(SKKN HAY NHẤT) các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG SỐ - - NGUYỄN VĂN XÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN  GIẢNG DẠY CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ THI TỐT NGHIỆP THPT DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH 2009 − 2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC ………………… …………………………………… I ðẶT VẤN ðỀ ………………… …………………………………… II GIẢI QUYẾT VẤN ðỀ ………………… …………………………… A PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠN PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ ………………… ……………………………… Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến ………………… ………………… Dạng 2: Sự tương giao hai ñồ thị………………… ……………… Dạng 3: Cực trị hàm số ………………… ………………………… 10 Dạng 4: Diện tích hình phẳng ………………… ………………………… 11 Dạng 5: Thể tích vật trịn xoay………………… ……………………… 13 B BÀI TẬP ðỀ NGHỊ ………………… ………………………………… 14 C KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ………………… …………………………18 D Ý KIẾN ðỀ XUẤT………………… ………………………………… 19 III.KẾT THÚC ………………… …………………………………… 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………… ……………………………… 21 dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 I ðẶT VẤN ðỀ Lí chọn đề tài Khảo sát vẽ đồ thị hàm số tốn bắt buộc kì thi tốt nghiệp THPT, song song với tốn liên quan đến khảo sát hàm số như: viết phương trình tiếp tuyến ñường cong, tương giao hai ñồ thị, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, tính diện tích thể tích ðó kiến thức khơng thể thiếu kì thi tốt nghiệp THPT, kể kì thi ðại học, Cao ñẳng Với học sinh có lực học trung bình trở xuống, tốn liên quan tới khảo sát hàm số ñã nêu tốn khơng đơn giản, nhiều em cịn lúng túng khâu phân dạng định hình phương pháp giải, kĩ trình bày lời giải cịn hạn chế Xuất phát từ thực tiễn học sinh ñại trà trường ta yêu cầu ñề thi TN THPT ñã nêu “cấu trúc đề thi TN 2010” tơi ñã mạnh dạn chọn ñề tài này, ñề tài “giảng dạy số toán liên quan tới khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình”, nhằm tìm hiểu sâu thêm dạng này, cách hướng dẫn học sinh tiếp cận với cách dạng toán, sai lầm học sinh dễ mắc phải, giúp em học sinh ôn tập tốt cho kì thi TN THPT tới, rút học kinh nghiệm cho riêng phương pháp dạy đối tượng học sinh trung bình, yếu, kém, ôn thi TN THPT, … Tôi cho vấn ñề lựa chọn nội dung phương pháp phù hợp việc giảng dạy cho học sinh trung bình, yếu, (nói phạm vi trường ta) khơng thể dừng lại ý kiến ngắn ngủi cá nhân, mà cần phải tiếp tục ñược bàn bạc, trao ñổi, rút kinh nghiệm rộng rãi, cần ñược ñầu tư nghiên cứu, tìm hiểu, đánh giá cách tồn diện hơn, cần tiếp tục ñưa sáng kiến giải pháp, ñồng thời thực hành vận dụng chúng vào thực tế, kiên trì quan điểm “vừa nghĩ − vừa làm − vừa rút kinh nghiệm”, tuyệt nhờ lí thuyết mà đưa phương án tối ưu giải vấn đề Mục đích nghiên cứu ñề tài ðề xuất số phương pháp hướng dẫn học sinh diện đại trà ơn tập phần toán liên quan tới khảo sát hàm số Chọn lọc số ví dụ điểm hình hệ thống số tập tương tự (chủ yếu ñề thi TN THPT năm) làm tài liệu ôn tập ðề xuất việc phân chia tập thành nhóm: − Nhóm 1: Lập phương trình tiếp tuyến ñường cong; dạy toán liên quan ñến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 − Nhóm 2: Sự tương giao hai đồ thị ; − Nhóm 3: Cực trị hàm số; − Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng; − Nhóm 5: Tính thể tích khối trịn xoay Góp phần tự bồi dưỡng, nâng cao kĩ nghiệp vụ chuyên môn thân Góp phần giúp em học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi TN THPT tới Nhiệm vụ nghiên cứu ñề tài Nêu bật ñược phương pháp chủ yếu hướng dẫn học sinh trung bình ơn tập tốn liên quan tới khảo sát hàm số Làm rõ ñược ñể dạy cách có hiệu đối tượng học sinh trung bình, yếu, phải đảm bảo hai u cầu sau ñây: • Về kiến thức, kĩ năng: ñảm bảo bản, phù hợp với ñối tượng học sinh, phù hợp với kì thi tốt nghiệp THPT • Về tiến trình ôn tập: phân loại dạng tập, nêu phương pháp làm cụ thể tỉ mỉ ñối với loại bài, lấy ví dụ minh hoạ, cung cấp hệ thống tập ñề nghị học sinh làm, kiểm tra việc làm tập học sinh Phạm vi nghiên cứu Chương trình giải tích 12 (cơ bản) ðối tượng nghiên cứu Các toán liên quan tới khảo sát hàm số thường gặp kì thi TN THPT Các phương pháp dạy học mơn tốn Tân lí lứa tuổi nhận thức học sinh THPT Phương pháp nghiên cứu Tổng kết, ñánh giá, so sánh, rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, trao ñối với ñồng nghiệp, nghiên cứu tài liệu dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 II GIẢI QUYẾT VẤN ðỀ A PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong ðể làm tốn viết phương trình tiếp tuyến ñường cong em cần nắm ñược kết quan trọng sau ñây Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) M0(x0,y0) điểm thuộc đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) M0(x0,y0) là: y = f’(x0)(x - x0) + y0 (*) x0: hồnh độ tiếp điểm y0 = f(x0): tung ñộ tiếp ñiểm M0(x0,y0): tiếp ñiểm k = f’(x0): hệ số góc tiếp tuyến Từ ta có tốn viết phương trình tiếp tuyến ñường cong (C) y = f(x) sau ñây: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) ñiểm M0(x0; y0) thuộc ñồ thị hàm số Phương pháp: - Bước 1: Tính đạo hàm cấp f’(x), tính f’(x0) - Bước 2: Áp dụng cơng thức (*), đưa phương trình dạng y = ax + b Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = f(x) điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ x0 Phương pháp : - Bước 1: Thay x = x0 vào y = f(x) để tìm y0 (y0 = f(x0)) - Bước 2: Tính đạo hàm cấp f’(x), tính f’(x0); - Bước 3: Áp dụng cơng thức (*), ñưa phương trình dạng y = ax + b Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) ñiểm thuộc ñồ thị hàm số có tung độ y0 Phương pháp: - Bước 1: Thay y = y0 vào y = f(x) để tìm x0 - Bước 2: Tính đạo hàm cấp f’(x), tính f’(x0) - Bước 3: Áp dụng cơng thức (*), đưa phương trình dạng y = ax + b dạy toán liên quan ñến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 Bài tốn 4: Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = f(x) song song với ñường thẳng y = ax + b Phương pháp: - Bước1: Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng y = ax + b nên có hệ số góc a - Bước 2: Tính đạo hàm cấp f’(x), giải pt f’(x0) = a để tìm x0 - Bước 3: Tìm y0 - Bước 4: Áp dụng công thức (*) Lưu ý với học sinh cần phải kiểm tra lại xem tiếp tuyến tìm ñược có trùng với ñường thẳng ñề cho hay khơng Bài tốn 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) vng góc với ñường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) Phương pháp: - Bước1: Vì tiếp tuyến cần tìm vng góc với đường thẳng y = ax + b nên tiếp tuyến có hệ số góc -1/a - Bước 2: Tính đạo hàm cấp f’(x), giải PT f’(x0) = -1/a để tìm x0 - Bước 3: Tìm y0 - Bước 4: Áp dụng cơng thức (*) Bài tốn 6: Viết PT tiếp tuyến (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k Phương pháp: (Bài tốn khái quát toán toán 5)  y = f (x) , nghiệm hệ toạ ñộ tiếp ñiểm - Bước 1: Giải hệ phương trình   k = f '(x) - Bước 2: Quay trở thực toán Bài tốn 7: Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = f(x) ñi qua ñiểm M1(x1;y1) Phương pháp: - Bước 1: Giả sử M0(x0,y0) tiếp điểm, tiếp tuyến có PT y = f’(x0)(x - x0) + f(x0) - Bước 2: Do M1 thuộc tiếp tuyến nên y1 = f’(x0)(x1 - x0) + f(x0) Từ tìm x0 thay vào phương trình nêu bước để tiếp tuyến cần tìm * Chú ý: Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải là: em thay toạ độ điểm M1 vào phương trình y = f(x) thấy thoả mãn, em sử dụng tốn để làm dẫn tới tốn thiếu nghiệm Do dạy cần nhấn mạnh ñể em phân biệt khác hai toán toán 7: dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 Bài tốn 1: Tiếp tuyến “TẠI” điểm (chỉ có ñáp số); Bài toán 7: Tiếp tuyến “ðI QUA” điểm, điểm nằm hay khơng nằm đường cong (có thể nhiều đáp số) nên cần ý hai từ “ TẠI” “ðI QUA” ñể lựa chọn toán toán Ví dụ áp dụng: Ví dụ Cho hàm số y = 4x3-6x2+4x -1 có đồ thị (C) a Viết phương trình tiếp tuyến (C) TẠI điểm M0(0; −1) b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ 2; c Viết PT tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng (d): y = 4x – d Chứng minh (C) khơng tồn hai điểm mà tiếp tuyến vng góc với Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y – y0 = y’(x0)(x – x0) a ðề cho x0 = 0, y0 = −1, y’ = 12x2 - 12x + 4, y’(0) = 4, nên tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = 4(x − 0) − ⇔ y = 4x − b Thay x0 = phương trình (C) ta ñược y0 = 15 Ta có y’ = 12x2 - 12x + suy hệ số góc tiếp tuyến y’(2) = 28 Vậy phương trình tiếp tuyến ñiểm M(2; 15) y = 28x – 41 c Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên hệ số góc tiếp tuyến k = 4, ta có:  x = ⇒ y = −1 y’(x0) = ⇔ 12x20 -12x0 + = ⇔ x20-x0 = ⇔   x = ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến A(0, -1) y = 4x – (loại trùng với (d)) Phương trình tiếp tuyến B(1, 1) y = 4x – (thoả mãn) Vậy tiếp tuyến cần tìm y = 4x – d Hệ số góc tiếp tuyến x0 12x20 - 12x0 + > với x0, khơng thể tồn hai ñiểm x1, x2 ñể y’(x1).y’(x2) = -1, nghĩa (C) khơng tồn hai điểm mà tiếp tuyến vng góc với Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f ( x) = x−2 biết: x −1 a Tiếptuyến có hệ số góc k = 1/9 dạy tốn liên quan ñến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 b Tiếp tuyến vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai c ði qua điểm (0, -2) Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến có dạng y – y0 = y’(x0)(x – x0)   = x 4, y = =    (x − 1) a Với x ≠ 1, ta có y’ = Xét hệ phương trình  ⇔ (x − 1) x−2  x = −2, y =   y = x −  2 Tiếp tuyến (C) ñiểm A(4; ) có PT y = (x − 4) + ⇔ y = x + 9 4 14 Tiếp tuyến (C) điểm B(−2; ) có PT y = (x + 2) + ⇔ y = x + 9 14 Vậy có hai tiếp tuyến (C) có hệ số góc k = 1/9 y = x + , y = x + 9 9 b Vì tiếp tuyến vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai y = -x nên ta có: (-1).f’(x0) = -1 ⇒ f’(x0) = ⇒ =1 ⇔ (x − 1)  x = ⇒ y0 = (x0 - 1)2 = ⇔  x y = ⇒ =  Vậy có hai tiếp tuyến y = x + y = x – c Giả sử M0(x0; y0) tiếp ñiểm với y0 = f (x ) = (C) M0 y = f’(x0)(x - x0) + f(x0) hay y = x0 − , x ≠ Phương trình tiếp tuyến x0 −1 (x − 1) (x − x ) + x0 − Vì (0; −2) thuộc x0 −1 x0 = x0 − ⇔ tiếp tuyến nên −2 = (0 − x ) + x0 = x0 −1 (x − 1)  • Với x0 = k = 1: ta có tiếp tuyến y = x – • Với x0 = k = 9: ta có tiếp tuyến y = 9x – Nhận xét − Trong ví dụ ý d khó so với số học sinh GV cần dẫn dắt học sinh bước − Cần lưu ý học sinh, ñể viết PT tiếp tuyến ñồ thị hàm số ta cố gắng tìm tiếp điểm hệ dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 số góc tiếp tuyến − Chú ý học sinh khơng viết PTTT sau y = 4(x − 0) − = 4x − − Hai tiếp tuyến ý a ví dụ viết x − 9y + = 0, x − 9y + 14 = − Cho hai ñường thẳng ∆1 : y = a1x + b1 ; ∆ : y = a x + b Khi  a1 = a ∆1 // ∆ ⇔  ; b1 ≠ b a1 = a ∆1 ≡ ∆ ⇔  ;  b1 = b ∆1 ⊥ ∆ ⇔ a1.a = −1 − Cho hai ñường thẳng d1 : a1x + b1 y + c1 = 0; d : a x + b y + c = Ta nhớ lại d1 / /d ⇔ a1 b1 c1 a b c = ≠ (a , b ,c ≠ 0);d1 ≡ d ⇔ = = (a , b ,c ≠ 0);d1 ⊥ d ⇔ a1.a + b1.b = a b2 c2 a b2 c2 Dạng 2: Sự tương giao ñồ thị Bài tốn 1: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm PT g(x,m) = theo tham số m Phương pháp: - Bước 1: ðưa phương trình g(x,m) = dạng f(x) = h(m) (1) với f(x) ñồ thị hàm số vừa khảo sát - Bước 2: (1) phương trình hồnh độ điểm chung hai ñồ thị (C) (d) y = h(m), số nghiệm (1) số ñiểm chung (C) (d) y = h(m) ((d) ñường thẳng nằm ngang) - Bước 3: Dựa vào ñồ thị ñể biện luận (sử dụng ñiểm cực ñại, cực tiểu) * Chú ý: Bài tốn hỏi trường hợp: chẳng hạn dựa vào đồ thị để tìm m để phương trình có nghiệm, nghiệm, nghiệm phân biệt Bài toán : Biện luận theo tham số số giao ñiểm ñồ thị hàm số y = f(x) đường thẳng có hệ số góc k ≠ Phương pháp: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm - ðưa phương trình hồnh ñộ pt quen thuộc ñã biết cách giải pt bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc bốn trùng phương, -Biện luận Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x3+ 3x + (C) a Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số b Dựa vào ñồ thị (C) biện luận số nghiệm PT x3 – 3x + m = theo m c Viết phương trình đường thẳng qua hai ñiểm cực trị (C) dạy toán liên quan ñến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 Hướng dẫn giải: a Học sinh tự làm b Phương trình x3 – 3x + m = ⇔ - x + 3x + = m + phương trình hồnh độ điểm chung ñồ thị (C) ñường thẳng (d) y = m + Số nghiệm phương trình số giao ñiểm (C) (d) Dựa vào ñồ thị ta thấy:  m + < −3  m < −4 (C) cắt (d) điểm ñó pt có nghiệm + Nếu  ⇔ m + > m >    m + = −3  m = −4 + Nếu  pt có hai nghiệm ⇔ m + = m =  m + > −3  m > −4 + Nếu  ⇔ ⇔ −4 < m < phương trình có nghiệm phân biệt m + < m < Khơng nên trình bày lời giải theo cách + Nếu m + < -3 m + > tức m < -4 m > (c) cắt (d) điểm phương trình có nghiệm + Nếu m + = -3 m + = tức m = - m =2 phương trình có nghiệm + Nếu -3 < m + < ⇔ - < m < phương trình có nghiệm phân biệt c Học sinh tự làm Ví dụ 2: Chứng minh đồ thị (C) y = x −1 ln cắt ñường thẳng y = m – x hai x +1 ñiểm phân biệt với giá trị m Hướng dẫn giải (C) ln cắt (d) phương trình x −1 Ta có =m−x x +1  x − = (m − x)(x + 1) ⇔  ⇔  x ≠ −1 x −1 = m − x (1) có nghiệm ( ∀ m) x +1  x + (2 − m)x − m − = (2)   x ≠ −1 Xét phương trình (2) có ∆ = m2 + > ∀m x = -1 không thoả mãn (2) nên phương trình ln có hai nghiệm khác -1 Vậy (C) ln cắt (d) hai điểm phân biệt với m Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = x −1 cắt ñường thẳng (d) y = x + m hai ñiểm x +1 phân biệt dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số ñường thẳng (d) g(x) = x + mx + m + = (2)  x − = (x + m)(x + 1) x −1 ⇔ = x + m (1) ⇔  ðồ thị hàm số x +1  x ≠ −1  x ≠ −1 y= x −1 cắt (d) hai điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm x +1 ∆ g = (m − 2) > ⇔ m≠ g(−1) ≠ phân biệt khác ⇔  • Chú ý: yêu cầu học sinh cần làm tập tương tự ba ví dụ Dạng 3: Cực trị hàm số Bài tốn 1: Tìm tham số để hàm số y = f(x) có cực trị (có cực đại cực tiểu) (xét toán mà y’ tam thức bậc hai y’ hàm phân thức mà tử thức tam thức bậc hai) Phương pháp: Tính y’, y = f(x) có cực trị y’ = có hai nghiệm phân biệt, giải bất phương trình ∆ > tìm giá trị tham số Bài toán 2: Chứng minh hàm số y = f(x) ln có cực trị với giá trị tham số Phương pháp: Tính y’, tính ∆ khẳng định ∆ > với giá trị tham số, từ suy điều phải chứng minh Bài tốn 3: Tìm tham số để hàm số ñạt cực ñại (cực tiểu) ñiểm x = x0 (chỉ luyện hàm số bậc hàm trùng phương) Cách 1: ðiều kiện cần: hàm số đạt cực đại (cực tiểu) điểm x0 f’(x0) = 0, từ tìm giá trị tham số ðiều kiện ñủ: thay giá giá trị tham số tìm vào hàm số y = f(x), xét biến thiên tường hàm số tương ứng kết luận Cách 2: f '(x ) = Hàm số ñạt cực trị tiểu (cực ñại) ñiểm x0  f ''(x ) >  f '(x ) =   hay   , giải hệ ta f ''(x ) <   tìm giá trị tham số Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với m hàm số y = x3 - mx2 - 2x + ln có cực ñại cực tiểu 10 dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 Hướng dẫn giải Ta có y’ = 3x2 - 2mx - 2, có ∆ = m2 + > với m Do y’ ln có hai nghiệm phân biệt với m Vậy hàm số có hai cực trị: cực đại cực tiểu Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = x3 - 2mx2 + m2x + ñạt cực tiểu x0 = Hướng dẫn giải Ta có y’ = 3x2 – 4mx + m2 Hàm số ñạt cực tiểu x0 = m = m − 4m + =  y '(1) =  ⇔ ⇔   m = ⇔ m = Vậy m = giá trị cần tìm   y ''(1) > 6 − m > m < /  Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m + 1)x4 - 2(m - 1)x2 Tìm m để hàm số đạt cực trị Tại gốc toạ ñộ ñiểm cực ñại hay cực tiểu ? Hướng dẫn giải Ta có y’ = 4(m + 1)x3 - 4(m - 1)x = 4x[(m + 1)x2 - (m - 1)], y’ =  m + ≠ ∀m x = m >  m −1 − ≠ > m ⇔  Hàm số ñạt ba cực trị ⇔ ⇔   m < −1 m +1 (m + 1) x = m −  m −1  >0 m +1 Vậy với m < -1 m > hàm số có cực trị Khi hồnh độ điểm cực trị là: x1= , x2,3= m −1 m +1 y’’=12(m + 1)x2 - 4(m - 1) ⇒ y’’(0) = -4(m - 1) Nếu m > y’’(0) < gốc toạ ñộ ñiểm cực ñại Nếu m < y’’(0) > gốc toạ độ ñiểm cực tiểu Ví dụ 4: Cho hàm số y = (m + 1) x3 − (m + 2) x2 + (m + 3) x (m ≠ 1) Tìm m để đồ thị hàm số nhận gốc toạ ñộ làm ñiểm cực tiểu Hướng dẫn giải Ta có y’ = (m +1)x2 - 2(m + 2)x + m + 3, y’’= 2(m + 1)x - 2(m + 2)  y ' ( 0) = m + = ⇔  ⇔ m = −3  y ' ' ( 0) >  − 2( m + 2) > Hàm số ñạt cực tiểu O(0,0) khi:  Vậy với m = -3 đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu Dạng 4: Diện tích hình phẳng ðối với em học sinh yếu yêu cầu em nắm hai tốn sau ñây phương pháp giải chúng: 11 dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y =f(x) (C), y = (trục hồnh Ox), b đường thẳng x = a, x = b (a < b) S = ∫ f ( x) dx (1) a Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn ñường y =f(x) (C), y = g(x) (C’), b ñường thẳng x = a, x = b (a < b) S = ∫ f ( x) − g ( x) dx (2) a Phương pháp: Khi áp dụng công thức (1), (2), cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Có nhiều cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như: Dựa vào ñồ thị, chia khoảng lập bảng xét dấu Tuy nhiên học sinh yếu phương pháp tối ưu là: Giải phương trình: f(x) – g(x) = ñoạn [ a; b] Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d) Khi f(x) – g(x) khơng đổi dấu ñoạn [ a; c ] , [c; d ] , [ d ; b] đó: b c d b a a c d S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ f ( x) − g ( x) dx + ∫ f ( x) − g ( x) dx + ∫ f ( x) − g ( x) dx = c d b a c d ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx + ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx + ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx Nếu ñề chưa cho ñường thẳng x = a, x = b ta phải giải PT f(x) – g(x) = 0, a nghiệm nhỏ nhất, b nghiệm lớn Với câu hỏi dạng gắn tiếp sau câu khảo sát vẽ ñồ thị hàm số giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào ñồ thị ñể giải dấu giá trị tuyệt ñối tích phân Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho hàm số y = −1 x − x + x − có đồ thị (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) ñường thẳng y = 0, x = -1 x= 1 Hướng dẫn giải: S= ∫ 3x + x − x + dx = −1 Ví dụ 2: Cho hàm số y = ñường thẳng y = ðáp số: S= 26 (đvdt) 2x − có đồ thị (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) x +1 x −1 35 − 3ln (ñvdt) 12 dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 Dạng 5: Thể tích vât trịn xoay Bài tốn 1:Thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (D) giới hạn ñường y =f(x) (C), y = (trục hồnh Ox), đường thẳng x = a, x = b (a < b) xung b quanh Ox V = π ∫ ( f ( x) ) dx (1) a Bài toán 2: Thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (D) giới hạn đường y =f(x) (C), y = g(x) (C’), ñường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh b Ox V = π ∫ f ( x) − g ( x) dx (2) a Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3 + x2 - x + có đồ thị (C) Tính thể tích vật trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y = 0, x = 0, x = ñồ thị (C) xung quanh trục hồnh Hướng dẫn giải Thể tích vật trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn ñường y = 0, x = 0, x = ñồ thị (C) xung quanh trục hoành : 1 V = π ∫ ( x + x − x + 1) dx = π∫ ( x + 2x − x + 3x − 2x + 1) dx = 2 0 29π (ñvtt) 105 *Chú ý : Ở câu b thể tích vật thể cần sử dụng cơng thức (1), nhiên khó câu khai triển biểu thức (x3 + x2 - x + 1)2 ta hướng dẫn học sinh sau (x3 + x2 – x + 1)2 = [(x3 + x2) - (x - 1)]2= (x3 + x2)2 - 2(x3 + x2).(x - 1) + (x - 1)2 = x6 + 2x5 - x4 + 3x2 - 2x + Ví dụ 2: Cho hàm số y = x +1 có đồ thị (C) Tính thể tích vật trịn xoay thu quay x −1 hình phẳng giới hạn ñường xung y = x +1 hai trục Ox , Oy quanh trục hoành x −1 Hướng dẫn giải Ta thấy ñồ thị hàm số cho cắt Ox điểm có hồnh độ x = -1 Bài tốn trở thành tính thể tích vật trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn ñường y= x +1 , y = 0, x = −1, x = xung quanh Ox Gọi V thể tích cần tìm x −1 2 0   4  0  x +1   V = π∫  dx =π x + 4ln x −1 − +  dx = π∫ 1+  dx =π∫ 1+  −1 = π(3 − 4ln2) 2 − − − − − x x x (x 1) x         −1 −1 −1 (đvtt) 13 dạy tốn liên quan ñến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 B.BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1: Cho hàm số y =-x3 + 3x2 - 3x + 1 Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số Gọi A giao ñiểm (C) trục tung Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) A Tìm diện tích hình phẳng giới hạn (C) (d) Bài 2: Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số Một ñường thẳng d ñi qua gốc toạ ñộ O có hệ số góc m Biện luận số giao ñiểm (C) d theo m Khi d tiếp xúc với (C) ñiểm khác gốc toạ độ, tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) d Bài 3: Cho hàm số y = x(3 - x)2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục hồnh ñường thẳng x = 2, x = Một đường thẳng qua gốc toạ có hệ số góc k Với giá trị k d cắt (C) ba điểm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y = x3 - mx + m – , m tham số khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số Dùng ñồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình x3 - 3x – k + = Bài 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 3mx + 3m + Xác định m để hàm số có cực trị Xác ñịnh m ñể (Cm) nhận I(1; 2) làm tâm ñối xứng Xác ñịnh m ñể trục hoành tiếp tuyến ñường cong (Cm) Bài 6: Cho hàm số y = 2x2-x4 Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số Dùng ñồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 - 2x2 + m = Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành Bài 7: Cho hàm số y = x4/2 – ax2+b Tìm a b ñể hàm số ñạt cực trị -2 x = Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số(C) với giá trị a b tìm câu a Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hồnh 14 dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 Bài 8: Cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1, m tham số (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số m = Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng.Tìm hồnh độ giao điểm Bài 9: Cho hàm số y = 2x − x +1 Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) ñường thẳng y = x −1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm (0; 2) tiếp xúc với ñồ thị (C) Bài10: Cho hàm số y = (m + 1)x + m + , m tham số mx Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số m = 2 Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng xác định 3.Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn (C) , trục Ox , Oy ñường thẳng x = 4.Tính thể tích vật trịn xoay quay (D) xung quanh Ox Bài 11: (TN THPT 2009) Viết PTTT ñồ thị hàm số y = 2x + biết tiếp tuyến có hệ số góc x−2 k = −5 Bài 12: (TN THPT 1983) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − 1− x ñường thẳng y = − x Bài 13: (TN THPT 1984) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị hàm số y = f (x) = m + − mx − x4 (khi m = − 1) với trục hoành Bài 14: (TN THPT 1985) Cho hàm số y = 2x − x−4 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) điểm M(3; −2) 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), (d) trục Oy Bài 15: (TN THPT 1988) Cho hàm số y = 2x − 2−x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục hồnh đường thẳng x = −2 15 dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 3) Chứng minh với k ≠ ñường thẳng y = kx ln cắt (C) hai điểm phân biệt Bài 16: (TN THPT 1992) Cho hàm số y = 3x2 − x3 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Gọi A, B hai ñiểm thuộc (C), với xA nghiệm phương trình y’’ = 0, cịn xB = Viết phương trình tiếp tuyến (C) A B Tìm giao điểm D hai tiếp tuyến 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn cung AB (C) ñoạn thẳng AD, BD Bài 17: (TN THPT 1993) Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Viết PTTT (C) ñiểm M thuộc (C), với xM nghiệm phương trình y”= 3)Dựa vào ñồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 6x2 + 9x − m = Bài 18: (TN THPT 1997−lần 1) Cho hàm số y = x3 − 3x + 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục hồnh, trục tung đường thẳng x = −1 3) Một đường thẳng (d) qua I có hệ số góc k, điểm I thuộc (C) xI nghiệm phương trình y”= Biện luận theo k số giao điểm (C) (d) Tìm toạ ñộ giao ñiểm ñồ thị (C) ñường thẳng (d) k = 1 Bài 19: (TN THPT 1997−lần 2) Cho hàm số y = − x + 2x + 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (G) hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (G) trục Ox 3) Viết PTTT (G) ñiểm có hồnh độ x0 = Bài 20: (TN THPT 1998−lần 1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m − 2, với m tham số 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi A giao điểm (C) Oy Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) A Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) (d) Bài 21: (TN THPT 1998−lần 2) Cho hàm số y = 2−x 1) Khảo sát vẽ ñồ thi (C) hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), Ox, ñường thẳng x = −2, x = 3) Dựa vào ñồ thị, biện luận theo k số ñiểm chung (C) ñường thẳng y = k Bài 22: (TN THPT 2002) Tìm m để phương trình x − 2x + m = có bốn nghiệm phân biệt Bài 23: (TN BTTHPT 2004) Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 4m3 (Cm), m tham số 16 dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C1) hàm số m = 2) Viết PTTT (C1) điểm có hồnh độ x0 = 3) Xác ñịnh m ñể ñiểm cực ñại ñiểm cực tiểu ñồ thị (Cm) ñối xứng với qua ñường thẳng y = x Bài 24: (TN THPT 2004) Cho hàm số y = x − x 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến ñi qua A(3; 0) 3) Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn (C) ñường thẳng y = 0, x = 0, x = quay quanh trục Ox Bài 25: (TN THPT 2005) Cho hàm số y = 2x + x +1 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Ox, Oy 3) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến ñi qua A(−1; 3) Bài 26: (TN BTTHPT 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C)y = x3 + 3x2 , trục hồnh, đường thẳng x = −2, x = −1 Bài 27: (TN THPT 2006 − khơng phân ban) Tìm m để đường thẳng y = x + m2 − m ñi qua trung ñiểm ñoạn nối hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = x3 − 6x2 + 6x Bài 28: (TN THPT 2007 − lần − phân ban) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x −1 y= giao ñiểm ñồ thị với trục tung x+2 Bài 29: (TN THPT 2008 − lần − phân ban) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 − 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x3 + 3x2 − = m Bài 30: (TN THPT 2008 − lần − phân ban) Viết phương trình tiếp tuyến (C) y = 3x − x +1 điểm có tung ñộ y = −2 17 dạy toán liên quan ñến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 C KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 18 dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 D Ý KIẾN ðỀ XUẤT ðể dạy ñối tượng học sinh trung bình, yếu, kém, giáo viên cần kiên trì, lựa chọn lượng kiến thức phù hợp, phương pháp tiếp cận phù hợp, tập trung vào trọng tâm kiến thức, phần khác giới thiệu Tơi đồng ý với quan điểm cho ñầu vào tuyển sinh trường ta mức thấp, học sinh bị hổng kiến thức nhiều, muốn bù đắp phần thiếu hụt từ lớp 10 giáo viên cần có kế hoạch phân loại học sinh, nắm bắt tình hình học tập học sinh, kịp thời phụ ñạo cho học sinh, ñặc biệt đối tượng học sinh yếu, Cơng việc phụ ñạo ñể lấp lỗ hổng kiến thức thực thời gian ngắn Giáo viên cần giúp học sinh xác định rõ mục đích học tập, hướng dẫn em phương pháp học lớp tự học nhà Với ñối tượng học sinh yếu, kém, đa số có ý thức tự học thấp, giáo viên cần thường xuyên kiểm tra, ñôn ñốc Chúng ta nên nghĩ rằng, lần học sinh bị ñiểm kém, họ cần lời ñộng viên, cần dẫn để vượt qua khó khăn đó, lời phê bình, hay trách phạt Nhưng học sinh nghĩ việc bị ñiểm khơng may, việc bình thường, điều khơng ảnh hưởng ñến họ ñã thường xuyên ñể ñiều ñó xảy ra, … giáo viên cần có xử lí nghiêm khắc, phải cho học sinh thấy điểm số họ phản ánh phần chất học tập họ Và họ bị đối xử khác từ phía người thân thể chất học tập khác ……………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 19 Giảng dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 III KẾT THÚC Qua việc thực chuyên ñề ñối với lớp 12A9 trường THPT Yên Phong số - Bắc Ninh năm học 2009 - 2010 lớp có lực học yếu khối, qua việc trao ñổi với nhiều ñồng nghiệp dạy ơn thi TN THPT, ơn lớp mà học sinh có lực học mơn tốn mức trung bình (hoặc yếu, kém) trường, qua tham khảo tài lệu, qua u cầu cụ thể kì thi TN THPT tơi nhận thấy việc giảng dạy cho học sinh trung bình, đặc biệt học sinh yếu, (nói riêng mơn tốn) để họ đạt u cầu tối thiểu giáo dục phổ thơng, để họ đủ tự tin thi TN THPT vất vả Yêu cầu ñối với giáo viên dạy ñối tượng phải có trách nhiệm cao, tỉ mỉ, kiên nhẫn biết chịu đựng cơng việc Bên cạnh phải hiểu tâm lí em, thơng cảm chia sẻ với em, kết hợp với phương pháp dạy phù hợp với tư em, giúp em có hứng thú, có nhu cầu học mơn tốn từ em tự giác học tập, có ý thức vươn lên Trên quan điểm cá nhân tơi vấn đề “Giảng dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình’’, chắn cịn nhiều thiếu sót, mong đồng chí đóng góp ý kiến để tơi giảng dạy có hiệu tốn tơi nêu trên, góp phần giúp em học sinh ôn tập tốt hơn, chuẩn bị tốt cho kì thi TN trung học phổ thơng Tơi vô cảm tạ! Yên Phong, ngày 01 tháng năm 2010 NGUYỄN VĂN XÁ 20 dạy toán liên quan ñến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh − Năm học 2009 - 2010 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12 (cơ bản) 2.Sách tập giải tích 12 (cơ bản) Tài liệu chuẩn kiến thức, kĩ Tốn 12 Sách giáo viên giải tích 12 (cơ bản) ðề thi TN THPT năm 21 dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình LUAN Giảng VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong ðể làm tốn viết phương trình tiếp tuyến đường cong em cần nắm ñược kết quan trọng sau ñây Cho hàm số. .. tài ðề xuất số phương pháp hướng dẫn học sinh diện ñại trà ôn tập phần toán liên quan tới khảo sát hàm số Chọn lọc số ví dụ điểm hình hệ thống số tập tương tự (chủ yếu ñề thi TN THPT năm) làm... (cơ bản) ðối tượng nghiên cứu Các toán liên quan tới khảo sát hàm số thường gặp kì thi TN THPT Các phương pháp dạy học mơn tốn Tân lí lứa tuổi nhận thức học sinh THPT Phương pháp nghiên cứu Tổng