CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN pptx

A' CHUY ÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN A.Tóm tắt lí thuyết: I.Góc giữa hai đường thẳng: 1.Góc giữa hai đường thẳng a và b được định nghĩa bằng góc giữa hai

A'

CHUY ÊN ĐỀ :

GÓC TRONG KHÔNG GIAN

VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

A.Tóm tắt lí thuyết:

I.Góc giữa hai đường thẳng:

1.Góc giữa hai đường thẳng a và b được định nghĩa bằng góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a và b

II.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

1 Cho đường thẳng và mặt phẳng ( ) Nếu  không vuông góc với ( ) , khi

đó góc giữa chúng được định nghĩa bằng góc giữa  và hình chiếu vuông góc

’ của lên mặt phẳng ( )

2 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng luôn tù

3 Cho m là một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng ( ) khi đó

góc giữa đường thẳng ∆ và ( ) không lớn hơn góc giữa hai đường thẳng ∆ và m

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc ∆  (α) hoặc m // ∆’ ( ở đó ∆’ là hìnhchiếu vuông góc của ∆ lên (α))

4 Nếu ∆ // a và (α) // (P) thì góc giữa đường thẳng ∆ và (α) bằng góc giữa đường thẳng a và (P)

5 Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) Khi đó với mọi đường thẳng ∆

ta có tổng góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) và góc giữa hai đường thẳng

∆ và a bằng 90o

1

m b a

A B AB AB  Do đó A B' 'AB, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB song song với (α) hoặc nằm trên (α)

III.Góc giữa hai mặt phẳng:

1.Cho hai mặt phẳng (α) và (β)

a) Nếu (α) và (β) trùng nhau hoặc song song với nhau,

ta nói góc giữa chúng bằng 0

b) Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m

Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc (α) và (β)

và vùng vuông góc với đường thẳng m tại O

Khi đó góc giữa (α) và (β) được định nghĩa bằng góc giữa hai đường

P M

B.Một số dạng toán liên quan:

I.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:

b

P N

Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) bằng  thỏa mãn sin 1 ,0

Hướng dẫn giải:

Gọi M’,N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC

Gọi P là trung điểm của BM

3a

49a

4

N' M' B

5

A B

C OI S

a) Gọi I là hinh chiếu của S lên (ABC), theo giả thiết, ta có:

SAI SBI SCI    (1)

Các tam giác SAI,SBI,SCI có chung cạnh góc vuông SI và thỏa (1) nên bằng nhau Vậy IA=IB=IC

N M

I

C B

B' A

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.

AA’(ABC).Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với (ABB’A’) góc 30 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BB’.

a)Tính AA’

b) góc[MN,(BA’C’)].

Hướng dẫn giải:

Tính AA’:

Gọi I là trung điểm A’B’, ta có:

C’IA’B’ (A B C' ' ' đều)

Mà C’I AA’ (AA’(A’B’C’))

Vậy C’I(ABB’A’) (1)

 BI hcBC'/(ABB C' )  IBC ' 30

Mặt khác (1)  C’I IB

K N

J

M A

C

C'

B H

Gọi J là trung điểm của A’C’ H là hình chiếu của M lên BJ.Trong hình thang BNJM,MN cắt BJ tại K.K cũng

là giao diểm của MN và(B’A’C’)

J

N

I C

Cho hình lăng trụ ABC,A’B’C’ đáy ABC vuông cân tại A.

AA’(ABC).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’.Biết rằng MN=a và

Từ (1)  AB=2a.cos

( MI là đường trung bình ABC)

BC=2a 2 cos (3) (ABC vuông cân)

I J

B

A

C

M K L

H D

 cos = 2 sin 

Bài 7:

Cho tứ diện ABCD có ba mặt ABC,ACD,ADB vuông tại A.M là một điểm ở trong tam giác BCD.Gọi  ,  , lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC),(ACD), (ADB).

CMR: sin2sin2sin21.

  MAH,  MAK,  MAL

Các tam giác vuông MAH,MAK,MAL cho:

AM



II.GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:

Bài 8:

Cho hình vuông ABCD cạnh a, trong mp(P).Hai điểm M,N di động trên CB và CD, Đặt CM=x,CN=y.Trên đường thẳng At vuông góc với (P) lấy điểm S.Tìm liên hệ giữa x,y để

a) (SAM) và (SAN) tạo nhau góc 45

Gọi H là trung điểm BC AH BC.

ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a  AH a

(AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a)

Vậy, AB/I vuông tại A

Ta có: /

2 /

B

C A

H

I

y z

A C

B

S

H K

ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

aAH

2

2

Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

Vậy, AB/I vuông tại A

* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ n1 (0; 0; 1)

* mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương AB , AI / , nên có pháp vectơ:

1 ostan tan

os

c c

Suy ra BED là góc giữa (SAD) và (SBC).

Mặc khác #AIBlà tam giác đều (do   60o

Vậy ((SAD SBC ,( )) arctan 7

b) Dựng APSHtại P, khi đó ta cũng có APCD( do CD(SAH))Nên AP(SCD)

O B

A

C

I H

#SAC có SAAC, SA = SC = a 3 nên #SAC vuông cân tại A

562

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Biết OA = a, OB = b, OC = c

và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) = h Gọi α, β, γ là các góc tạo bởi (ABC) với cái mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) Chứng minh rằng :

Vậy (ADC),(BDC) BJI.

Ta có #BJI vuông tại I (BI DAC)

Theo đề bài BJI 60o nên #BJI là nửa tam giác đều

Cho #ABC vuông tại A có BC là cạnh huyền thuộc mặt phẳng (P) Gọi β,γ lần lượt

là góc hợp bởi 2 đường thẳng AB,AC với mặt phẳng (P) Gọi α là góc hợp bởi mặt phẳng(ABC) với mặt phẳng (P).Chứng mình rằng:

Sin2 Sin2Sin2.

Cho hình chóp S.ABCD có dáy là hình thang vuông tại A,B với

AB=BC=a,AD=2a,SA(ABCD) và SA=a 2 Gọi I là trung điểm của SC.

a) Chứng minh AI(SCD).

b) Tính góc  giữa hai mp (ABCD) và (SCD), góc  giữa hai mp (SAB) và (SCD).

18

Hướng dẫn giải:

a) SA(ABCD)

 SAAC,SA=AC= a 2

Tam giác SAC vuông cân tại A nên AI SC

Gọi K là trung điểm của AD,

tứ giác ABCK là hình vuông nên:

CK=KA=KD=a

 tam giác ACD vuông tại C

 CDAC Mà CDAS, do SA (ABCD) nên:

CD(SAC)  CDAI

Ta có: AISC và CD  AI (SCD)

b) Ta có giao tuyến của (ABCD) và (SCD) là CD

Theo câu a), CD(SAC) nên CDAC và CDSC

Do đó góc giữa (ABCD) và (SCD) là  =SCA

Mà tam giác SAC vuông cân tại A nên = 45o

Ta có ADAB và SA,nên AD(SAB)

Theo cmt, AI(SCD).Vậy góc giữa (SAB) và (SCD) là  =góc (AI,AD)

Vì AI (SDC) nên AIID.Tam giác AID vuông tại I và cosIAD = AI

ADvới AD=2a,AI=SC

Gọi H là trung điểm của AC, ta có BHAC

Ta có BH SA vì SA (ABC), nên BH(SAC)

19

S

S =12  = 60o.

Câu 17:

Cho tam giác đều ABC cạnh a Dựng hai đoạn AA’,CC cùng vuông góc với (ABC)

và nằm cùng phía đối với (ABC), AA = CC ’= a Tính góc giữa hai mp (A’BC) và (C’BA).

Hướng dẫn giải:

Gọi O là giao điểm của AC’ và CA’; H là trung điểm của AC

Ta có: ACOB.Hạ HIOB, suy ra OB(ACI) và góc giữa (A’BC) và (C’BA) là góc giữa IA và IC

A S

N M

Hướng dẫn giải:

a) Gọi H là hình chiếu của D trên (ABC) Qua A,B,C dựng các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC thì ta được một tứ diện DMNP có các cạnh MD,DN,DP vuông góc với nhau từng đôi một, do đó H nằm trên miền trong tam giác MNP

Đặt S=S DAB S DBC S DAC S ABC

* Nếu H ABC thì

D os ,osos

CB CAH ABH

x z

y

I O

A

B C

Áp dung B.C.S  đpcm

b) BD’  (ACB’)  BD’AC, ta lại có ACBB’,ACBD’,

do đó AC (BB’D’D)  ACBD nên ABCD là hình vuông

Trên Ox, Oy lấy A,B sao cho OA=OB=a

Vẽ ACOz, ta có hai tam giác OAC và OBC bằng nhau (vì OA=OB,OC chung,

AOC BOC 60 )

 BC Oz

Do đó  =(CA,CB) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (xOz) và (yOz)

Trong tam giác ABC:

x

y O

Gọi α là góc tạo bởi (xOz) và (yOz)

Lấy AOx,B Oy sao cho OA = OB = a

Vậy xOz ,   =arccos -1

3

 

24

2 2 ' '

III.GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 25:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2, SA vuông góc với (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF.

F M B

E K

H A

C’ B’

Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF

Áp dụng định lý hàm Côsin vào SEM có:

Vì AF // ME d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH. 

SAK vuông có: 12 12 1 2 12 22 32 AH a 3

3

AH SA AK a a a  Vậy, d(SE; AF) a 3

3

Bài 26:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cĩ AB 1 ,CC' m (m 0 ). Tìm

m biết rằng gĩc giữa hai đường thẳng AB và ' BC' bằng 60 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có: SA = a, SB = a 3 , AB = 2a

Dễ dàng chứng minh #ASB vuông tại B

28

C D

N

M H K

IV.SỐ ĐO NHỊ DIỆN

Bài 29:

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ABC Đặt SG=x (x > 0) Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60 o

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G

trên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông

a

3

Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SC  nên có pháp vectơ n2

Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o

31

z x

x

y C

B

A

E

F G M

a) Chứng minh rằng ASC vuông.

b) Chứng minh rằng (B, SA, D) là nhị diện vuông.

B D

C

A

H K

=>Góc giữa (SAB) và (SAD) là BHD

#SAO vuông tại O có:

Cho tứ diện ABCD có AB(BCD), tam giác BCD vuông ở C Từ B hạ BH AC,

BK AD Giả sử BKH CBD   Chưng minh rằng:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng nửa cạnh đáy Với

M là 1 điểm trên cạnh AB, Tìm giá trị lớn nhất của góc  'A MC'

Gọi chiều cao là h thì đáy hình vuông cạnh là 2h

MAB nên có số α sao cho AM ABa

,với 0  1

A' B'

D

C C'

  #ABC’ vuông tại B

Từ giả thiết : C AB' , 'C AD , 'AA'=C 

Ta có : os = AB

AC'

a c

x

y O

H K

a) Hạ HKOx, HIOy, suy ra MK Ox, MIOy

Hai tam giác vuông OMK và OMI bằng nhau  MK=MI

 Hai tam giác vuông MHK, MHI bằng nhau

 HK=HI  OH là phân giác của xOy

a) Chứng minh rằng khi d quay quanh B thì M di động trên một đường tròn cố định nằm trong mp (P).

b) Đặt ABM  .Xác định  để tam giác SMB có diện tích lớn nhất và tính diện tính lớn nhất này.

M S

B

O

I H

2 2 2 2 2

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một Gọi H

là hình chiếu của O lên mp(ABC).

CM :S OABS OBCS OCA  3S ABC

Hướng dẫn giải:

Ta có H là hình chiếu của O trên (ABC)

 H là trực tâm tam giác ABC và

Cho hình chóp S.ABCD có SA=SB=SC=1, BSC ,CSA ,ASB .Gọi S là diện tích toàn phần của hình chóp.Chứng minh rằng:

0

2 3S  9 2( osc  coscos ).

Hướng dẫn giải:

* Ta chứng minh bài toán phụ sau:

Trong một tam giác có các cạnh là a,b,c và diện tích S thì ta có a2b2c2 4 3 S

2 3 3(sin sin sin ) 3 ( os +cos os )

2 3 3 ( 3 sin os ) ( 3 sin os ) ( 3 sin os ) 2( os +cos os )

Bài 1:Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,các cạnh bên

tạo với đáy một góc 60o.Tính V khối chóp đó

Bài 2 : Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC=5a ,BC =6a ,và các mặt

bên tạo với đáy một góc 60o.Tính V khối chóp đó

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng

vuông góc Gọi I là trung điểm AB

a) Chứng minh SI vuông góc với (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với mp

(ABCD)

b) Tính khoảng cách từ B đến mp (SAD) Suy ra góc giữa SC và mp (SAD)

c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) vuông góc với (ABCD) Tính góc hợp bởi SI và (SDC)

Bài 4 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = a 3 vuông góc với (ABCD) Tính số đogóc nhị diện sau :

Bài 6 : Cho tứ diên SABC; SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một H là hình chiếu

của S lên (ABC); O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chứng minh rằng :

2 2

12

4cos cos cos

OH

39

Bài 7 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, trong mp (P) Hai điểm M và N di động trên CB

và CD, đặt CM = x, CN = y Trên đường thẳng At vuông góc với (P) lấy S Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để

a) (SAM) và (SAN) tạo với nhau 1 góc 45o

b) (SAM) vuông góc với (SMN)

Bài 8: Cho đường thẳng d hợp với (P) một góc α Gọi A là giao điểm của d và (P) Trên d

lấy điểm B cố định với AB = a Điểm M di động trên (P), gọi p là chu vi tam giác ABM Tìm vị trí M để p

BM đạt giá trị lớn nhất.

Bài 9 : Gọi a và b là chiều dài của hai cạnh chéo nhau của một tứ diện, α và β là số đo của

hai góc nhị diện tương ứng

Chứng minh rằng biểu thức q a 2b22abcot cot  không phụ thuộc vào cách chọn các cạnh của tứ diện

Bài 10 : Cho tứ diện SABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a; tam giác ABC

vuông cân tại B ( BA = BC = a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và SB Chứng minh rằng:

a) BI vuông góc với mặt phẳng (SAC)

b) AJ vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Tµi LiÖu Tham Kh¶o

[1] Bài tâp nâng cao và một số chuyên đề hình học 11.

Mục Lục

A.Tóm tắt lý thuyết……… 1

B Một số dạng toán liên quan …….……… 3

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……… 3

Góc giữa hai mặt phẳng……… 11

Góc giữa hai đường thẳng……… 26

Số đo nhị diện……….30

Một số dạng toán khác………33

C Bài tập đề nghị 39

Tài liệu tham khảo……… 40

41

Danh sách thành viên trong nhóm:

1.Huỳnh Sơn Bách

2.Nguyễn Hữu Khánh.

3.Trần Đức Lộc.

4.Phạm Huy Hoàng.

5.Nguyễn Lê Tố Như.

6.Lâm Dương Hoài Thương.

7.Lê Thị Hoàng Kim.

42