Phân tích một số sai lầm dễ mắc trong các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Giải tích 12, nội dung “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” nội dung trọng tâm, chiếm thời lượng lớn chương trình Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia hàng năm số câu hỏi liên quan đến khảo sát vẽ đồ thi hàm số chiếm tỉ lệ lớn (khoảng 10/50 câu) có đủ bốn mức độ nhận thức (nhận biết, thông hiểu, vận dụng vận dụng cao) Trong trình giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia nhận thấy nhiều học sinh dễ mắc sai lầm giải toán liên qua đến khảo sát hàm số Các sai lầm chủ yếu nắm không vững, hiểu sai vấn đề, nhận thức chưa không đầy đủ nội dung đó, ngộ nhận tốn để đưa toán toán đơn giản quen thuộc Nhằm giúp em nắm vững kiến thức, hiểu đầy đủ nội dung kiến thức khắc phục số sai lầm giải tốn liên quan tới khảo sát hàm sơ tơi chọn đề tài “Phân tích số sai lầm dễ mắc toán liên quan tới khảo sát hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Phân tích cho học sinh thấy số sai lầm dễ mắc toán liên quan tới khảo sát hàm số Qua giúp học sinh hiểu chất vấn đề, vận dụng giải toán Bồi dưỡng cho học sinh thêm mặt phương pháp, kỹ giải tốn Qua giúp học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số (Chương I, Giải tích 12) Từ phân tích số sai lầm mà học sinh dễ mắc phải biện pháp khắc phục 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nội dung kiến thức Chương I, Giải tích 12: “Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát vẽ đồ thị hàm số” Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) - Định nghĩa tính đơn điệu hàm số - Liên hệ giữa tính đơn điệu hàm số với dấu đạo hàm (Điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số đơn điệu K) - Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số - Định nghĩa cực đại, cực tiểu hàm số (cần phân biệt điểm cực trị hàm số với cực trị hàm số điểm cực trị đồ thị hàm số) - Điều kiện đủ để hàm số có cực trị - Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số - Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số - Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số - Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số - Một số nội dung kiến thức liên quan: Công thức tính đạo hàm hàm số, tương giao đồ thị hàm số, tam thức bậc hai, định lí Vi-ét 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong thực tế, học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị thường gặp phải khó khăn sau: - Khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, khơng hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Hiểu sai điểm cực trị hàm số với cực trị hàm số điểm cực trị đồ thị hàm số - Nhầm lẫn cực đại hàm số với giái trị lớn hàm số, cực tiểu hàm số với giá trị nhỏ hàm số - Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D - Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để giải khắc phục hạn chế số sai lầm dễ mắc toán liên quan tới khảo sát hàm số làm sau: - Bổ sung, củng cố lại nội dung kiến thức mà học sinh năm chưa vững, hiểu sai chất - Tiến hành khảo sát để phân loại đối tượng học sinh lớp thành nhiều nhóm, từ có phương pháp giảng dạy cho nhóm - Đưa số thí dụ để phân tích cho học sinh thấy số sai lầm dễ mắc toán liên quan tới khảo sát hàm số Thí dụ Tìm m để hàm số y = x3 − 3x2 − 3mx (1) đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) Lời giải sai Hàm số (1) đồng biến khoảng y' = 3x2 − 6x − 3m Phân tích: Nếu ¡, có ( 1;+∞ ) đạo hàm ∆ = + 9m≤ ⇔ m≤ −1 ∆'≤ y' ≥ với x∈ ¡ suy hàm số (1) đồng biến khoảng , suy hàm số (1) đông biến (1;+∞) xảy khả hàm số (1) đồng biến khoảng Nhưng (1;+∞) ∆'> (khi hai nghiệm của y’ nhỏ 1) Do lời giải đề cập tới trường hợp, thiếu trường hợp Lời giải sai Hàm số (1) đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) y' = 3x2 − 6x − 3m≥ 0,∀x∈ (1;+∞) x2 − 2x) = −1 ⇔ m≤ x2 − 2x,∀x∈ (1;+∞) ⇔ m≤ xmin( ∈(1;+∞ ) Phân tích: Nếu tốn này, giả thiết ( 1;+∞ ) thay [ 1: +∞ ) thật tuyệt vời Nhưng đây, bạn lưu ý, xét tập hợp f (x) = x2 − 2x lời giải ( 1;+∞ ) hàm số min(x2 − 2x) khơng có giá trị nhỏ Tức không tồn x∈(1;+∞ ) Do min(x2 − 2x) = −1 kết luận x∈(1;+∞ ) sai Lời giải sai Hàm số (1) đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) y' = 3x2 − 6x − 3m> 0,∀x∈ (1;+∞) ⇔ m< x2 − 2x,∀x∈ (1;+∞) Lập bảng biến thiên hàm số Do m< −1 f (x) = x2 − 2x giá trị cần tìm Phân tích: Vì hàm số (1) có y' = y' = 3x2 − 6x − 3m tam thức bậc hai, phương trình có khơng q hai nghiệm, nên (1) đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) y' = 3x2 − 6x − 3m≥ 0,∀x∈ (1;+∞) Điều kiện y' = 3x2 − 6x − 3m> 0,∀x∈ (1;+∞) đưa lời giải vừa nêu không đúng, kết luận bị thiếu giá trị m= −1 Trên sở phân tích vừa thảo luận trên, đề xuất hướng giải cho toán sau Lời giải Hàm số (1) có đạo hàm * Nếu ∆ ' ≤ ⇔ m≤ −1 y' ≥ y' = 3x2 − 6x − 3m,∆ ' = 9(m+ 1) với x∈ ¡ , suy (1) đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) * Nếu ∆ ' > ⇔ m> −1 x1,2 = 1± m+ phương trình y' = Hàm số (1) đồng biến khoảng có hai nghiệm phân biệt ( 1;+∞ ) hai nghiệm y’=0 nhỏ 1, tức m> −1  m> −1 1+ m+ ≤ 1⇔  m= −1  1− m+ ≤ (vô nghiệm) Từ hai trường hợp ta suy m≤ −1 giá trị cần tìm y' = 3x2 − 6x − 3m Lời giải Hàm số (1) có đạo hàm tam thức bậc hai, nên đạo hàm có hữu hạn nghiệm khoảng ( 1;+∞ ) y' ≥ 0,∀x∈ ( 1;+∞ ) , Bảng biến thiên hàm số Do m≤ −1 ( 1;+∞ ) hay , (1) đồng biến khoảng m≤ x2 − 2x,∀x∈ (1;+∞) f (x) = x2 − 2x, x∈ (1;+∞) giá trị cần tìm Thí dụ Tìm m để hàm số y = 2x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x (2) có hai cực trị trái dấu Lời giải sai Hàm số (2) có hai cực trị trái dấu đạo hàm có hai nghiệm trái dấu, điều tương đương với y' = 6(x2 + mx − m− 1) 1(−m− 1) < ⇔ m> −1 Phân tích: Đề u cầu tìm m để hàm số (2) có hai cực trị trái dấu khơng u cầu tìm m để hàm số (2) có hai điểm cực trị trái dấu Điều kiện m> −1 điều kiện cần đủ để hàm số (2) có hai điểm cực trị trái dấu Ta nhớ lại điểm cực trị hàm số điểm M(x0; f (x0)) y = f (x) giá trị f (x0 ) gọi cực trị hàm số gọi điểm cực trị đồ thị hàm số Lời giải Hàm số (2) có đạo hàm x = −m− x0 x = −m− 1≠ 1⇔ m≠ −2 y' = 6(x2 + mx − m− 1) y' = Do đồ thị hàm số (2) có hai cực trị Lúc giả sử A(1: −3m− 4), B(−m− 1;m3 + 6m2 + 9m+ 4) hai điểm cực trị đồ thị hàm số (2) Hàm số (2) có hai cực trị trái dấu yA.yB < , tức m≠ −2  (−3m− 4)(m+ 4)(m+ 1) <  m< −4  ⇔  − < m< − m≠ −2    (3m+ 4)(m+ 4)(m+ 1) >  m> −1 Lời giải Do đặc điểm đồ thị hàm số bậc ba, ta thấy hàm số (2) có hai cực trị trái dấu phương trình 2x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x = có ba nghiệm phân biệt, hay phương trình 2x2 + 3mx − 6(m+ 1) = có hai nghiệm phân  m< −4 ∆ = 9m + 48m+ 48 >  ⇔  − < m< −  − 6( m + 1) ≠    m> −1  biệt khác Điều tương đương với Thí dụ Tìm m để đồ thị hàm số thẳng ∆1 : 3mx + y + = y = 2x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x (2) cắt đường ba điểm phân biệt Lời giải sai Xét phương trình x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x = −3mx − ⇔ x3 + 3mx2 − 3mx − 6x + = ⇔ (x − 1) 2x2 + (3m+ 2)x − 4 = x = ⇔ 2x + (3m+ 2)x − = Do đồ thị hàm số (2) cắt 2x2 + (3m+ 2)x − = ∆1 ba điểm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt, tức ∆ = (3m+ 2)2 + 32 > Điều Vậy với m đồ đồ thị hàm số (2) ln cắt ∆1 ba điểm phân biệt 2x2 + (3m+ 2)x − = Phân tích: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x = −3mx − đồ thị hàm số (2) chưa cắt ∆1 ba điểm phân biệt Lời giải Đồ thị hàm số (2) cắt x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x = −3mx − 2x2 + (3m+ 2)x − = có chưa có ba nghiệm phân biệt, nên ∆1 ba điểm phân biệt phương trình có ba nghiệm phân biệt, hay phương trình hai nghiệm phân biệt khác Tức ∆ = (3m+ 2)2 + 32 > ⇔ m≠  2.1 + (3m+ 2).1− ≠ Vậy với m≠ đồ thị hàm số (2) cắt Thí dụ Tìm m để hàm số x1, x2 cho ba điểm phân biệt y = x3 − 3x2 + mx + (3) có hai điểm cực trị x1 − 2x2 = Lời giải sai Hai điểm cực trị trình ∆1 3x2 − 6x + m= x1, x2 hàm số (3) nghiệm phương (phương trình y' = ) Theo định lí Vi-ét ta có 10 x1 + x2 = 2; x1.x2 = m Trước hết, 51 m = ⇔ m= 33 3 tới m= Vậy với x1 + x2 = 2; x1 − 2x2 = 1, nên x1 = , x2 = 3 Dẫn giá trị cần tìm Phân tích: Lời giải vừa nêu chưa tìm điều kiện để hàm số (3) có cực trị Ta thấy để áp dụng định lí Vi-ét ta phải tìm điều kiện để phương trình bậc hai 3x2 − 6x + m= có nghiệm Lời giải sai Hàm số (3) có hai điểm cực trị đạo hàm ∆ ' = − 3m> ⇔ m< nghiệm phân biệt, hay 3x − 6x + m= x1 = hai điểm cực có hai nghiệm trị hàm Với y' = 3x2 − 6x + m m< phương trình 3+ − 3m 3− − 3m , x2 = 3 số (3) Lúc có hai , x1 − 2x2 = 3+ 9− 3m 3− 9− 3m − = ⇔ − 3m = ⇔ m= 3 x1 = Phân tích: Lời giải chưa xét khả 3+ − 3m 3− − 3m , x2 = 3 Lởi giải Hàm số (3) có hai điểm cực trị đạo hàm hai nghiệm phân biệt, hay ∆ ' = − 3m> ⇔ m< y' = 3x2 − 6x + m Hai điểm cực trị x1, x2 có hàm 11 3x2 − 6x + m= số (3) nghiệm phương trình Theo định lí Vi-ét ta có x1 + x2 = 2; x1.x2 = m 51 m = ⇔ m= 33 3 tới m= Vậy Trước hết, x1 + x2 = 2; x1 − 2x2 = 1, (thỏa mãn điều kiện m< nên Dẫn ) giá trị cần tìm Lời giải Hàm số (3) có hai điểm cực trị đạo hàm hai nghiệm phân biệt, hay 3x − 6x + m= ∆ ' = − 3m> ⇔ m< x1,2 = có hai nghiệm hàm số (3) Lúc  3+    3−   x1 = , x2 = 3 − 3m 3− − − 3m 3+ − x1 − 2x2 = 3± − 3m Với y' = 3x2 − 6x + m m< có phương trình , hai điểm cực trị − 3m =1 ⇔ − 3m = ⇔ m= − 3m =1 Đối chiếu với điều kiện m< ta lấy Thí dụ Tìm m để hàm số m= y = mx4 (4) đạt cực tiểu điểm x0 = 12 Lời giải sai Ta có x0 = y' = 4mx3 , y'' = 12mx2 4m.03 =  y'(0) = ⇔   y"(0) > 12m.0 > Hàm số (4) đạt cực tiểu điểm (vô nghiệm) Vậy giá trị m để hàm số (5) đạt cực tiểu điểm Phân tích: Nếu  y'(x0 ) =   y"(x0 ) > x0 x0 = điểm cực tiểu hàm số y, ngược lại,  y'(x0) =  x0  y"(x0 ) > điểm cực tiểu hàm số y chưa có Trong trường hợp xảy y'(x0 ) = y"(x0 ) = chưa kết luận x0 có điểm cực trị hàm số hay không, điểm cực trị chưa biết điểm cực đại hay điểm cực tiểu Khi đó, muốn biết cụ thể, ta sử dụng định nghĩa bảng biến thiên hàm số Lời giải Ta có y' = 4mx3 Nếu m= y' = 0,∀x∈ ¡ y' không đổi dấu nên hàm số (4) khơng có cực trị Nếu m< hàm số (4) có bảng biến thiên 13 Do m< khơng thỏa mãn tốn Cuối cùng, Vậy với m> m> hàm số (4) có bảng biến thiên hàm số (4) đạt cực tiểu điểm x0 = Thí dụ Viết phương trình tiếp tuyến đường cong tiếp tuyến qua điểm y = x3 − 3x2 (C1) biết M(1;−2) Lời giải sai Kiểm tra thấy M(1;−2)∈ (C1) Đạo hàm hàm số y = x3 − 3x2 (C1) y' = 3x2 = 6x, y'(1) = −3 Vậy tiếp tuyến đồ thị qua điểm M tiếp tuyến đồ thị (C1) M có phương trình y = −3(x − 1) − ⇔ y = −3x + 14 Phân tích: Tiếp tuyến (C1) qua M M tiếp điểm, khơng phải tiếp điểm, nên lời giải chưa xét đầy đủ trường hợp Lời giải y = k(x − 1) − nghiệm Đường thẳng qua M có hệ số góc k có phương trình Đường thẳng tiếp tuyến (C1) hệ phương trình sau có  x3 − 3x2 = k(x − 1) −  3x − 6x = k ⇒ x3 − 3x2 = (3x2 − 6x)(x − 1) − ⇔ x = Thay x=1 vào phương trình thứ hai hệ ta Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm k = −3 y = −3( x − 1) − ⇔ y = −3x + 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau đồng nghiệp nghiên cứu, trao đổi áp dụng sáng kiến vào hai nhóm học sinh có lực học sĩ số ngang chúng tơi nhận thấy học sinh nhóm áp dụng sáng kiến kinh nghiệm em mắc sai lầm giải toán liên quan đến khảo sát hàm số Chúng tơi chọn hai nhóm học sinh: Nhóm thực nghiệm gồm hai lớp 12A2 12A5, nhóm đối chứng gồm hai lớp 12A1 12A4 Cho học sinh hai nhóm làm số tập khảo sát Bài tập Tìm m để hàm số y = 2x3 − 3(m+ 1)x2 + 6mx − 3m a) Có hai cực trị dấu 15 b) Đồng biến khoảng (−∞;1) Bài tập Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số a) Biết tiếp tuyến qua điểm y = − x4 − x2 + M(0;6) b) Biết tiếp tuyến song với đường thẳng có phương trình 6x + y − 10 = m2 + 15 y= x − + mx + Bài tập Tìm m để đồ thị hàm số điểm đạt cực đại x0 = Kết hai nhóm thể thơng qua bảng thống kê sau: - Kết khảo việc giải tập năm học 2020 - 2021 hai lớp 12A2 12A5 (Nhóm đối chứng) Lớp 12 A1 (sĩ số 40) Mức độ Số lượng Phần trăm Không giải 03 7,5 % Giải sai phương pháp 18 45% Giải phương pháp 19 47,5 % Số lượng Phần trăm Không giải 07 16,6 % Giải sai phương pháp 25 59,5 % Giải phương pháp 10 23,9 % Lớp 12 A4 (sĩ số 42) Mức độ 16 - Kết khảo việc giải tập năm học 2020 - 2021 hai lớp 12A2 12A5 (Nhóm thực nghiệm) Lớp 12A2 (sĩ số 39) Mức độ Số lượng Phần trăm Không giải 02 5,2 % Giải sai phương pháp 09 23% Giải phương pháp 28 71,8 % Số lượng Phần trăm Không giải 04 9,5 % Giải sai phương pháp 11 26,2 % Giải phương pháp 27 64,3 % Lớp 12 A5 (sĩ số 42) Mức độ KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho các em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, người học có nhìn sâu sắc đầy đủ sai lầm thường mắc phải giải dạng toán liên quan tới khảo sát hàm số Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng mình; người học quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ "mạnh" để giải nhiều toán ; nữa, toán giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đẹp 17 Nói riêng, với học sinh kiến thức đạo hàm tương đối khó, em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm ; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu (chủ yếu bậc Đại học sau Đại học) Ở cấp độ trường phổ thơng Nguyễn Mộng Tn, đề tài áp dụng để cải thiện phần chất lượng môn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học; giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học, giúp em tránh khỏi lúng túng trước tốn đặt khơng mắc phải sai lầm thường gặp 3.2 Kiến nghị Trong khuôn khổ viết này, tơi khơng có tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học trường PT Nguyễn Mộng Tuân, Hội đồng khoa học Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hóa q thầy XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 17 tháng 05 năm 2021 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Lê Văn Tiến 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 (cơ nâng cao hành), Nhà xuất Giáo dục, Bộ Giáo dục Đào tạo Sách giáo viên Giải tích 12 (Cơ nâng cao hành), Nhà xuất Giáo dục, Bộ Giáo dục Đào tạo Sách Bài tập Giải tích 12 (Cơ nâng cao hành), Nhà xuất Giáo dục, Bộ Giáo dục Đào tạo Đề thi THPT Quốc gia từ năm 2015 đến năm 2020 Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Trần Phương - Nguyễn Đức Tấn, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Báo toán học tuổi trẻ 19 ... số với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để giải khắc phục hạn chế số sai lầm dễ mắc toán liên quan tới khảo sát hàm số. .. điệu hàm số với dấu đạo hàm (Điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số đơn điệu K) - Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số - Định nghĩa cực đại, cực tiểu hàm số (cần phân biệt điểm cực trị hàm số. .. dễ mắc toán liên quan tới khảo sát hàm số Thí dụ Tìm m để hàm số y = x3 − 3x2 − 3mx (1) đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) Lời giải sai Hàm số (1) đồng biến khoảng y' = 3x2 − 6x − 3m Phân tích: Nếu ¡,