Chúng được sử dụng theo những mục đích khác nhau như: là phương tiện nghiên cứu tài liệu mới; phương tiện rèn luyện cho học sinh HS khả năng vận dụng kiến thức, liên hệ lí thuyết với thự
Trang 1MỞ ĐẦU
1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài
Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những
quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những định luật vận động của vật chất.
Các kiến thức Vật lí được áp dụng nhiều trong khoa học công nghệ và đời sống Trong đó vật lí đại cương là kiến thức cơ bản và phổ thông nhất Nó bao gồm nhiều phần khác nhau: Cơ, nhiệt, điện, quang, vật lí hạt nhân,…
Bài tập vật lí được hiểu là một vấn đề đặt ra đòi hỏi phải giải quyết nhờ
những suy lí lôgic, những phép toán và thí nghiệm dựa trên cơ sở các định luật
và các phương pháp Vật lí Trong chương trình Vật lí trung học phổ thông (THPT), bài tập vật lí có tầm quan trọng đặc biệt Chúng được sử dụng theo những mục đích khác nhau như: là phương tiện nghiên cứu tài liệu mới; phương tiện rèn luyện cho học sinh (HS) khả năng vận dụng kiến thức, liên hệ lí thuyết với thực tế, học tập với đời sống; phương tiện ôn tập, củng cố kiến thức đã học một cách sinh động và có hiệu quả;… Quá trình giải một bài toán vật lí thực chất
là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lí được đề cập và dựa trên kiến thức vật lí, toán để nghĩ tới những mối liên hệ có thể có của cái đã cho và cái phải tìm, sao cho có thể thấy được cái phải tìm có liên hệ trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho Từ đó đi tới việc chỉ rõ mối liên hệ tường minh trực tiếp của cái phải tìm với cái đã biết
Bài tập trong chương trình Vật lí THPT rất đa dạng và phong phú trong đó các dạng bài tập về cực trị cũng khá phổ biến Các dạng bài tập này thường tập trung nhiều vào phần Cơ học và Điện học Mỗi dạng bài toán đều có cách giải nhất định Song, để chọn cách giải phù hợp là điều còn khó khăn đối với nhiều học sinh và một số giáo viên trẻ Trên thực tế cũng chưa có nhiều tài liệu viết về vấn đề này có tính hệ thống và đầy đủ
Trang 2Qua quá trình tìm hiểu, chúng tôi chỉ thấy một số tài liệu có đề cập tới bài
toán cực trị trong Vật lí Tác giả Phùng Thị Tuyết, [10] với khóa luận về “Bài
toán cực trị trong dòng điện xoay chiều ” Hay công trình: “Ứng dụng của đạo
hàm, tích phân các bài toán vật lí” của tác giả Nguyễn Thị Kim Thoa,[11] thì chỉ tập trung vào phương pháp tích phân đạo hàm để giải các bài toán định
lượng Ngoài ra trong “Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lí sơ cấp” của
Nguyễn Thọ Hoài, [6] cũng chỉ mới đưa ra được những ví dụ cơ bản áp dụng một số công cụ để giải bài tập Trong các công trình nêu trên các tác giả cũng chỉ tập trung nhiều về các bài cực trị trong dòng điện xoay chiều mà chưa đề cập nhiều tới các bài toán cực trị trong những lĩnh vực vật lí khác
2 Tính cấp thiết của đề tài
Vật lý là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, công thức vật lý được xây dựng trên biểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm Để xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải thích các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ cấp hàm siêu việt, phép tính đạo hàm tích phân,… Tuy nhiên, việc sử dụng toán học có ý nghĩa và hiệu quả vào giải bài toán vật lí nhất là các bài toán cực trị vẫn
là vấn đề khó đối với nhiều học sinh phổ thông và giáo viên mới ra trường Hiện nay, để bồi dưỡng được khả năng vận dụng toán học vào giải bài toán Vật lí thì giáo viên và HS có thể tham khảo những tài liệu về các dạng bài tập vật lí theo từng cấp học do nhiều nhà xuất bản đã ấn hành Các tài liệu này rất phong phú và đa dạng có thể thấy cùng một vấn đề có nhiều tác giả viết nhưng tài liệu chuyên viết về vấn đề cực trị trong Vật lí THPT một cách hệ thống còn khá khiêm tốn
Thêm vào đó, trong các bài thi kiểm tra đánh giá học sinh hiện nay, những bài tập mang tính phân loại học sinh cũng có khá nhiều bài tập liên quan tới cực trị Nhưng trên thực tế là không phải học sinh nào cũng có thể giải các bài tập loại này một cách thành thạo Nhất là với hình thức thi trắc nghiệm học sinh
Trang 3không có nhiều thời gian để giải, do vậy việc cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài toán cực trị cũng cách thức giải chung những dạng bài này kèm theo đó là những ví dụ minh họa là điều cần thiết giúp cho HS có thể rèn luyện thêm về kĩ năng giải toán Vật lí
Xuất phát từ thực tiễn nêu trên, và với mong muốn cung cấp cho HS cũng như sinh viên sư phạm cách nhận diện và đưa ra cách giải bài toán cực trị trong
Vật lí một cách nhanh chóng và hiệu quả chúng tôi lựa chọn đề tài “Phân loại
và phương pháp giải bài toán cực trị trong chương trình Vật lí THPT"
3 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
3.1 Mục tiêu của đề tài
Phân loại và đưa ra phương pháp giải các bài toán cực trị trong chương trình Vật lí THPT
3.2 Nhiệm vụ của đề tài
- Tìm hiểu các kiến thức toán học bổ trợ cho việc giải các bài toán cực trị;
- Hệ thống hóa các kiến thức vật lí có liên quan tới bài toán cực trị;
- Phân loại các dạng bài toán cực trị theo các lĩnh vực Vật lí;
- Đưa ra phương pháp giải chung cho các dạng bài cực trị;
- Giải một số ví dụ mẫu và cung cấp một số bài tập tương tự trong từng dạng
4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4.1 Đối tượng nghiên cứu: Các dạng bài tập Vật lí THPT và phương pháp
giải tương ứng
4.2 Phạm vi nghiên cứu: Các bài tập cực trị trong Vật lí THPT
5 Nội dung nghiên cứu
- Nội dung 1: Tìm hiểu những kiến thức toán học về cực trị và kiến thức
Vật lí THPT có liên quan tới bài toán cực trị
Trang 4- Nội dung 2: Phân loại các dạng bài tập cực trị theo các lĩnh vực Vật lí rồi
đưa ra phương pháp giải chung
- Nội dung 3: Giải cụ thể một số ví dụ mẫu theo từng dạng
Dựa trên những nội dung nghiên cứu, đề tài dự kiến có cấu trúc như sau: CHƯƠNG 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ HỌC CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT
1.1 Bài toán cực trị
1.2 Một số kiến thức về tìm cực trị trong toán học
1.3 Một số kiến thức Vật lí THPT có liên quan khi giải bài tập cực trị
CHƯƠNG 2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG ỨNG
2.1 Dạng bài toán cực trị trong Cơ học
2.2 Dạng bài toán cực trị trong điện học
2.3 Dạng bài tập cực trị trong quang hình học
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
6 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nhóm nghiên cứu sưu tầm những tài
liệu liên quan đến đề tài: đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống những kiến thức của tài liệu thành kiến thức toán học về cực trị và kiến thức Vật lí THPT có liên quan tới bài toán cực trị sử dụng trong đề tài
- Phương pháp chuyên gia: Nhóm nghiên cứu tham khảo ý kiến của giáo
viên hướng dẫn, các thầy cô bộ môn Lí và giáo viên THPT về tính phù hợp của việc đưa ra các dạng toán và phương pháp giải
Trang 5CHƯƠNG 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ HỌC CỦA BÀI TOÁN
CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT
1.1 Bài toán cực trị
Trong toán học, bài toán cực trị là một dạng toán thường gặp Ở đó đề bài thường yêu cầu xác định cực đại hoặc cực tiểu của một biểu thức hay một hàm
số nào đó cho trước
Trong Vật lí học, bài toán cực trị cũng được sử dụng khá phổ biến như: tìm cực đại trong chuyển động ném xiên hay tìm hiệu điện thế cực đại trong bài toán dòng điện xoay chiều, …
Để giải các bài toán cực trị trong vật lí học nói chung người ta thường sử dụng các kiến thức có sẵn có trong toán học như: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacopxki, các định lí về hàm số lượng giác trong tam giác,…
1.2 Một số kiến thức về tìm cực trị trong toán học
1.2.1 Tìm cực trị dựa vào tính chất của phân thức đại số
Xét một phân số P có dạng: , với A là hằng số dương, (phụ thuộc vào một biến số nào đó) Khi đó:
- Phân số P đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số B là nhỏ nhất
- Phân số P đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu số B là lớn nhất
Tính chất của phân thức đại số có nhiều ứng dụng trong giải bài toán công suất trong dòng điện xoay chiều
1.2.2 Tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức cho ta biết: trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau
+ Áp dụng cho 2 số dương a, b ta có:
Trang 6
Dấu “=” xảy ra khi a = b
+ Áp dụng cho n số hạng :
; Dấu “=” xảy ra khi :
Bất đẳng thức Côsi có nhiều vận dụng trong việc giải các bài toán vật lí, nhất là các bài toán về cơ học và điện xoay chiều
1.2.3 Tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho 2 cặp số ( a1 , b1) và (a2 , b2), giữa hai cặp số có mối liên hệ như sau :
Dấu “=” xảy ra khi :
Mở rộng: cho n cặp số ( a1 , b1), ( a2 , b2),…, ( an , bn) ta có :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1.1.4 Tìm cực trị bằng công thức tam thức bậc hai
Giả sử có tam thức bậc hai sau :
( a ) Tam thức bậc hai có đồ thị là một parabol với đặc điểm :
+ Nếu a > 0 thì tại , bề lõm quay lên trên + Nếu a < 0 thì tại , bề lõm quay xuống dưới
+ Tọa độ đỉnh A( , )
Các công thức về tam thức bậc hai thường được áp dụng trong giải các bài tập về chuyển động cơ học và bài tập điện xoay chiều
1.2.5 Tìm cực trị của các hàm số lượng giác
a) Định lí hàm số sin và cos trong tam giác
Trang 7Cho tam giác ABC với các góc ở đỉnh là , , và các cạnh ứng với các góc là a, b, c Ta có :
Suy ra: b a .sin B
sin A
= : nếu a, sinA là những hằng số thì b đạt giá trị cực đại khi sinB =1 hay ˆB 90 = o
b) Cực trị của hàm số lượng giác :
Hàm số: y = sinx thì khi x = + k với k Z
khi x = k Hàm số: y = cosx thì khi x = k
khi x = + k
1.2.6 Tìm cực trị bằng phương pháp đạo hàm
Xét hàm số y = f(x), hàm số y = f(x) có cực trị khi f’(x) = 0 :
+ Hàm số có cực đại tại x = x0 khi và chỉ khi : f"(x0) < 0 ;
+ Hàm số có cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ khi : f"(x0) > 0
1.3 Một số kiến thức Vật lí THPT có liên quan khi giải bài tập cực trị
Trong chương trình Vật lí THPT các bài tập cực trị thường tập trung ở phần Cơ học, Dao động cơ học, Quang hình học, Điện và từ (nhất là phần Điện xoay chiều)
1.3.1 Kiến thức phần Cơ học
Trong phần Cơ học, khi giải các bài toán cực trị thường phải sử dụng các kiến thức về các định luật Niu - tơn, định luật bảo toàn cơ năng, định luật bảo toàn động lượng, định lí động năng, …
a Ba định luật Niu - tơn
Trang 8- Định luật 1 Niu - tơn: Một vật sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều
nếu không chịu một lực nào tác dụng hoặc nếu các lực tác dụng vào nó cân bằng nhau
- Định luật 2 Niu - tơn:
+ Nội dung: Gia tốc của một vật tỉ lệ thuận với lực tác dụng vào vật và tỉ
lệ nghịch với khối lượng của vật
- Định luật 3 Niu - tơn:
+ Nội dung: Hai vật tương tác nhau với những lực bằng nhau về độ lớn,
cùng giá nhưng ngược chiều
b Định luật bảo toàn cơ năng
+ Nội dung: Cơ năng của một vật chỉ chịu tác dụng của những lực thế
luôn được bảo toàn
Trong đó WA, WB là cơ năng của vật ở vị trí A, B bất kì
- Trường hợp vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực, định luật bảo toàn cơ năng được viết dưới dạng :
(1.4) Trong đó m là khối lượng của vật, v1 và v2 là vận tốc của vật tại A và B, z1 và z2
là độ cao của vật so với mốc thế năng
+ Trường hợp vật chỉ chịu tác dụng của lực đàn hồi:
(1.5) Trong đó m là khối lượng của vật, v1 và v2 là vận tốc của vật tại A và B, k là độ cứng của lò xo, x1 và x2 là li độ của vật tại vị trí A và B
c Định lí động năng
+ Nội dung định lí: Độ biến thiên động năng của một vật bằng công của
ngoại lực tác dụng lên vật
Trang 9+ Biểu thức: Wđ = - = A (1.6)
Trong đó A là công của ngoại lực tác dụng lên vật
d Định luật bảo toàn động lượng
+ Nội dung định luật: Vectơ tổng động lượng của hệ kín được bảo toàn
Trong đó là tổng động lượng của hệ
1.3.2 Kiến thức phần Điện học
a Định luật bảo toàn điện tích
+ Nội dung: Ở một hệ vật cô lập về điện (nghĩa là hệ không trao đổi điện
tích với các hệ khác) thì tổng đại số các điện tích trong hệ là một hằng số
b Định luật Cu-lông
+ Nội dung : Độ lớn của lực tương tác giữa hai điện tích điểm tỉ lệ thuận
với tích các độ lớn của hai điện tích đó và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng Phương của lực tương tác giữa hai điện tích điểm là đường thẳng nối hai điện tích điểm đó Hai điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, hai điện tích trái dấu thì hút nhau
Trong đó ), r là khoảng cách giữa hai điện tích điểm, ε là hằng số điện môi; |q1|, |q2| là độ lớn hai điện tích điểm (C)
c Tương tác của nhiều điện tích
Nếu điện tích q cùng lúc tương tác với các điện tích điểm q1, q2, q3, thì lực tổng hợp tác dụng lên là:
Trong đó 1, 2 , 3 , là lực tương tác của của các điện tích điểm q1, q2, q3, lên điện tích q được xác định theo công thức định luật Cu-lông
d Điện trường
Trang 10+ Khái niệm: Điện trường là một dạng vật chất bao quanh điện tích trong
không gian
- Vectơ cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng vectơ có trị
số bằng lực tác dụng của điện trường lên một đơn vị điện tích đặt tại điểm đó
- Nếu hạt mang điện được đặt trong điện trường có cường độ điện trường E thì hạt mang điện chịu tác dụng của lực : = q (1.11)
• Nếu q > 0 thì cùng chiều với
• Nếu q < 0 thì ngược chiều với
e Dòng điện xoay chiều
Điện áp biến đổi điều hòa theo thời gian là điện áp xoay chiều :
(1.12) Khi đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu vào hai đầu của một đoạn mạch điện, trong mạch có một dao động điện từ cưỡng bức Đó là dòng điện xoay chiều biến đổi cùng tần số nhưng nói chung lệch pha so với
Với là độ lệch pha của so với
+ Các giá trị hiệu dụng của dòng xoay chiều được xác định:
+ Các công thức dùng cho một đoạn mạch xoay chiều :
- Định luật Ôm :
+ Các công thức dùng cho một đoạn mạch nối tiếp để xác định
• Tổng trở :
Trang 12+ Định nghĩa: Lăng kính là một khối trong suốt, đồng chất, được giới hạn
bởi hai mặt phẳng không song song
+ Các công thức lăng kính :
- Trường hợp tổng quát :
Với lăng kính, ta có các công thức sau :
(1.24) (1.25)
(1.27) + Trường hợp các góc nhỏ : ,
1.3.4 Kiến thức phần Dao động cơ học
+ Định nghĩa: Dao động điều hòa là dao động được mô tả bằng một định
luật dạng sin (hoặc cosin) theo thời gian
+ Phương trình của dao động điều hòa:
Trong đó: A, ω, ϕ là các hằng số dương
Hình 1.1
Trang 13x: li độ dao động (độ lệch của vật khỏi vị trí cân bằng cm, m)
A: biên độ dao động (giá trị cực đại của li độ xmax =A )
(ωt + ϕ): pha dao động ở thời điểm t (rad)
ϕ: pha ban đầu (t = 0) (rad)
- Chu kì dao động T: khoảng thời gian để vật thực hiện xong một dao
- Phương trình vận tốc:
a v' x"= = = −ω Asin( tω + φ = −ω) x (1.37) + Gia tốc cực đại khi vật ở VT biên: 2
Trang 14CHƯƠNG 2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG
ỨNG 2.1 Dạng bài toán cực trị trong Cơ học
2.1.1 Tìm độ cao cực đại, cực tiểu của vật bị ném xiên
a Bài toán tổng quát
Ném một vật từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 theo phương ngang 1 góc a) Viết phương trình chuyển động của vật
b) Tìm quỹ đạo của vật
c) Tính thời gian kể từ lúc vật ném đến khi chạm đất
d) Xác định tầm xa của vật
e) Tính độ cao cực đại mà vật có thể đạt được
Phương pháp giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy, Ox nằm ngang, Oy
hướng lên trên gốc O tại vị trí ném vật gốc thời gian t = 0 tại thời điểm ném vật
Với x0 = y0 = 0
a) Phương trình chuyển động của vật
(1) (2) b) Phương trình quỹ đạo (chính là dạng quỹ đạo )
Trang 16Vật nhỏ m được truyền vận tốc
ban đầu theo phương ngang v0 =10 m/s
từ A Sau đó m đi lên theo đoạn đường
Sau khi rời C, m chuyển động như
vật được ném xiên với vận tốc đầu
vc , hợp với phương ngang góc
b)Tính độ cao và tầm xa trong chuyển động ném xiên:
Phương trình chuyển động :
hmax = ymax khi và chỉ khi
⇔
⇔
Trang 17c) Quả cầu sẽ đạt độ cao tối đa là bao nhiêu khi chuyển động ?
d) Bao lâu sau khi ném, quả cầu rơi trở về mặt đất ?
e) Bao lâu sau khi ném, quả cầu ở cách mặt đất 8,8 m Khi này, vận tốc của quả cầu lay bao nhiêu ?
Trang 18d) Khi quả cầu rơi chạm đất y = 0
AB( AB = H ) một đoạn s hỏi phải
đặt tấm chắn ở độ cao h bằng bao nhiêu (mà không thay đổi hướng của nó) để khoảng cách s đạt cực đại? khi đó s bằng bao nhiêu? Bỏ qua sức cản không khí
Trang 19Bài giải:
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta xác định được vận tốc của quả cầu ngay trước khi chạm vào tấm chắn
= mg(H – h), v = Sau khi va chạm đàn hồi, vận tốc không đổi về độ lớn, nhưng hướng của
nó thay đổi Theo phương ngang quả cầu bay được một khoảng s = vt, với t là thời gian quả cầu bay từ lúc va chạm trên tấm chắn đến khi chạm đất; còn theo phương thẳng đứng h = Khi đó :
a, Viết phương trình chuyển động của vật
b, Tính vận tốc của vật khi chạm đất
Đáp số :a) Phương trình chuyển động : y = -4,9t 2
+ 4t +5 b) v = -10,7 m/s
Trang 20a Bài toán tổng quát
Thả con lắc chuyển động tự do từ vị trí mà dây hợp với phương thẳng đứng một góc αo Tìm vận tốc cực đại và lực căng cực đại của sợi dây trong quá trình chon lắc chuyển động Biết con lắc có khối lượng m, dây treo có chiều dài
l, bỏ qua khối lượng của sợi dây
Phương pháp giải
- Tìm vận tốc của con lắc:
+ Ta thấy khó giải bài toán bằng định luật II
Newton vì hợp lực của trọng lực và lực căng dây
tác dụng lên vật luôn biến đổi trong quá trình vật
chuyển động Nhưng có thể áp dụng định luật bảo
toàn cơ năng vì trong trường hợp này, chỉ có trọng
lực sinh công, còn lực căng của dây không thực
hiện công do có phương vuông góc với độ dời tại
2
Ta suy ra vận tốc của vật tại điểm B bất kì: v= 2gl cos( α −cosαo)
Để tìm vận tốc cực đại dựa vào hàm số lượng giác cosα, vmax khi cosα = 1, hay
α = 0o (tại vị trí cân bằng)
Khi đó: v= 2gl 1 cos( − αo)
- Tìm lực căng của sợi dây:
+ Các lực tác dụng lên con lắc gồm trọng lực P , lực căng T :
Hình 1
Trang 21+ Chiếu lên phương của T với chiều dương hướng vào tâm quay:
T ma= +P cosα =mg 3cosα −2cosα
Để tìm lực căng cực đại dựa vào hàm số lượng giác cosα, Tmax khi cosα = 1, hay
α = 0o (tại vị trí cân bằng)
b Bài tập ví dụ
Ví dụ 1:
Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng 50 g treo vào một đầu dây
mảnh dài 1 m lấy g = 9,8 m/s2 Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc
α0=600 rồi buông ra để con lắc chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0
a) Lập biểu thức tính vận tốc và lực căng dây khi dây treo hợp với
phương thằng đứng một góc
b) Tại vị trí nào thì lực căng dây cực đại, cực tiểu ?
Tính vận tốc và lực căng dây tại các vị trí đó
Bài giải
a) Biểu thức tính v và T
Chọn vị trí cân bằng A0 làm gốc thế
Năng như hình bên Tmax A1 α0
Cơ năng tại A1 :
W1= W = mgA0H1 = mgl (1-cosα0)
Cơ năng tại A : W=Wđ+Wt
Cơ năng được bảo toàn : W= mv2 + mgl(1- cosα) ⇒ Suy ra : v2 = 2gl(cosα- cosα0) (1)
Lực tác dụng vào quả cầu : (2)
Trang 22Chiếu (2) : FN = -Pcosα + T = m = 2mg (cosα-cosα0)
d Bài tập tương tự
Bài tập1: (Sách rèn luyện kĩ năng giải toán Vật li 12)
Một con lắc đơn gồm một dây mảnh gắn với của cầu nhỏ Dây treo sẽ bị đứt khi chịu tác dụng của lực căng bằng 2 lần trong lượng của quả cầu Biên độ góc của con lắc bằng bao nhiêu thì dây treo bị đứt
Đáp số:
Bài tập 2: [ ]
Một con lắc đơn có chiều dài l vật nặng khối lượng m Kéo con lắc ra khỏi vị trí
cân bằng góc rồi thả không vận tốc đầu Bỏ qua ma sát
a) Thiết lập biểu thức tính lực căng dây với góc lệch
nhỏ nhất của dây treo
Đáp số : a) T = mg(3cosα-2cosα0)
Trang 23b) = 4
2.1.3 Tìm độ cao tối thiểu ban đầu để vật chuyển động tròn không rời khỏi vòng xiếc
Phương pháp giải
- Viết điều kiện cân bằng của vật rắn (viết biểu thức định luật hai newton
cho vật, để có thể vượt qua hết vòng xiếc, quả cầu phải luôn nén lên vòng xiếc khi chuyển động, nghĩa là N > 0 với mọi vị trí góc )
- Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hai vị trí lúc đầu và tại vị trí bất kì;
- Sử dụng mối liên hệ giữa gia tốc hướng tâm và và vận tốc của vật;
- Từ đó ta có các phương trình kết hợp với giá trị cực đai của hàm lượng giác để tìm ra cực trị của bài
a Bài tập mẫu
Ví dụ 1
Qủa cầu nhỏ khối lượng m lăn không vận tốc đầu từ nơi có độ cao h, qua
1 vòng xiếc bán kính R Bỏ qua ma sát
a) Tính lực do quả cầu nén lên vòng xiếc ở vị trí M, xác định bởi góc
b) Tìm h nhỏ nhất để quả cầu có thể vượt qua hết vòng xiếc
Trang 24Phương trình chuyển động của m trong vòng xiếc :
+Chiếu phương trình lên trục hướng tâm tại M:
Lực do quả cầu nén lên vòng xiếc có độ lớn bằng lực đàn hồi của vòng xiếc tác dụng lên quả cầu
b) Độ cao hmin
Để có thể vượt qua hết vòng xiếc, quả cầu phải luôn nén lên vòng xiếc khi chuyển động, nghĩa là N > 0 với mọi vị trí góc
Trang 25Từ biểu thức N, ta thấy N nhỏ nhất khi cos =1,
(vị trí quả cầu ở cao nhất trong vòng xiếc)
Điều kiện để quả cầu qua hết vòng xiếc:
Nmin = m.g.( -5) 0
⇒ h 2,5R Trong thực tế, do ma sát và sức cản của không khí nên h sẽ phải là giá trị lớn hơn 2,5R
b Bài tập tương tự
Bài tập 1: Vật nhỏ bắt đầu trượt từ
A có độ cao h xuống một vòng xiế
bán kính R không vận tốc ban đầu
Vòng xiếc có một đoạn CD hở với
= = , OB thẳng đứng
a) Xác định h để vật đi hết vòng xiếc
b) Trong điều kiện ở câu a, góc là
bao nhiêu thì độ cao h có giá trị cực tiểu?
Trang 26Một viên đạn khối lượng m1 bay ngang ,đập vào mặt nghiêng của 1 chiếc nêm Nêm có khối lượng m2 ban đầu đứng yên trên một mặt phẳng ngang nhẵn Sau va chạm (tuyệt đối đàn hồi ) đạn nảy lên theo phương thẳng đứng còn nêm chuyển động theo hướng cũ của m1 với vận tốc v2.Tính độ cao cực đại (từ vị trí
va chạm) mà viên đạn lên được
m1vox = m1v1x + m2v2
⇒ m1vo = 0 + m2v2 (1) Đồng thời do va chạm là tuyệt đối đàn hồi nên động năng của hệ sẽ được bảo toàn:
m1 = m1 + m2 (2)
ta suy ra vận tốc m1 trước va chạm v0 = v2 ;
Thay vào (2) ta tính được vận tốc v1 của m1 ngay sau va chạm
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho chuyển động của m1 ngay sau va chạm
và khi lên cao nhất : W1 =
m1 = m1gh
Trang 27Vậy độ cao cực đại mà m1 đạt được sau khi va chạm là :
h = = (điều kiện m2 > m1 )
Ví dụ 2 ( tập 2)
Một giá ABC nhẹ gắn trên một đế có khối lượng m1 như hình vẽ Tại A,
người ta buộc 1 dây nhẹ chiều dài l = 1,2m, đầu dây treo một quả cầu khối lượng
m2 Để có thể chuyển động không ma sát trên mặt phẳng ngang Ban đầu đế nằm yên còn quả cầu được nâng lên đến vị trí dây treo nằm ngang rồi buông không vận tốc đầu Tính vận tốc của đế lúc quả cầu xuống đến vị trí thấp nhất, biết
chiều dài l < BC mà m1= 2m2
Bài giải
Hệ thống gồm quả cầu và đế sẽ tương tác với
nhau và cùng chuyển động Để xác định vận tốc của
quảcầu và của đế, ta sử dụng đồng thời định luật bảo
toàn động lượng và bảo toàn cơ năng
Gọi vận tốc của quả cầu và đế khi dây treo
thẳng đứng lần lượt là v2 , v1
Ngoại lực ; tác dụng lên hệ đều có phương
thẳng đứng nên xét trên phương ngang ox, theo định
luật bảo toàn động lượng :
Trang 28Thay m1 = 2m2 , g và l vào ta được : v1 = 2 m/s
Ví dụ 3
Vật m1 chuyển động với vận tốc tại A và đồng thời va chạm với vật m2
đang nằm yên tại đó Sau va chạm m1 có vận tốc ; hãy xác định tỷ số của
Vì va chạm đàn hồi nên động năng bảo toàn:
Trang 29Để amax thì (cosa)min Theo BĐT cosi: (cosa)min khi:
Vậy khi thì góc lệch giữa và cực đại
Trang 30Dạng bài toán 1: Tính quãng đường lớn nhất , nhỏ nhất mà vật đi được khoảng thời gian o < t <
Ta có vận tốc lớn nhất khi qua vị trí cân bằng , nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian , quãng đường đi được càng dài khi vật ở càng gần vị trí cân bằng và càng ngắn khi càng gần vị trí biên
Phương pháp giải
Theo thời gian t , tính góc ở tâm mà bán kính quét được =
Quãng đường lớn nhất : Smax = 2Asin ( khi vật đi từ M đến N đối xứng qua trục sin thẳng đứng )
Quãng đường nhỏ nhất, Smin = 2A(1- cos ) ( khi vật đi từ M đến N đối xứng qua trục có nằm ngang )
Trang 31Trong thời gian t thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất được tính như dạng
bài 1 ở trên
a Bài tập mẫu
Ví dụ 1 2009 )
Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hòa theo phương trình
X = 6cos(3 + ) cm so sánh trong những khoảng thời gian như nhau
quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là bao nhiêu ?
Ta biết rằng khi qua vị trí cân bằng thì vận tốc đạt giá trị lớn nhất, còn ở
biên thì vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất
Tính trong cùng một khoảng thời gian, muốn cho quãng đường đi được
dài nhất thì vận tốc trên quãng đường đó phải lớn hơn trên các đoạn đường khác
Như vậy đoạn đường dài nhất sẽ nằm xung quanh vị trí cân bằng như hình vẽ
Do tính đối xứng của đoạn đường này qua vị trí cân bằng nên ta chia đoạn Smax
thành hai phần bằng nhau, mỗi phần đó ứng với thời gian của bài toán cho, tức
là
Mặt khác khi xuất phát từ VTCB, sau khoảng thời gian , vật sẽ đạt tọa
độ x = tức là đã đi được quãng đường dài S =