Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN GTNN của hàm số

NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN thông qua phép biến đổi đồ thị = Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y f= ( x ) , y f ( u ( x ) ) khoảng, đoạn ( Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y f= = ( x ), y f u ( x) khoảng, đoạn = số y Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm = f ( x) , y NHĨM TỐN VD – VDC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ) f (u ( x )) khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số ) ( ( ) y= f ( x + b ) , y= f u ( x ) + b , y= f ( x + a + b ) , y= f u ( x ) + a + b khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) + b , y = f ( u ( x ) ) + b , y = f ( x + a ) + b , y = f ( u ( x ) + a ) + b khoảng, đoạn ( ) ( ) y = f ( x ) + b , y = f u ( x ) + b , y = f ( x + a ) + b , y = f u ( x ) + a + b khoảng, đoạn PHẦN II: Xác định GTLN, NN so sánh giá trị hàm số thơng qua tích phân so sánh diện tích hình phẳng Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) khoảng, NHĨM TỐNVD – VDC Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) khoảng, đoạn 10 Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y= f ( x + a + b ) khoảng, đoạn 11 Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm = số y f ( x ) + b khoảng, đoạn 12 Các dạng khác https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN thông qua phép biến đổi đồ thị Dạng 1: Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Câu Biết hàm số y = f ( x ) liên tục  có M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  4x  hàm số đoạn [ 0; 2] Hàm số y = f   có tổng giá trị lớn nhỏ  x +1  A M + m B 2M + m C M + 2m D M + 2m Lời giải Chọn A Đặt g ( x ) = NHÓM TOÁN VD – VDC = hàm số y f= ( x ) , y f ( u ( x ) ) khoảng, đoạn −4 x + 4x ′ x ∈ 0; , Ta có: g x = ( ) [ ] 2 x2 + x + ( ) g ′ ( x ) = ⇔ x = ∈ [ 0; 2] Bảng biến thiên: NHĨM TỐNVD – VDC Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ≤ g ( x ) ≤ Do đó: Hàm số y = f ( x ) liên tục  có M m GTLN, GTNN hàm số đoạn [ 0; 2] hàm số y = f  g ( x )  liên tục  có M m GTLN, GTNN hàm số đoạn [ 0; 2]  4x  Vậy tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f   M + m  x +1  Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Khi hàm số = y f ( − x ) đạt GTLN 0;  A f ( ) C f ( 2) B f (1) D f ( ) Lời giải Chọn A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Đặt t= − x , từ x ∈ 0;  , ta có t ∈ [ 0; 2] Trên [ 0; 2] hàm số y = f ( t ) nghịch biến Do max f ( t ) = f ( ) [0;2] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Biết f ( x ) = Tìm giá trị lớn hàm số g ( x ) đoạn [ −3; − 1] A −2 B ax + b g ( x ) = f ( f ( x ) ) cx + d NHĨM TỐN VD – VDC Câu D − C Lời giải Chọn B TCĐ x =− a =0⇔a =0 c d =⇔ c =−d c Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ nên Khi đó= f ( x) NHĨM TỐNVD – VDC Từ hình vẽ ta có: TCN y = d = x ) f ( f ( x= ⇒ g (= )) −dx + d − x + − b =1 ⇔ b = d ( d ≠ ) d −x +1 = x − +1 −x +1 TXĐ hàm g ( x ) Dg =  \ {0} ⇒ hàm số g ( x ) xác định [ −3; −1] g′( x) = , với ∀x ∈[ −3; − 1] x2 g ( −3) =, g ( −1) = Vậy max g ( x ) = [ −3; −1] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Câu Cho x , y thoả mãn 5x + xy + y = 16 hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi  x2 + y2 −  2 M , m giá trị lớn nhỏ P = f   Tính M + m  x − y − xy +  −1 O x −2 A M + m2 = B M + m2 = C M + m2 = 25 D M + m2 = NHĨM TỐN VD – VDC y Lời giải Chọn A Ta có: t = x2 + y2 − 8x + y − 16 3x − xy + y = = x − y − xy + 8x − y − 16 xy + 2.16 18x − xy + y TH1: Xét y = ⇒ t = ⇒ f ( t ) = m ∈ ( 0; −2 ) 3u − 6u + Xét g ( u )= ; g ' ( u )= 18u − 4u + Ta lại có: lim = = g ( u ) lim g (u) u →+∞ u →−∞ Từ bảng biến ta có ≤ g ( u ) ≤ 96u2 − 96u ( 18u − 4u + ) NHĨM TỐNVD – VDC x x   − + y y 3u − u + x TH2: Xét y ≠ ⇒ t =   Đặt u = , ta có: t = 18u2 − 4u + y x x 18   − + y y u = ; g ' ( u )= ⇔  u = 1 Từ lập bảng biến thiên ta có 3 ⇒0≤t≤ 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng: max P = 0; P = −2  3 0 ;   2  3 0 ;    Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Gọi M , m GTLN – GTNN hàm số g ( x ) f  ( sin x + cos x )  = NHĨM TỐN VD – VDC Vậy M + m2 = Tổng M + m A B C D Lời giải Chọn C Ta có sin x + cos x = − sin 2 x, ∀x ∈  1 ≤ − sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈  ⇒ ≤ ( sin x + cos x ) ≤ 2 NHĨM TỐNVD – VDC Vì ≤ sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈  ⇔ =  M max g= ( x ) f= (1)  Dựa vào đồ thị suy  ⇒ M +m= = ( x ) f= ( 2) m g= Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Xét hàm số g = ( x ) f ( x3 + x − 1) + m Tìm m để max g ( x ) = −10 [0;1] A m = B m = −12 C m = −13 D m = Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Chọn C Đặt t ( x )= x + x − với x ∈ [ 0;1] Ta có t ′ ( x= ) x + > 0, ∀x ∈ [0;1] NHĨM TỐN VD – VDC Suy hàm số t ( x ) đồng biến nên x ∈ [ 0;1] ⇒ t ∈ [ −1; 2] max  f ( t ) + m  =+ m Từ đồ thị hàm số ta có max f ( t ) =⇒ [ −1;2] [ −1;2] −10 ⇔ m = −13 Theo yêu cầu toán ta cần có: + m = Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Giá trị lớn hàm số y = f ( 2sin x ) ( 0; π ) A C B D Lời giải Chọn C NHĨM TỐNVD – VDC Đặt t = 2sin x Với x ∈ ( 0; π ) t ∈ ( 0; 2] Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có max f ( 2sin = x ) max = f ( t ) f= ( 2) ( 0;2] ( 0;π ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên dạng Hàm số y = f (2sin x) đạt giá trị lớn nhỏ M m Mệnh đề đúng? A m = −2 M B M = 2m C M + m = D M + m = Lời giải Chọn A Ta có: −1 ≤ sin x ≤ ⇔ −2 ≤ 2sin x ≤ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số = t 2sin x ⇒ t ∈ [ −2; 2] Với Khi đó: NHĨM TỐN VD – VDC = M max f = = f ( t ) ( 2sin x ) max [ −2;2] m = f ( 2sin x ) = f ( t ) = −4 [ −2;2] Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tập  có bảng biến thiên sau Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f ( x − x ) đoạn =  7  − ;  Tìm khẳng định sai khẳng định sau M A M m > 10 B C M − m > > m D M + m > Lời giải 5 25  7 t x − x Ta có x ∈  − ;  ⇔ − ≤ x − ≤ ⇔ ≤ ( x − 1) ≤ Đặt = 2  2 21  21  nên t ∈  −1;  ⇔ −1 ≤ ( x − 1) − ≤ 4   21  = y f ( t ) , t ∈  −1;  Xét hàm số 4  Từ bảng biến thiên suy= ra: m min= 2, M f (t ) = f (1) =  21  t∈ −1;  4  M  21  max= f ( t ) f= >   5⇒  21  4 m  t∈ −1;    Câu 10 Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c xác định liên tục  có bảng biến thiên sau: Giá trị nhỏ hàm số y  f x  3 đoạn  0;2 A 64 B 65 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C 66 D 67 Trang NHĨM TỐNVD – VDC Chọn B NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Lời giải Chọn C NHĨM TỐN VD – VDC Hàm số có dạng f x   ax  bx  c Từ bảng biến thiên ta có:   f 0    c3     c    f        b  2  f x   x  2x  a  b  c          a b        f     a      x   0;2  x   3;5 Trên đoạn 3;5 hàm số tăng, f x  3  f 3  66  0;2 Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ −2; 4] có bảng biến thiên sau Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g ( x )= f ( cos x − 4sin x + 3) C D NHĨM TỐNVD – VDC Giá trị M − m A B −4 Lời giải Chọn A Ta có: cos x − 4sin = x + 3cos x + ⇒ g= , đặt t 3cos x + 1, với x ∈  ⇒ t ∈ [ −2; 4] ( x ) f ( 3cos x + 1) = Từ bảng biến thiên suy max f ( t ) = 3; f ( t ) = −1 [ −2;4] [ −2;4] Suy M = max g ( x ) = max f ( t ) = 3; m = g ( x ) = f ( t ) = −1  [ −2;4] Vậy M − m =  Câu 12 Cho hàm số f ( x ) = ax5 + bx + cx + dx + ex + n [ −2;4] ( a, b, c, d , e, n ∈  ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ bên (đồ thị cắt Ox điểm = f ( x ) ; m f ( x ) và= 2) Đặt M max [ −3;2] [ −3;2] T= M + m Khẳng định sau đúng? có hồnh độ −3; −1; https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số B T = f ( −3) + f ( ) 1 C T f   + f ( ) = 2 1 D T f   + f ( ) = 2 Lời giải Chọn A 1  Ta có f ' ( x= e 5a ( x + 3)( x + 1)  x −  ( x − ) (Vì phương trình ) 5ax + 4bx3 + 3cx + 2dx += 2  f ' ( x ) = có nghiệm −3; −1; 2) Từ đồ thị ta có bảng biến thiên f ( x ) NHĨM TỐNVD – VDC Từ bảng biến thiên ⇒ a < Suy bảng biến thiên f ( x ) :  f= ( −2 ) f ( ) ; f= ( −3) f ( 3)  Vì hàm số f ( x ) hàm số chẵn ⇒    1 f   f − 2 =  2   1 +) f ( 3) − f   = 2 ∫ f ' ( x ) dx = 1 11125a  f ( 0) NHĨM TỐN VD – VDC 1  +) f ( ) − f ( ) = −23a > 5a ∫ ( x + 3)( x + 1)  x −  ( x − ) dx = ∫0 f ' ( x ) dx = 2  (2) Từ (1) (2) ⇒ M = max f ( x ) = f ( −2 ) = f ( ) ; m = f ( x ) = f ( −3) [ −3;2] [ −3;2] Vậy T = M + m = f ( −3) + f ( ) Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên sau Gọi M giá trị lớn hàm số= y g (= x ) f ( − x ) [ 0;3] Mệnh đề sau đúng? A M = f ( ) B M = f ( 3) C M = f (1) D M = f ( ) NHĨM TỐNVD – VDC Lời giải Chọn C Ta có g ′ ( x ) = − f ′ (3 − x ) 3 − x =−1  x =4 g′ ( x ) = ⇔ − f ′ (3 − x ) = ⇔  ⇔ 3− x = = x 3 − x < −1 x > g′ ( x ) > ⇔ f ′ (3 − x ) < ⇔  ⇔ 3 − x > x < g ′ ( x ) < ⇔ f ′ ( − x ) > ⇔ −1 < − x < ⇔ < x < Từ ta có bảng biến thiên https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số y NHĨM TỐN VD – VDC O x y f ( x + − 2) Biết f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) Giá trị nhỏ giá trị lớn = đoạn [ −1;4] A f ( ) , f ( ) B f ( ) , f ( ) Lời giải C f ( ) , f ( ) D f ( −1) , f ( ) Chọn B Từ đồ thị y = f ′ ( x ) đoạn [ 0;5] ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) : NHĨM TỐNVD – VDC Suy f ( x ) = f ( ) [0;5] Từ giả thiết, ta có: f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) ⇒ f ( ) − f ( 3) = f ( ) − f ( ) Hàm số f ( x ) đồng biến [ 2;5] ⇒ f ( 3) > f ( ) ⇒ f ( ) − f ( ) > f ( ) − f ( 3) = f ( ) − f ( ) nên f ( ) > f ( ) Suy ra, max f ( x ) = f ( 5) [0;5] Đặt t = x + − , với x ∈ [ −1;4] t ∈ [ 0;5] Khi giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số = y f ( x + − ) đoạn [ −1;4] giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số y = f ( t ) đoạn [ 0;5] Do f ( x + = − ) max= f ( x ) f ( 5) − ) min= f ( x ) f ( ) ; max f ( x += [ −1;4] [0;5] [ −1;4] [0;5] Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số NHĨM TỐN VD – VDC 3 Xét hàm số g ( x )= f ( x ) − x3 − x + x + 2018 Mệnh đề đúng? g ( −3) + g (1) A g ( x + − ) = [ −2;2] C g ( x + − ) = g ( −3) B g ( x + − ) = g (1) [ −2;2] [ −2;2] [ −2;2] Lời giải Chọn D Ta có g ′ ( x= ) f ′( x ) − x2 − 3 x+ 2 NHÓM TOÁNVD – VDC g′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x2 + D g ( x + − ) = g ( −1)  x = −1 3 x− ⇔ 2 x = Lập Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta có: g ( x= ) g ( −1) [ −3;1] Đặt t = x + − với x ∈ [ −2;2] t ∈ [ −3;1] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Khi g ( x + − ) = g ( t ) = g ( −1) [ −3;1] [ −2;2] Dạng 11 Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số Câu f ( x ) + b khoảng, đoạn NHĨM TỐN VD – VDC = y −5; f ( 3) = 15 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y = f ' ( x ) hình vẽ bên f (1) = Xét hàm số g= ( x) f ( x ) + m Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm số g ( x ) đoạn [1; 3] Tổng tất phần tử tập S có giá trị A −10 B −8 C D 10 Lời giải Xét hàm số h= ( x ) f ( x ) + m liên tục đoạn [1; 3] Ta có: h' ( x )=  x = −1 f ' ( x )= ⇔  x = Khi h (1= ) m − ; h ( 3=) m + 15 NHĨM TỐNVD – VDC Chọn A Để hàm số y = h ( x ) đạt giá trị nhỏ đoạn [1; 3] đồ thị hàm số y = h ( x ) phải nằm hồn tồn phía phía trục hồnh (tức khơng cắt trục hồnh) [1; 3]  m = −18 Trường hợp 1: m + 15 < ⇔ m < −15 f ( x ) + m = m + 15 = ⇔  [1;3]  m = −12 ( tm ) (l ) ( tm ) Trường hợp 2: m − > ⇔ m > f ( x ) + m = m − = ⇔ m = [1;3] Vậy S = Câu2 {−18; 8} Do chọn phương án A Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số f ( x ) + đoạn [ −4; 4] đạt điểm nào? A x = −4 B x = −1 C x = D x = Lời giải Chọn C x) Xét g ( = f ( x ) + ⇒ g' ( = x) f ' ( x) g' ( x ) =0 ⇔ x =−4 ∨ x =−1 ∨ x =2 ∨ x =4 NHĨM TỐN VD – VDC −7 Giá trị lớn hàm = Biết f ( −4 ) =f ( ) = số y Bảng biến thiên = y Từ bảng biến thiên ta thấy Câu f ( x ) + đạt GTLN x = Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm  có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ NHĨM TỐNVD – VDC −4 , f ( −2 ) = −5, f ( ) = −1 Xét hàm số y= g ( x= Biết f ( ) = ) f ( x − ) + Mệnh đề sai? A Giá trị lớn hàm số [ −2; 2] B Giá trị lớn hàm số [ −2; 2] đạt x = x = C Giá trị nhỏ hàm số [ −2; 2] D Có hai giá trị x để hàm số đạt giá trị nhỏ [ −2; 2] Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số g ′ ( x ) x f ′ ( x − ) hàm số liên tục  = x =   x − =−1 ⇔  x2 − =  x =   x =±1  x = ±2 NHÓM TOÁN VD – VDC x = ⇔ g ′ ( x ) =0 ⇔ x f ′ ( x − ) =0 ⇔   f ′ ( x − ) = x > f ′ ( x2 − 2) > ⇔ x2 − > ⇔ x2 > ⇔   x < −2 Bảng biến thiên hàm số g ( x ) Từ bảng biến thiên, ta thấy đáp án C sai Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f '( x ) R Đồ thị f '( x ) hình vẽ sau f ( −1 ) < −2 NHĨM TỐNVD – VDC -2 -15 -10 -1 -5 10 15 -2 -4 -6 -8 = x) Khi gọi giá trị lớn nhỏ hàm số g( f ( x ) + đoạn [ −2;1] M ,m Tổng M + m A g( −2 ) + g( ) B g( −2 ) + g( −1 ) C f ( −1 ) + + f ( ) + D f ( −1 ) + f ( ) + Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Dựa vào đồ thị f '( x ) ta có BBT hàm y = f ( x ) sau −1 ∫ f ′( x ) dx < −2 ∫ NHĨM TỐN VD – VDC Ngồi ta có: f '( x )dx ⇒ f ( −1 ) − f ( −2 ) < f ( −1 ) − f ( ) −1 ⇒ f ( −2 ) > f ( ) ⇒ −2 > f ( −1 ) > f ( −2 ) > f ( ) Từ f ( ) + < f ( −2 ) + < f ( −1 ) + < hay g( ) > g( −2 ) > g( −1 ) Dạng 12 Các dạng khác Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hàm số đạo hàm y = f ' ( x ) hình vẽ NHĨM TỐNVD – VDC 3 Xét hàm số g ( x )= f ( x ) − x3 − x + x + 2019 Mệnh đề đúng? A g ( x= B g ( x ) = g (1) ) g ( −3) [ −3;1] [ −3;1] D g ( x ) = C g ( x= ) g ( −1) [ −3;1] [ −3;1] g ( −3) + g (1) Lời giải Chọn C 3 • Ta có: g' ( x= ) f ' ( x ) − x2 − x + ; 2 g' ( x ) =0 ⇔ f ' ( x ) =h ( x ) =x + https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 3 x− 2 Trang 40 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số  x = −3 ⇔  x = −1  x = NHĨM TỐN VD – VDC • Bảng biến thiên: • Dựa vào bảng biến thiên ta có: g ( x= ) g ( −1) [ −3;1] Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ 11 f ( x − 1) + ( x − 1) − x khoảng 19 A 11 f (1) + 19 B `14 f ( 4) − 19 C f ( 0) − D 70 f ( 2) − 19  5 0;  Lời giải Chọn D Ta có g ′ (= x ) f ′ ( x − 1) + Đặt t =2 x − ⇒ f ′ ( t ) =− 44 44 ⇔ f ′ ( x − 1) = − ( x − 1) + ( x − 1) −= 19 19 44 t + với ≤ x ≤ ⇒ −1 ≤ t ≤ 19 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41 NHÓM TOÁNVD – VDC Giá trị nhỏ hàm số g= ( x) NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số NHĨM TỐN VD – VDC Từ đồ thị ta có f ′ ( t ) =− t = 44 t+4⇔  19 t = Lập bảng biến thiên hàm số g ( t ) Giá trị nhỏ hàm số đạt t = ⇔ x = suy ( g (= x ) )min Câu 3: 70 f ( 2) − 19 Cho hàm số f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên A x0 = −3 B x0 = −4 C x0 = −1 D x0 = Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42 NHĨM TỐNVD – VDC Trên đoạn [ −4;3] , hàm số g (= x ) f ( x ) + (1 − x ) đạt giá trị nhỏ điểm NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số NHĨM TỐN VD – VDC Ta có g ′ ( x= ) f ′ ( x ) − (1 − x ) ⇔ f ′( x) = g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) − (1 − x ) = 1− x  x = −4 −1 ⇔  x = Dựa vào hình vẽ ta có: g ′ ( x ) =  x = Và ta có bảng biến thiên Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ y −3 O −2 x Xét hàm số g (= x ) f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề sau đúng? A g ( x ) = g (1) [ −3;3] B max g ( x ) = g (1) [ −3;3] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43 NHÓM TOÁNVD – VDC Suy hàm số g (= x ) f ( x ) + (1 − x ) đạt giá trị nhỏ điểm x0 = −1 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số C max g ( x ) = g ( 3) [ −3;3] D Không tồn giá trị nhỏ hàm số g ( x ) [ −3;3] NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Chọn B g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) = ⇔ f ′ ( x ) = x + 1( ∗) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta thấy đường thẳng y= x + cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x )  x = −3 ba điểm có hồnh độ là: −3;1;3 Do phương trình ( ∗) ⇔  x =1  x = NHĨM TỐNVD – VDC Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Vậy max g ( x ) = g (1) [ −3;3] Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  Biết đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) y -1 O x -1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Xét hàm số g ( x= ) f ( x) − x − x Mệnh đề sau đúng? B g ( −1) > g ( ) > g (1) C g (1) > g ( ) > g ( −1) D g (1) > g ( ) > g ( −1) NHĨM TỐN VD – VDC A g ( −1) > g (1) > g ( ) Lời giải Chọn D Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x − = ⇔ f ′ ( x ) = x + 1( ∗) Dựa vào độ thị hàm số y = f ′ ( x ) , ta thấy đường thẳng = y x + cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x )  x = −1 ba điểm có hồnh độ −1;1; Do ( ∗) ⇔  x =1  x = NHĨM TỐNVD – VDC Bảng biến thiên hàm số g ( x ) Từ bảng biến thiến suy max = g (1) [ −1;2] Đồ thị hàm số y = g ′ ( x ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x0 ( −1 < x0 < ) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = g ′ ( x ) , y = , x = −1 , x = x0 x0 S1 =− ∫ g ′ ( x ) dx =g ( −1) − g ( x0 ) −1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = g ′ ( x ) , y = , x = x0 , x = = S2 ) dx g ( ) − g ( x ) ∫ g ′ ( x= x0 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45 NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số S1 < S ⇒ g ( −1) − g ( x0 ) < g ( ) − g ( x0 ) ⇔ g ( −1) < g ( ) Vậy g (1) > g ( ) > g ( −1) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) liên tục  đồ thị hàm số f '( x) đoạn [ −2;6] hình vẽ Tìm mệnh đề mệnh đề sau A max f ( x= ) f (−2) B max f ( x) = f (2) C max f ( x) = f (6) D max f ( x= ) f (−1) x∈[ −2;6] x∈[ −2;6] NHĨM TỐN VD – VDC Câu 6: x∈[ −2;6] x∈[ −2;6] Lời giải NHĨM TỐNVD – VDC Chọn C Từ đồ thị hàm số f '( x) ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x) [ −2;6] Do hàm số y = f ( x) đạt giá trị lớn x = −1 x = Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f '( x) trục Ox ⇒ S1 = ∫ [ − f '( x)]dx = f (−1) − f (2) −1 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f '( x) , trục Ox hai đường thẳng= x 2;= x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46 NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số ⇒ S 2= ∫ f '( x)dx= f (6) − f (2) Vậy max f ( x) = f (6) x∈[ −2;6] Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) liên tục tập số thực có đồ thị hình vẽ NHĨM TỐN VD – VDC Ta có S > S1 ⇒ f (6) − f (2) > f (−1) − f (2) ⇔ f (6) > f (−1) 13 ,= f ( ) Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số = g ( x ) f ( x ) − f ( x ) [ −1; 2] Biết f= ( −1) A B 198 C 37 D 14245 64 Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên = Ta có g ′ ( x ) f ( x ) f ′ ( x ) − f ′ ( x )  x = −1 Xét đoạn [ −1; 2] ta có g ′ ( x ) =0 ⇔ f ′ ( x )  f ( x ) − 1 =0 ⇔ f ′ ( x ) =0 ⇔  x = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47 NHĨM TỐNVD – VDC 1573 64 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số 1573 g ( −1) = , g ( ) = 198 64 [ −1;2] [ −1;2] 1573 64 14245 Vậy max g ( x ) + g ( x ) = [ −1;2] [ −1;2] 64 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Biết hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ Câu 8: bên NHĨM TỐN VD – VDC Từ suy = max g ( x ) 198, g ( x ) = x3 x ) f ( x ) − + x − x + Hỏi mệnh đề sau Xét hàm số y = g ( x ) thỏa mãn g ( = đúng? A max g ( x ) = g (1) B max g ( x ) = g ( ) C max g ( x ) = g ( ) D max g ( x ) = [0; 2] [0; 2] [0; 2] NHÓM TOÁNVD – VDC [0; 2] g ( 0) + g ( 2) Lời giải Chọn A x) f ( x) − +) Xét hàm số g ( = x3 + x − x +  Ta có g '= − f ' ( x ) − ( x − 1) , ∀x ∈  ( x ) f ' ( x ) − x + x= ⇔ f '( x ) = Khi g ' ( x ) = ( x − 1) , x ∈  +) Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đồ thị parabol = y ( x − 1) ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ lần x 0,= x 1,= x lượt là= https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48 NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Ngoài miền x ∈ ( −∞; ) ∪ (1; ) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía đồ thị parabol = y ( x − 1) nên f ' ( x ) < ( x − 1) , ∀x ∈ ( −∞; ) ∪ (1; ) ( x − 1) nên f ' ( x ) > ( x − 1) , ∀x ∈ ( 0; 1) ∪ ( 2; + ∞ ) Ta có bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) NHĨM TỐN VD – VDC y x ∈ ( 0; 1) ∪ ( 2; + ∞ ) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía đồ thị parabol = miền +) Từ bảng biến thiên, ta có max g ( x ) = g (1) [0; 2] NHĨM TỐNVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49 ... VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Dạng 2: Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số ( ) = y f= ( x ) , y f u ( x ) khoảng, đoạn Cho hàm số y = f ( x) liên. .. NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Vậy M = f (1) Câu 14 Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục  có đồ thị hình vẽ GTLN, GTNN tương ứng M m hàm số T  M  m A... NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng: max P = 0; P = −2  3 0 ;   2  3 0 ;    Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có