(SKKN HAY NHẤT) một số phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số

Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Một số phơng pháp giải BàI TOáN CựC TRị TRONG ĐạI Số trờng thcs A - lời nói đầu C ác toán cực trị đại sè ë cÊp THCS cã mét ý nghÜa rÊt quan trọng em học sinh bậc học cấp (THPT), để giải toán cực trị đại số, tìm giá trị cực đại, cực tiểu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biẻu thức đại số, ngời ta thờng phải dùng đến công cụ cao cấp toán học: đạo hàm hàm số cấp THCS, (hay nói xác không đợc phép dùng ) công cụ cao cấp toán học nói trên, nên ngời ta phải cách giải thông minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức toán học cấp THCS để giải toán loại Các toán cực trị đại số cấp THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luỵên trí thông minh cho học sinh cấp học Để giải toán cực trị đại số cấp THCS, học sinh phải biến đổi đồng biểu thức đại số, phải biến đổi sử dụng nhiều dạng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp Bởi thế, nói, toán cực trị đại số cấp THCS tạo khả giúp học sinh có điều kiện để "rèn luyện kỹ biến đổi đồng " biểu thức đại số Các toán cực trị đại số cấp THCS có liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phơng trình hệ phơng trình, chừng mực đến giới GV: Vừ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Mét sè phơng pháp giảI toán cực trị Đại số hạn ẩn tàng nhiều lỉnh vực khác tập hợp, kiến thức hàm số đồ thị, v.v Về mặt t tởng toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiÕn thøc thùc tÕ cđa ®êi sèng x· héi, rÌn luyện nếp nghĩ khoa học, mong muốn làm công việc đạt đợc hiệu cao nhất, tốt Tóm lại, toán cực trị đại số cấp THCS toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán, kỹ t cấp học này, cần thiết cho việc bồi dỡng học sinh giỏi toán cấp THCS tài liệu tự bồi dỡng đội ngũ giáo viên cấp THCS Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đại số gọi toán cực trị Đại số Các em không thờng gặp toán dạng sách giáo khoa môn Toán, chúng toán khó Các toán cực trị thờng yêu cầu em vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt biến đổi, sắc sảo lập luận phát huy tối đa khả phán đoán Nó lại thờng có nhiều đờng đến đích cách vận dụng nhiều kiến thức khác Trong có cách giải ngắn gọn hợp lí Viêc giải toán cực trị giúp học sinh có thói quen tìm phơng án tối u giải công việc đời sống, kỷ thuật Trong phần trình bày giới thiệu môt số phơng pháp thờng dùng giải toán cực trị số bài tập áp dụng kiến thức Tôi hy vọng với phần trình bày giúp em bớt khó khăn, tiến tới tự giải đợc toán dạng chắn em thấy toán thú vị B - Nội dung nghiên cøu GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số I- Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Định nghĩa giá trị lớn Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói M giá trị lín nhÊt cđa f(x) trªn D, kÝ hiƯu : M = maxf(x), hai điều kiện sau đợc thoà mÃn : - Víi mäi x thc D th× f(x) ≤ M, với M số - Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = M Định nghĩa giá trị nhỏ Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói m giá trị nhỏ nhÊt cđa f(x) trªn D, kÝ hiƯu : m = minf(x), hai điều kiện sau đợc thoà mÃn : - Víi mäi x thc D th× f(x) ≥ m, với m số - Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = m Ta định nghĩa giá trị lớn biểu thức f(x,y, ); giá trị nhỏ biểu thức f(x,y, ) cách tơng tự II Các phơng pháp Phơng pháp - Phơng pháp giải toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức đại số cách đa dạng A(x) ( A(x) 0) a) C¬ së lÝ luËn - Trong tËp hợp số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không dơng số có giá trị lớn - Trong tập hợp số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không âm số có giá trị nhỏ nhÊt Tõ ®ã, cã thĨ suy r»ng tËp hợp M ={A(x) A(x) 0} A(x) đạt giá trị nhỏ A(x) = 0, tập hợp N = {B(x) B(x) } B(x) đạt giá trÞ lín nhÊt B(x) = GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Mét số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số b) Các thí dụ Thí dụ Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc : A(x) = 2x - 8x + 1, x biến số lấy giá trị thực Giải : A(x) = 2x2 - 8x + = 2x2 - 2.4x + = 2( x2 - 2.2x + - ) + = ( x - )2 - Víi mäi gÝ trÞ cđa x, ( x-2)2 nªn ta cã A(x) = 2( x - 2)2 - -7 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -7, x = Đáp sè : A(x)(nhá nhÊt) = -7, víi x = Thí dụ Tìm giá trị lớn biÓu thøc M(x) = -5x - 4x + 1, x biến số lấy giá trị thực Giải: Ta có : M(x) = -5x2 - 4x + = -5( x2 + = -5( x2 + )2 - )+1 )2 + = -5( x + Ta thÊy ( x+ x+ x ) +1 0, với giá trị x nên -5(x + Từ ®ã suy r»ng M(x) = -5( x + nhÊt ) = )2 + Vậy M(x) đạt giá trị lớn M(x) = Đáp số : M(x)(lớn )2 , lóc ®ã x = , x = Phơng pháp - Phơng pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đa dạng ( hc 0 ) ThÝ dơ GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Mét số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Tìm giá trị nhỏ biểu thức đại sè sau: A(x) = , víi x thc miỊn sè thực dơng Giải : Ta có : A(x) = = = Vì x > 0, nên ta có : A(x) = > 0, th× ( x - )2 ≥ 0, A(x) = Với Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ A(x) = Đáp số : A(x) (nhá nhÊt ) = ≥ , lóc ®ã x = với x = Thí dụ Tìm giá trị lớn biểu thức đại số M(x) = với x R Giải: Ta có: M(x) = = (vì x2 + 2x + = ( x + ) Mặt khác, ( x + )2 0, ®ã x + > 0) R nªn ( x+1 )2 + ≥ 2, Tõ ®ã ta cã M(x) = + VËy M(x) ®¹t giá trị lớn M(x) = x R, , lúc (x+1)2 = 0, hay x=-1 §¸p sè : M(x)(lín nhÊt )= , víi x=-1 Thí dụ Tìm giá trị lớn biểu thøc sau : F(x,y) = x,y , víi R GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Giải : Ta có F(x) = y4+ 0, y = ( R) Mặt khác x2 ≥ 0, x R nªn x2 + ≥ 2, x R F(x,y) = Vậy F(x,y) đạt giá trị lớn F(x,y) = Đáp số : F(x,y) ( lín nhÊt ) = , lóc ®ã x = ; víi x = 0, y R Ph¬ng pháp - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số cách áp dụng bất đẳng thức Côsi a) Cơ sở lí luận : Bất đẳng thức Côsi đợc viết dới dạng khác dới ( áp dụng với số không âm ) Dới dạng thức : 1) 2) 3) Mét c¸ch tỉng qu¸t: Díi dạng luỹ thừa : 1) 2) 3) Bài toán tìm giá trị nhỏ Chứng minh hai đại lợng dơng x y có tích luôn không đổi tổng chúng đạt giá trị nhỏ giá trị chúng GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Giải Từ toán trên, ta ph¶i chøng minh r»ng víi x > 0, y > 0, xy = k2 (không đổi) x + y đạt giá trị nhỏ x = y Thật áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai sè d¬ng ta cã : ( x+y)2 hay 4xy y x+y Theo gi¶ thiÕt : Ta cã xy = k2 (không đổi), nên ta có : x+y (*) Vậy tổng M = x + y lấy giá trị nhá nhÊt x + y = 2k Theo bÊt đẳng thức Côsi, x + y = 2k = vµ chØ x = y VËy x + y = 2k vµ chØ x = y Tãm l¹i : Víi x > 0, y > xy = k2 (không đổi ), x + y nhá nhÊt vµ chØ x = y Bài toán tìm giá trị lớn Chứng minh rằng, hai đại lợng dơng có tổng không đổi tích chúng đạt giá trị lớn giá trị chúng Giải : (áp dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh tơng tự trên) Tóm lại Với x > 0, y > x + y = k (không đổi ) xy lớn x = y GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Chúng ta sử dụng kết hai toán để giải toán cực trị đại số Thí dụ Tìm giá tri nhỏ biểu thức đại sè sau: A(x) = , víi x > Gi¶i : Ta cã : A(x) = = 8x + Ta thấy 8x hai đại lợng lấy giá trị dơng không đổi, nhng tích chúng 8x = 16 luôn không thay đổi Vậy A(x) = 8x + đạt giá trị nhỏ 8x = hay 8x2 = Từ đây, ta tính đợc x2 = , suy x = ®iỊu kiƯn x > 0, ta lấy giá trị x = Với x = ; A(x)( nhá nhÊt ) = + x = Kết hợp với = + = Đáp số : A(x)( nhỏ ) = 8; víi x = ThÝ dơ 7: Tìm giá trị lớn biểu thức đại số B(x) =16x3- x6, víi x thc tËp hỵp sè thùc dơng Giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc toán áp dụng bất đẳng thức Côsi Từ B(x) = 16x3 - x6 , ta cã : B(x) = x3(16 -x3 ) Râ rµng x3 > 0; cßn 16 - x3 > 16 > x3 hay x < (*) GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Mét sè phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Đến ta nhận thấy x3 16 - x3 hai đại lợng biến đổi nhng tổng chúng x3+ (16-x3) = 16 luôn không thay đổi, tích chúng B(x) = x 3(16-x3) đạt giá trị lớn x = 16 - x3 Từ ta có : 2x3 = 16 hay x3 = Ta tính đợc x = Giá trị x = thoả mÃn điều kiện (*) Vậy B(x) đạt giá trị lớn giá trÞ x = B(x)( lín nhÊt ) = 16 23-26 =(16-23).23 = = 64 Đáp sè: B(x)( lín nhÊt ) = 64, víi x = Phơng pháp - Giải toán cực trị đại số phơng pháp đặt ẩn phụ Thí dụ Với giá trị x biểu thức P(x) = , đạt giá trị nhỏ Giải Đây toán khó giải học sinh Bởi toán ẩn tàng phép giải phơng trình, xét dấu hiệu áp dụng đợc bất đảng thức Côsi hay không, việc biến đổi đồng để rút gọn đợc biểu thức khó khăn 1)Trớc hết ta biến đổi biểu thức dạng để áp dụng đợc toán bất đẳng thức Côsi Bằng cách biến đổi đồng nhất, ta biến đổi tử thức thành tích nhân tử sau rút gọn Cách dài dòng gặp không khó khăn Để đơn giản hơn, ta dùng phơng pháp chia đa thức cho đa thøc 4x4 + 16x3 + 56x2 + 80x + 356 x2+ 2x +5 4x4 + 8x3 + 20x2 4x2 + 8x + 20 + 8x3 + 36x2 + 80x +356 8x3 + 16x2 + 40x + 20x 20x22 ++ 40x 40x ++ 100 356 + + 256 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Kết ta đợc : P(x) = 4x2 + 8x + 20 + V× x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x+1) + > (*), nªn P(x) luôn xác đinh với giá trị x 2) Đặt ẩn phụ để đa xét biểu thúc có dạng đơn giản Từ P(x) = 4x2 + 8x + 20 + , ta cã : P(x) = ( x + 2x + 5)+ Đặt y = x2 + 2x + 5, ta cã : P(x) = 4y + 4y vµ , vµ y = x2 + 2x + > víi mäi x lµ đại lợng lấy giá trị dơng có tích 1024 ( không đổi ) Vậy tổng 4y + 4y = đạt giá trị nhỏ Từ ta đợc y2 = 64 Giải phơng trình y2 = 64, ta đợc y = y = -8 Từ , y > nên ta lấy giá trị y = Víi y = x2 + 2x + = 8, giải phơng trình bậc hai ta đợc x = -3 , x = VËy P(x) lÊy gi¸ trị nhỏ x = -3 x = ( øng víi y = ), ta tÝnh đợc : P(x) = 4.8 + = 64 Đáp số : P(x) đạt giá trị nhỏ 64 x = -3 hay x = ThÝ dô : Tìm giá trị lớn biểu thức đại sè sau : Q(x) = ( x2 - 2x + ) ( 4x - 2x2 + ), víi x R 10 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add Hng luanvanchat@agmail.com LUAN Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Giải: Nhận xét c¸c hƯ sè cđa Èn x, ta thÊy r»ng 4x - 2x = ( 2x x2 ) = -2( x2 - 2x) Do đặt x2 - 2x + = y th× ta cã : 4x - 2x + = -2( x2- 2x + 2) + = -2y + VËy Q(x) = ( x2 - 2x + ) ( 4x - 2x2 + ) = y ( - 2y ) Ta liên tởng đến vấn đề tích số lớn tổng chúng không đổi y - 2y thoả mÃn điều kiện để tìm giá trị lớn Q(x) ta chuyển sang tìm giá trị lớn biểu thức P(x) = 2.Q(x) Ta cã P(x) = 2.Q(x) = 2.y( - 2y) Ta thÊy y = x2 - 2x + = ( x - ) + > 0, - 2y > > 2y hay y 0, y > nªn 6x > 0, 4y > 12 GV: Vừ Quang Nht THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh VAN CHAT LUONG download add Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số ( áp dụng bất đẳng thức Côsi ) Từ Đến ta làm xuất tích xy Theo giả thiết ( ràng buộc ), ta có xy = 216, suy P(x,y) đạt giá trị nhỏ là: P(x,y) = = 144 Đáp số : P(x,y) nhá nhÊt = 144 ThÝ dô 13 Tìm giá trị x, y, z để biểu thức sau : F(x,y,z) = 2x + 3y - 4z đạt giá trị nhỏ Biết x, y, z thoả mÃn hệ ràng buộc sau : Giải: Từ điều kiƯn , tríc hÕt ta tÝnh x, y theo z, ta đợc Để x - 3z  0, suy z  §Ĩ y  th× 3z -  0, suy z  Để x y 0, phải có ®iỊu kiƯn :  z  (***) Thay c¸c gi¸ trị x,y từ (*) (**) vào biểu thức ®· cho ta ®ỵc F(x,y,z) = 2(4 -3z) + 3(3z - 2) - 4z = - z Nh vËy F(x,y,z) phụ thuộc vào giá trị z F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ z đạt giá trị lớn Nhng từ ràng buộc, z lấy giá trị khoảng xác định z mà Từ suy : F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ với hệ ràng buộc đà cho z = Từ ®ã ta tÝnh ®ỵc x = - 3z = - Và F(x,y,z) nhỏ Đáp số : F(x,y,z) =2nhá nhÊt = 0; y = 3z - = 3 -2=2 = 3 = ; víi x = 0, y = 2, z = 13 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Thí dụ 14 Cho biểu thức đại số sau : P = x 1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 ; víi x1, x2, x3, x4, x5 đại lợng lấy giá trị không âm HÃy tìm giá trị lớn P, biÕt r»ng : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = Gi¶i: Tõ P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 , x1x4 + x2x5  0, ta cã : P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5  x1x2 + x2x3 + ( x1x4 + x2x5 ) + x3x4 + x4x5 Biến tổng thành tích ta đợc : P x2 (x1 + x3 + x5 ) + x4(x1 + x3 + x5) hay P  (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 ) Đến ta nhận thấy : Do giả thiết xi ( i = 1,2,,5) nên tổng (x1 + x3 + x5) tổng (x2 + x4) đại lợng không âm §Ỉt U = x1 + x3 + x5 ; V = x2 + x4 Ta cã : U  0, V U + V = áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : hay (1) Ta l¹i cã : (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 ) = x1x2 + x2x3 + x1x4 + x2x5 + x3x4 + x4 x5 Suy (x1 + x3 + x5 )(x2 + x4)  x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 (2) Tõ (1) vµ (2) suy : Theo gi¶ thiÕt, ta cã x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1, nªn ta cã x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 đạt giá trị lớn Từ ta suy x1 = x2 = x5 = 0, x3 = x4 = 14 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Đáp số : P ( lín nhÊt ) = , víi x1 = x2 = x5 = vµ x3 = x4 = Phơng pháp - Giải toán cực trị đại số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski 1.Bất đẳng thức Bunhiacốpski a) Viết dới dạng luỹ thõa :  ( ax + by )2  ( a2 + b2 ) ( x2 + y2 ) DÊu b»ng xÈy  ( ax + by + cz )2  ( a2 + b2 + c2 ) ( x2 + y2 + z2 ) DÊu b»ng xÈy  Tỉng qu¸t ta cã : ( a1b1 + a2b2 +…+ anbn )2  ( a12 + a22 +…+ an2 )( b12 + b22 + …+ bn2 ) DÊu b»ng xÈy b) ViÕt díi dạng thức: ax + by Dấu xÈy  ax + by + cz  DÊu b»ng xÈy * Tỉng qu¸t ta cã : a1b1 + a2b2 +…+ anbn  DÊu b»ng xÈy 2.C¸c thÝ dơ ThÝ dơ15 15 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Tìm giá trị x, y, z để cho biểu thức sau đạt giá trị nhá nhÊt : P = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ Biết x + y + z = 1995 Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho số 1, 1, x, y, z ta cã : ( x.1 + y.1 + z.1 )2  ( 12 + 12 + 12 )( x2 + y2 + z2 ) hay ( x + y + z )2  ( x2 + y2 + z2 ) Tõ ®ã ta cã : P = x2 + y2 + z2  Theo gi¶ thiÕt : x + y + z = 1995, nªn ta cã P = x + y2 + z2 với P đạt giá trị nhỏ dấu đẳng thức xẩy ra, tức P = Tõ ( hay x = y = z ) ta tính đợc x = y = z = Đáp số : P ( nhá nhÊt ) = = 665 , víi x = y = z = 665 ThÝ dơ 16 Cho biĨu thøc Q(x,y,z) = , ®ã x, y, z đại lợng thoả mÃn điều kiện x2 + y2 + z2 = 169 Tìm giá trị x, y, z để cho Q(x,y,z) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Gi¶i 16 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho số 2, 4, ta có : x, y, z , hay Q2(x,y,z) = ( 2x + 4y + z )2  Theo gi¶ thiÕt ta cã : x2 + y2 + z2 = 169, víi Q2(x,y,z) 25.169 lúc Từ (*) ta có z = ,y= , ®ã ta cã : (*) = 2x thay vào phơng trình x2 + y2 + z2 = 169, ta cã : x2 + ( 2x )2 + ( )2 = 169  x2 + 4x2 + = 169  25x2 = 4.169  x2 = x= * Víi x = , y= * Víi x = - , y=- Q(x,y,z) = ( lín nhÊt ) Đáp số : Q(x,y,z) = , z= , z=- = 5.13 = 65 ( lín nhÊt ) = 65 øng víi c¸c bé sè ( x =  ;y= ;z ) Phơng pháp - Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị Thí dụ17 : Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa A = x2 ( - x ), víi x  Gi¶i : a) XÐt  x  Ta cã : A = ( - x ) ¸p dơng bÊt đằng thức Côsi cho số không âm , - x ta đợc 17 GV: Vừ Quang Nht THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add Hng luanvanchat@agmail.com LUAN Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số (3-x) Do ®ã A  4.1 = (1) b)XÐt x > 3, A < (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận : MaxA =   x = ThÝ dô18 : Tìm giá trị lớn B = x Giải : a) XÐt -1  x  th× B  (1) b) XÐt < x  B = x Do Max B = x= Phơng pháp : Phơng pháp áp dụng điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai Chúng ta biết điều kiện cần đủ để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) cã nghiƯm lµ  = b2 - 4ac  hc , = b,2 ac ( với b = 2b,); điều kiện đợc sử dụng để giải nhiều dạng toán tìm giá trị lớn (GTLN) tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức Sau số ví dụ minh họa Thí dụ 19 Tìm GTLN GTNN biĨu thøc Q = Gi¶i: Do x2 - x + > với x nên Q xác định với x Giả sử tồn x để Q đạt GTLN GTNN, phơng trình Q.( x2 - x + 1) = x2 - 2x +  (Q - 1) x2 + (2 - Q) x + Q - = (*) ph¶i cã nghiệm ẩn x Nếu Q = (*)  x = NÕu Q  th× (*) phơng trình bậc hai ẩn x, cã nghiÖm  x  18 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Mét sè ph¬ng pháp giảI toán cực trị Đại số (2 - Q)2 - 4(Q - 1)(Q - 2)   (Q - 2)(-3Q + 2)    Q  < < suy : Q đạt GTLN x = ( thay vào (*) ); Vì Q đạt GTNN  x = NhËn xÐt : VÝ dô cã thĨ më réng cho biĨu thøc tỉng qu¸t cã d¹ng víi b22 - 4a2c2 < Q(x) = ThÝ dụ 20 : Tìm GTLN GTNN biểu thức Q = Giải: Ta có Q xác định với x, y Ta tìm Q để tồn x, y tháa m·n Q = hay Q.x2 - x + Q.y2 + 7Q - 2y - = (*) Với Q = (*) trở thành x + 2y + = hiển nhiên tồn x y, chẳng hạn x = 0, y =- Với Q tồn x, y thỏa m·n (*)  tån t¹i y tháa m·n : 4Q2y2 - 8Qy + 28Q2 - 4Q -1   0    28Q2 - 4Q -   - Víi x = 1, y = Q = Với x = ,y= nên Q đạt GTLN Q = - Q nên Q đạt GTNN - Phơng pháp 10 : Tìm giá trị nhỏ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Cơ sở lý luận : Khi tìm giá trị nhỏ (GTNN) hay giá trị lớn (GTLN) biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, thờng xét trờng hợp để khử dấu giá trị tuyệt ®èi ®Ĩ vÏ ®å thÞ 19 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối nh : , sau xét khả trở thành đẳng thức Vấn đề đề cập đến phơng pháp tìm GTNN, GTLN hiệu cho lớp toán Giả sử tồn m GTNN hàm số f(x) miền D f(x) m víi mäi x D Víi m«t sè f(x) f( D m đat giá trị x thoả mÃn điều kiện ) Từ xác định đợc x K, K D đợc gọi phạm vi tìm kiếm Để tìm giá trị m hàm số f(x) miền D, ta cần tìm giá trị m miền K(tơng tự GTLN) Nếu chọn đợc số mà f( ) < f( khác ) ta xác định đợc phạm vi tìm kiếm hẹp Phơng pháp cần có kĩ giải bất phơng trình để tìm đợc K Công việc đợc ví giống nh ta tìm chìa khoá bị đánh rơi, ta chắn bị rơi nhà không lẽ ta lại tìm đờng? b) Một số thí dụ: Thí dụ 21 Tìm GTNN hàm số : y = f(x) = + Giải: Hàm số y = f(x) có tập xác định R Cách Vì f( )= nên ta cần tìm x thoả mÃn f(x) , suy : ; Giải hệ phơng trình trên, ta nhận đợc phạm vi tìm kiếm K = Chỉ cần xÐt x K, ta cã x + > 0; - 2x Đẳng thức xảy x= suy f(x) = - x K 20 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Mét sè phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Vậy GTNN f(x) Cách Ta có , suy f(x) = = Mặt khác, f( ) = nên GTNN f(x) Bình lụân : Mặc dù cách đơn giản cách nhng không phát huy đợc cho toán dới Thí dụ 22 Tìm GTNN hàm số sau : a) y = f(x) = b) y = g(x) = ; ; c) y = h(x) = ; Gi¶i 1, Lời giải cho câu a) câu b) Vì f(1) = = g(1) nên ta cần tìm x tho¶ m·n : 2; ; Do f(-1) > g(-1) > nên ta cần xét x thuéc miÒn K = , ta cã f(x) = (x - 1) + Đẳng thức xẩy =x+ x= Vậy GTNN cđa f(x) lµ g(x) = 3(x - 1) + Đẳng thức xẩy -1 = x=1 - K -1 + x -  2.2 + - = K VËy GTNN cña g(x) 2) câu c) 21 GV: Vừ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Mét sè ph¬ng pháp giảI toán cực trị Đại số Vì h(-1) = nên ta cần tìm x thỏa m·n h(x)  suy 2;   2, Giải hệ hai bất phơng trình ta thu ®ỵc miỊn K = Víi x K ta cã h(x) = -2(x + 1) + Đẳng thức xẩy - x -  - (-1) -1 = =x = -1 K VËy GTNN cña h(x) III Bài tập áp dụng Cho biÓu thøc M(x) = x2 - 10x + 40 Với giá trị x M(x) đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Cho biểu thức Q(x) = Với giá trị x Q(x) đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn Cho biểu thức A(x) = , với x -1 Tìm giá trị nhỏ A(x) giá trị tơng ứng x Cho biểu thức F(x) = Tìm giá trị x để F(x) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn biểu thức A(x) với A(x) = Tìm giá trị nhỏ y, biÕt r»ng y = , víi x > Tìm giá trị x để biểu thức sau đạt giá trị lớn : A(x) = , víi x > 22 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Tìm giá trị cuả x để hàm số y = đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y) = BiÕt r»ng x > 0, y > x + y = 100 10 Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc M (x, y, z) = xyz Với hệ ràng buộc sau : 11 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B (x,y) = x2 + 26 y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 12 Cho hệ phơng trình : Tìm giá trị x, y, z để biểu thức A( x, y, z) = x + y+z đạt giá trÞ lín nhÊt 13 Cho biĨu thøc F(x,y,z,t) = 2x + y + z + t HÃy tìm giá trị lín nhÊt cđa F(x, y, z, t) biÕt r»ng: vµ x, y, z, t số không âm 14 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau : F (x) = x ( x +1 )( x + )( x + ) 15 Tìm giá trị đại lợng x, y để cho biểu thức đạt giá trị nhỏ : Q(x,y) = x3 + y3 +xy BiÕt r»ng : x + y = 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P( x, y, z) = 23 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Biết x, y, z tho· m·n ®iỊu kiƯn sau : 17 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x)= , với x > 18 Tìm giá trị x, y, z để cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : F ( x, y, z ) = x4 + y4 + z4 BiÕt r»ng x, y, z thoà mÃn phơng trình sau : xy + yz + zx = 19 cho biÓu thøc M = x2 + y2 + 2z2 + t2, víi x, y, z, t số nguyên âm HÃy tìm giá trị nhỏ M giá trị t¬ng øng cđa x, y, z, t BiÕt r»ng : 20 Cho hàm số : y= + + Tìm khoảng xác định hàm số y Tính giá trị lớn hàm số khoảng xác định giá trị tơng ứng x 21 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau : a) y = b) y = ; ; 22 Cho phơng trình bậc hai ẩn số x y : x2 + 3y2 + 2xy - 10x - 14y + 18 = HÃy tìm nghiệm số phơng trình để cho biểu thức A = x + y a) Đạt giá trị lớn ? 24 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com Mét số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số b) Đạt giá trị nhỏ ? c- Kết luận chung Trong phần trình bày đà cố gắng su tầm, phân dạng toán cực trị Đại số theo kiến thức thờng dùng giải Tuy nhiên toán cực trị thờng có nhiều cách giải có nhiều cách giải ngắn gọn hợp lí có phơng án độc đáo sáng tạo Tôi đà áp dụng đề tài thời gian tơng đối dài để bồi dỡng học sinh khá, giỏi thấy lúc đầu học sinh mơ hồ toán dạng nhng sau học học sinh đà tích cực học đạt hiệu tơng đối cao trình bày cách giải cho toán; chắn nhiều phơng pháp, cách giải toán hay khó cha su tầm, tìm tòi đợc Tôi hy vọng sau đọc bạn đọc có ý kiến góp ý, bổ sung để phần trình bày hoàn chỉnh hơn, để có ích trình dạy học trình bồi dỡng học sinh giỏi Xin trân trọng cảm ơn! 25 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy: Mai Sưn – Hà Tĩnh LUAN VAN CHAT LUONG download add– Hương luanvanchat@agmail.com ... Hng luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Chúng ta sử dụng kết hai toán để giải toán cực trị đại số Thí dụ Tìm giá tri nhỏ biểu thức đại số sau: A(x) = , với x > Gi¶i... viên cấp THCS Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đại số gọi toán cực trị Đại số Các em không thờng gặp toán dạng sách giáo khoa môn Toán, chúng toán khó Các toán cực trị thờng yêu cầu... luanvanchat@agmail.com Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số b) Đạt giá trị nhỏ ? c- Kết luận chung Trong phần trình bày đà cố gắng su tầm, phân dạng toán cực trị Đại số theo kiến thức thờng dùng giải Tuy