(SKKN 2022) Phương pháp ghép trục giải bài toán liên quan tới khảo sát hàm số lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LÊ HỒN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12 Người thực hiện: Hồng Đình Đức Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học THANH HOÁ NĂM 2022 Mục lục Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến 2.1.2 Định lý mở rộng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng 2.1.3 Bảng biến thiên hàm số khoảng 2.1.4 Các kĩ đọc bảng biến thiên, cực trị, tương giao đồ thị… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2 2 3 3 2.3 Giải pháp 2.3.1 Giới thiệu dạng toán 2.3.2 Các ví dụ mẫu 2.3.3 Phân tích số hướng phát triển toán 13 2.3.4 Bài tập áp dụng 13 2.4 Hiệu SKKN 17 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 18 18 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn lớp 12, toán liên quan tới khảo sát hàm số nội dung quan trọng chím tỷ lệ lớn đề thi Trung học phổ thông Quốc gia mơn Tốn Với thay đổi lớn hình thức thi chuyển từ tự luận sang trắc nghiệm, cần phải có thay đổi cách dạy học, làm mà phải làm nhanh Một đặc điểm thi trắc nghiệm khơng q cầu kỳ việc trình bày mà quan trọng cho kết nhanh xác Chính việc nghiên cứu, áp dụng phương pháp giải toán phù hợp với yêu cầu vấn đề cần phải quan tâm Hiện phương pháp ghép trục phương pháp mới, phù hợp với yêu cầu giải toán trắc nghiệm Phương pháp sử dụng hiệu giải tốn Tuy nhiên phương pháp giáo viên sử dụng hướng dẫn cho học sinh cách tùy ý theo cá nhân cụ thể Mỗi người cách diễn đạt khác nhau, cách hiểu khác Chưa trở thành phương pháp hồn thiện có đầy đủ sở lý luận, sở thực tiễn Khiến nhiều học sinh chưa thể hiểu thấu đáo chất áp dụng thành thạo giải toán Với lý tơi chọn đề tài: “Phương pháp ghép trục giải toán liên quan tới khảo sát hàm số lớp 12” 1.2 Mục đích nghiên cứu Góp phần giải lớp toán liên quan đến khảo sát hàm số lớp 12 Cung cấp thêm cho học sinh công cụ để rèn luyện kĩ giải nhanh lớp toán liên quan tới khảo sát hàm số Qua em tự tin bước vào kỳ thi THPTQG Cung cấp cho học sinh, đồng nghiệp tài liệu phục vụ cho học tập giảng dạy kiến thức liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu lớp tốn liên quan tới khảo sát hàm số giải phương pháp ghép trục chương trình mơn tốn lớp 12 Đề tài áp dụng cho học sinh giỏi, luyện thi đại học lớp 12 năm học: 2019-2020; 2020-2021; 2021-2022 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liên quan ,SGK,tài liệu ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm thực lần đầu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Để sử dụng phương pháp học sinh phải nắm số vấn đề sau đây: 2.1.1 Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến Hàm số f gọi đồng biến K x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ); Hàm số f gọi nghịch biến K x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ); 2.1.2 Định lý mở rộng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f '( x)  với x  K ( Hoặc f '( x)  với x  K ) f '( x)  số hữu hạn điểm K hàm số f đồng biến ( Hoặc nghịch biến) K 2.1.3 Bảng biến thiên hàm số khoảng Nếu hàm số đồng biến khoảng (a; b) người ta thường diễn đạt khẳng định qua bảng biến thiên sau x a b + f '( x ) f ( x) f (b) f (a) Nếu hàm số nghịch biến ta diễn đạt mũi tên xuống từ trái qua phải 2.1.4 Các kĩ đọc bảng biến thiên, cực trị, tương giao đồ thị… Kĩ đọc biến thiên hàm số thông qua bảng biến thiên, khái niệm cực trị, tương giao…là kiến thức quan trọng thực phương pháp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Vấn đề giải lớp toán liên quan tới khảo sát hàm số vấn đề quan trọng chương trình tốn 12 tốn thi Tốt nghiệp, Thi Đại học kể từ trước tới Trước thi hình thức tự luận phương pháp giải lớp tốn trọng tính lập luận lơ- gic, hình thức trình bày Các phương pháp giải nhanh khơng u cầu hình thức trình bày thường khơng chấp nhận Nay chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, phương pháp khơng cịn phù hợp Hiện tài liệu học tập, giảng dạy phương pháp cịn chưa hồn thiện, cần nghiên cứu để ngày hoàn thiện 2.3 Giải pháp 2.3.1 Giới thiệu dạng toán Dạng toán: Cho bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f ( x ); y  f '( x ) Yêu cầu: Cần lập bảng biến thiên hàm số y  g ( x)  f (u(x)) từ giải tốn liên quan tới hàm số y  g ( x)  f (u(x)) Phương pháp ghép trục + Đặt t  u ( x) với x  D + Lập bảng biến thiên hàm số t  u ( x) + Tiếp tục xem t biến số hàm số y  g ( x)  f (t ) Từ giả thiết cho biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số y  f ( x ); y  f '( x) ta ghép thêm bảng biến thiên hàm số f (t ) vào bảng biến thiên hàn số t  u ( x) ta bảng biến thiên hai hàm số t  u ( x) y  g ( x)  f (t ) bảng gọi phương pháp ghép trục 2.3.2 Các ví dụ mẫu VD1 Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số y  f  2x  1 nghịch biến khoảng khoảng đây?  3   1 B  ;  A  0;   2  C  0;    D   ;0   Bài giải + Đặt t  x  ; đk: x   ; t '  1  x   2x 1 + Ta có bảng biến thiên x   + t' t  f (t ) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f (t )  f ( x  1) nghịch biến khoảng ( ;0) Chọn D Phân tích lời giải + Dòng 1,2 bảng bảng biến thiên hàm số t  x  + Trong dòng ta chia thành ba khoảng (0;1), (1;2) (2;  ) Khi t  x   ; Khi t=1 x  ; t  x  2 + Trong dịng nhìn bảng biến thiên “đề cho” ta thấy t  (0;1) hàm số y  f (t ) nghịch biến nên t tăng f (t ) giảm biểu thị mũi tên xuống; t  (1; 2) hàm số y  f (t ) đồng biến nên t tăng f (t ) tăng biểu thị mũi tên lên; t  (1; 2) hàm số y  f (t ) nghịch biến nên t tăng f (t ) giảm biểu thị mũi tên xuống; + Như từ bảng ta nhận thấy hàm số y  f (t )  f ( x  1) nghịch biến khoảng x  ( ;0) VD2 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục ¡ , f  2   có bảng biến thiên x y' y   1      1 2  2 Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình   f x    m có nghiệm thực phân biệt? A B Bài giải Đặt u  x    u '  2 x  x  1 x2 1 C D với x  1 x   Ta có: u '    x   x  1 Ghép trục ta được: x  u' u f  u  1 + -  + 1 -1 -2 -2 -1    7 1 ym 2 1 2 2 2 2 Để phương trình f  x     m có nghiệm thực phân biệt 1  m  Suy m   0;1; 2;3; 4;5; 6 Đáp án C Phân tích bảng biến thiên + Dòng 1,2 bảng biến thiên hàm số u  x   + Trong dòng dựa vào khoảng đơn điệu hàm f (u ) đề cho ta chia u thuộc khoảng (2; 1);(1;0);(0;1);(1; ) Theo bảng biến thiên hàm f (u ) đề cho, u  (1; ) hàm số đồng biến nên u giảm f (u) giảm biểu thị mũi tên xuống; u  (0;1) hàm số nghịch biến nên u giảm f (u) tăng biểu thị mũi tên lên; u  (0; 1) hàm số đồng biến nên u giảm f (u) giảm biểu thị mũi tên xuống; u  (1; 2) hàm số nghịch biến nên u giảm f (u) tăng biểu thị mũi tên lên; tương tự cho hết khoảng từ trái qua phải + Như ta bảng biến thiên hàm số y  f (u )  f ( x   2) VD3 Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên hàm số f '  x  sau Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D Bài giải + Đặt u  x  x ; u '  x    x  1 x  f '( x )  a -1 b c d  0 -3  0 -1 x  a x  b  f '( x )   + Giả sử x  c  x  d + Ta có bảng biến thiên x  - u' u  -1 +   d d c c b b -1 f (u ) Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị có cực trị Chọn C Phân tích bảng biến thiên Dịng u ta chia thành khoảng: Trên khoảng (1; b) hàm f (u ) nghịch biến; Trên khoảng (b;c) hàm f (u ) đồng biến; Trên khoảng (c;d) hàm f (u ) nghịch biến; Trên khoảng (d; ) hàm f (u ) đồng biến Từ ta bảng biến thiên VD4 Biết hàm số f  x  có đồ thị cho hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  f  x   A B C D Bài giải + Đặt u  f ( x) + Ta có bảng biến thiên sau x    u 0  -4 f(u) + Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực trị Chọn C Phân tích + Từ đồ thị cho ta thấy dòng x ta chia thành ba khoảng Trên khoảng (;0) hàm u đồng biến; Trên khoảng (0; 2) hàm u nghịch biến; Trên khoảng (2; ) hàm u đồng biến; + Dòng u ta chia thành năm khoảng Trên khoảng (;0) hàm u đồng biến; Trên khoảng (4;0) hàm u đồng biến; Trên khoảng (0; 2) hàm u nghịch biến; Trên khoảng (2; ) hàm u đồng biến; Như ta bảng biến thiên hàm số cần vẽ VD5 Cho hàm số y  f  x  xác định ¡ , có bảng biến thiên hình vẽ: x f’(x)  + -1 - +  f(x)  -1 Tích giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g  x   f  x  x  3  m có giá trị lớn B 60 A 12 C 24 D Bài giải Đặt t  x  x  , ta có bảng biến thiên : x t’  -  t  +  1 -1 8-m y=2f(t)-m 4-m 4-m 2-m 2-m -2-m -2-m Để hàm số g  x   f  x  x  3  m đạt giá trị lớn điều kiện cần đủ  m  ( 2  m)    m   m  Vậy m   1;2;3 hay tích 1.2.3  Chọn D VD6 Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ 10 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  m   m  có nghiệm phân biệt A B C D Bài giải Đặt t  x  m ; Giả sử hàm số đạt cực trị điểm a,b,c ta có bảng biến thiên Phương trình f  x  m   m  có nghiệm phân biệt 1   2  m  m 1  13 Vậy có giá trị nguyên tham số m Chọn C VD7 Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ: 11 g  x   5 Xét hàm số g  x   f  x  x  1  4m Tìm m để  0;1 A 1 B C 4 Bài giải + Đặt t  x3  x   t '  3x   0x  R + Ta có bảng biến thiên hàm số g ( x)  f (t )  x t’ + t D   -1   3+4m f(t)  -1+4m + Từ bảng biến thiên ta nhận thấy để GTNN g(x) -5 1  4m  5  m  1 Chọn A VD8 Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên đoạn  4; 4 sau Có giá trị tham số m   3; 2 để giá trị lớn hàm số   g  x   f x  x  f  m  đoạn  1;1 A B 11 C D Vô số Bài giải x x x x   ( x  1) + Đặt t  x  x  t '  x x x + Ta có bảng biến thiên 12 x t’ t -4 -1 // - + 4 2 3+ f(m) f(t)+f(m) 1+f(m) 1+ f(m) + Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số g(x) đạt giá trị lớn đoạn  1;1 11 11  f (m)   f (m)  Nhìn đồ thi đề cho ta thấy có giá trị 2 m để f (m)  Chọn B 2.3.3 Phân tích số hướng phát triển toán + Qua ví dụ ta thấy, phương pháp ghép trục giải đẹp lớp toán vẽ bảng biến thiên hàm số có dạng y  f (u ( x)) đề cho bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f ( x), y  f '( x) Từ ta giải toán liên quan như: Bài toán đơn điệu; toán cực trị; toán tương giao; tốn Min-Max + Trên sở đó, kết hợp với phép suy đồ thị ta mở rộng phương pháp ghép trục để vẽ bảng biến thiên cho hàm có tính phức tạp hàm y  a f (u ( x))  b; y  f (u(x) ; y  a f (u ( x)  b Do yếu tố hạn chế đề tài, tơi xin phép khơng trình bày ví dụ minh họa để bạn đọc tự phát triển 2.3.4 Bài tập áp dụng BT1 Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x   x  1   log m có năm nghiệm phân biệt? 13 A 990 B 991 C 989 D 913 BT2 Cho hàm số y  f  x liên tục, có đạo hàm ¡ có đồ thị hình vẽ đây: Ký hiệu g x    f 2x  1 x  m Tìm tất giá trị thực tham số m  x  4ming x cho maxg 0;1 0;1 A m B m C 1 m D m  BT3 Cho hàm số y  f ( x) mà đồ thị hàm số y  f '( x) hình vẽ Hàm số y  f (|  x |) đồng biến khoảng đây? A (2;3) B (4;7) C (; 1) D (1; 2) BT4 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ 14 Số nghiệm thực phương trình f  x  x    A 15 B 14 C 12 D 13 BT5 Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để phương trình   f x   x  1  logmcó năm nghiệm phân biệt ? A 990 B 991 C 989 D 913 BT6 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm ¡ có bảng biến thiên sau 2 Số điểm cực đại hàm số g  x   f  x  x   x  3 A B C D BT7 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thuộc đoạn 3    2 ;  phương trình f  sin x     15 A 11 B 15 C D BT8 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ f '( x) có bảng biến thiên sau: 2x Hàm số g( x) = f ( e - 2x - 2) có điểm cực trị? A B 11 C D BT9 Cho hàm số liên tục ¡ có đồ thị y  f ( x ) có bảng biến thiên sau:   5  Số nghiệm thuộc đoạn  ;  phương trình f  cos x  cos x    2  A 11 B 10 C D 12 16 BT10 Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: 9  phương trình f  f  cos x       Số nghiệm thuộc đoạn 0; A B C D 2.4 Hiệu SKKN Sau cung cấp phương pháp rèn luyện qua hệ thống kiến thức trên, hầu hết em học sinh thấy thích thú thực tốt việc giải lớp tốn áp dụng phương pháp ghép trục, đồng thời em giải toán liên quan Các em biết tìm chọn làm tập tương tự tài liệu tham khảo Qua em rèn luyện nhiều kĩ khác như: Kĩ đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị, hiểu sâu sắc tính đơn điệu, kiểu dáng đồ thị… Tôi áp dụng phương pháp nhóm học sinh có học lực mơn Tốn học tương đương thông qua việc kiểm tra cũ, kiểm tra 15 phút, kết thu sau: - Nhóm khơng sử dụng phương pháp (nhóm đối chứng): Lớp Sĩ số 12A6 12A8 41 40 Đạt yêu cầu Số lượng % 18 43.90 15 37.50 Không đạt yêu cầu Số lượng % 23 56.10 25 62.50 - Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới) Lớp Sĩ số 12A5 12A7 43 39 Đạt yêu cầu Số lượng % 38 88.37 32 82.05 Không đạt yêu cầu Số lượng % 11.63 17.95 17 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Dạy Toán trường THPT trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đường ngắn nhất, dễ nhất, lĩnh hội kinh nghiệm hay để đạt mục tiêu giảng dạy Trước thay đổi hình thức thi điều cần thiết Vẽ bảng biến thiên hàm số đặc biệt hàm số phức tạp nội dung quan trọng để giải nhiều tập có liên quan tới hàm số, để hiểu kỹ hàm số Để làm tốt tốn phần khơng phải nắm vững kiến thức mà cịn phải có kĩ tốt để làm nhanh tốn Trong q trình giảng dạy, tham khảo tài liệu rút số kinh nghiệm nêu Đề tài “Phương pháp ghép trục giải toán liên quan tới khảo sát hàm số lớp 12” khuôn khổ hạn chế SKKN nên nhiều vấn đề chưa thể đề cập tới thân cố gắng khơng tránh khỏi thiếu sót tơi hy vọng đề tài phần giúp ích việc nghiên cứu, giảng dạy học tập thầy cô học sinh hàm số vấn đề liên quan Trong q trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi sai sót, hạn chế, mong giúp đỡ, đóng góp ý kiến đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị Qua việc áp dụng nội dung SKKN giảng dạy, nhận thấy kết nhận tốt Vì tơi đề nghị hội đồng chấm SKKN nhà trường thẩm định in lưu thư viện nhà trường làm nguồn tài liệu tham khảo cho thầy cô học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 01 tháng 06 năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hồng Đình Đức DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU TRÊN MẠNG INTERNET 18 ... toán liên quan tới khảo sát hàm số lớp 12? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Góp phần giải lớp tốn liên quan đến khảo sát hàm số lớp 12 Cung cấp thêm cho học sinh công cụ để rèn luyện kĩ giải nhanh lớp toán. .. Đối tượng nghiên cứu lớp toán liên quan tới khảo sát hàm số giải phương pháp ghép trục chương trình mơn tốn lớp 12 Đề tài áp dụng cho học sinh giỏi, luyện thi đại học lớp 12 năm học: 2019-2020;... dạy, tham khảo tài liệu tơi rút số kinh nghiệm nêu Đề tài ? ?Phương pháp ghép trục giải toán liên quan tới khảo sát hàm số lớp 12? ?? khuôn khổ hạn chế SKKN nên nhiều vấn đề chưa thể đề cập tới thân