Đang tải... (xem toàn văn)
Các dạng toán và công thức liên quan đến khảo sát hàm số - một chuyên đề quan trọng trong ôn thi đại học.
KINH TOÁN HỌC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS www.VIETMATHS.com Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y f x ,đồ thị (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x0 ; y0 C Tính đạo hàm giá trị f ' x0 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 x x0 y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 C có hệ số góc k f ' x0 Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k Giải phương trình: f ' x k , tìm nghiệm x0 y0 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x0 y0 Chú ý: Cho đường thẳng : Ax By C , đó: Nếu d // d : y ax b hệ số góc k = a a Nếu d d : y ax b hệ số góc k Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A xA ; y A C Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k, d : y k x x A y A f x k x x A y A f ' x k Điều kiện tiếp xúc d C hệ phương trình sau phải có nghiệm: Tổng quát: Cho hai đường cong C : y f x C ' : y g x Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với f x g x hệ sau có nghiệm f ' x g ' x Cho hàm số y x x a khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại điểm có hồnh độ x ii Tại điểm có tung độ y = iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x y 2009 iv Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d : x 24 y 2009 x2 x có đồ thị (C) x 1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại giao điểm (C) với trục tung ii Tại giao điểm (C) với trụng hoành iii Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;1) iv Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 13 x2 x Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = Cho hàm số y Hịa thượng An Nam – Kinh Tốn học – www.VIETMATHS.com KINH TOÁN HỌC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS www.VIETMATHS.com c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = d Tìm tất điểm trục tung mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm d (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (Cm) ba điểm phân biệt g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác g m m m 2 g S xB xC m Vì xB , xC nghiệm g(x) = P xB xC Tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với nên ta có: f xC f xB 1 xB xC xB 2m xC m 1 xB xC 9 xB xC 6m xB xC 4m 1 9 m m m2 1 m2 10 m (nhận so với điều kiện) x2 Cho hàm số y Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ để từ kẻ đến (C) hai tiếp x tuyến vng góc Lời giải: Gọi M(x0;y0) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k y = k(x – x0) + y0 x2 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: k x x0 y0 , kx x 1 k x y0 kx0 x * k k d tiếp xúc với (C): x02 k x0 y0 k y02 y0 kx0 1 k y kx I k , k Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: k1k2 1 x x0 y0 1 x02 y02 x0 y x y0 x0 Vậy tập hợp điểm thỏa mãn u cầu tốn đường trịn: x y loại bỏ bốn giao điểm đường tròn với hai đường tiệm cận 2x Cho hàm số y (ĐH KhốiD 2007) x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác OAB ĐS: M ; 2 M 1;1 Hòa thượng An Nam – Kinh Tốn học – www.VIETMATHS.com DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS KINH TOÁN HỌC www.VIETMATHS.com x2 x (ĐH KhốiB 2006) x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên ĐS: b y x m Gọi (Cm) đồ thị hàm số: y x x (*) (m tham số) (ĐH KhốiD 2005) 3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng x y ĐS: m=4 Cho hàm số y x3 3mx x 3m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số y 10 Cho hàm số y x x3 m 1 x x m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành 11 Cho đồ thị hàm số C : y x2 Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp x 1 y x3 x tuyến đến (C) 12 Cho đồ thị hàm số C : y x x Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 13 Cho đồ thị hàm số C : y x x Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) 14 Cho đồ thị hàm số C : y x3 x Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 15 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH KhốiB 2008) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9) Lời giải: y a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = x = hay x = BBT : x y' y + 0 CĐ + + + CT 1 -1 x b Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – -2 Phương trình hồnh độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) 2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1) x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x x = –1 hay 4x2 – x – = 15 x = –1 hay x = ; y’(1) = 24; y ' 4 15 21 Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = x 4 Dạng 2: CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sơ y f x ,đồ thị (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: Nghiệm phương trình f ' x hoành độ điểm cực trị Hòa thượng An Nam – Kinh Tốn học – www.VIETMATHS.com DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS KINH TOÁN HỌC www.VIETMATHS.com f ' x0 hàm số đạt cực đại x x0 f '' x0 Nếu f ' x0 hàm số đạt cực tiểu x x0 f '' x0 Nếu Một số dạng tập cực trị thường gặp Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hồnh a y ' yCĐ yCT Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục tung xCĐ xCT Để hàm số y f x có cực trị Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hồnh Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hồnh Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y ax3 bx cx d Lấy y chia cho y’, thương q(x) dư r(x) Khi y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị ax bx c Dạng 2: Hàm số y dx e ax bx c ' 2a b Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y x d d dx e ' x m m2 x m4 1 Chứng minh hàm số y = xm ln có có cực trị với m Tìm m cho hai cực trị nằm đường thẳng y=2x Cho hàm số y x mx m x Định m để: a Hàm số có cực trị b Có cực trị khoảng 0; c Có hai cực trị khoảng 0; Định m để hàm số y x 3mx m x b2 4ac đạt cực đại x = Cho hàm số y = x 3x +3mx+3m+4 a Khảo sát hàm số m = b Định m để hàm số khơng có cực trị c Định m để hàm só có cực đại cực tiểu Cho hàm số y x 3mx x 3m Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x m 1 x m Cho hàm số y Chứng minh đồ thị hàm số ln có cực đại, cực tiểu với xm m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hồnh Hịa thượng An Nam – Kinh Tốn học – www.VIETMATHS.com DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS KINH TOÁN HỌC www.VIETMATHS.com Cho hàm số y x 1 2m x m x m Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ x 2mx 3m Cho hàm số y Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục xm tung Cho hàm số y x mx 2m 1 x m Cm Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương x m 1 x m m 10 Cho hàm số y (1) (ĐH KhốiA năm 2007) x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ĐS: m 4 11 Cho hàm số y x x m2 x 3m2 (1), m tham số (ĐH KhốiB năm 2007) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ 12 Cho hàm số y mx m x 10 ĐS : b m (1) (m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị 10 (ĐH KhốiB năm 2002) y x -5 -5 m 3 b ĐS : 0 m x m 1 x m 13 Gọi (Cm) đồ thị hàm số y (*) (m tham số) x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) ln có hai điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 a Hịa thượng An Nam – Kinh Tốn học – www.VIETMATHS.com DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS KINH TOÁN HỌC www.VIETMATHS.com y x -4 -2 -2 b CĐ(2;m3), CT(0;m+1) MN 20 a Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN Cho hàm sô y f x có tập xác định miền D f(x) đồng biến D f ' x , x D f(x) nghịch biến D f ' x , x D (chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D) Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f x ax bx c Nếu f(x) ln dấu với a b b Nếu f(x) có nghiệm x f(x) dấu với a x 2a 2a Nếu f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) dấu với a So sánh nghiệm tam thức với số * x1 x2 P * x1 x2 P S S * x1 x2 P Cho hàm số y x m 1 x m 1 x Định m để: a Hàm số đồng biến R b Hàm số đồng biến khoảng 2; Xác định m để hàm số y x mx 2x a Đồng biến R b Đồng biến 1; Cho hàm số y x 2m 1 x 12m x a Định m để hàm số đồng biến khoảng 2; b Định m để hàm số nghịch biến khoảng ; 1 Cho hàm số y mx x Định m để hàm số nghịch biến 1; x2 Hịa thượng An Nam – Kinh Tốn học – www.VIETMATHS.com DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS KINH TOÁN HỌC www.VIETMATHS.com Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG Quan hệ số nghiệm số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2 ) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1 ) (C2) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm (1) (1) vơ nghiệm (C1) (C2) khơng có điểm chung (1) có n nghiệm (C1) (C2) có n điểm chung (1) có nghiệm đơn x1 (C1) (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0 (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0) x 1 có đồ thị (C) x 1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x m x m Cho hàm số y 2 Cho hàm số y x 1 x 1 có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x 2m Cho hàm số y x3 kx a Khảo sát hàm số k = b Tìm giá trị k để phương trình x3 kx có nghiệm Cho hàm số y x x (ĐH KhốiD 2006) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 15 ĐS: b m , m 24 x 3x Cho hàm số y (1) (ĐH KhốiA 2004) x 1 a Khảo sát hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 1 ĐS: b m mx x m Cho hàm số y (*) (m tham số) (ĐH KhốiA 2003) x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương ĐS: b m x2 2x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y (1) (ĐH KhốiD 2003) x2 b Tìm m để đường thẳng d m : y mx 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: m>1 Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(1 m2)x + m3 m2 (1) (m tham số) (ĐH KhốiA 2002) Hòa thượng An Nam – Kinh Toán học – www.VIETMATHS.com KINH TOÁN HỌC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS www.VIETMATHS.com a Khảo sát biến thiên vẽ đố thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình x3 + 3x2 + k3 3k2 = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 1 k ĐS: b , c y x m m k k Dạng 5: CÁC BÀI TỐN VỀ KHOẢNG CÁCH Các cơng thức khoảng cách: Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB xB x A 2 yB yA Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax By C điểm M(x0;y0) d M ,. Ax0 By0 C A2 B Cho hàm số y x 3mx x 3m Cm Định m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng bé 2x 2 Cho hàm số C : y Tìm tọa độ điểm M nằm (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận x 1 nhỏ x2 x Cho hàm số C : y Tìm điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận nhỏ x 1 2x Cho hàm số C : y Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN x 1 nhỏ x2 x Cho hàm số C : y Tìm hai điểm M, N thuộc nhánh khác (C) cho đoạn MN x 1 nhỏ x2 x Cho hàm số C : y x 1 a Tìm điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ nhỏ b Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ Gọi (Cm) đồ thị hàm số: y mx (*) (m tham số) (ĐH KhốiA 2005) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên ĐS: m=1 Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y f x, m ta đưa dạng F x, y mG x, y Khi tọa độ điểm cố định có F x, y nghiệm hệ phương trình G x, y Hòa thượng An Nam – Kinh Toán học – www.VIETMATHS.com DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS KINH TOÁN HỌC www.VIETMATHS.com Cho hàm số y x3 m 1 x 3mx Cm Chứng minh Cm qua hai điểm cố định m thay đổi 2x2 6 m x Cho hàm số Cm : y Chứng minh đồ thị Cm qua điểm cố định mx m thay đổi Cho hàm số Cm : y 1 2m x 3mx m 1 Tìm điểm cố định họ đồ thị Chứng minh đồ thị hàm số y m 3 x3 m 3 x m 1 x m Cm qua ba điểm cố định Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f(x) có đồ thị (C) y f x có đồ thị (C “) y f x có đồ thị (C’) y f x 0, x D Do ta phải y f x có f x f x , giữ nguyên phần phía trục Ox lấy đối xứng phần phía trục Ox lên x D nên hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy y y y (C') (C) (C'') x x x Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ x2 x 2x a Khảo sát hàm số Cho hàm số C : y b Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt x2 x x 2 y y 4 2 x2 x y 2x -2 y x2 x x 2 x x -2 Cho hàm số C : y k -2 -2 x 3x x 1 Hòa thượng An Nam – Kinh Tốn học – www.VIETMATHS.com DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS KINH TOÁN HỌC www.VIETMATHS.com a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x2 3x m x 1 y y x 3x x 1 y 4 2 y x -4 -2 -4 x2 3x x 1 -2 x -2 -2 4x x2 x 1 a Khảo sát hàm số b Định m để phương trình x m x m có bốn nghiệm phân biệt Cho hàm số C : y y y x -2 y -2 Cho hàm số C : y x -2 4x x2 x 1 -2 y x x2 x 1 x2 x x2 Khảo sát hàm số Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x 1 m x 2m a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x3 x 12 x b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: x x 12 x m ĐS: b 4