Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Một số phơng pháp giải BàI TOáN CựC TRị TRONG ĐạI Số trờng thcs A - lời nói đầu C ác toán cực trị đại sè ë cÊp THCS cã mét ý nghÜa rÊt quan trọng em học sinh bậc học cấp (THPT), để giải toán cực trị đại số, tìm giá trị cực đại, cực tiểu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biẻu thức đại số, ngời ta thờng phải dùng đến công cụ cao cấp toán học: đạo hàm hàm số cấp THCS, (hay nói xác không đợc phép dùng ) công cụ cao cấp toán học nói trên, nên ngời ta phải cách giải thông minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức toán học cấp THCS để giải toán loại Các toán cực trị đại số cấp THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luỵên trí thông minh cho học sinh cấp học Để giải toán cực trị đại số cấp THCS, học sinh phải biến đổi đồng biểu thức đại số, phải biến đổi sử dụng nhiều dạng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp Bởi thế, nói, toán cực trị đại số cấp THCS tạo khả giúp học sinh có điều kiện để "rèn luyện kỹ biến đổi đồng " biểu thức đại số Các toán cực trị đại số cấp THCS có liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phơng trình hệ phơng trình, chừng mực đến giới GV: Vừ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tnh Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số hạn ẩn tàng nhiều lỉnh vực khác tập hợp, kiến thức hàm số đồ thị, v.v Về mặt t tởng toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế đời sèng x· héi, rÌn lun nÕp nghÜ khoa häc, lu«n mong muốn làm công việc đạt đợc hiệu cao nhất, tốt Tóm lại, toán cực trị đại số cấp THCS toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán, kỹ t cấp học này, cần thiết cho việc bồi dỡng học sinh giỏi toán ë cÊp THCS vµ cịng lµ tµi liƯu tù båi dỡng đội ngũ giáo viên cấp THCS Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đại số gọi toán cực trị Đại số Các em không thờng gặp toán dạng sách giáo khoa môn Toán, chúng toán khó Các toán cực trị thờng yêu cầu em vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt biến đổi, sắc sảo lập luận phát huy tối đa khả phán đoán Nó lại thờng có nhiều đờng đến đích b»ng c¸ch vËn dơng nhiỊu kiÕn thøc kh¸c Trong có cách giải ngắn gọn hợp lí Viêc giải toán cực trị giúp học sinh có thói quen tìm phơng án tối u giải công việc đời sống, kỷ thuật Trong phần trình bày giới thiệu môt số phơng pháp thờng dùng giải toán cực trị số bài tập áp dụng kiến thức Tôi hy vọng với phần trình bày giúp em bớt khó khăn, tiến tới tự giải đợc toán dạng chắn em thấy toán thú vị B - Néi dung nghiªn cøu GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số I- Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Định nghĩa giá trị lớn Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói M giá trị lớn cđa f(x) trªn D, kÝ hiƯu : M = maxf(x), hai điều kiện sau đợc thoà mÃn : - Víi mäi x thc D th× f(x) ≤ M, víi M số - Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = M Định nghĩa giá trị nhỏ Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói m giá trị nhỏ f(x) trªn D, kÝ hiƯu : m = minf(x), nÕu hai điều kiện sau đợc thoà mÃn : - Với mäi x thc D th× f(x) ≥ m, víi m số - Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = m Ta định nghĩa giá trị lớn biểu thức f(x,y, ); giá trị nhỏ biểu thức f(x,y, ) cách tơng tự II Các phơng pháp Phơng pháp - Phơng pháp giải toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức đại số cách đa dạng A(x) ( A(x) ) a) C¬ së lÝ luËn - Trong tập hợp số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không dơng số có giá trị lớn - Trong tập hợp số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không âm số có giá trị nhá nhÊt Tõ ®ã, cã thĨ suy r»ng tập hợp M ={A(x) A(x) } A(x) đạt giá trị nhỏ A(x) = 0, tËp hỵp N = {B(x) B(x) } B(x) đạt giá trị lớn B(x) = GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh Mét sè ph¬ng pháp giảI toán cực trị Đại số b) Các thí dụ Thí dụ Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc : A(x) = 2x - 8x + 1, x biến số lấy giá trị thực Giải : A(x) = 2x2 - 8x + = 2x2 - 2.4x + = 2( x2 - 2.2x + - ) + = ( x - )2 - Víi mäi gÝ trÞ cđa x, ( x-2)2 nªn ta cã A(x) = 2( x - 2)2 - -7 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -7, x = Đáp sè : A(x)(nhá nhÊt) = -7, víi x = Thí dụ Tìm giá trị lớn biÓu thøc M(x) = -5x - 4x + 1, x biến số lấy giá trị thực Giải: Ta có : M(x) = -5x2 - 4x + = -5( x2 + = -5( x2 + = -5( x + x ) +1 4 x+ )+1 25 25 2 ) + 5 Ta thấy ( x+ )2 0, với giá trị x nên -5(x + Từ suy M(x) = -5( x + 2 9 ) + 5 Vậy M(x) đạt giá trị lớn M(x) = Đáp số : M(x)(lớn ) = 2 ) , lóc ®ã x = 5 , x = 5 Phơng pháp - Phơng pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đa dạng ( A( x ) k2 A( x) ) k2 ThÝ dô GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh Mét số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Tìm giá trị nhỏ biểu thức đại sè sau: x 15 x 16 A(x) = , víi 3x x thc miỊn sè thùc d¬ng Gi¶i : Ta cã : A(x) = x 15 x 16 x x 16 23 x ( x 4) 23 x = = 3x 3x 3x V× x > 0, nªn ta cã : A(x) = ( x 4) 23 3x ( x 4) 23 23 Víi x > 0, th× ( x - ) ≥ 0, ®ã A(x) = 3x Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ A(x) = Đáp số : A(x) (nhỏ nhÊt ) = 23 , lóc ®ã x = 23 víi x = 3 x x 10 Thí dụ Tìm giá trị lớn biểu thức đại số M(x) = x 2x víi x R Gi¶i: Ta cã: 3x x 3( x x 3) 1 x x 10 3 3 M(x) = = 2 x 2x x 2x x 2x ( x 1) x 2x (v× x2 + 2x + = ( x + ) + > 0) MỈt khác, ( x + )2 0, x R nªn ( x+1 )2 + ≥ 2, x R, vµ 1 1 ®ã ( x 1) Tõ ®ã ta cã M(x) = + ( x 1) 3 2 Vậy M(x) đạt giá trị lín nhÊt M(x) = , lóc ®ã (x+1)2 = 0, hay x=-1 Đáp số : M(x)(lớn nhÊt )= , víi x=-1 ThÝ dơ GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn H Tnh Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số xy y ( y x) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc sau : F(x,y) = , víi x y 2y4 x2 x,y R xy y ( y x) xy y y x y 1 = 4 2 x y 2y x y ( x 2) x ( y 1)( x 2) x Gi¶i : Ta cã F(x) = ( v× y4+ ≠ 0, y R ) Mặt khác x2 0, x R nên x2 + ≥ 2, x R ®ã F(x,y) = 1 x 2 2 Vậy F(x,y) đạt giá trị lớn F(x,y) = Đáp số : F(x,y) ( lớn ) = , lóc ®ã x = ; víi x = 0, y R Ph¬ng pháp - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số cách áp dụng bất đẳng thức Côsi a) Cơ sở lí luận : Bất đẳng thức Côsi đợc viết dới dạng khác dới ( áp dụng với số không âm ) Dới dạng thức : 1) 2) a b a.b a b c a.b.c 3) Mét c¸ch tỉng qu¸t: a1 a a3 a n n a1 a a3 a n n Díi d¹ng l thõa : a b 1) a.b a b c 2) a.b.c n a a a a n a1 a a3 a n 3) n GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Bài toán tìm giá trị nhỏ Chứng minh hai đại lợng dơng x y có tích luôn không đổi tổng chúng đạt giá trị nhỏ giá trị chúng Giải Từ toán trên, ta phải chứng minh với x > 0, y > 0, xy = k2 (không đổi) x + y đạt giá trị nhỏ x = y ThËt vËy x y ¸p dơng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta có : xy hay ( x+y)2 4xy y x+y xy Theo giả thiết : Ta có xy = k2 (không đổi), nªn ta cã : x + y 2 k 2k (*) VËy tæng M = x + y lÊy giá trị nhỏ x + y = 2k Theo bất đẳng thức Côsi, x + y = 2k = xy vµ chØ x = y VËy x + y = 2k vµ chØ x = y Tãm l¹i : Víi x > 0, y > xy = k2 (không đổi ), x + y nhỏ x = y Bài toán tìm giá trị lớn Chứng minh rằng, hai đại lợng dơng có tổng không đổi tích chúng đạt giá trị lớn giá trị chúng GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hng Sn H Tnh Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Giải : (áp dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh tơng tự trên) Tóm lại x + y = k (không đổi ) xy lớn Víi x > 0, y > vµ chØ x = y Chóng ta sÏ sư dơng kÕt qu¶ hai toán để giải toán cực trị đại số Thí dụ Tìm giá tri nhỏ biểu thức đại số sau: A(x) = 8x , víi x > x Gi¶i : Ta cã : A(x) = 8x = 8x + x x Ta thÊy 8x hai đại lợng lấy giá trị dơng không đổi, nhng tích x chúng 8x = 16 luôn không thay đổi x Vậy A(x) = 8x + 2 đạt giá trị nhỏ vµ chØ 8x = hay x x 8x2 = Từ đây, ta tính đợc x2 = 1 , suy x = hc x = Kết hợp với 2 điều kiện x > 0, ta lấy giá trị x = 1 Víi x = ; A(x)( nhá nhÊt ) = + = + = 2 Đáp số : A(x)( nhá nhÊt ) = 8; víi x = Thí dụ 7: Tìm giá trị lớn biểu thức đại số B(x) =16x3- x6, với x thuộc tập hợp số thực dơng GV: Vừ Quang Nht – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc toán áp dụng bất đẳng thức Côsi Từ B(x) = 16x3 - x6 , ta cã : B(x) = x 3(16 -x3 ) Rõ ràng x3 > 0; 16 - x3 > 16 > x3 hay x < 16 (*) Đến ta nhận thấy x3 16 - x3 hai đại lợng biến đổi nhng tỉng cđa chóng x3+ (16-x3) = 16 lu«n lu«n kh«ng thay đổi, tích chúng B(x) = x3(16-x3) đạt giá trị lớn x = 16 - x3 Từ ta có : 2x3 = 16 hay x3 = Ta tính đợc x = Giá trị x = thoả mÃn điều kiện (*) Vậy B(x) đạt giá trị lớn giá trị x = B(x)( lớn ) = 16 23-26 =(16-23).23 = = 64 §¸p sè: B(x)( lín nhÊt ) = 64, víi x = Phơng pháp - Giải toán cực trị đại số phơng pháp đặt ẩn phụ Thí dụ Với giá trị x biÓu thøc P(x) = x 16 x 56 x 80 x 356 , đạt giá trị nhỏ x 2x Giải Đây toán khó giải học sinh Bởi toán ẩn tàng phép giải phơng trình, xét dấu hiệu áp dụng đợc bất đảng thức Côsi hay không, việc biến đổi đồng để rút gọn đợc biểu thức khó khăn 1)Trớc hết ta biến đổi biểu thức dạng để áp dụng đợc toán bất đẳng thức Côsi Bằng cách biến đổi đồng nhất, ta biến đổi tử thức thành tích nhân tử sau rút gọn Cách dài dòng gặp không khó khăn GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sn H Tnh Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Để đơn giản hơn, ta dùng phơng pháp chia đa thức cho đa thøc 4x4 + 16x3 + 56x2 + 80x + 356 x2+ 2x +5 4x4 + 8x3 + 20x2 4x2 + 8x + 20 + 8x3 + 36x2 + 80x +356 8x3 + 16x2 + 40x + 20x 20x22 ++ 40x 40x ++ 100 356 + + 256 Kết ta đợc : P(x) = 4x2 + 8x + 20 + 256 x 2x V× x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x+1) + > (*), nên P(x) luôn xác đinh với giá trị x 2) Đặt ẩn phụ để đa xét biểu thúc có dạng đơn giản Từ P(x) = 4x2 + 8x + 20 + 256 , ta cã : P(x) = ( x + 2x + x 2x 256 x 2x 5)+ Đặt y = x2 + 2x + 5, ta cã : 256 P(x) = 4y + y , vµ y = x2 + 2x + > với x 256 đại lợng lấy giá trị dơng có tích 1024 y 4y ( không đổi ) Vậy tổng 4y + 4y = 256 đạt giá trị nhỏ nhÊt vµ chØ y 256 y Tõ ta đợc y2 = 64 Giải phơng trình y2 = 64, ta đợc y = y = -8 Từ , y > nên ta lấy giá trị y = Với y = x2 + 2x + = 8, giải phơng trình bậc hai ta đợc x = -3 , x = GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh 10 Mét sè ph¬ng pháp giảI toán cực trị Đại số Vì ( Z + )2 vµ ( y - ) với giá trị x, y nên F(x,y) đạt giá trị nhỏ ( Z + )2 = vµ ( y - ) = Tõ ®ã suy Z = -7, y = hay x y x 8 y y Đáp số : F(x,y) nhá nhÊt = 1, víi x = 8, y = Phơng pháp 6- Phơng pháp giải toán cực trị đại số có hệ ràng buộc ( thoả mÃn hệ điều kiện ) Thí dụ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x,y) = 6x + 4y tho¶ xy 216 mản điều kiện : x y Giải: Vấn đề quan trọng then chốt ta phải tìm từ biểu thức đà cho P(x,y) = 6x + 4y ta làm xuất đợc yếu tố ràng buộc đà cho Từ P(x, y) = 6x + 4y, víi x > 0, y > nên 6x > 0, 4y > ®ã P( x, y) (6 x y) 4.(6 x).(4 y) ( áp dụng bất đẳng thức Côsi ) Từ P( x, y ) 4.6.4.xy 96.xy Đến ta làm xuất tích xy Theo giả thiết ( ràng buộc ), ta có xy = 216, suy P(x,y) đạt giá trị nhỏ là: P(x,y) = 96.216 = 144 Đáp số : P(x,y) nhá nhÊt = 144 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh 13 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Thí dụ 13 Tìm giá trị x, y, z ®Ĩ biĨu thøc sau : F(x,y,z) = 2x + 3y - 4z đạt giá trị nhỏ Biết x, y, z thoả mÃn hệ ràng buộc x y 3z 6 x y z 4 sau ®©y : x 0 y 0 z 0 x y z 6 , tríc hÕt ta tÝnh x, y theo z, ta đợc x y 3z Giải: Từ điều kiện x z (*) y 3 z 2(**) Để x - 3z 0, suy z Để y 3z - 0, suy z 3 Để x y 0, phải có điều kiện : z (***) Thay giá trị x,y từ (*) (**) vào biểu thức đà cho ta ®ỵc F(x,y,z) = 2(4 -3z) + 3(3z - 2) - 4z = - z Nh vËy F(x,y,z) chØ cßn phụ thuộc vào giá trị z F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ z đạt giá trị lớn nhÊt Nhng tõ rµng bc, z chØ cã thĨ lÊy giá trị khoảng xác định z mà Từ suy : F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ với hệ ràng buộc đà cho z = Từ ta tính đợc x = - 3z = - Vµ F(x,y,z) nhá nhÊt =2- 4 = 0; y = 3z - = -2=2 3 = 3 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn H Tnh 14 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Đáp số : F(x,y,z) nhá nhÊt = ; víi x = 0, y = 2, z = 3 ThÝ dô 14 Cho biểu thức đại số sau : P = x 1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 ; với x1, x2, x3, x4, x5 đại lợng lấy giá trị không âm HÃy tìm giá trị lớn nhÊt cña P, biÕt r»ng : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = Gi¶i: Tõ P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 , vµ v× x1x4 + x2x5 0, ta cã : P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 x1x2 + x2x3 + ( x1x4 + x2x5 ) + x3x4 + x4x5 Biến tổng thành tích ta đợc : P x2 (x1 + x3 + x5 ) + x4(x1 + x3 + x5) hay P (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 ) Đến ta nhận thấy : Do giả thiết xi ( i = 1,2,,5) nên tổng (x1 + x3 + x5) tổng (x2 + x4) đại lợng không âm Đặt U = x1 + x3 + x5 ; V = x2 + x4 Ta cã : U 0, V vµ U + V = U V U V U V hay áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : U V x1 x x3 x x5 x1 x3 x5 x x (1) Ta l¹i cã : (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 ) = x1x2 + x2x3 + x1x4 + x2x5 + x3x4 + x4 x5 Suy (x1 + x3 + x5 )(x2 + x4) x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 (2) x x x x x Tõ (1) vµ (2) suy : x x x x x x x x Theo gi¶ thiÕt, ta cã x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1, nªn ta cã x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – H Tnh 15 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 đạt giá trị lớn vµ chØ x x x x x x x x x1 x x x x x1 x x x x Tõ trªn ta suy x1 = x2 = x5 = 0, x3 = x4 = Đáp số : P ( lín nhÊt ) = 1 , víi x1 = x2 = x5 = vµ x3 = x4 = Phơng pháp - Giải toán cực trị đại số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski 1.Bất đẳng thức Bunhiacốpski a) ViÕt díi d¹ng l thõa : ( ax + by )2 ( a2 + b2 ) ( x2 + y2 ) DÊu b»ng xÈy x y a b ( ax + by + cz )2 ( a2 + b2 + c2 ) ( x2 + y2 + z2 ) DÊu b»ng xÈy x y z a b c Tỉng qu¸t ta cã : ( a1b1 + a2b2 +…+ anbn )2 ( a12 + a22 +…+ an2 )( b12 + b22 + …+ bn2 ) DÊu b»ng xÈy a a1 a n b1 b2 bn b) ViÕt díi dạng thức: ax + by ( a b2 ) ( x y2 ) DÊu b»ng xÈy ax + by + cz x y a b ( a b2 c2 ) ( x y2 z2 ) DÊu b»ng xÈy x y z a b c GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tnh 16 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số * Tổng quát ta có : a1b1 + a2b2 +…+ anbn DÊu b»ng xÈy ( a a 2 a n n )( b b 2 b n n ) a a1 a n b1 b2 bn 2.Các thí dụ Thí dụ15 Tìm giá trị x, y, z để cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : P = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ nhÊt ®ã BiÕt r»ng x + y + z = 1995 Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho bé sè 1, 1, vµ x, y, z ta cã : ( x.1 + y.1 + z.1 )2 ( 12 + 12 + 12 )( x2 + y2 + z2 ) hay ( x + y + z )2 ( x2 + y2 + z2 ) Tõ ®ã ta cã : P = x2 + y2 + z2 x y z Theo gi¶ thiÕt : x + y + z = 1995, nªn ta cã P = x + y2 + z2 1995 víi x, y, z R 1995 P đạt giá trị nhỏ dấu đẳng thức xẩy ra, tức P = chØ x y z ( hay x = y = z ) 1 x y z 1995 ta tính đợc x = y = z = = 665 x y z 1995 Từ 1995 Đáp sè : P ( nhá nhÊt ) = , víi x = y = z = 665 ThÝ dô 16 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hng Sn H Tnh 17 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Cho biểu thøc Q(x,y,z) = x y z , x, y, z đại lợng thoả mÃn điều kiện x2 + y2 + z2 = 169 Tìm giá trị x, y, z để cho Q(x,y,z) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho số 2, 4, x, y, z 2 2 ta cã : 2 x y z x y z , 2 hay Q2(x,y,z) = ( 2x + 4y + 2 z )2 x 2 y2 z2 Theo gi¶ thiÕt ta cã : x2 + y2 + z2 = 169, víi x, y, z R , ®ã ta cã : x y z Q2(x,y,z) 25.169 lúc (*) Tõ (*) ta cã z = 4x 5x ,y= = 2x thay vào phơng trình x2 + y2 + z2 2 = 169, ta cã : x2 + ( 2x )2 + ( x2 + 4x2 + 5x ) = 169 5x = 169 25x2 = 4.169 x2 = x= 26 * Víi x = 26 52 13 , y= , z= 5 * Víi x = Q(x,y,z) 4.169 25 26 52 13 , y=, z= 5 ( lín nhÊt ) = 25.169 = 5.13 = 65 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh 18 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Đáp số : Q(x,y,z) ( lớn ) = 65 øng víi c¸c bé sè ( x = 26 52 ;y= ;z= 5 13 ) Phơng pháp - Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị Thí dụ17 : Tìm giá trị lín nhÊt cđa A = x2 ( - x ), víi x x x 2 Gi¶i : a) XÐt x Ta cã : A = ( - x ) áp dụng bất đằng thức Côsi cho số không âm x x , , - x ta ®ỵc 2 x x x x x 2 1 ( - x ) 2 Do ®ã A 4.1 = (1) b)XÐt x > 3, ®ã A < (2) x x So sánh (1) (2) ta ®Õn kÕt luËn : MaxA = x= x Thí dụ18 : Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa B = x x Gi¶i : a) XÐt -1 x th× B (1) b) XÐt < x th× B = x x (1 x ) 1 x 2 x 1 x 2 Do ®ã Max B = x= 2 x Phơng pháp : Phơng pháp áp dụng điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai Chúng ta biết điều kiện cần đủ để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) cã nghiƯm lµ = b2 - 4ac hc , = b,2 ac ( với b = 2b,); điều kiện đợc sử dụng để giải nhiều dạng GV: Vừ Quang Nht – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh 19 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số toán tìm giá trị lớn (GTLN) tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức Sau số ví dụ minh họa Thí dụ 19 Tìm GTLN GTNN biểu thức Q = Gi¶i: x 2x x2 x 1 Do x2 - x + > với x nên Q xác định với x Giả sử tồn x để Q đạt GTLN GTNN, phơng trình Q.( x2 - x + 1) = x2 - 2x + (Q - 1) x2 + (2 - Q) x + Q - = (*) phải có nghiệm đối víi Èn x NÕu Q = th× (*) x = Nếu Q (*) phơng trình bậc hai ẩn x, có nghiÖm x (2 - Q)2 - 4(Q - 1)(Q - 2) (Q - 2)(-3Q + 2) V× Q < < suy : Q đạt GTLN x = ( thay vào (*) ); Q đạt GTNN x = NhËn xÐt : VÝ dơ cã thĨ më réng cho biĨu thøc tỉng quát có dạng Q(x) = a1 x b1 x c1 víi b22 - 4a2c2 < a x b2 x c x 2y Thí dụ 20 : Tìm GTLN GTNN cđa biĨu thøc Q = x y Giải: Ta có Q xác định víi mäi x, y x 2y 1 Ta t×m Q để tồn x, y thỏa mÃn Q = x y hay Q.x2 - x + Q.y2 + 7Q - 2y - = (*) Với Q = (*) trở thành x + 2y + = hiĨn nhiªn tån x y, chẳng hạn x = 0, GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn H Tnh 20 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số y =- Với Q tồn x, y tháa m·n (*) tån t¹i y tháa m·n : 4Q2y2 - 8Qy + 28Q2 - 4Q -1 , y , y 28Q2 - 4Q - Q 14 4Q Víi x = 1, y = th× Q = Với x = 1 nên Q đạt GTLN 2 14 5 ,y= Q = - nên Q đạt GTNN - 15 14 14 Phơng pháp 10 : Tìm giá trị nhỏ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Cơ sở lý luận : Khi tìm giá trị nhỏ (GTNN) hay giá trị lín nhÊt (GTLN) cđa biĨu thøc cã chøa dÊu gi¸ trị tuyệt đối, thờng xét trờng hợp để khử dấu giá trị tuyệt đối để vẽ đồ thị sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối nh : a b a b a b , sau ®ã xÐt khả trở thành đẳng thức Vấn đề đề cập đến phơng pháp tìm GTNN, GTLN hiệu cho lớp toán Giả sử tồn m GTNN hàm số f(x) miền D ®ã f(x) m víi mäi x D Với môt số D m đat giá trị x thoả mÃn điều kiện f(x) f( ) Từ xác định đợc x K, K D đợc gọi phạm vi tìm kiếm Để tìm giá trị m hàm số f(x) miền D, ta cần tìm giá trị m miền K(tơng tự GTLN) Nếu chọn đợc số khác mà f( ) < f( ) ta xác định đợc phạm vi tìm kiếm hẹp GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sn H Tnh 21 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Phơng pháp cần có kĩ giải bất phơng trình để tìm đợc K Công việc đợc ví giống nh ta tìm chìa khoá bị đánh rơi, ta chắn bị rơi nhà không lẽ ta lại tìm đờng? b) Một số thí dụ: Thí dụ 21 Tìm GTNN hàm số : y = f(x) = x + x Giải: Hàm số y = f(x) có tập xác định R Cách Vì f( ) = 3 nên ta cần tìm x tho¶ m·n f(x) , suy : 2 3 x 1 ; 2x 2 1 Giải hệ phơng trình trên, ta nhận đợc phạm vi tìm kiếm K = ; 2 ChØ cÇn xÐt x K, ta cã x + > 0; - 2x suy f(x) = - x Đẳng thức xảy x= , suy f(x) = x x x x K VËy GTNN f(x) Cách Ta có x x Mặt khác, f( ) = x 1 1 x = 2 3 nên GTNN f(x) 2 Bình lụân : Mặc dù cách đơn giản cách nhng không phát huy đợc cho toán dới Thí dụ 22 Tìm GTNN hàm số sau : a) y = f(x) = x ; x GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh 22 Mét sè phơng pháp giảI toán cực trị Đại số b) y = g(x) = x ; x c) y = h(x) = x x ; x Gi¶i 1, Lêi giải cho câu a) câu b) Vì f(1) = = g(1) nên ta cần tìm x tho¶ m·n : x 2; x 3 2 x x 1 x 1 x 3 ; Do f(-1) > vµ g(-1) > nên ta cần xét x thuộc miền K = 1;3 , ta cã f(x) = (x - 1) + 2 = x + - 2 - x x Đẳng thức xẩy x = K VËy GTNN cđa f(x) lµ 2 - g(x) = 3(x - 1) + 1 = 2 x + x - 2.2 + - = x x Đẳng thức xẩy x = K Vậy GTNN g(x) 2) câu c) Vì h(-1) = nên ta cần tìm x tháa m·n h(x) suy x 2; x 2, x Gi¶i hệ hai bất phơng trình ta thu đợc miền K = 2; 1 Víi x K ta cã h(x) = -2(x + 1) + 1 x = - x - x - - (-1) -1 = x x Đẳng thức xẩy x = -1 K VËy GTNN cđa h(x) lµ III Bài tập áp dụng GV: Vừ Quang Nht – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh 23 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Cho biểu thức M(x) = x2 - 10x + 40 Với giá trị x M(x) đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Cho biểu thức Q(x) = Với giá trị x 4x 4x Q(x) đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn x2 x 1 , víi x -1 x 2x Cho biểu thức A(x) = Tìm giá trị nhỏ A(x) giá trị tơng ứng cña x x x 14 Cho biÓu thøc F(x) = x x 12 Tìm giá trị x để F(x) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc A(x) víi A(x) = T×m giá trị nhỏ y, biết y = x2 1 x4 x 2 x 8 x , với x > Tìm giá trị x để biểu thức sau đạt giá trÞ lín nhÊt : A(x) = x x 1995 , với x > Tìm giá trị cuả x để hàm số y = ( x x 3) x x x 2x đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc 1 P(x, y) = x y BiÕt r»ng x > 0, y > vµ x + y = 100 10 Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc M (x, y, z) = xyz GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn H Tnh 24 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Với hệ ràng buộc sau : xy yz zx 300 x 0 y 0 z 11 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B (x,y) = x2 + 26 y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 12 Cho hệ phơng trình : x z 51 z y 21 x 0 y z Tìm giá trị x, y, z ®Ĩ biĨu thøc A( x, y, z) = x + y+z đạt giá trị lớn 13 Cho biÓu thøc F(x,y,z,t) = 2x + y + z + t HÃy tìm giá trị lớn F(x, y, z, t) biÕt r»ng: x y 50 x z 60 y t 15 x, y, z, t số không âm 14 Tìm giá trị nhỏ hµm sè sau : F (x) = x ( x +1 )( x + )( x + ) 15 Tìm giá trị đại lợng x, y để cho biểu thức đạt giá trị nhỏ : Q(x,y) = x3 + y3 +xy BiÕt r»ng : x + y = 16 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc P( x, y, z) = 1 x 1 y 1 z x y z GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sn H Tnh 25 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số x y z 1 x 0 BiÕt r»ng x, y, z tho· m·n ®iỊu kiƯn sau : y z 17 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A(x)= x 1995 x , với x > 18 Tìm giá trị x, y, z để cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : F ( x, y, z ) = x4 + y4 + z4 BiÕt r»ng x, y, z thoà mÃn phơng trình sau : xy + yz + zx = 19 cho biÓu thøc M = x2 + y2 + 2z2 + t2, víi x, y, z, t số nguyên âm HÃy tìm giá trị nhỏ M giá trị tơng ứng x, y, z, t x y t 21 BiÕt r»ng : x y z 101 20 Cho hµm sè : y= x 1 + 2x + 21 3x Tìm khoảng xác định hàm số y Tính giá trị lớn hàm số khoảng xác định giá trị tơng ứng x 21 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau : a) y = x x x ; b) y = x x2 ; 3x 22 Cho phơng trình bậc hai Èn sè x vµ y : x2 + 3y2 + 2xy - 10x - 14y + 18 = GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sn H Tnh 26 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số HÃy tìm nghiệm số phơng trình để cho biểu thức A = x + y a) Đạt giá trị lớn ? b) Đạt giá trị nhỏ ? c- Kết luận chung Trong phần trình bày đà cố gắng su tầm, phân dạng toán cực trị Đại số theo kiến thức thờng dùng giải Tuy nhiên toán cực trị thờng có nhiều cách giải có nhiều cách giải ngắn gọn hợp lí có phơng án độc đáo sáng tạo Tôi đà áp dụng đề tài thời gian tơng đối dài để bồi dỡng học sinh khá, giỏi thấy lúc đầu học sinh mơ hồ toán dạng nhng sau học học sinh đà tích cực học đạt hiệu tơng đối cao trình bày cách giải cho toán; chắn nhiều phơng pháp, cách giải toán hay khó cha su tầm, tìm tòi đợc Tôi hy vọng sau đọc bạn đọc có ý kiến góp ý, bổ sung để phần trình bày hoàn chỉnh hơn, để có ích trình dạy học trình bồi dỡng học sinh giỏi Xin trân trọng cảm ơn! GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh 27 ... viên cấp THCS Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đại số gọi toán cực trị Đại số Các em không thờng gặp toán dạng sách giáo khoa môn Toán, chúng toán khó Các toán cực trị thờng yêu cầu... Hà Tĩnh Mét số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Bài toán tìm giá trị nhỏ Chứng minh hai đại lợng dơng x y có tích luôn không đổi tổng chúng đạt giá trị nhỏ giá trị chúng Giải Từ toán trên,.. .Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số hạn ẩn tàng nhiều lỉnh vực khác tập hợp, kiến thức hàm số đồ thị, v.v Về mặt t tởng toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần