(SKKN HAY NHẤT) một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến mũ – logarit

MỤC LỤC Nội dung I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Lý chon đề tài 1.2 Về mặt thực tiễn Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 4.2 Phương pháp nghiên cứu theo phân loại dạng tập II NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề 2.1 Thuận lợi 2.2 Khó khăn Giải pháp thực 3.1 Giải pháp 3.2 Tổ chức thực Đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng biến Sử dụng bất đẳng thức cổ điển để đánh giá Sử dụng đánh giá miền nghiệm Bài tập tương tự Hiệu sáng kiến kinh nghiệm III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 2 2 4 4 4 5 5 13 16 22 22 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHON ĐỀ TÀI 1.1 Về mặt lý luận Tốn học mơn học quan trọng chương trình học phổ thơng Đây mơn khoa học góp phần đào tạo nên người tồn diện, hình thành phẩm chất cần thiết quan trọng người lao động thời đại đổi Trong trình đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, việc dạy học giải tập có vai trị quan trọng dạy tốn trường phổ thơng dạy hoạt động toán học Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực mục đích dạy học tốn trường phổ thơng Việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo, tạo hứng thú học tập cho học sinh Việc giải tốn u cầu học sinh có kỹ vận dụng kiến thức vào tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo tư biết lựa chọn phương pháp tốt để giải quyến toán gặp phải Thực tiễn cho thấy dạng tốn trường phổ thơng phong phú đa dạng Có lớp tốn có thuật giải, phần lớn dạng tốn chưa khơng có thuật giải thống nhà trường Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến mũ logarit nội dung thường xuyên xuất kỳ thi tốt nghiệp THPT kỳ thi học sinh giỏi cấp Đây chuyên đề hay tương đối khó học sinh THPT Trong trình giảng dạy mơn tốn trường THPT Tĩnh Gia tơi thấy cịn nhiều em học sinh chưa có tinh thần tự giác, cố gắng học tập, gặp vấn đề khó ỷ lại, chưa chịu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi hướng giải Bên cạnh có học sinh có tinh thần tự giác cao, ham học hỏi tìm tịi, em biết cách sưu tầm, tìm hiểu kiến thức internet, tài liệu tham khảo Tuy kết đạt chưa cao em chưa biết khai thác vấn đề học để vận dụng giải vấn đề mới, Các em dừng lại việc giải toán cụ thể chưa suy nghĩ để giải dạng tốn có liên quan Các em chưa biết cách xếp toán theo dạng để từ tìm hướng giải cho lớp tốn đó, chẳng hạn giải tập LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức liên quan đến Mũ logarit” đa số em cho tốn khó Vì sao? Đó em cịn chưa trả lới câu hỏi sau - Sử dụng phương pháp phù hợp để giải tốn - Dựa vào dấu hiệu để sử dụng phương pháp - Biến đổi giả thiết tốn thể để đưa tốn dạng quen thuộc (quy lạ thành quen) Trong sách giáo khoa sách tập Giải tích 12 nay, chương “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit chủ yếu đưa kiến thức ví dụ chưa thực sâu, khai thác vấn đề khó phức tạp Trong đề thi tốt nghiệp THPT câu hỏi vận dụng vận dụng cao khai thác sâu vào toán mà việc giải khơng nằm phạm vi chương hay mơt phần Chính cách vận dụng kiến thức nhiều phần khác lựa chọn định hướng đắn học sinh khơng thể giải tốn Từ lí trên, chọn đề tài “Một số phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức liên quan đến Mũ – Logarit “ để nghiên cứu với mong muốn giúp học sinh có định hướng rõ ràng gặp tốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường THPT Tĩnh Gia 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức liên quan đến Mũ – Logarit “ giúp người học tìm phương pháp phù hợp để giải lớp tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến mũ loogarit, nắm đặc điểm để lựa chọn cơng cụ tốn học phù hợp, lựa chọn kiến thức học cho dạng tốn Ngồi cịn giúp học sinh phân dạng tập, mối liên hệ dạng tập với Chính sáng kiến : - Sắp xếp hệ thống tập theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp - Hệ thống tập đa dạng phong phú phù hợp với đối tượng học sinh mà dạy - Bài tập chứa đựng khả hình thành phát triển lực toán học học sinh đặc biệt lực giải vấn đề toán học 1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đối tượng: Học sinh lớp 12C4 Trường THPT Tĩnh Gia Phần hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit mà cụ thể phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức liên quan đến mũ logarit 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Xuất phát từ đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu để đạt mục đích đề q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp chủ yếu sau: 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu tài liệu - Nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giảng dạy - Nghiên cứu số quan điểm, tư tưởng sáng tạo 1.4.2 Phương pháp nghiên cứu theo phân loại dạng tập - Nghiên cứu toán khai thác tri thức cội nguồn - Nghiên cứu tốn có cấu trúc tương tự NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit nội dung quan trong chương trình tốn lớp 12 nói riêng chương trình tốn THPT nói chung Đây nội dung có nhiều câu hỏi đề thi tốt nghiệp THPT, có câu hỏi nằm phần vận dụng vận dụng cao Chính kết dạy học phần ảnh hưởng lớn đến kết thi tốt nghiệp THPT học sinh Đối với câu hỏi phần nhận biết thơng hiểu nhìn chung em cần nắm vững kiến thức sách giáo khoa làm Tuy nhiên với câu hỏi vận dụng vận dụng cao mà cụ thể câu hỏi “giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến mũ logarit” việc giải khơng đơn giản đa số em học sinh mà dạy lớp gặp khó khăn câu hỏi phần vì: Các em chưa biết lựa chọn phương pháp công cụ phù hơp để giải tốn, gặp tốn dạng em đâu? Các em chưa có thói quen phân dạng tập để từ có định hướng cách giải phù hợp cho dạng tốn chưa biết cách khai thác tính chất quen thuộc để giải vấn đề LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần lớn câu hỏi dạng cấn phải kết hợp nhiều kiến thức nội dung khác như: Bất đẳng thức, hàm số, phương trình bậc hai, định lí Vi-et… Chính em gặp nhiều khó khăn cơng cụ tốn học để giải cách phân dạng định hướng phương pháp tốt 2.2 Thực trạng vấn đề trước : 2.2.1 Thuận lợi: - Các kiến thức tập học lớp - Có nhiều học sinh hứng thú tiết học, biết cách tìm tịi nghiên cứu tài liệu, phát huy khả sáng tạo, tự học u thích mơn học - Được hưởng ứng nhiệt tình học sinh thực đề tài - Được động viên BGH động viên góp ý kiến đồng nghiệp 2.2.1 Khó khăn: Cịn phận học sinh chưa tích cực học tập rè luyện, chưa chịu tìm tịi học hỏi, gặp vấn đề khó ỷ lại chùn bước không tâm khám phá Đứng trước vấn đề thương lúng túng, hoang mang không xác định đường lối giải Thời gian để thực nghiệm đề tài khơng nhiều phải thực tiến độ chương trình mơn học, số lớp dạy thực nghiệm đề tài không nhiều để đánh giá hiệu cách tốt Giải pháp thực hiện: 2.3.1 Giải pháp: - Đi từ đơn giản đến phức tạp, từ vấn đề biết đến vấn đề chưa biết - Xây dựng cách xắp xếp toán thành lớp tốn, hình thành kĩ phân dạng nhận dạng - Học sinh hoạt động học tập, lĩnh hội kiến thức cách tự nhiên, biết đặt tình có vấn đề cố gắng giải vấn đề - Tạo cho học sinh cách giải vấn đề nhiều góc độ khác nhau, khơng dừng lại việc giải vấn đề cách đơn lẻ mà giải vấn đề cách có hệ thống, suy nghĩ để giải triệt để vấn đề - Cuối học sinh cần phải trả lời câu hỏi sau: + Làm để phát cơng cụ thích hợp cho việc giải toán cho? + Dựa vào sở để lựa chon kiến thức biết để giải toán cho? + Biến đổi toán để đưa tốn dạng quen thuộc? 3.2 Tổ chức thực LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước 1: Nhận dạng tốn Đứng trước tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, học sinh phải hiểu yêu cầu đề toán, phải biết làm việc với tốn mức độ nào, cần phải vận dụng kiến thức, tính chất hay phát dấu hiệu biết Bước 2: Phân tích giả thiết tốn, lựa chọn phương pháp giải phù hợp Đây khâu quan trọng khó thầy trị giải tốn Học sinh phải huy động kiến thức có liên quan đến tốn lựa chọn kiến thức gần gũi nhất, có khả tiếp cận tốt đến toán Vạch hướng giải để từ lựa chon cách giải phù hợp, biết loại bỏ hướng không phù hợp, đặc biệt biết phát tính chất quen thuộc để áp dụng Người giáo viên cần động viên tất học sinh tham gia cách tích cực tự giác câu hỏi gợi ý, thông minh, phù hợp với trình độ học sinh Tiến hành khéo léo nghệ thuật dạy học người thầy Bước 3: Giải toán nhận Sau vạch hướng giải quyết, giáo viên cần đòi hỏi học sinh phải thể văn chấp nhận đánh giá học lực học sinh dựa làm em cho em ghi nhớ tính chất, dấu hiệu đặc trưng để vận dụng vào làm thi trắc nghiệm Bước 4: Kiểm tra kết phân tích sai lầm - Cần rèn luyện học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng Việc kiểm tra nên tiến hành thường xuyên Bước 5: Mở rộng toán Mở rộng tốn làm cho học sinh quen có ý thức sử dụng quy tắc suy đoán tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa … cho học sinh thấy phong phú, hấp dẫn tốn, lớp tốn có cách giải khơng cách giải, đồng thời khuyến khích học sinh tập dượt sáng tạo toán học Phương pháp 1: Đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng biến Đây phương pháp phổ biến để giải toán giá trị lớn , giá trị nhỏ nói chung tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ liên quan đến mũ logarit nói riêng Đặc trưng phương pháp tìm cách biến đổi để đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biến sử dụng bất đẳng thức khảo sát hàm số để tìm kết tốn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sau chúng tơi trình bày số phương pháp thường gặp để đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biến Giải pháp 1: Đặt ẩn phụ Bài toán Cho a, b số thực dương thỏa mãn b > nhỏ biểu thức Phân tích: Tìm giá trị Ta nhận thấy biểu thức P biến đổi theo nên ta đặt để biến đổi P biểu thức chứa biến t Lời giải: Đặt , Vì b > Khi Vậy nên Bài tốn Xét số thực a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức Phân tích Ta nhận thấy giả thiết tốn có dạng nên ta cấn biến đổi để đặt biến đổi P theo biến t Lới giải Theo giả thiết ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt Suy Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Bài toán Cho x, y, z > 0; a, b, c > biểu thức Phân tích Giả thiết Tìm giá trị lớn tốn có dạng nên ta đặt , sau biến đổi P theo biến t Lời giải Đặt Suy (đk: t > ) Ta có , nên Khi Xét hàm số với z > Ta có: Bảng biến thiên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ bảng biến thiên ta có Giải pháp 2: Rút đưa ẩn hay biểu thức P đạt giá trị lớn Bài toán Cho hai số thực a, b > thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Phân tích: Ta nhận thấy giả thiết tốn có mối liên hệ a b thông qua hệ thức ta rút để đưa biến Lời giải: Từ giả thiết toán ta có Biến đổi u cầu tốn ta Đặt , ta Xét hàm số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có Giải pháp 3: Đánh giá đưa biến Bài toán Cho số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Phân tích: Giả thiết tốn bất đẳng thức rút thể không đặt ẩn phụ định hướng đến việc đánh giá, làm trội để chuyển biểu thức P biến Lời giải: Từ giả thiết ta có Ta có Xét hàm số với b > 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, ta Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = Giải pháp 4: Sử dụng “Hàm đặc trưng” Kỹ thuật sử dụng hàm đặc trưng phương pháp phổ biến quen thuộc học sinh Đặc biệt từ hình thức thi trắc nghiệm áp dụng kỳ thi THPT Quốc gia kỳ thi Tốt nghiệp THPT Tuy nhiên kỹ thuật khó đối vơi học sinh trung bình yếu, để xác định hàm đặc trưng phù hợp để áp dụng cho tốn điều khơng đơn giản chút Trong phương pháp đưa số ví dụ kèm phân tích cụ thể để học sinh hiểu áp dụng kỹ thuật hàm đặc trưng cho dạng toán Trước hết ta nhắc tính chất sau Tính chất Nếu hàm số có mện đề sau Nếu hàm số có mện đề sau Nếu hàm số đơn điệu miền tồn ta tồn ta đồng biến miền nghịch biến miền tồn ta có mện đề sau Ta sử dụng kiến thức để giải toán sau 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán Xét số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Phân tích Ta nhận thấy giả thiết tốn cho mối liên hệ x y thông qua nhiều loại hàm số mũ đa thức việc rúy hay đặt ẩn phụ thực Mặt khác giả thiết xuất lũy thừa số x y, từ ta hướng tới việc xác định hàm đặc trưng liên quan đến Lời giải Ta có Xét hàm số Suy hàm số xác định đồng biến có Nên ta có Khi ta có Dấu “=” xảy 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy giá trị nhỏ biểu thức S Bài toán Xét số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Điều kiện Ta có Xét hàm số với t > Ta có Do hám số Ta có Do Ta có nên đồng biến 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt Ta có Suy Từ bảng biến thiên hàm số g(x) ta Bài toán Cho số thực x, y dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số Ta có Vậy hàm số Đặt Ta có đồng biến khoảng , Suy Lại có Vậy Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển để đánh giá Bài toán 2.4 Hiệu sau thực sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm dạy thực nghiệm lớp 12C4 trường THPT Tĩnh Gia năm học 2020 – 2021và thu số kết định sau: - Sau dạy xong chương II Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit cho học sinh làm kiểm tra khảo sát 45 phút chuyên đề Đề kiểm tra gồm câu hỏi tương đương với câu hổi trình bày sáng kiến yêu cầu học sinh trình bày tự luận lên giấy thu kết sau: 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điểm Trên điểm Từ đến Từ đến Số lượng Tỉ lệ (%) (%) 4,8 (%) 16,6(%) Từ đến 16 38,1(%) Dưới 17 Tổng 42 40,5(%) 100(%) Kết kiểm tra cho thấy khả giải toán học sinh lớp 12C4 trường THPT Tĩnh Gia thấp Đặc biệt sau cho em làm kiểm tra khảo sát chấm xong tơi có trả chữa đồng thời tiến hành ba nhóm học sinh: Điểm cao, điểm trung bình điểm thấp tơi có thu số kết sau - Phần lớn em chưa có định hướng giải cho dạng gặp tốn dạng em lam vào biến đổi mà chư biết phân loại để từ tìm lời giải tốt - Các em nhóm yếu lớp gặp dạng gần bỏ em khơng Ngun nhân khách qua lớp học nên chất lượng đầu vào mơn Tốn em chưa cao Nhưng nguyên nhân chủ quan ở Thầy Trò, Thầy chưa dạy hướng giải tốn dạng Trị chưa tâm để tìm cách giải Chính tơi dành tiết dạy bồi dưỡng buổi chiều để dạy thực nghiệm chuyên đề theo hướng mà trìn bày sáng kiến Sau tơi tiến hành cho học sinh làm lại kiểm tra khảo sát thu kết sau: Điểm Trên điểm Từ đến Từ đến Từ đến Dưới Tổng Số lượng 16 11 42 Tỉ lệ (%) 7,1 (%) 21,4 (%) 38,1(%) 26,2(%) 7,1(%) 100(%) Sau dạy thực nghiệm xong kết kiểm tra khảo sát cao hẳn thông qua số Nhưng điều đáng mừng đa số em có định hướng rõ ràng việc giải toán dạng Đặc biệt em cảm thấy tự tin khơng cịn tình trạng “bỏ mặc” gặp dạng tốn Một số học sinh cịn xin thêm tập dạng đề nhà tự luyện tìm tịi thêm tập dạng từ nguồn internet III PHẦN KẾT LUẬN + Đổi phương pháp dạy học Lấy học sinh làm trung tâm, tạo người toàn diện trình học tập, tránh thụ động, ỷ lại, ln tạo tình có vấn đề tự nghiên cứu để giải vấn đề 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Khả phân tích, tổng hợp hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa, ln có ý thức hướng tới + Gây hứng thú môn học, đào sâu suy nghĩ + Phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo, xem xét vấn đề từ nhiều góc độ + Tạo cho học sinh thói quen làm việc nghiêm túc Khơng lịng với kết có, cách giải biết Nảy sinh ý muốn cấu trúc lại vấn đề, nâng vấn đề lên mức độ cao hơn, khái quát hơn, đa dạng D TÀI LIỆU THAM KHẢO Tham khảo hướng phát triển đề thi TN THPT, đề thi thử trường qua năm (nguồn mạng) Sách giáo khoa sách tập Giải tích 12 – Nhà xuất giáo dục Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Tư liệu giáo dục – Kênh VTV – Đài truyền hình Việt Nam XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021 Tôi xin cam kết đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi, không chép, copi Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Người viết sáng kiến kinh nghiệm Đặng Minh Hòa 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LÔGARIT Người thực hiện: Đặng Minh Hịa Chức vụ: Giáo Viên SKKN thuộc mơn: Tốn 18 HOÁ NĂM 2021 LUAN VAN CHAT LUONG THANH download : add luanvanchat@agmail.com 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... tài ? ?Một số phương pháp giải toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức liên quan đến Mũ – Logarit “ giúp người học tìm phương pháp phù hợp để giải lớp tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên. .. phương pháp phổ biến để giải toán giá trị lớn , giá trị nhỏ nói chung tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ liên quan đến mũ logarit nói riêng Đặc trưng phương pháp tìm cách biến đổi để đưa biểu thức cần tìm. .. THPT Tĩnh Gia Phần hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit mà cụ thể phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức liên quan đến mũ logarit 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Xuất