta có sử dụng cơng thức đạo hàm quen thuộc đạo hàm hàm số hợp Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: 3.2.1 Mục đích giải pháp: Thực giải ba toán Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = f ( x ) hàm số y = f ( x ) hàm số y =  f ( x )  Bài toán 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = f ( u ) với u = u ( x ) Bài toán 3: Dựa vào đồ thị cho, tìm điều kiện tham số để đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) cho trước, tìm điều kiện tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị tìm điều kiện tham số để phương trình cho trước có bốn, năm nghiệm 3.2.2 Nội dung giải pháp: Giải pháp thực dựa cở sở lí luận sau a Đạo hàm hàm số hợp y = f u ( x )  Nếu hàm số u = u ( x ) có đạo hàm điểm x0 hàm số y = f ( u ) có đạo hàm điểm u0 = u ( x0 ) hàm số hợp y = f u ( x )  có đạo hàm điểm x0 y ' ( x0 ) = f ' ( u0 ) u ' ( x0 ) Nếu hàm số u = u ( x ) có đạo hàm điểm x thuộc K hàm số y = f ( u ) có đạo hàm điểm u = u ( x ) hàm số hợp y = f u ( x )  có đạo hàm điểm x thuộc K y ' ( x ) = f ' ( u ) u ' ( x ) (trong K khoảng hợp nhiều khoảng) ' ' ' hay viết gọn y x = fu u x b Từ đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) suy đồ thị ( C1 ) hàm số y = f ( x ) đồ thị ( C2 ) hàm số y = f ( x )  f ( x ) ,  − f ( x ) , Ta có y = f ( x ) =  f ( x ) ≥ f ( x ) < Do đồ thị ( C1 ) gồm hai phần Phần 1: Phần đồ thị ( C ) nằm từ trục hoành trở lên Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm phía trục hồnh qua trục hồnh  f ( x ) ,  f ( − x ) , Ta có y = f ( x ) =  x ≥ x < Do đồ thị ( C2 ) gồm hai phần Phần 1: Phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục tung Phần 2: Lấy đối xứng phần qua trục tung c Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = f ( x ) Trên khoảng ( −∞; a ) , ta thấy tiếp tuyến đồ thị đểm có hồnh độ x0 ∈ ( −∞; a ) xuống (tính từ trái qua phải) suy f ' ( x0 ) < 0, ∀x0 ∈ ( −∞; a ) hay f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −∞; a ) Tương tự, f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) , f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( b; c ) , f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( c; +∞ ) Tại M ( a; f ( a ) ) tiếp tuyến đồ thị song song với trục hoành nên f ' ( a ) = Tương tự, f ' ( b ) = 0, f ' ( c ) = Ta có bảng biến thiên Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng ( a; b ) ( c; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; a ) ( b; c ) Hàm số đạt cực đại x = b Hàm số đạt cực tiểu x = a, x = c Hàm số có giá trị nhỏ f ( a ) , khơng có giá trị lớn d Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ Xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = f ( x ) Trên khoảng khoảng ( −∞; e ) , ( d ; +∞ ) , ta thấy đồ thị y = f ' ( x ) nằm phía trục hồnh nên f ' ( x ) > Trên khoảng khoảng ( e; a ) , ( a; b ) , ( b; c ) , ( c; d ) , ta thấy đồ thị y = f ' ( x ) nằm phía trục hồnh nên f ' ( x ) < Đồ thị y = f ' ( x ) cắt trục hoành x = e, x = d nên f ' ( e ) = 0, f ' ( d ) = Ta có bảng biến thiên Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;e ) ( d ; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng ( e; a ) , ( a; b ) , ( b; c ) ( c; d ) Hàm số đạt cực đại x = e Hàm số đạt cực tiểu x = d Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn Dựa vào sở lí luận trên, ta giải toán liên quan đến đồ thị sau: Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = f ( x ) hàm số y = f ( x ) hàm số y =  f ( x )  i Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = g ( x) = f ( x ) Ta thực theo bước sau: Bước 1: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x ) Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số y = g ( x) = f ( x ) dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x ) Sau dựa vào bảng biến thiên mà kết luận biến thiến, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = g ( x) = f ( x ) Nhận xét: + Nếu kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = g ( x) = f ( x ) ta cần dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x ) mà không cần lập bảng biến thiên + Nếu muốn kết luận biến thiến, cực trị hàm số y = g ( x) = f ( x ) tốt nên lập bảng biến thiên Sau vào dấu đạo hàm mà ta kết luận biến thiên đồng thời dựa vào đổi dấu đạo hàm qua điểm x = xi mà kết luận điểm cực trị hàm số + Nếu f ( x) hàm đa thức f ( x) có đạo hàm ¡ nên f '( xi ) xác định hàm g ( x) = f ( x ) g '( x) không xác định điểm x = xi hoành độ giao điển đồ thị f ( x) với trục hoành Thật vậy, ta xem y = g ( x ) = f ( x ) = hàm số hợp ta có y ' = g '( x) = f '( x) f ( x) f ( x) f ( x ) áp dụng cơng thức đạo hàm , từ ta thấy rõ ràng g '( x) khơng xác định điểm x = xi nghiệm phương trình f ( x) = hay điểm x = xi hoành độ giao điểm đồ thị f ( x) với trục hoành + Khi dựa vào bảng biến thiên để kết luận cực trị hàm số học sinh thường gặp phải sai lầm sau: Nếu g '( x) đổi dấu qua điểm x = xi g '( x) không xác định x = xi kết luận hàm số không đạt cực trị điểm x = xi Đây kết luận chưa xác hàm số đạt cực trị điểm mà khơng có đạo hàm Do gặp trường hợp ta cần xét đến giá trị hàm số điểm x = xi Tức là, g ( xi ) xác định x = xi điểm cực trị hàm số y = g ( x ) , g ( xi ) khơng xác định x = xi khơng điểm cực trị hàm số y = g ( x) Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Hàm số y = f ( x ) có điểm cực đại, điểm cực tiểu ? Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy đồ thị hàm số y = g ( x) = f ( x ) sau: Lập bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) = f ( x ) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x ) có điểm cực đại, điểm cực tiểu ii Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = g ( x) = f ( x ) Ta thực theo bước sau: Bước 1: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x ) Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = g ( x) = f ( x ) , suy bảng biến thiên hàm số y = g ( x) = f ( x ) Sau dựa vào bảng biến thiên mà kết luận biến thiến, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = g ( x ) = f ( x ) Nhận xét: + Nếu kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = g ( x) = f ( x ) ta cần dựa vào phần đồ thị nằm bên phải truc Oy hàm số y = f ( x) mà không cần lập bảng biến thiên + Nếu muốn kết luận biến thiến, cực trị hàm số y = g ( x) = f ( x ) tốt nên lập bảng biến thiên Sau vào dấu đạo hàm mà ta kết luận biến thiên đồng thời dựa vào đổi dấu đạo hàm qua điểm x = xi mà kết luận điểm cực trị hàm số + Nếu f ( x) hàm đa thức f ( x) có đạo hàm ¡ nên f '( xi ) xác định hàm g ( x) = f ( x ) g '( x) khơng xác định điểm x = hoành độ giao điển đồ thị f ( x) với trục tung Thật vậy, ta xem y = g ( x) = f ( x ) = f hàm số hợp ta có y ' = g '( x) = f ' ( x ) ( x) x x2 áp dụng cơng thức đạo hàm , từ ta thấy rõ ràng g '( x) khơng xác định điểm x = hay điểm hoành độ giao điểm đồ thị f ( x) với trục tung iii Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = g ( x) =  f ( x )  Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y = g ( x) =  f ( x )  (dựa vào công thức đạo hàm hàm số hợp), ta có y ' = g '( x) = f ' ( x ) f ( x ) Bước 2: Giải phương trình g '( x) = , tức giải phương trình f ' ( x ) = f ( x ) = Nghiệm phương trình hoành độ điểm cực trị hoành độ điểm giao độ thị với trục hoành Đồng thời g '( x) không xác định điểm mà f ' ( x ) f ( x ) không xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số y = g ( x) =  f ( x )  Lưu ý: Dấu y ' = g '( x) phụ thuộc vào dấu f ' ( x ) f ( x ) Giả sử khoảng ( a; b ) thuộc khoảng xác định hàm số ta có: Phần đồ thị f ( x ) nằm phía trục hồnh tức f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) xét từ trái sang phải ta thấy đồ thị f ( x ) xuống tức f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) Do y ' = g '( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) Bước 4: Kết luận biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = g ( x) =  f ( x )  Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Hàm số y =  f ( x )  có điểm cực đại, điểm cực tiểu ?  f '( x) = Ta có y ' = g '( x) = f ' ( x ) f ( x ) g '( x) = ⇔   f ( x ) = x = a  Từ đồ thị ta thấy x = a, x = 1, x = b hoành độ điểm cực trị nên f ' ( x ) = ⇔  x =  x = b Từ đồ thị ta thấy đồ thị cắt trục Ox điểm có hồnh độ x = 0, x = 1, x = nên x = f ( x ) = ⇔  x =  x = Xét khoảng ( 3; +∞ ) ta có: Phần đồ thị f ( x ) nằm phía trục hoành tức f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị f ( x ) lên tức f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) Do y ' = g '( x) > 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) Xét khoảng ( b;3) ta có: Phần đồ thị f ( x ) nằm phía trục hồnh tức f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( b;3) tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị f ( x ) lên tức f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( b;3) Do y ' = g '( x) < 0, ∀x ∈ ( b;3 ) Tương tự khoảng lại Do ta có bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) =  f ( x )  sau: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y =  f ( x )  có điểm cực đại, điểm cực tiểu Bài tốn iii) tổng qt sau: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) hàm số y = g ( x ) = f u ( x )  Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y = g ( x ) = f u ( x )  (dựa vào công thức đạo hàm hàm số hợp), ta có y ' = g '( x) = f ' u ( x )  u ' ( x ) Bước 2: Giải phương trình g '( x) = , tức giải phương trình f ' u ( x )  = u ' ( x ) = Để tìm nghiệm phương trình f ' u ( x )  = ta dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho Chẳng hạn, đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy f ' ( x ) = ⇔ x = a nên f ' u ( x )  = ⇔ u ( x ) = a sau từ phương trình u ( x ) = a giải tiếp để tìm x Đồng thời g '( x) khơng xác định điểm mà u ' ( x ) f ' u ( x )  không xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số y = g ( x) = f u ( x )  Lưu ý dấu y ' = g '( x) phụ thuộc vào dấu u ' ( x ) f ' u ( x )  Bước 4: Kết luận biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số y = g ( x) =  f ( x )  10 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hàm y = f ' ( x ) hình vẽ Xét biến thiên hàm số y = f ( x − ) ? Hàm số y = g ( x) = f ( x − ) liên tục ¡ có đạo hàm y = g ' ( x ) = x f ' ( x − ) x = g '( x) = ⇔   f ' x − = ( )  x = −1 x = Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy f ' ( x ) = ⇔   x − = −1  x = ±1 ⇔ Suy f ' x − = ⇔   x = ±2  x − = ( ) x =  Hay g ' ( x ) = ⇔  x = ±1  x = ±2 Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy f ' ( x ) > 0, ∀x >  x < −2 x > 2 Do f ' ( x − ) > ⇔ x − > ⇔  Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy f ' ( x ) < 0, ∀x < 2 Do f ' ( x − ) < ⇔ x − < ⇔ −2 < x < 2 Xét khoảng ( 2; +∞ ) ta có: x > f ' ( x − ) > Do y ' = g '( x) > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) Xét khoảng ( 1; ) ta có: x > f ' ( x − ) < Do y ' = g '( x) < 0, ∀x ∈ ( 1; ) Tương tự khoảng lại Do ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x − ) sau: 11 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x − ) đồng biến khoảng ( −2;0 ) ( 2; +∞ ) nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( 0; ) ( 2; +∞ ) iv Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho, xác định số nghiệm phương trình f  f ( x )  = m với m số cho trước Ta thực theo bước sau:  f ( t ) = m (1) Bước 1: Đặt t = f ( x ) Khi phương trình f  f ( x )  = m ⇔  t = f ( x ) (2) Bước 2: Số nghiệm phương trình f  f ( x )  = m số nghiệm phương trình (2) với t nhận tất giá trị thỏa mãn phương trình (1) - Từ đồ thị y = f ( x ) ta tìm số nghiệm t phương trình (1) đồng thời biết nghiệm t thuộc khoảng ( a; b ) - Với nghiệm t thuộc khoảng ( a; b ) ta tìm số nghiệm phương trình (2) Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Phương trình f  f ( x )  = có nghiệm ?  f ( t ) = (1) Đặt t = f ( x ) Khi phương trình f  f ( x )  = ⇔  t = f ( x ) (2) Số nghiệm phương trình f  f ( x )  = số nghiệm phương trình (2) với t nhận tất giá trị thỏa mãn phương trình (1) 12 Xét phương trình (1), f ( t ) = Từ đồ thị ta có đường thẳng y = đồ thị hàm y = f ( t ) cắt ba điểm Do phương trình f ( t ) = có ba nghiệm t sau: t = a với −1 < a < , t = b với < b < , t = c với < c < Với trường hợp t ta xét số nghiệm phương trình (2) Trường hợp 1: t = a với −1 < a < Khi đó, (2) trở thành f ( x ) = a với −1 < a < Từ đồ thị ta có đường thẳng y = a đồ thị hàm y = f ( x ) cắt ba điểm suy (2) có ba nghiệm phân biệt Trường hợp 2: t = b với < b < Khi đó, (2) trở thành f ( x ) = b với < b < Từ đồ thị ta có đường thẳng y = b đồ thị hàm y = f ( x ) cắt ba điểm suy (2) có ba nghiệm phân biệt Trường hợp 2: t = b với < b < Khi đó, (2) trở thành f ( x ) = c với < c < Từ đồ thị ta có đường thẳng y = c đồ thị hàm y = f ( x ) cắt điểm suy (2) có nghiệm Ta thấy nghiệm đơi khác nên phương trình f  f ( x )  = có bảy nghiệm phân biệt Nhận xét: Do đồ thị hàm số rõ ràng tọa độ điểm cực trị, tọa độ giao điểm đồ thị với trục tung nên tốn ta giải cách sau: Từ đồ thị suy hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc ba Dựa vào điểm cực trị giao điểm đồ thị với trục tung ta tìm phương trình hàm số y = f ( x ) = x3 − 3x + Khi phương trình f  f ( x )  = ⇔ ( x − 3x + ) − ( x − 3x + ) + = (*) Đặt t = f ( x ) = x − 3x + Khi (*) trở thành t − 3t + = (1) Phương trình (1) có ba nghiệm t1 , t2 , t3 Với nghiệm t tìm trên, vào phương trình f ( x ) = t ⇔ x − 3x + = t ta tìm nghiệm x Tuy nhiên cách làm dài đòi hỏi học sinh phải tìm biểu thức f ( x ) hàm số 13 Trong trường hợp đồ thị hàm số y = f ( x ) không rõ ràng tọa độ điểm cực trị hình Khi việc tìm biểu thức f ( x ) hàm số khó khăn gần khơng thể Do việc rèn luyện kỹ dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) để suy số nghiệm phương trình f ( x ) = a (a số ) cần thiết, điều kiện thi theo hình thức trắc nghiệm Ta xét thêm ví dụ để thấy hay phương pháp giải toán dựa đồ thị hàm số y = f ( x ) biểu thức f ( x ) hàm số Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Đặt g ( x) = f  f ( x )  Phương trình g '( x) = có nghiệm ? Giải Đặt u = f ( x ) Khi g ( x) = f ( u ) Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp ta có g '( x) = f ' ( u ) u ' ( x ) = f ' ( x ) f ' ( u )  f '( x) = Khi g '( x) = ⇔   f ' ( u ) =  f ( x) = a  x1 = a, (0 < a < 1) u = a ⇔ f ' ( u ) = ⇔  u = b  f ( x ) = b  x2 = b, (2 < b < 3) Từ đồ thị ta có f ' ( x ) = ⇔  14 Với f ( x ) = a Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm y = f ( x ) cắt đường thẳng y = a với < a < ba điểm phân biệt phương trình f ( x ) = a có ba nghiệm phân biệt x3 , x4 , x5 Với f ( x ) = b Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm y = f ( x ) cắt đường thẳng y = b với < b < điểm phương trình f ( x ) = b có nghiệm x6 Vậy phương trình g '( x) = có nghiệm phân biệt Bài tốn 2: Dựa vào đồ thị cho, tìm điều kiện tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị tìm điều kiện tham số để phương trình cho trước có bốn, năm nghiệm i Dựa vào đồ thị cho, tìm điều kiện tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị Bài tốn : Cho hàm số y = f ( x ) (trong f ( x ) hàm đa thức bậc ba đa thức bậc bốn) có đồ thị hình vẽ Tìm giá trị tham số m để hàm số y = f ( x ) + m có ba bốn điểm cực trị Hướng giải Đặt g ( x) = f ( x ) + m Khi y = g ( x ) = [ g ( x )] ta có y ' = g '( x ).g ( x) [ g ( x) ] Trường hợp: f ( x ) hàm đa thức bậc ba Ta thấy y ' = điểm mà g '( x) = suy y ' = nhiều điểm ( g ( x) = f ( x ) + m hàm đa thức bậc ba) y ' không xác định điểm mà g ( x) = suy y ' khơng xác định nhiều điểm Do số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) + m nhiều điểm (vì hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm không xác định) Ta xét số trường hợp cụ thể sau: a) Phương trình g ( x) = phương trình g '( x) = khơng có nghiệm chung + Nếu g ( x) = có nghiệm g '( x) = có nghiệm phân biệt (tức g ( x) có điểm cực trị ) ta có đồ thị sau 15 (Hình vẽ cho biết g ( x) = ⇔ x = a, x = c, x = e , g '( x) = ⇔ x = b, x = d nghiệm đôi khác nhau) Suy đồ thị y = g ( x) sau Ta thấy khoảng ( e; +∞ ) đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên y ' > 0, ∀x ∈ ( e; +∞ ) Tương tự khoảng lại nên ta có bảng biến thiên y = g ( x) Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị + Nếu g ( x) = có nghiệm g '( x) = có nghiệm phân biệt (tức g ( x) có điểm cực trị ) ta có đồ thị sau (Hình vẽ cho biết g ( x) = ⇔ x = c , g '( x) = ⇔ x = a, x = b nghiệm đôi khác nhau) Suy đồ thị y = g ( x) 16 Ta thấy khoảng ( c; +∞ ) đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên y ' > 0, ∀x ∈ ( c; +∞ ) Tương tự khoảng lại nên ta có bảng biến thiên y = g ( x) Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị + Nếu g ( x) = có nghiệm g '( x) = vô nghiệm g '( x) = có nghiệm kép (tức g ( x) khơng có điểm cực trị ) ta có đồ thị sau ( g ( x) = ⇔ x = a , g '( x) = vô nghiệm) Suy đồ thị y = g ( x) ( g ( x) = ⇔ x = a , g '( x) = có nghiệm kép ) Ta có bảng biến thiên y = g ( x) Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị 17 b) Phương trình g ( x) = phương trình g '( x) = có nghiệm chung + Nếu g ( x) = g '( x) = có nghiệm chung ta có đồ thị sau (Hình vẽ cho biết g ( x) = ⇔ x = a, x = c , g '( x) = ⇔ x = a, x = b x = a nghiệm chung phương trình g ( x) = phương trình g '( x) = ) Khi ta có đồ thị y = g ( x) sau Ta có bảng biến thiên y = g ( x) Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y = g ( x) n với n tính sau: n = m + k − h tromg m số nghiệm phương trình g ( x) = , k số điểm cực trị g ( x) , h số nghiệm chung phương trình g ( x) = phương trình g '( x) = Trường hợp: f ( x ) hàm đa thức bậc bốn Ta thấy y ' = điểm mà g '( x) = suy y ' = nhiều điểm ( g ( x) = f ( x ) + m hàm đa thức bậc bốn) y ' không xác định điểm mà g ( x) = suy y ' không xác định nhiều điểm Do số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) + m nhiều điểm (vì hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm khơng xác định) Ta xét số trường hợp cụ thể sau: a) Phương trình g ( x) = phương trình g '( x) = khơng có nghiệm chung 18 + Nếu g ( x) = có bốn nghiệm (tức y ' khơng xác định điểm ) g ( x) có ba điểm cực trị Ta có (Hình vẽ cho biết g ( x) = ⇔ x = a, x = c, x = e, x = n , g '( x) = ⇔ x = b, x = d , x = m ) Khi ta có đồ thị y = g ( x) sau Ta có bảng biến thiên y = g ( x) Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị b) Phương trình g ( x) = phương trình g '( x) = có nghiệm chung + Nếu g ( x) = g '( x) = có nghiệm chung ta có đồ thị sau (Hình vẽ cho biết g ( x) = ⇔ x = a, x = c, x = e , g '( x) = ⇔ x = b, x = c, x = d x = c nghiệm chung phương trình g ( x) = phương trình g '( x) = ) Khi ta có đồ thị y = g ( x) sau 19 Ta có bảng biến thiên y = g ( x) Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y = g ( x) n với n tính sau: n = m + k − h tromg m số nghiệm phương trình g ( x) = , k số điểm cực trị g ( x) , h số nghiệm chung phương trình g ( x) = phương trình g '( x) = Ví dụ Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = 3x − x − 12 x + m có điểm cực trị Giải 3 Ta đặt f ( x) = 3x − x − 12 x + m ⇒ f ' ( x ) = 12 x − 12 x − 24 x  x = ⇒ y = m − 32 f ' ( x ) = ⇔  x = −1 ⇒ y = −5 + m  x = ⇒ y = m Bảng biến thiên Do hàm số có điểm cực trị nên hàm số cho có điểm cực trị đồ thị phải cắt trục hoành điểm phân biệt ba điểm cực trị khơng nằm phía với trục hoành m > ⇔ ⇔0