Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Dạng toàn phương và lý thuyết giống trong nghiên cứu các số nguyên tố dạng x2+ny2

Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Dạng toàn phương và lý thuyết giống trong nghiên cứu các số nguyên tố dạng x2+ny2 với mục tiêu nhằm tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến dạng toàn phương và lý thuyết giống trong nghiên cứu các số nguyên tố dạng x2+ny2.

-1- -2- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cơng trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐINH THỊ THÙY LINH DẠNG TOÀN PHƯƠNG VÀ LÝ THUYẾT GIỐNG TRONG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Phản biện 1: TS CAO VĂN NUÔI NGHIÊN CỨU CÁC SỐ NGUYÊN TỐ DẠNG x2 +ny2 Phản biện 2: TS NGUYỄN ĐẮC LIÊM Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 Luận văn bảo vệ Hội ñồng bảo vệ chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, Năm 2012 tháng 12 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học Sư Phạm,Đại học Đà Nẵng -3- -4- MỞ ĐẦU giống, sau tính tương hỗ bậc ba trùng phương, ta xử lý nhiều trường hợp Để giải trọn vẹn tốn, người ta cần Lý chọn đề tài phải ñưa vào lý thuyết trường lớp lý thuyết hàm modular Tuy Hầu hết giáo trình ñầu tiên lý thuyết số nhiên, lời giải tổng quát tiêu chuẩn lý thuyết Các khía cạnh đại số trừu tượng có chứng minh định lý Fermat phát thuật tốn chưa đầy đủ Vấn đề biểu ñối với số nguyên tố lẻ p, ñược mang tên Định lý Fermat ñược nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn David A Cox, Marios tổng hai số phương Magioladitis, p=x2+y2, x, y∈Z ⇔ p≡1 mod Xuất phát từ nhu cầu phát triển tính thời việc nghiên Đây ñịnh lý ñầu tiên nhiều kết liên quan cứu số nguyên tố dạng p=x2+ny2, chúng tơi định chọn đề cơng trình Fermat Chẳng hạn, Fermat phát biểu p tài với tên gọi: Dạng toàn phương lý thuyết giống nghiên số nguyên tố lẻ cứu số ngun tố dạng x2+ny2 để tiến hành nghiên cứu Chúng tơi hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người p=x2+2y2, x, y∈Z ⇔ p≡1, mod muốn tìm hiểu dạng toàn phương hai biến nguyên, lý thuyết hợp p=x2+3y2, x, y∈Z ⇔ p=3 p≡1 mod Các ñiều làm cho người ta mong muốn ñược biết điều xảy cho số ngun tố dạng x2+4y2, x2+5y2, x2+6y2, Chúng dẫn ñến câu hỏi sau ñây Euler: lý thuyết số Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu ñề tài nhằm tổng quan kết tác Vấn ñề 0.1 Cho số nguyên dương n, số nguyên tố thành dạng toàn phương, lý thuyết giống ứng dụng chúng giả ñã nghiên cứu liên quan đến dạng tồn phương lý thuyết giống p biểu diễn dạng p=x +ny , x y nghiên cứu số nguyên tố dạng x2+ny2 nhằm xây dựng số nguyên? tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu dạng tồn Bước đưa vào tính tương hỗ bậc hai lý thuyết sơ cấp dạng toàn phương theo hai biến Z Các phương pháp giải tốt ñẹp trường hợp ñặc biệt ñược xét Fermat Sử dụng lý thuyết hợp thành dạng toàn phương lý thuyết phương hai biến nguyên, lý thuyết hợp thành dạng toàn phương, lý thuyết giống ứng dụng chúng lý thuyết số -5- Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh ñề, đưa số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập Đối tượng, phạm vi nghiên cứu -6- CHƯƠNG TÍNH TƯƠNG HỖ BẬC HAI FERMAT VÀ EULER Trong phần này, bàn số nguyên tố có dạng x + ny , n số ngun dương cố ñịnh Điểm xuất Đề tài nhằm tổng quan kết Fermat, Euler, Lagrange, Legend, Gauss, … việc nghiên cứu Vấn ñề phát ba ñịnh lý Fermat: 0.1 Euler p = x2 + y2, x, y ∈ Z ⇔ p ≡ mod 4 Phương pháp nghiên cứu p = x2 + 2y2, x, y ∈ Z ⇔ p ≡ mod (1.1) p = x2 + 3y2, x, y ∈ Z ⇔ p = p ≡ mod Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến dạng tồn phương hai biến nguyên, lý thuyết hợp thành ñược ñề cập phần Mở ñầu Các mục tiêu Chương dạng tồn phương, lý thuyết giống, lý thuyết số đại số ứng chứng minh (1.1) quan trọng hơn, ñể có ñược hiểu biết dụng chúng ñể giải Vấn đề 0.1 liên quan đến việc nghiên cứu phương trình Tham gia buổi seminar tuần ñể trao ñổi kết ñang nghiên cứu p = x + ny2 , n > tùy ý Câu hỏi cuối ñã ñược trả lời tốt Euler, người ñã trải qua 40 năm chứng minh ñịnh lý Fermat Bố cục ñề tài suy nghĩ cách khái quát chúng Giải trình dựa vào Ngồi phần mở đầu kết luận luận văn gồm chương: vài báo liên quan Euler, vừa định lý Chương 1: Tính tương hỗ bậc hai Fermat Euler chứng minh vừa qua Chúng ta thấy chiến lược Euler cho Chương 2: Dạng toàn phương Lagrange Legend việc chứng minh minh họa (1.1) điều ñã Chương 3: Hợp thành lý thuyết giống Gauss dẫn ơng đến khám phá tính tương hỗ bậc hai bàn Chương 4: Tính tương hỗ bậc ba trùng phương số dự đốn ơng liên quan đến p = x + ny2 cho n > Các dự đốn ñáng ý liên quan ñến tính tương hỗ bậc hai, lý thuyết giống, tương hỗ bậc hai song bậc hai -7- 1.1 FERMAT VÀ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ CÓ DẠNG x + y , x + 2y , VÀ x + 3y -8- 2 Bổ ñề 1.4 Giả sử N tổng hai bình phương số nguyên tố q = x + y ước số ngun tố N Khi N / q tổng hai bình phương nguyên tố Fermat phát biểu kết dạng ñịnh lý: Mỗi số nguyên tố lớn bội ñơn vị ñược phân 2 1.3 p = x + ny VÀ TƯƠNG HỖ BẬC HAI tích thành tổng hai bình phương Ví dụ 5, 13, 17, 29, 37, Bổ ñề 1.7 Cho n số nguyên khác không, với p số 41 nguyên Mỗi số nguyên tố lớn bội ñơn vị ñược phân tố lẻ khơng chia hết n Khi đó:  −n  p| x + ny , UCLN ( x , y ) = ⇔   =1  p  tích thành tổng bình phương ba lần bình phương Dự đốn 1.9 Nếu p q số nguyên tố lẻ phân biệt khác Ví dụ 7, 13, 19, 31, 37, 43, Mỗi số nguyên tố lớn bội ba đơn vị phân tích thành tổng bình phương hai lần bình  p   = � có biệt dạng nguyên thủy có biệt thức (-4n) thức D tạo thành nhóm H ⊂ ker ( χ ) Định lý 2.8 Mọi dạng xác ñịnh dương nguyên thủy ñều tương ñương (ii) Các giá trị (Z / DZ)* ñược biểu diễn f (x, y) tạo thành thực với dạng thu gọn lớp kề H ker ( χ ) Định lý 2.13 Giả sử D < cố định Khi số h(D) lớp Bổ ñề 2.25 Cho dạng f (x, y) số ngun M Khi f (x, y) dạng xác định dương ngun thủy có biệt thức D hữu hạn, ñược biểu diễn thực cho số nguyên tố với M h(D) số dạng thu gọn có biệt thức D Định lý 2.26 Cho D ≡ 0,1 mod âm cho H ⊂ Ker(χ ) 2.2 p = x + ny VÀ CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bổ ñề 2.24 Nếu H’ lớp kề H Ker(χ ) p Mệnh ñề 2.15 Gọi n số nguyên dương p nguyên tố nguyên tố lẻ không chia hết D, [p] ∈ H p lẻ khơng chia hết n Khi (-n / p) = p ñược biểu biểu diễn dạng rút gọn có biệt thức D giống H' diễn h(-4n) dạng thu gọn có biệt thức -4n Hệ 2.27 Cho n số nguyên dương p nguyên tố lẻ Định lí 2.16 Giả sử D ≡ 0,1 mod âm χ: (Z / DZ) * → {± 1} không chia hết n Khi ñó p ñược biểu diễn dạng có biệt thức - ñồng cấu theo Bổ ñề 1.14 Khi với số ngun tố lẻ p khơng 4n giống với số nguyên β 2 chia hết D, [ p ] ∈ Ker( χ ) p ñược biểu diễn h(D) dạng thu gọn có biệt thức D Định lý 2.18 Cho n số ngun dương Khi h (-4n) = ⇔ n = 1, 2, 3, p ≡ β β + n mod 4n 2.4.DẠNG TOÀN PHƯƠNG LAGRANGE VÀ LEGENDRE - 13 - - 14 - B ≡ b mod 2a CHƯƠNG B ≡ b ' mod 2a ' PHÉP HỢP THÀNH VÀ LÝ THUYẾT GIỐNG GAUSS Trong lý thuyết giống phép hợp thành ẩn nghiên cứu Lagrange khái niệm liên quan chủ yếu đến Gauss lý chính: ơng khơng phải người B ≡ D mod 4aa’ Bổ đề 3.5 kết Gauss phép hợp thành lý thuyết giống cho p1 , q1 , , p r , q r , m số mà UCLN ( p1 , , p r , m ) = Khi đó, ñồng dư pi B ≡ qi mod m, sử dụng chúng, ơng người hiểu sâu xa mối liên hệ ñáng ngạc nhiên Trong phần này, chứng minh Cho i = 1, r có nghiệm modulop m ∀ i, j= 1, ,r , có trường hợp đặc biệt dạng xác định dương Khi đó, p j q j = p j q j mod m ứng dụng lý thuyết cho vấn ñề liên quan ñến nguyên tố dạng x2 + ny2, bàn ñến số thuận Mệnh ñề 3.8 Cho f(x,y) g(x,y) trên, phép hợp thành Dirichlet lợi Euler Những ñiều ñưa ñể ñược số n mà ñối với F(x,y) ñược ñịnh nghĩa (3.7) dạng xác ñịnh dương nguyên chúng giống chứa lớp ta chưa biết xác thủy có biệt thức D F(x,y) hợp thành trực tiếp f(x,y) có số n Cuối phần thảo luận nghiên g(x,y) theo nghĩa (3.1) cứu số học Gauss Định lý 3.9 Cho D ≡ 0,1 mod số âm C(D) tập hợp lớp 3.1.PHÉP HỢP THÀNH VÀ NHĨM lỚP Bổ đề 3.2 g ( x, y ) = a’x + b’xy + c’y Giả có dạng xác định dương ngun thủy có biệt thức D Khi hợp sử f ( x, y ) = ax + bxy + cy biệt thức D thỏa UCLN ( a, a’, ( b + b’) / ) = (vì b b’ có tính chẵn lẻ, (b + b’)/2 số ngun) Khi có số nguyên B modulo 2aa’ cho thành Dirichlet cảm sinh phép tốn hai ngơi xác định tốt C(D) mà làm cho C(D) thành nhóm Abelian hữu hạn mà cấp số lớp h(D) Bổ ñề 3.10 Một dạng thu gọn f(x,y) = ax2 + bxy+ cy2 có biệt thức D có cấp ≤ nhóm lớp C(D) b = 0, a = b a = c - 15 - - 16 - (i) Có 2µ-1 giống dạng có biệt thức D, với µ số Mệnh ñề 3.11 Cho D ≡ 0, mod số âm r số số nguyên tố lẻ chia hết D Định nghĩa số µ sau: D ≡ mod µ = r ñược xác ñịnh Mệnh ñề 3.11 D ≡ mod D = -4n với n > µ xác định theo bảng sau: (ii) Giống (giống chứa dạng chính) chứa lớp C(D) , nhóm bình phương nhóm lớp C(D) Vì n µ dạng giống xuất lặp lại Bổ đề 3.17 Đồng cấu Ψ : ( Z / DZ ) * → {±1} (3.16) tồn ánh µ n ≡ mod r hạt nhân nhóm H giá trị biểu diễn n ≡ 1,2 mod r+1 n ≡ mod r+1 n ≡ mod r+2 dạng Vì Ψ cảm sinh đẳng cấu: (Z/DZ)*/H → {±1}µ Bổ đề 3.20 Đặc trưng đầy đủ phụ thuộc vào dạng f(x,y) hai dạng có biệt thức D nằm giống (như ñịnh nghĩa Khi nhóm lớp C(D) có 2µ-1 phần tử cấp ≤ Chương 2) chúng có đặc trưng đầy đủ 3.2.LÝ THUYẾT GIỐNG Định lí 3.21 Cho f(x,y) g(x,y) dạng ngun thủy có biệt Bổ đề 3.13 Ánh xạ Φ biến lớp C(D) thành lớp kề giá trị ñược biểu diễn ker(χ)/H ñồng cấu nhóm Hệ 3.14 Cho D≡ 0,1 mod số âm Khi : thức D ≠ 0, xác ñịnh dương D < Khi ñó, phát biểu sau tương ñương: (i) f(x,y) g(x,y) thuộc giống, tức chúng biểu diễn giá trị (Z/DZ)* (i) Tất giống dạng có biệt thức D chứa số lớp (ii) f(x,y) g(x,y) biểu diễn giá trị (Z/mZ)* với số nguyên khác khơng m (ii) Số giống dạng có biệt thức D lũy thừa (iii) Định lí 3.15 Cho D ≡ 0,1 mod số âm, đó: f(x,y) g(x,y) tương đương modulo m với số nguyên khác không m - 17 - (iv) f(x,y) g(x,y) tương ñương số nguyên p- adic Zp với số nguyên tố p (v) - 18 - f(x,y) g(x,y) tương ñương Q qua ma trân GL (2, Q) mà phần tử có mẫu nguyên tố với 2D Mệnh ñề 3.24 Một số nguyên dương n số thuận lợi với dạng có biệt thức -4n, giống chứa lớp ñơn Bổ ñề 3.25 Cho m số dương lẻ nguyên tố với n > Khi đó, số cách mà m biểu diễn thực dạng thu gọn (vi) f(x,y) g(x,y) tương đương Q khơng cần tính chất mẫu số, tức số m khác không cho trước, ma trận GL (2,Q) tìm thấy cách biến dạng thành có biệt thức -4n là:   −n   2∏ 1 +    p/ m   p  dạng khác phần tử có mẫu số nguyên tố với m 3.3 p = x + ny Hệ 3.26 Cho m ñược biểu diễn thực dạng xác ñịnh VÀ CÁC SỐ THUẬN LỢI EULER dương nguyên thủy f(x,y) có biệt thức -4n, n>1, giả sử m số Định lý 3.22 Cho n số ngun dương Khi phát biểu lẻ, ngun tố với n Nếu r ký hiệu cho số ước nguyên sau tương ñương: tố m m biểu diễn thực 2r+1 cách Mỗi giống dạng có biệt thức -4n chứa mơt lớp đơn Nếu ax2+ bxy+ cy2 dạng thu gọn có biệt thức -4n b = 0, a = b a = c (i) Hai dạng có biệt thức -4n tương đương chúng tương ñương thực (ii) Nhóm lớp C (-4n) đẳng cấu với (Z/DZ)m với số ngun m (iii) Số lớp h (-4n) 2µ-1 , với µ xác định Mệnh ñề 3.11 dạng thu gọn giống f(x,y) - 19 - - 20 - CHƯƠNG Hệ 4.4 Z[ω] PID (miền ideal chính) đồng thời TƯƠNG HỖ BẬC BA VÀ TRÙNG PHƯƠNG Trong chương nghiên cứu tương hỗ bậc ba trùng phương dùng chúng ñể chứng minh dự đốn Euler cho p = x + 27y p = x2 +64y2 (xem (1.22) (1.23) Một ñiều thú vị lý thuyết tương hỗ tương hỗ địi hỏi mở rộng khái niệm số nguyên: ñối với tương hỗ bậc (i) Một phần tử α ∈ Z[ω] phần tử khả nghịch N (α ) = (ii) Các phần tử khả nghịch Z[ω] Z [ω ]* = {±1, ±ω , ±ω } ứng dụng hiệu (4.1) ñối với tương hỗ trùng phương dùng số nguyên Gauss: Z[i] = {a + bi: a,b∈ Z}, i = −1 Bổ ñề 4.5 Bước mơ tả ngun tố Z[ω] Bổ đề sau ñược dùng vành: Z[ω] = {a + bω: a,b ∈ Z }, ω = e 2πi/3 = (-1+ −3 )/ UFD (miền nhân tử hóa nhất) (4.2) Cả Z[ω] Z[i] ñều vành vành số phức Việc ñầu tiên mơ tả tính chất số học vành Bổ ñề 4.6 Nếu α ∈ Z [ω ] N (α ) nguyên tố Z α nguyên tố Z (ω ) Mệnh ñề 4.7 Cho p số nguyên tố Z Khi đó: Nếu p = = ω nguyên tố Z[ω] (i) = −ω (1− ω ) xác ñịnh ñơn vị nguyên tố vành Khi định nghĩa kí hiệu Legendre suy rộng (α/π)3 (α/π)4 phát biểu luật tương hỗ bậc ba trùng phương Cuối chương ta bàn thành Gauss tương hỗ ñưa nhận xét (ii) Nếu p ≡ mod tồn số nguyên tố π ∈ Z [ω ] cho p = π π , nguyên tố π π không kết hợp Z[ω] (iii) Nếu p ≡ mod p nguyên tố Z[ω] nguồn gốc lý thuyết trường lớp 4.1 Z [ω ] VÀ TƯƠNG HỖ BẬC BA Mệnh ñề 4.3 Cho α, β∈ Z[ω], β ≠ tồn γ, δ∈ Z[ω] cho α = γ β + δ N(δ) < N(β) Khi Z[ω] vành Euclide Hơn nữa, nguyên tố Z[ω] kết hợp với số nguyên tố ñược ñưa (i)-(iii) - 21 - - 22 - Bổ ñề 4.8 Nếu π nguyên tố Z[ω], trường thương (ii) Z[ω]/πZ[ω] trường hữu hạn với N(π) phần tử Hơn nữa, N(π) Nếu p ≡ mod có ngun tố π ∈ Z[i] cho p = π π nguyên tố π = p p2 với p ngun tố ngun và: π khơng liên kết Z[i] (i) Nếu p = p ≡1 mod N(π)= p (iii) Z / pZ Z [ω ] / π Z [ω ] (ii) Nếu p ≡ mod N(π) = p2 Z/pZ trường Nếu p ≡ mod p cịn ngun tố Z[i] Hơn nguyên tố Z[i] liên kết với nguyên tố ñã (i)-(iii) cấp p trường Z[ω]/πZ[ω] có p2 phần tử Chúng ta có phiên sau ñịnh lý Fermat Nhỏ: Nếu π Hệ 4.9 Nếu π nguyên tố Z[ω] không chia hết α ∈ Z [ω ] nguyên tố Z[i] khơng chia hết α ∈ Z[i] thì: αN(π)-1 ≡ mod π α N (π ) −1 ≡ 1mod π Định lý 4.21 Nếu π θ nguyên tố nguyên sơ phân biệt Định lý 4.12 Nếu π θ nguyên sơ Z[ω] chuẩn Z[i], thì:  θ  π    =   π 3  θ 3 khơng thì: (4.19) ( N(θ ) −1)( N(π ) −1) /16 θ  π    =   ( −1)  π   θ 4 Định lí 4.15 Cho p nguyên tố Khi p= x2 +27y2 p ≡1 mod thặng dư bậc ba modulo p Định lí 4.23 (i) Nếu π = a+bi nguyên tố nguyên sơ Z[i] 4.2 Z [ i ] VÀ TƯƠNG HỖ TRÙNG PHƯƠNG 2 ab /   = i  π 4 Mệnh ñề 4.18 Cho p ngun tố Z Khi đó: (ii) (i) Nếu p = + i nguyên tố = i (1 + i ) Z[i] Nếu p nguyên tố p=x2+64y2 p ≡ mod thặng dư trùng phương modulo p 4.3.TƯƠNG HỖ GAUSS VÀ BẬC CAO - 23 - KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu dạng toàn phương lý thuyết giống nghiên cứu số nguyên tố dạng x2 + ny2, luận văn ñã hoàn thành ñạt ñược mục tiêu nghiên cứu ñề tài với kết cụ thể sau: - 24 - Trong điều kiện thời gian khn khổ luận văn nên chúng tơi chưa sâu nghiên cứu ứng dụng lý thuyết trường lớp việc tìm hiểu số nguyên tố dạng x2 + ny2 Đó hướng phát triễn luận văn Trong q trình làm luận văn, có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả Tổng quan hệ thống cách ñầy ñủ khái niệm mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn đọc kết tương hỗ bậc hai Fermat Lagrange liên quan đến số để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triễn luận văn sau nguyên tố dạng x + ny 2 Trình bày cách ñầy ñủ chi tiết khái niệm kết quan trọng dạng toàn phương Lagrange, Legendre lý thuyết giống sơ cấp liên quan ñến số nguyên tố dạng x2 + ny2 Tìm hiểu nghiên cứu luật hợp thành lý thuyết giống mở rộng Gauss liên quan ñến số nguyên tố dạng x2 + ny2 số thuận lợi Euler Tổng quan tương hỗ bậc ba tương hỗ trùng phương xét miền Euclid Ζ(i ) Ζ(ω ) , đồng thời tìm hiểu tương hỗ Gauss tương hỗ bậc cao Với khảo sát ñược, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục ñi sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu dạng toàn phương, lý thuyết giống số nguyên tố dạng x2 + ny2  ... quan đến dạng tồn phương lý thuyết giống p biểu diễn dạng p=x +ny , x y nghiên cứu số nguyên tố dạng x2+ny2 nhằm xây dựng số nguyên? tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu dạng tồn Bước đưa vào tính...iếp cận nghiên cứu dạng toàn phương lý thuyết giống nghiên cứu số nguyên tố dạng x2 + ny2, luận văn ñã hoàn thành ñạt ñược mục tiêu nghiên cứu ñề tài với kết cụ thể sau: - 24 - Trong điều kiện t... khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến dạng tồn phương hai biến nguyên, lý thuyết hợp thành ñược ñề cập phần Mở ñầu Các mục tiêu Chương dạng tồn phương, lý thuyết giống, lý thuyết số đại số