(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải bài toán cực trị trong vật lý THPT

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Việc dạy học đánh giá thi cử theo hình thức TNKQ giáo viên học sinh phải có thay đổi lớn cách dạy học Dạy học theo phương pháp TNKQ đòi hỏi người giáo viên khơng phải đầu tư theo chiều sâu mà cịn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm tổng quan chương trình mơn học Thực tế, chuyển sang dạy học đánh giá thi cử theo phương pháp TNKQ, GV phải mở rộng kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi trắc nghiệm, vấn đề đầu tư cho việc giải toán theo phương pháp tự luận bị mờ nhạt Điều ảnh hưởng lớn đến chất lượng, mức độ hiểu sâu kiến thức vật lý học sinh Trong Vật lý THPT có nhiều tốn giải theo phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng Vật lý Mỗi loại tập có số cách giải định, song để chọn cách giải phù hợp điều khó khăn cho học sinh lẽ tốn mang tính đơn lẻ, chưa có tài liệu viết có tính chất hệ thống Để góp phần cải tiến thực trạng tơi định thực đề tài “Phương pháp giải tốn cực trị vật lý THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu để vận dụng cách có chọn lọc sáng tạo xây dựng phương pháp cốt lõi để hướng dẫn học sinh giải toán cực trị Vật lý THPT 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: - Mục tiêu giáo dục - Học sinh - Nội dung chương trình phương pháp giảng dạy vật lí trường THPT - Chiến lược dạy học dựa vấn đề số chiến lược dạy học đại Phạm vi áp dụng: Các toán cực trị chương trình Vật lý THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu * Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu văn kiện Đảng đổi nội dung, chương trình, PPDH download by : skknchat@gmail.com - Nghiên cứu tài liệu giáo dục phương pháp giảng dạy vật lí - Vận dụng kiến thức tốn học để tìm cực trị, như: + Tính chất phân thức đại số + Bất đẳng thức Cơ-si, Bunhiacopxki + Tính chất đạo hàm hàm số - Khái quát hóa, phân loại trường hợp để giải tập điều kiện cụ thể * Nghiên cứu thực nghiệm - Nghiên cứu, khai thác tài liệu liên quan đến phương pháp dạy học - Nghiên cứu, thiết kế, xây dựng phương pháp giải toán cực trị - Chọn mẫu dạy thực nghiệm trường THPT Đông Sơn * Phương pháp thống kê toán học - Sử dụng phương pháp thống kê tốn học để trình bày kết thực nghiệm sư phạm kiểm định giả thuyết thống kê khác biệt kết học tập hai lớp đối chứng thực nghiệm download by : skknchat@gmail.com NỘI DUNG 2.1 Những kiến thức toán học bổ trợ * Bất đẳng thức Côsi: a + b  ab (a, b dương) a + b + c  3 abc (a, b, c dương) + Dấu xảy số + Khi Tích số khơng đổi tổng nhỏ số Khi Tổng số khơng đổi, Tích số lớn số * Phạm vi áp dụng: Thường áp dụng cho tập điện toán va chạm học * Bất đẳng thức Bunhia côpxki (a1b1 + a2b2)2  (a1 + a2)2 (b1 + b2)2 Dấu xảy a1 b1  a2 b2 * Phạm vi áp dụng: Thường dùng tập chuyển động học * Tam thức bậc y = f(x) = ax2 + bx + c + a > ymin đỉnh Parabol + a < ymax đỉnh Parabol + Toạ độ đỉnh: x = - b  ; y ( = b2 - 4ac) 2a 4a + Nếu  = phương trình y = ax2= bx + c = có nghiệm kép + Nếu  > phương trình có nghiệm phân biệt * Phạm vi áp dụng: Thường dùng tập chuyển động học tập phần điện * Giá trị cực đại hàm số sin côsin a = 00  (cosa)max = a = 900  (sina)max = * Thường dùng toán học - Điện xoay chiều * Khảo sát hàm số download by : skknchat@gmail.com - Dùng đạo hàm - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu Thường áp dụng cho toán điện xoay chiều (vì lúc học sinh học đạo hàm) * Ngồi q trình giải tập thường sử dụng số tính chất phân thức a c a c a c    b d b d b d 2.2 Các ví dụ áp dụng 2.2.1 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi Ví dụ 1: Cho mạch điện hình vẽ E,r E = 12V; r = 4W; R biến trở Hãy tìm Rx để cơng suất mạch ngồi cực đại Hướng dẫn: - Dòng điện: I = R E r R E2 E2 E2   2 - Công suất: P = I2R = r  R  2r  r  y  R  R R  - Pmax  ymin Theo BĐT Cơsi tích hai số không đổi, tổng nhỏ hai số  Ymin  r E R Vậy R = r = 4W Pmax =  9(W) R 4r Ví dụ 2: Cho mạch điện hình vẽ  UAB = 200 sin(100nt) (v) A 4 L= L,r 10 (H); c (F) R thay đổi n 2n C  R a) Tìm R để công suất R cực đại r = b) Tìm R để cơng suất R cực đại r = 5W Hướng dẫn: a) + Cảm kháng: ZL =  L = 100W; download by : skknchat@gmail.com B Dung kháng: ZC =  200 C + Tổng trở: Z= R2  (ZL  ZC )2 U2 + Công suất: P = I2R = (Z  ZC )2 R L R (ZL  ZC )2 Đặt y = R + R + Áp dụng BĐT Côsi: ymin  R = ZL – ZC = 100W U2  200(W) Lúc PR(Max) = ZL  ZC b) Tương tự ta có: Z= (R  r)2  (ZL  ZC )2 U2 u2  PRx = I2R = r2  (ZL  ZC )2 y R  2r R + áp dụng BĐT côsi ymin  R = PRMax  U2 2(r  r2  (ZL  ZC )2 r2  (ZL  ZC )2  124(W) * Mở rộng: Khi tính P mạch: + Nếu ZL – ZC > r PMax R = ZL – ZC - r + Nếu ZL – ZC  r PMax R = Ví dụ 3: Có hai điện tích điểm q1 = q2 = q > đặt hai điểm A, B khơng khí (e =  E 2M 1) Cho biết AB = 2d Hãy xác định cường độ  điện trường M đường trung trực AB q1  A Hướng dẫn: d  * Xác định E M :    E 1M M a cách đường thẳng AB khoảng x Tìm x để EM đạt cực đại  EM  + E M  E 1M  E 2M download by : skknchat@gmail.com x  H d  B Với E1M = E2M = k q d  x2  + Dùng quy tắc tổng hợp vectơ  E M  AB hướng xa AB + EM = 2E1M cosa = 2kq x x  2kq 2 d x d2  x2 (d2  x2) * Tìm vị trí M: - Theo BĐT Cơsi ta có: Ta có d2 + x2 = d2 d2 d4x2   x2  33  d2  x2 2    (*) 3 d x (**) 4kq 4kq d Vậy EM(Max) = x = 3d 3d  Ví dụ 4: Vật m1 chuyển động với vận tốc V1 A đồng thời va chạm với + Từ (*) (**)  EM   V1' vật m2 nằm yên Sau va chạm m có vận tốc V1 ' ; xác định tỷ số V1   m1 để góc lệch a V1 V1 ' lớn (amax)  Cho m1 > m2 P1 ' Hướng dẫn:   PS  P1 a + Động lượng hệ trước va chạm:    PT  P1  m1V1  P2 ' + Động lượng hệ sau va chạm:    ' ' ' Ps  P1  P2  m1V1  m2 V2'    + Hệ kín nên Động lượng hệ bảo toàn: PS  PT  P1     + Gọi a = (V1 V1' )  (P1 PS ) Ta có: P2'2  P1'2  P12  2P1'P12cos (1) Vì va chạm đàn hồi nên động bảo toàn: P12 P1'2 P2'2 m    P12  P1'2  P2'2  2m1 2m1 2m2 m2 m1v12 m1v1' m2V2'   2 (2) download by : skknchat@gmail.com  m2  P1  m2  P1' + Từ (1) (2)   1  '   1   2cos m P m  1   P1  m2  V1  m2  V1' V1'   1   '   1   2cos Đặt x = V1  m1  V1  m1  V1  m   m 1   1  x   1   2cos  m1   m1  x Để aMax (cosa)min Theo BĐT cosi: (cosa)min khi:  m2   m2  m1  m2  1  x   1   x m1  m2  m1   m1  x   V1' m1  m2  Vậy góc lệch V1 V1' cực đại V1 m1  m2 Với cosamax = m12  m22 m1 Ví dụ 5: Một thấu kính hội tụ đặt song song với ảnh E Trên trục có điểm sáng A E giữ cố định Khoảng cách từ A đến E a = 100 cm Khi tịnh tiến thấu kính khoảng E A, người ta thấy vệt sáng không thu lại điểm Nhưng L cách E đoạn b = 40cm vệt sáng có kích thước nhỏ Tính tiêu cự thấu kính Hướng dẫn: Theo đề điểm hội tụ chùm tia ló phải nằm sau ảnh E, đường tia sáng hình vẽ: Theo tính chất đồng dạng tam giác ta có: r ' d ' b b ad a d   1  1  1  r d' d' d' d' d'  1 1 d  a d a r'   a       1    r f f  f d  f  d Mặt khác theo định lý Cơsi ta có: download by : skknchat@gmail.com a d   d f a f  a  b  f a d a   d  a f r’/r đạt d f f  a  b  a thay số ta có f = 36 cm a b r A r’ O A’ d d’ 2.2.2 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhia Cơpxki: Ví dụ 6: Hai chuyển động AO BO hướng Với V2 = A V1   300 Khi khoảng cách hai A' b  vật cực tiểu dmin khoảng cách vật B d1' a d2' B' đến d1'  30 3(m) Hãy tìm khoảng cách vật đến lúc này? Hướng dẫn: Gọi d1, d2 khoảng cách vật vật đến lúc t = ta có:  d d1  v1t d2  v2t v   Vì v2  sin sin sin d d1  v1t 3d2  v1t d 3d2  d1     sin sin sin 3sin 3sin  sin sinb = sin(1800 - b) = sin (a +  ) = sin (300 +  ) d 3d2  d1 3d2  d1 3d2  d1   d   sin30 ; y 3cos  sin cos  sin 2 download by : skknchat@gmail.com dmin ymax (3 1)  (sin2   cos2 )  áp dụng BĐT Bunhia côpxki  y  Ymax =  sin   tg    300  1200 cos d1' d'2 sin1200 ' ' Lúc   d2  d1  3d1'  90(m) 0 sin30 sin120 sin30 Ví dụ7: Hai tàu thuỷ chuyển động hai đường OA OB biết AB = 40km; VA = 40km/h; VB = 40 km Chiều chuyển động tàu biểu diễn hình vẽ Tính khoảng cách ngắn tàu, biết a = 300; b = 600 Hướng dẫn: a +  + b   = 300 Ta có: AO = d1;  BO = d2  VA d1 d AB   sin sin sin A  A' a d1  AB  40 3(km) d1 d2 AB      sin600 sin300 sin300 d2  AB  40(km) a' b B b'  B' VB * Khi tàu A đến A' d1' = d1 - v1t = 40 - 40t d2 = d2+ v2t = 40 + 40 t d' d1' d'2   Khoảng cách tàu d' = A'B' Có sin sin ' sin ' d' 120 40 3t 40 40 3t 160    ( ' ' 1500) sin sin ' 3sin ' 3sin ' sin ' 80  d' d'min y  3sin '  sin ' ymax 3sin ' sin '  áp dụng BĐT Bunhia côpxki a1b1 + a2b2  (a12  a22).(b12  b22) download by : skknchat@gmail.com y  3sin ' sin(1500  ')  yMax  7 d'min  3' sin ' cos ' 2 80  30,2(km) Ví dụ 8: Cho hệ hình vẽ m M Hệ số ma sát M sàn K2  aF Hệ số ma sát M m K1  Tác dụng lực F lên M theo phương hợp với phương ngang góc a (a thay đổi) Hãy tìm Fmin để m khỏi M Tính a tương ứng Hướng dẫn:     * Vật m: P1  N1  F ms21  ma1 ChiÕu lªn Ox: Ems21  ma1 ChiÕu lªn Oy: N1  P1  (1)  a1 = Fms21 m  a1  K1g (*) Khi m bắt đầu trượt a1 = k1g        * Xét vật M: F  P2  P1  N2  F ms12  Fms  Ma2 Chiếu lên Ox: F cosa – Fms12 - Fms = Ma2  a2 = (2) F cos  Fms12  Fms M Oy: F sina - (P1 + P2) + N2 =  N2 = P1 + P2 - Fsina Mà Fms = K2 N2  a2 = Ta có a1  a2  K1g  F Fcos  K 1mg K (P1  P2  Fsin) M (**) Fcos  K 1mg K (P1  P2  Fsin) M (m M)(K  K 2)g (m M)(K  K 2)g  cos  K sin y Fmin ymax Theo Bất đẳng thức Bunhia côpxki y (a12  a22)(b12  b22)  1 K 22  yMax  1 K 22 Vậy Fmin = (m M)(K  K 2)g 1 K 22 lúc cos   tg  K sin K 2.2.3 Áp dụng tính chất tam thức bậc Ví dụ 9: Một bọ dừa đậu đầu B cứng mảnh AB có chiều dài L dựng đứng cạnh tường thẳng đứng (Hình vẽ) 10 download by : skknchat@gmail.com - Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang với vận tốc không đổi v bọ bắt đầu bị dọc theo với vận tốc không đổi u Trong q trình bị thanh, bọ đạt độ cao cực đại sàn Cho đầu A tỳ lên tường thẳng đứng Hướng dẫn: A L L Xét (0 < t < ) (t ) u v Khi B di chuyển đoạn S = v.t Con bọ dừa Thì bọ l = u.t Độ cao mà đạt: B h = l Sinα = u.t L  v t 2 L U 22 24 U L t v t  y H= L L  u hmax y = ymax h a y = -v2 X2 + L2X (với X = t2 > 0) ymax =  v L L X  2 4v 2v  (y tam thức bậc có a = -v2 <  ymax đỉnh Parabol) Vậy độ cao cực đại bọ dừa đạt là: hmax = U UL yMax  L 2v Ví dụ 10: Một người đứng điểm A bờ hồ Người muốn đến B mặt hồ nhanh Cho khoảng cách hình vẽ, biết người chạy bờ vận tốc v1, bơi có vận tốc v (v2< v1) Hãy xác định phương án chuyển động người Hướng dẫn: Giả sử người chọn phương án chạy bờ đoạn AD, sau bơi từ D  B Thời gian người từ A  B: t = d2  x2 S x  v1 v2 v1 d2  x2  v2x S t=  v1v2 v1 2 Đặt P = v1 d  x  v2x (1); t P  S; v1v2 Tmin Pmin 11 download by : skknchat@gmail.com  Từ (1)  P + v2x = v1 d2  x2  (v12  v22)x2  2pv2 x  v12d2  p2  để có nghiệm (với  x < S) '  B  p v  v v d v d v p  v p 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d v (v d  v d  p )   p  (v  v )d v2d Vậy Pmin = d v  v Khi x  2 S A  v12  v22 H  D x + Nếu x  S tốn vơ nghiệm tức không tồn C  chọn phương án bơi thẳng A  B + Nếu x < S người phải đoạn AD = S - v2d v12  v22 bơi từ D đến B Ví dụ 11: Một người đứng độ cao h so với mặt đất ném đá theo phương hợp với phương ngang góc a Tìm a để tầm xa mặt đất lớn Hướng dẫn: + Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Gốc mặt đất + Chuyển động vật chia làm thành phần theo Ox: x = v0t cosa theo Oy: gt2 y = h0 + v0t sina * Khi chạm đất x = LMax (1) (2) L Max lúc t = v0 cos y h Thay t vào (2) ta được: gL 0 y = h0 + L.tga 2v0 cos2 a  V0 x  gL2  gL2 2  1 tg   tg   L.tg    h0   mà 2v0 cos   2v0  Phương trình phải có nghiệm với tga  4gL2  gL2 g2L2 2gh0  h0    1     = L2  2v20  2v20 v0 v0  12 download by : skknchat@gmail.com (*); L v0 v v0  2gh L Max  v20  2gh g g  Phương trình (*) có nghiệm kép v0 Vậy tanga = v20  2gh tầm xa cực đại R Ví dụ 12: Cho mạch điện hình vẽ A UAB = 200 sin 100nt (v)   L C B 104 R = 100W; C = (F) ; cuộn dây cảm thay đổi độ tự cảm  Hãy xác định L để hiệu điện UL đạt cực đại Tính giá trị cực đại Hướng dẫn: Cảm kháng Z = L ; dung kháng ZC = Tổng trở: Z = U L  I ZL   100 C R2  (ZL  ZC )2 U.ZL  Z U U  ; 1 y 2 (R  ZC )  2ZC 1 Z2 ZL U L (Max) ymin y tam thức bậc có a = R2 + Z2C > nên ymin đỉnh Parabol ZC R2  Z2C U R2  ZC2  2 L   (H) U  200 2(V) LMax  ZL R  ZC  ZC  R * Mở rộng Nếu L = const, tụ C có điện dung thay đổi Tìm C để U C đạt giá trị cực đại ta làm tương tự kết là: U R2  Z2L R2  Z2L UCMax = ZC  R ZL 2.2.4 Áp dụng giá trị cực đại Hàm số sin Hàm số cos Ví dụ 13: Từ độ cao h so với mặt đất Tại A, B cách khoảng l người ta ném đồng thời hai vật (vật A ném đứng lên với vận tốc v 1; vật B ném ngang với vận tốc v2 hướng phía A) Hãy tìm khoảng cách ngắn hai vật Hướng dẫn: 13 download by : skknchat@gmail.com Gọi vật vật A; vật vật B; vật mặt đất         a13  a12  a23  a23  Có a13  g; a23  g ; Do hai vật chuyển động thẳng so với + Chọn vật B làm mốc vật A chuyển động theo đường Ax (theo  hướng V12 )         Vì V13  V12  V23  V12  V13  V23  V1  (V2) d l l.v1   d sin sin v12  v22 sin Vậy dmin = l v1 2 v v dmin sinb = (điều kiện t = l 2 v v  2h ) g A V1 L, r Ví dụ 14: Cho mạch điện hình vẽ 0,9 (H) UMN = const ; L =  M V2 M a C thay đổi Ra = 0; Rv lớn C Tần số dòng điện f = 50 HZ; r = 90W Hãy chứng tỏ điều chỉnh C để hiệu điện vôn kế lệch pha góc  UC đạt giá trị cực đại Hướng dẫn: + Mạch điện vẽ lại hình bên  UL Vôn kế v1 UMA ; Vôn kế v2 UMN + Ta có: ZL = L = 90W;  U MN + Giản đề véc tơ tgj1 = + ZL   11  r j1 j U MN UC  sin sin(1  )  U C  U MN  Ur  U MN sin   mà   1  sin(1  )  a UC 14 download by : skknchat@gmail.com  I  UC = U MN 2.sin(1  ) Ta thấy UC cực đại sin (j1 + j) =  j1 + j = Theo (j1 + j) =    UC đạt cực đại 2.2.5 Dùng phương pháp đạo hàm Ví dụ 15: Cho mạch điện hình vẽ A  R L  C B UAB = 200 sin 100nt (v) R = 100W ; C = 104(F) Cuộn dây cảm có L thay đổi Tìm L để 2 UAM đạt giá trị cực đại Tính giá trị cực đại Hướng dẫn: + Dung kháng: ZC =  200 C + Tổng trở: Z= R2  (ZL  ZC )2 ; ZAM  R2  Z2L + I U ; U AM  I.ZAM  Z U 1 Z2C  2ZCZL R2  Z2L Z2C  2ZC ZL Đặt y = + R2  Z2L UAM cực đại y = ymin 2ZC (Z2L  ZCZL  R2) * y' = (R2  Z2L )2  ZC  Z2C  4R2  241()  ZL  2 + y' =  ZL  ZC ZL  R  0   2  Z  ZC  ZC  R  (lo¹i)  C Bảng biến thiên 15 download by : skknchat@gmail.com ZL Vậy  241 tức L = UAM ZL = 241W y' - y + 0,767(H) cực đại ymin UA (Max) M = U( 4R2  Z2C  ZC )  482(V) 2R Ví dụ 16: Vật phẳng AB vng góc với trục thấu kính hội tụ có tiêu cự f = 20cm Phía sau thấu kính đặt để hứng ảnh vật, cách thấu kính khoảng l = 60cm a) Xác định vị trí đặt vật để ta thu ảnh rõ nét b) Giữ vật cố định Chứng tỏ di chuyển thấu kính ta thu hai vị trí thấu kính cho ảnh rõ nét Tìm khoảng cách vị trí đó? c) Tìm khoảng cách ngắn vật ảnh di chuyển thấu kính từ vị trí đến vị trí cịn lại mà ta thu ảnh rõ nét Hướng dẫn: TK a) Sơ đồ tạo ảnh ABd d' A 'B' Theo d' = l = 60cm ;  d = d'f  30cm d' f b) Vì vật cố định tức d + d' = 90cm  d +  d2 - 90d + 1800 = df  90 d f  d1 = 30cm; d2 = 60cm Vậy có vị trí thấu kính cho ảnh rõ nét Khoảng cách vị trí là: d = d2 - d1 = 30cm c) Khi di chuyển thấu kính từ vị trí (d1= 30cm) sang vị trí (d2 = 60cm) d2 Khoảng cách vật - ảnh: L = d + d' = d 20 L ' d(d 40)  L ' 0khi d 40cm (d 20)2 d304060L'-0+Lmin 16 download by : skknchat@gmail.com Vậy khoảng cách ngắn cần tìm Lmin = 402  80(cm) 40 20 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Bằng thực tế giảng dạy thấy cách giải tập Vật lý "Tìm giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng Vật lý" nêu phát huy ưu điểm như: Củng cố cách làm tập Vật lý cho học sinh số giáo viên trường nâng cao lực chun mơn Đối chiếu với nhiệm vụ, mục đích đặt đề tài chúng tơi nhận thấy rằng: nhiệm vụ hồn thành mục đích đạt Tuy nhiên với kiến thức cá nhân cịn hạn chế, đề tài q rộng nên viết cịn có sai sót định Rất mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài trở thành tài liệu tham khảo cho GV nhân rộng, áp dụng cho việc giảng dạy phần, chương, môn khác trường THPT 3.2 Kiến nghị Việc dạy tốn Vật lý cực trị địi hỏi phải có thời gian dài đầy đủ sở vật chất để học sinh nghiên cứu Vì vậy, trường THPT cần tạo điều kiện mặt thời gian, không hạn chế theo khung chương trình để trình nghiên cứu học sinh tốt XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ CAM KẾT Tôi xin cam kết đề tài nghiên cứu viết năm học, khơng chép người khác, có sai sót tơi 17 download by : skknchat@gmail.com xin chịu hồn toàn trách nhiệm Tác giả Hà Việt Phương 18 download by : skknchat@gmail.com ... luận Bằng thực tế giảng dạy thấy cách giải tập Vật lý "Tìm giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng Vật lý" nêu phát huy ưu điểm như: Củng cố cách làm tập Vật lý cho học sinh số giáo viên trường nâng... hai vật (vật A ném đứng lên với vận tốc v 1; vật B ném ngang với vận tốc v2 hướng phía A) Hãy tìm khoảng cách ngắn hai vật Hướng dẫn: 13 download by : skknchat@gmail.com Gọi vật vật A; vật vật... hợp để giải tập điều kiện cụ thể * Nghiên cứu thực nghiệm - Nghiên cứu, khai thác tài liệu liên quan đến phương pháp dạy học - Nghiên cứu, thiết kế, xây dựng phương pháp giải toán cực trị - Chọn