Một số phương pháp giải các bài toán biên Elliptic

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 6 1.1. Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . 6 1.1.1. Không gian C k ( ¯ Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Không gian L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Không gian W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Khái niệm biên liên tục Lipschitz. Định lí nhúng . 8 1.1.5. Khái niệm vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Lí thuyết về phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Phân loại phương trình đạo hàm riêng bậc hai tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . . 11 1.2.3. Các bài toán biên thường gặp . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . 14 1.3. Phương pháp lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Phương pháp lặp giải phương trình toán tử . . . . . . . . 20 Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC 23 2.1. Phương pháp chia miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Giới thiệu về phương pháp chia miền . . . . . . . . 23 2.1.2. Phương pháp chia miền Saito-Fujita . . . . . . . . 27 2.1.3. Phương pháp chia miền Dang Quang A-Vu Vinh Quang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1. Tính nhất quán của lược đồ sai phân . . . . . . . . 41 2.2.2. Sự ổn định của lược đồ . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3. Các ứng dụng trong cơ học . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.4. Sai phân hữu hạn cho phương trình elliptic . . . . 43 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3. Phương pháp Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An 2.3.2. Giải bài toán Dirichlet trong mặt tròn bằng phương pháp tách biến (phương pháp Fourier) . . . . . . . 60 2.3.3. Giải bài toán Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3.4. Giải bài toán biên trên hình chữ nhật . . . . . . . 69 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa học công nghệ, toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, vào các nghành khoa học khác như: Hóa học, sinh học, tin học, và đặc biệt là trong vật lí. Các hiện tượng vật lí trong tự nhiên thường rất phức tạp, nên thường phải mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng. Mỗi loại phương trình đạo hàm riêng thường đòi hỏi các điều kiện biên tương ứng để bài toán có nghiệm phù hợp với hiện tượng vật lí quan sát. Trên thực tế, nhiều bài toán trong khoa học kĩ thuật thông qua mô hình hóa toán học đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng. Các bài toán biên thường được xét đến là các bài toán biên elliptic gồm có: Bài toán Dirichlet, bài toán Neumann và bài toán biên hỗn hợp. Trong đó rất ít bài toán là các trường hợp đơn giản (miền hình học là miền đơn giản, hệ số của phương trình là hệ số hằng, ) có thể tìm được nghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích, chẳng hạn như phương pháp Fourier. Còn đại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minh không có hoặc rất phức tạp. Hơn nữa, một số bài toán trong thực tế chỉ yêu cầu tìm nghiệm của bài toán tại một số điểm rời rạc nào đó. Khi đó, chúng ta buộc phải sử dụng các phương pháp giải gần đúng, chủ yếu là phương pháp số như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp đặc trưng. Các phương pháp này rời rạc hóa bài toán và hầu hết đưa về việc giải phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn, dẫn đến nhu cầu phát triển các phương pháp hữu hiệu để giải các hệ phương trình lưới. Tuy nhiên, khi miền hình học là miền phức tạp, dữ liệu hoặc các hệ số của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng một phương pháp nào đó cho cả miền sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy trong nhiều năm qua, người ta đã và đang phát triển các phương 3 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An pháp với mục đích chính là đưa các bài toán biên trong miền hình học phức tạp về một dãy các bài toán biên trong miền hình học đơn giản để có thể sử dụng các thuật toán hữu hiệu đã được phát triển cho các miền đơn giản này. Các phương pháp trên có tên gọi là các phương pháp chia miền. Tóm lại, có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán biên elliptic, việc có thể tìm được nghiệm tường minh hay chỉ có thể giải gần đúng nghiệm của bài toán đó phụ thuộc vào các điều kiện biên tương ứng. Và trong các trường hợp cụ thể khi giải các bài toán biên elliptic thì việc áp dụng phương pháp nào là hợp lí, giúp ta tìm được nghiệm của bài toán với độ chính xác cao nhất là một vấn đề cần nghiên cứu. Với lí do như vậy em đã quyết định nghiên cứu đề tài: "Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic". 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic. Việc nghiên cứu sẽ giúp ta hiểu rõ hơn về các bài toán biên elliptic, các phương pháp giải và một số ứng dụng của phương trình elliptic trong vật lí. Đồng thời cũng chỉ ra rằng chỉ có một số ít các bài toán biên elliptic có thể tìm được nghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích, còn đa số các bài toán đó ta chỉ có thể tìm được nghiệm gần đúng bằng các phương pháp số. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng chính mà khóa luận nghiên cứu là các kiến thức liên quan đến phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic và một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic. Phạm vi nghiên cứu là một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phương trình elliptic để hệ thống lại các kiến thức về các bài toán biên elliptic. Nghiên cứu ba phương pháp giải các bài toán biên elliptic, gồm: Phương pháp chia miền, phương pháp sai phân và phương pháp Fourier (phương pháp tách biến). Lựa chọn, phân loại và đưa ra các ví dụ, bài tập áp dụng ba phương pháp trên trong việc giải một số bài toán biên elliptic cụ thể. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, các tài liệu có liên 4 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An quan đến phương trình elliptic, các bài toán biên và điều kiện biên elliptic, một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic, gồm : Phương pháp chia miền, phương pháp sai phân (phương pháp lặp) và phương pháp Fourier (phương pháp tách biến) nắm được các khái niệm cơ bản về phương trình elliptic và cơ sở của ba phương pháp trên. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách khoa học, đầy đủ và chính xác. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Đề tài này hệ thống lại các kiến thức liên quan đến phương trình elliptic, các bài toán biên elliptic và các phương pháp giải các bài toán biên đó. Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài giúp tôi hiểu rõ hơn về phương trình elliptic. Đồng thời sản phẩm của đề tài có thể phần nào trợ giúp cho các bạn sinh viên chuyên ngành toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương trình đạo hàm riêng và các ứng dụng của nó trong vật lí. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm 2 chương: Chương 1: Kiến thức cơ sở Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm, phương trình elliptic, lí thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử, lí thuyết về phương pháp sai phân, Đây là những kiến thức quan trọng làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong chương sau. Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trình bày ba phương pháp giải các bài toán biên elliptic: Phương pháp Fourier, phương pháp chia miền (phương pháp lặp), phương pháp sai phân (phương pháp lưới) và một số ví dụ, bài tập áp dụng cho từng phương pháp. 5 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 1.1.1 Không gian C k ( ¯ Ω) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R n và ¯ Ω là bao đóng của Ω. Ta kí hiệu C k ( ¯ Ω) (k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong biên Ω, liên tục trong ¯ Ω. Ta đưa vào C k ( ¯ Ω) chuẩn ||u|| C k ( ¯ Ω) =  |α|=k max x∈ ¯ Ω |D α u(x)|, (1.1) trong đó α = (α 1 , , α n ) được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ nguyên không âm, |α| = α 1 + + α n , D α u = ∂ α 1 + +α n u ∂x 1 α 1 ∂x n α n Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong ¯ Ω của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k. Rõ ràng tập C k ( ¯ Ω) với chuẩn (1.1) là một không gian Banach. 1.1.2 Không gian L p (Ω) Giả sử Ω là một miền trong R n và p là một số thực dương. Ta kí hiệu L p (Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho  Ω |f(x)| p dx < ∞, (1.2) 6 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An Trong L p (Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trong Ω. Như vậy các phần tử của L p (Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên Ω. Vì |f(x) + g(x)| p ≤ ( |f(x)| + |g(x)|) p ≤ 2 p ( |f(x)| p + |g(x)| p ) nên rõ ràng L p (Ω) là một không gian vectơ. Với mỗi u ∈ L p (Ω), ta đưa vào L p (Ω) chuẩn ||.|| p được xác định bởi ||u|| p =   Ω |u(x)| p dx  1/p . Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Hoder) Giả sử p và q là một cặp số mũ liên hợp, 1 < p < ∞. Khi đó, nếu u ∈ L p (Ω), v ∈ L q (Ω) thì  Ω |u(x)v(x)|dx ≤ ||u|| p ||v|| q , trong đó q = p/(p − 1), tức là 1 p + 1 q = 1, q được gọi là số mũ liên hợp đối với p. Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Minkowski) Giả sử 1 ≤ p < ∞. Nếu f, g ∈ L p (Ω) thì f + g ∈ L p (Ω), và ||f + g|| p ≤ ||f|| p + ||g|| p . Định lý 1.3. Không gian L p (Ω) với 1 ≤ p < ∞ là một không gian Banach. 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.4. Cho Ω là miền trong R n . Hàm u(x) được gọi là khả tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi x 0 ∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x 0 để u(x) khả tích trong Ω. Định nghĩa 1.5. Cho Ω là miền trong R n . Giả sử u(x), v(x) là hai hàm khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức  Ω u ∂ k ϕ ∂x 1 k 1 ∂x n k n dx = (−1) k  Ω vϕdx 7 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An đối với mọi ϕ(x) ∈ C k 0 (Ω), k = k 1 + + k n , k i ≥ 0, k i ∈ Z (i = 1, 2, , n). Khi đó, v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x). Kí hiệu v(x) = ∂ k u ∂x 1 k 1 ∂x n k n . Định nghĩa 1.6. Giả sử p là một số thực, 1≤ p < ∞, Ω là miền trong R n . Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa như sau: W 1,p (Ω) =  u|u ∈ L p (Ω), ∂u ∂x i ∈ L p (Ω), i = 1, 2, , n  , trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng. Với p = 2, ta kí hiệu W 1,2 (Ω) = H 1 (Ω), nghĩa là H 1 (Ω) =  u|u ∈ L 2 (Ω), ∂u ∂x i ∈ L 2 (Ω), i = 1, 2, , n  . Bổ đề 1.7. i) Không gian W 1,p (Ω) là không gian Banach với chuẩn ||u|| W 1,p (Ω) = ||u|| L p (Ω) + n  i=1     ∂u ∂x i     L p (Ω) . ii) Không gian H 1 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v) H 1 (Ω) = (u, v) L 2 (Ω) + n  i=1  ∂u ∂x i , ∂v ∂x i  L 2 (Ω) , ∀u, v ∈ H 1 (Ω). 1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz. Định lí nhúng Định nghĩa 1.8. Miền Ω được gọi là có biên liên tục Lipschitz nếu nó giới nội và tồn tại các hằng số dương α, β và một số hữu hạn m các hệ tọa độ địa phương x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n và m hàm a r (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 ), r = 1, 2, , m liên tục trong các khối (n - 1) chiều K (r) sao cho i) Mỗi điểm x của biên ∂Ω có thể biểu diễn ít nhất một hệ tọa độ dạng x = (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 , a r (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 )) ii) Các điểm x = (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 , x (r) n ) thỏa mãn |x (r) i | < α, i = 1, 2, , n − 1 8 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An và a r (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 ) < x (r) n < a r (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 ) + β hoặc a r (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 ) − β < x (r) n < a r (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 ) nằm trong hoặc nằm ngoài ¯ Ω. iii) Mỗi hàm a r (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 ), r = 1, 2, , m thỏa điều kiện Lips- chitz trên khối K (r) , tức là với mọi (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 ), (y (r) 1 , y (r) 2 , , y (r) n−1 ) ∈ K (r) , tồn tại hằng số dương L sao cho |a r (x (r) 1 , x (r) 2 , , x (r) n−1 ) − a r (y (r) 1 , y (r) 2 , , y (r) n−1 )| ≤ ≤ L[(x (r) 1 − y (r) 1 ) 2 + + (x (r) n−1 − y (r) n−1 ) 2 ] 1/2 . Định lý 1.9. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó: i) Nếu 1 ≤ p < n thì W 1,p (Ω) ⊂ L q (Ω) là: - Nhúng compact đối với q ∈ [1, p ∗ ), trong đó 1 p ∗ = 1 p − 1 n . - Nhúng liên tục với q = q ∗ . ii) Nếu p = n thì W 1,n (Ω) ⊂ L q (Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞). iii) Nếu p > n thì W 1,p (Ω) ⊂ C 0 ( ¯ Ω) là nhúng compact. 1.1.5 Khái niệm vết của hàm Định nghĩa 1.10. Không gian Sobolev W 1,p 0 (Ω) được định nghĩa như các bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω tương ứng với chuẩn của W 1,p (Ω). Không gian H 1 0 (Ω) được định nghĩa bởi H 1 0 (Ω) = W 1,2 0 (Ω). Định lý 1.11. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó: i) Nếu 1 ≤ p < n thì W 1,p 0 (Ω) ⊂ L q (Ω) là: - Nhúng compact đối với q ∈ [1, p ∗ ), trong đó 1 p ∗ = 1 p − 1 n . - Nhúng liên tục với q = p ∗ . ii) Nếu p = n thì W 1,n 0 (Ω) ⊂ L q (Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞). iii) Nếu p > n thì W 1,p 0 (Ω) ⊂ C 0 ( ¯ Ω) là nhúng compact. 9 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An Định lý 1.12. (Định lí vết) Giả sử Ω là tập mở trong R n với biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục γ : H 1 (Ω) −→ L 2 (∂Ω) sao cho với bất kì u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 ( ¯ Ω) ta có γ(u) = u | ∂Ω . Hàm γ(u) được gọi là vết của u trên ∂Ω. Định nghĩa 1.13. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H 1/2 (∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là: H 1/2 (∂Ω) = γ(H 1 (Ω)). Định lý 1.14. i) H 1/2 (∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn ||u|| 2 H 1/2 (∂Ω) =  ∂Ω |u(x)| 2 dS x +  ∂Ω  ∂Ω |u(x) − u(y)| 2 |x − y| n+1 dS x dS y . ii) Tồn tại một hằng số C γ (Ω) sao cho: ||γ(u)|| H 1/2 (∂Ω) ≤ C γ (Ω)||u|| H 1 (Ω) , ∀u ∈ H 1 (Ω). Khi đó, C γ (Ω) được gọi là hằng số của vết. Bổ đề 1.15. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H 1/2 (∂Ω) có các tính chất sau: i) Tập {u| ∂Ω , u ∈ C ∞ (R n )} trù mật trong H 1/2 (∂Ω). ii) Nhúng H 1/2 (∂Ω) ⊂ L 2 (∂Ω) là compact. iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục g ∈ H 1/2 (∂Ω) −→ u g ∈ H 1 (Ω) với γ(u g ) = g và tồn tại hằng số C 1 (Ω) chỉ phụ thuộc miền Ω sao cho ||u g || H 1 (Ω) ≤ C 1 (Ω)||g|| H 1/2 (∂Ω) , ∀g ∈ H 1/2 (∂Ω). Bổ đề 1.16. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó H 1 0 (Ω) = {u|u ∈ H 1 (Ω), γ(u) = 0}. Định lý 1.17. (Bất đẳng thức Poincare) Tồn tại hằng số C Ω sao cho: ||u|| L 2 (Ω) ≤ C Ω ||∇u|| L 2 (Ω) , ∀u ∈ H 1 0 (Ω). 10 [...]... Như vậy, trong phương pháp Saito-Fujita trình bày ở trên, mỗi lần lặp cần giải quyết một bài toán Dirichlet (2.1.7) trong Ω1 , sau đó giải một bài toán Neumann (2.1.8) trong Ω2 32 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic 2.1.3 Trần Thị Thúy An Phương pháp chia miền Dang Quang A-Vu Vinh Quang Xuất phát từ tư tưởng hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên phân chia, năm 2004, hai nhà toán học Việt... v ∈ H0 (Ω)} Phương trình (2.1.6) được gọi là phương trình Steklov-Poincare Ta cũng sử dụng các toán tử Si−1 (i = 1, 2) và gọi là các toán tử PoincareSteklov Xuất phát từ công thức đa miền, phương tình Steklov- Poincare, các toán tử Steklov- Poincare, một số nhà toán học trên thế giới đã đề xuất các phương pháp lặp cơ sở để xét một dãy các bài toán trong miền con Ω1 , Ω2 với các điều kiện biên Dirichlet... vì ∆u liên tục nên ∆u + f ≡ 0 trong C(Ω) Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.5) 1.2.3 Các bài toán biên thường gặp • Bài toán Dirichlet Xét bài toán: −∆u = u = f, ϕ, 12 x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω, (1.8) Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An trong đó f ∈ L2 (Ω) Hàm u ∈ H 1 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.8) nếu 1 u − w ∈ H0 (Ω), (1.9) trong đó w là hàm thuộc H 1 (Ω),... Γ, trong đó γ1 , γ2 là các tham số gia tốc không âm thỏa mãn γ1 + γ2 > 0 Xuất phát từ cơ sở của phương páp chia miền cùng các sơ đồ lặp cơ bản, nhiều tác giả trên thể giới đã đề xuất hàng loạt phương pháp lặp giải bài toán biên elliptic Phần tiếp theo của khóa luận trình bày hai phương pháp khác nhau tiếp cận đến việc giải bài toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên Dirichlet của hai... trong miền con Ω1 , Ω2 với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann tương ứng Các phương pháp đó được thực hiện bởi một trong các sơ đồ lặp sau đây: * Các sơ đồ lặp cơ bản: 25 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An 1 Sơ đồ Dirichlet-Neumann: Cho trước λ(0) , với mỗi k ≥ 0, giải liên tiếp hai bài toán:  (k+1) = f, x ∈ Ω1 , −∆u1  (k+1) u1 = 0, x ∈ ∂Ω1 ∩ ∂Ω,   (k+1) u1... xác hơn Bây giờ chúng ta chuyển sang xấp xỉ các điều kiện biên (bờ) 17 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An 1 Bài toán Dirichlet uB1 Ta dùng phương pháp nội suy tuyến tính để biểu diễn uA qua uC và = ϕ(B1 ): uC − uB1 δ h uA − uB1 = =⇒ uA = uC + uB δ δ+h δ+h δ+h 1 =⇒ uA = δ h uC + ϕ(B1 ) + O(h2 ) δ+h δ+h 2 Bài toán Neumann Kẻ pháp tuyến từ Q cắt Γ := ∂Ω tại Q1 và cắt cạnh... nhất được xác định bởi F và 1 ||z|| ≤ ||F || α (Nói cách khác là với mọi v ∈ H, bài toán biến phân B(v, z) = F (v) 1 có duy nhất nghiệm z ∈ H thỏa mãn ||z|| ≤ ||F ||) α 14 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An • Bài toán Dirichlet thuần nhất Xét bài toán: −∆u = u = x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω, f, 0, (1.14) 1 trong đó f ∈ L2 (Ω) Bài toán (1.14) có nghiệm yếu là hàm u ∈ H0 (Ω) thỏa mãn... u = f, ϕ, x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω trong đó f ∈ L2 (Ω), ϕ ∈ H 1/2 (∂Ω) Cách chia miền Ω và các kí hiệu đã trình bày ở phần đầu chương (k) (k) Kí hiệu {u1 }, {u2 } là các dãy hàm hội tụ đến u1 , u2 một cách tương ứng Tư tưởng của phương pháp Saito-Fujita là tìm ra xấp xỉ g = u|Γ nhận được bởi sơ đồ lặp sau: 27 Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An 1 Cho trước g (0) xác định trên Γ.. .Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic 1.2 Trần Thị Thúy An Lí thuyết về phương trình elliptic 1.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng bậc hai tuyến tính Xét phương trình tuyến tính cấp hai: a(x, y) ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2b(x, y) + c(x, y) 2 + F (x, y, u, , ) = 0, ∂x2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y (1.4) ở đó a, b, c là các hàm không đồng thời bằng không trong một lân cận nào đó U ⊂ R2 Xét phương. .. k = 0, 1, 2, (2.1.22) Ta xét các toán tử Steklov-Poincare S1 , S2 : Si ξ = ∂Hi ξ ∂ni Ta đã biết Hi ξ là nghiệm của bài  −∆vi =  vi =   vi = (i = 1, 2) toán 0, 0, ξ, x ∈ Ωi , x ∈ Γi , x ∈ Γ Vậy toán tử nghịch đảo Poincare-Steklov Si−1 được định nghĩa bởi Si−1 ξ = wi |Γ 34 (i = 1, 2), Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic trong đó wi là nghiệm của bài toán  −∆wi =   wi =  ∂wi