Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập

Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập.

BË GIO DÖC V€ €O T„O VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM HÅC VI›N KHOA HÅC V€ CỈNG NGH›  PH„M THÀ THU HO€I MËT SÈ PHìèNG PHP GII BI TON TM KHặNG IM CếA TON TÛ ÌN I›U CÜC „I V€ B€I TON CH‡P NHŠN TCH NHI—U TŠP LUŠN N TI˜N Sß TON HÅC H€ NËI - 2022 VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM HÅC VI›N KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› *** PH„M THÀ THU HO€I MËT SÈ PHìèNG PHP GII BI TON TM KHặNG IM CếA TON TÛ ÌN I›U CÜC „I V€ B€I TON CH‡P NHŠN TCH NHIU TP LUN N TIN Sò TON HC Chuyản ng nh: To¡n ùng dưng M¢ sè: 46 01 12 Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS TS Nguyạn Bữớng H Nëi - 2022 ii LÍI CAM OAN C¡c k¸t qu£ Ôt ữủc luên Ăn l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi, ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS TS Nguyạn Bữớng CĂc kát quÊ ny l mợi v chữa ữủc trẳnh by cĂc cổng trẳnh cừa ng÷íi kh¡c Tỉi xin chàu tr¡ch nhi»m v· nhúng líi cam oan cừa mẳnh iii LI CM èN Luên Ăn ny ữủc hon thnh tÔi Hồc viằn Khoa hồc v  Cỉng ngh», Vi»n H n l¥m Khoa håc v  Cỉng nghằ Viằt Nam dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa GS TS Nguyạn Bữớng TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi ThƯy Trong quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu, thổng qua cĂc bi giÊng v seminar tĂc giÊ luổn nhên ữủc sỹ quan tƠm giúp ù v nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu cừa GS.TS ộ Vôn Lữu, TS Nguyạn Cổng iÃu, PGS.TS Nguyạn Thà Thu Thõy, TS Nguy¹n Thà Quýnh Anh, TS Nguy¹n Th Thúy Hoa, TS Nguyạn ẳnh Dữỡng, TS Nguyạn Dữỡng Nguyạn Tứ Ăy lỏng mẳnh tĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cĂc thƯy cổ TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn tợi Ban lÂnh Ôo, cĂc thƯy cổ ton th cĂn bở, cổng nhƠn viản thuởc Viằn Cổng nghằ thổng tin, Hồc vi»n Khoa håc v  Cỉng ngh», Vi»n H n l¥m Khoa hồc v Cổng nghằ Viằt Nam  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt, giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu TĂc giÊ xin chƠn thnh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y cỉ Bë mổn ToĂn - Khoa Cỡ s cỡ bÊn - Ôi håc H ng h£i Vi»t Nam, còng to n thº anh chà em nghiản cựu sinh, bÔn b ỗng nghiằp  luổn quan tƠm, ởng viản, trao ời v õng gõp nhỳng þ ki¸n quþ b¡u cho t¡c gi£ suèt qu¡ trẳnh hồc têp, seminar, nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin kẵnh tng nhỳng ngữới thƠn yảu gia ẳnh cừa mẳnh, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, chia s v khẵch lằ  tĂc giÊ cõ th hon thnh cổng viằc hồc têp v nghiản cựu cừa mẳnh, niÃm vinh hÔnh to lợn ny TĂc giÊ Mưc lưc Trang b¼a phư i Líi cam oan ii Lới cÊm ỡn iii Mửc lửc iv Mởt số kỵ hiằu v viát tưt vi M Ưu Chữỡng Mët sè kh¡i ni»m b i to¡n v  ph÷ìng ph¡p cì b£n 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n 1.2 Mởt số phữỡng phĂp tẳm khổng im cừa toĂn tỷ ỡn iằu 14 1.2.1 Phữỡng phĂp im gƯn k· v  mët sè c£i bi¶n 14 1.2.2 Phữỡng phĂp tĂch tián-lũi v mởt số c£i bi¶n 19 1.3 B i toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp v cĂc phữỡng phĂp giÊi 23 1.3.1 Phữỡng phĂp giÊi bi toĂn chĐp nhên t¡ch (SFP) 24 1.3.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i b i toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp (MSSFP) 27 1.4 Mët sè bê · bê trñ 32 Chữỡng Phữỡng phĂp lp tẳm khổng im cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi khổng gian Hilbert 35 2.1 Phữỡng phĂp im gƯn kà vợi dÂy tham số bĐt ký 35 2.2 V½ dư sè minh håa 46 Chữỡng Phữỡng phĂp lp tẳm khổng im cừa tờng hai toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi khổng gian Hilbert 50 v 3.1 Phữỡng phĂp dÔng tĂch ti¸n lịi 50 3.2 V½ dư sè minh håa 68 Ch÷ìng Phữỡng phĂp hiằu chnh lp cho bi toĂn chĐp nhªn t¡ch nhi·u tªp khỉng gian Hilbert 74 4.1 Phữỡng phĂp hiằu chnh v nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt 74 4.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p cho bi toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp khổng gian Hilbert 76 4.3 V½ dư sè minh håa 87 Kát luên 89 Danh mửc cĂc cổng trẳnh  cổng bố liản quan án luên Ăn 90 Ti liằu tham khÊo 91 Mởt số kỵ hiằu v viát tưt têp hủp cĂc số thüc R En khæng gian Euclide n-chi·u H khæng gian Hilbert 2H têp tĐt cÊ cĂc têp cừa khổng gian H x, y tẵch vổ hữợng cừa hai vc tì x v  y ∥x∥ chu©n cõa v²c tì x inf M cên dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản úng cừa têp hủp số M max M M số lợn nhĐt têp hủp số M số nhọ nhĐt têp hủp số M D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n giĂ tr cừa toĂn tỷ A A1 Ănh xÔ ngữủc cừa toĂn tỷ A A Ănh xÔ liản hủp cừa toĂn tỷ A I Ănh xÔ ỗng nhĐt f (x) dữợi vi phƠn cừa hm f tÔi im x lim inf xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } lim sup xn giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } n→∞ n→∞ xn → x d¢y {xn } hëi tử mÔnh và x xn x dÂy {xn } hởi tử yáu và x F ix(T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T ZerA têp khổng im cừa toĂn tỷ A SF P bi toĂn chĐp nhên tĂch M SSF P bi toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp M Ưu NhiÃu bi toĂn khoa hồc k thuêt (bi toĂn bián phƠn, bi toĂn cỹc tr, phữỡng trẳnh Ôo hm riảng, bĐt ng thực bián phƠn, ) v ới sống (bi toĂn ká hoÔch sÊn xuĐt, bi toĂn vên tÊi, bi toĂn khâu phƯn thực ôn, ) Ãu dăn án bi toĂn tờng quĂt l tẳm cüc tiºu cõa mët phi¸m h m f khỉng gian hỳu hÔn hoc vổ hÔn chiÃu Cho án nay, cõ nhiÃu phữỡng phĂp ữủc à xuĐt  tẳm cỹc tiu cừa mởt phiám hm nhữ: phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt (phữỡng phĂp gradient), phữỡng phĂp gradient liản hủp, phữỡng phĂp Dantzig cho bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh v cĂc cÊi biản cừa chúng Mởt phữỡng phĂp c biằt quan trồng  tẳm cỹc tiu cừa phiám hm lỗi phÊi k án l phữỡng phĂp im gƯn kà ữủc à xuĐt bi Martinet [1] vo nôm 1970 Vẳ im cỹc tiu cừa mởt phiám hm lỗi l khổng im cừa dữợi vi phƠn cừa phiám hm õ, nôm 1976, Rockafellar [2]  à xuĐt phữỡng phĂp im gƯn kà tẳm khổng im cừa mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi T khỉng gian Hilbert H , tùc l : T¼m ph¦n tû p∗ ∈ H cho ∈ T p (0.1) TĂc giÊ  xƠy dỹng phữỡng phĂp l°p xk+1 = Jk xk + ek ho°c xk+1 = Jk (xk + ek ), k ≥ 1, (0.2) â Jk = (I + rk T )−1 l  to¡n tû gi£i cõa T vỵi tham sè rk > 0, ek l  v²c tì sai sè v  I l  ¡nh xÔ ỡn v trản H ặng  chựng minh ữủc rơng phữỡng phĂp (0.2) hởi tử yáu tợi mởt khổng im cừa T vợi iÃu kiằn têp P khæng iºm cõa T kh¡c réng, ∥ek ∥ < ∞ v  rk ≥ ε > vỵi måi k ≥ k=1 Nôm 1991, Gu ăler [3]  ch rơng phữỡng phĂp im gƯn kà ch Ôt ữủc sỹ hởi tử yáu khổng gian Hilbert vổ hÔn chiÃu Nôm 1992, Eckstein v Bertsekas [4] à xuĐt phữỡng phĂp im gƯn kà tờng quĂt l m rởng cừa phữỡng phĂp im gƯn kà cho bi toĂn (0.1) Tuy nhiản, c¡c t¡c gi£ cơng ch¿ thu ÷đc sü hëi tư yáu cừa phữỡng phĂp  thu ữủc sỹ hởi tử mÔnh, mởt số cÊi biản cừa phữỡng phĂp im gƯn kà  ữủc ữa nhữ: phữỡng phĂp im g¦n k· hi»u ch¿nh Tikhonov cõa Lehdihi v  Moudafi (1996) [5] v  ÷đc mð rëng bði Xu (2006) [6], Boikanyo v Morosanu (2012) [7]; phữỡng phĂp im gƯn kà co cõa Kamimura v  W.Takahashi (2000) [8] v  ÷đc têng qu¡t bi Yao v Noor (2008) [9]; phữỡng phĂp xĐp x mÃm cừa W.Takahashi (2007) [10] Trong hƯu hát cĂc cÊi biản cừa phữỡng phĂp im gƯn kà cụng nhữ bÊn thƠn phữỡng phĂp im gƯn kà tham số rk cừa toĂn tỷ giÊi Ãu b chn dữợi bi mởt hơng số lợn hỡn GƯn Ơy, nôm 2017, [11], N Bữớng, P.T.T Hoi v N.D Nguyạn  trẳnh by mởt số cÊi biản mợi cừa phữỡng phĂp im gƯn kà cho trữớng hủp rk dƯn tợi P 0, cư thº l  rk tho£ m¢n rk < +∞ Mët cƠu họi ữủc t  nghiản k=1 cựu l liằu cõ tỗn tÔi mởt cÊi biản cừa phữỡng phĂp im gƯn kà hởi tử m sỹ hởi tử mÔnh thu ữủc vợi dÂy {rk } l mởt dÂy số bĐt ký (0, ) khổng? Khi phiám hm cỹc tiu l tờng cừa hai phiám hm lỗi, bi toĂn ny dăn án bi toĂn tẳm khổng im cừa tờng hai toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi A, B, õ l bi toĂn: Tẳm phƯn tỷ p H cho ∈ (A + B)p∗ (0.3) B i to¡n (0.3) thu hút ữủc sỹ ỵ cừa nhiÃu nh nghiản cựu vẳ nõ l cốt lói cừa nhiÃu bi toĂn nhữ: bĐt ng thực bián phƠn, bi toĂn chĐp nhªn t¡ch, b i to¡n cüc tiºu hâa (xem [12, 13, 14]) vợi cĂc ựng dửng hồc mĂy, xỷ lỵ Ênh v bi toĂn ngữủc tuyán tẵnh Do tƯm quan trồng lỵ thuyát toĂn hồc cụng nhữ ựng dửng thỹc tá nản cĂc phữỡng phĂp giÊi bi toĂn (0.3) ữủc nhiÃu tĂc giÊ v ngoi nữợc quan tƠm nghiản cựu, in hẳnh l Peaceman-Rachford (1955) [15], DouglasRachford (1956) [16], Lions v  Mercier (1979) [17], Passty (1979) [18], Combettes (2004) [19], Takahashi, Wong v  Yao (2010) [20], Tseng (2000) [21], Malitsky (2018) [22], Semenov (2018) [23], Ð Viằt Nam, mởt số nôm tr lÔi Ơy, bi toĂn (0.3) ữủc nhiÃu nh nghiản cựu toĂn giÊi tẵch v toĂn ựng dửng tẳm hiu v giợi thiằu Mởt số tĂc giÊ nữợc cõ cĂc cổng trẳnh nghiản cựu và bi toĂn ny cõ th k án nhữ: .V Thæng v  Gibali (2018) [24], .V Thæng v  Cholamjiak (2019) [25], .V Thæng v  N.T Vinh (2019) [26], L.D M÷u, P.K Anh, .V Hi»u (2020) [27], Ta biát rơng, náu tờng A+B cụng l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, thẳ cõ th Ăp dửng phữỡng phĂp (0.2) vợi T=A+B  tẳm khổng im cừa tờng Tuy nhi¶n, nhi·u T khỉng ph£i l  ìn i»u cỹc Ôi cho dũ A v B l ỡn iằu cỹc Ôi Do õ, ch cõ th xƠy dỹng mởt ph²p l°p düa v o to¡n tû gi£i cõa tøng to¡n tû A v  B i·u n y cơng lđi th¸, cÊ T l ỡn iằu cỹc Ôi, viằc t½nh gi¡ trà cõa to¡n tû gi£i cõa T khâ hìn vi»c t½nh nâ cho tøng A v  B Bði vêy, phữỡng phĂp tĂch cho giÊi bi toĂn (0.3) chẵnh l  sû döng to¡n tû gi£i JrA , JrB cõa A v  B thay cho dòng to¡n tû gi£i JrA+B cõa A + B Ph÷ìng ph¡p t¡ch cê iºn cừa Peaceman-Rachford [15], Douglas-Rachford [16] ữủc à xuĐt vo nhỳng nôm 1950 cho trữớng hủp c biằt cÊ A v B Ãu l toĂn tỷ tuyán tẵnh ỡn tr Nôm 1979, [17], Lions v Mercier  m rởng sỡ ỗ tĂch Douglas-Rachford cho trữớng hủp chung vợi A v B l cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a trà Mët ph÷ìng ph¡p t¡ch thỉng dưng kh¡c ÷đc ÷a º gi£i b i to¡n (0.3) l  ph÷ìng ph¡p tĂch tián-lũi Phữỡng phĂp ny ữủc à xuĐt bi Lions v Mercier [17], Passty  [18] vo nôm 1979 vợi dÂy lp xk ữủc xĂc nh bi: xk+1 = Jk (I − rk A)xk , k ≥ 1, (0.4) â A, B l  c¡c to¡n tû ìn i»u cüc Ôi trản H , Jk = (I + rk B)1  l  to¡n tû gi£i cõa B , {rk } l dÂy số dữỡng Tuy nhiản, dÂy lp xk xĂc inh bi (0.4) cụng ch hởi tử yáu tợi mởt khỉng iºm cõa A + B º thu ÷đc sỹ hởi tử mÔnh, mởt số cÊi tián cừa phữỡng phĂp tĂch tián-lũi  ữủc ữa vợi dÂy lp ữủc xƠy dỹng kát hủp vợi cừa Mann (xem [19, 28]), Halpern (xem [29]), Mann-Halpern (xem [20, 30]) N«m 2000, Tseng [21]  à xuĐt mởt cÊi biản cừa phữỡng phĂp tĂch tián-lũi ch cƯn iÃu kiằn A l ỡn iằu v liản tửc Lipschitz trản têp lỗi õng cừa miÃn giĂ tr cừa nõ GƯn Ơy, mởt số tĂc giÊ cụng nghiản cựu phữỡng phĂp ny m khổng cƯn giÊ thiát toĂn tỷ A l - ngữủc ỡn iằu mÔnh (xem [22, 24, 25, 26, 27]) Sỹ hởi tử mÔnh cừa cĂc phữỡng phĂp thu ữủc Ãu cƯn i·u ki»n tham sè rk cõa to¡n tû gi£i ph£i b chn dữợi bi mởt hơng số lợn hỡn Mởt vĐn à nÊy sinh tứ Ơy l liằu cõ th xƠy dỹng ữủc phữỡng phĂp giÊi bi toĂn (0.3) m sỹ hởi tử mÔnh thu ữủc vợi iÃu kiằn rk dƯn tợi 0, hoc iÃu kiằn tờng quĂt hỡn cho d¢y tham sè cõa to¡n tû ... chuân cừa vc tỡ x inf M cên dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản óng cõa tªp hđp sè M max M M số lợn nhĐt têp hủp số M số nhọ nhĐt têp hủp số M D(A) miÃn xĂc nh cõa to¡n tû A R(A) mi·n gi¡... tÔi im x lim inf xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } lim sup xn giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } n n xn x dÂy {xn } hởi tử mÔnh và x xn x dÂy {xn } hởi tử yáu và x F ix(T ) têp im bĐt ởng cừa... to¡n tû giÊi cừa B , {rk } l dÂy số dữỡng Tuy nhiản, dÂy lp xk xĂc inh bi (0.4) cụng ch hởi tử yáu tợi mởt khổng im cừa A + B  thu ữủc sỹ hởi tử mÔnh, mởt số cÊi tián cừa phữỡng phĂp tĂch