Một số phương pháp giải phương trình tích phân fredholm

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài khóa luận Nhiều vấn đề toán học (phương trình vi phân với điều kiện ban đầu hay điều kiện biên), cơ học, vật lý, dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết ở dưới dấu tích phân. Những loại phương trình đó gọi là phương trình tích phân. Phương trình tích phân được xem như là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp xỉ, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa, Nó có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân với các điều kiện xác định hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân không thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền Vì vậy việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học. Phương trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong giải tích hàm được xây dựng từ các bài toán thực tế trong vật lý, hóa học và nhiều ngành khoa học ứng dụng khác. Vận dụng lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert vào việc khảo sát các phương trình tích phân thường gặp nhất, gọi là phương trình Fredholm. - Phương trình tích phân có dạng ( ) ( , ) ( ) b a f s s t t dt λ ϕ = Κ ∫ được gọi là phương trình Fredhlom loại 1, trong đó ( )t ϕ là hàm chưa biết, ( , )s tΚ và ( )f s là những hàm cho trước, λ là tham số. - Phương trình tích phân có dạng ( ) ( ) ( , ) ( ) b a s f s s t t dt ϕ λ ϕ = + Κ ∫ 1 được gọi là phương trình Fredholm loại II, trong đó ( )s ϕ là hàm chưa biết, ( )f s và ( , )s tΚ là những hàm cho trước, λ là tham số. Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm. Đồng thời, đóng góp thêm một số lời giải chi tiết cho một vài bài toán cụ thể có liên quan đến phương trình tích phân Fredholm, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm” làm khóa luận tốt nghiệp Đại học. 2. Mục tiêu khóa luận Khóa luận tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về phương trình tích phân Fredholm: • Nghiên cứu phương trình tích phân Fredholm và hệ thống lại một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm. • Vận dụng các phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm để giải một số bài tập liên quan đến phương trình tích phân Fredholm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của giải tích hàm, phương trình tích phân Fredholm. • Làm rõ một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm. • Minh họa qua các ví dụ, bài tập cụ thể. 4. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được những kết quả cần thiết, tôi sử dụng các phương pháp: • Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình tích phân Fredholm và một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm. Sau đó phân hóa, hệ thống các kiến thức. 2 • Một số phương pháp và công cụ của giải tích hàm, phương pháp giải phương trình tích phân, phương pháp số gần đúng. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân Fredholm. • Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chủ yếu nghiên cứu về một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm. 6. Ý nghĩa khoa học Khóa luận được hoàn thành sẽ đóng góp một tài liệu tham khảo hữu ích cho các thầy cô giáo, các bạn sinh viên khoa Toán. Về bản thân bên cạnh việc được tìm hiểu sâu hơn về phương trình tích phân Fredholm còn được nâng cao kiến thức cơ sở về Giải tích hàm. Nội dung khóa luận chủ yếu đề cập tới một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm. Song bên cạnh đó, ở phần kiến thức cơ sở, khóa luận cũng đề cập tới một số vấn đề liên quan khác như: Các kiến thức về giải tích hàm, số gần đúng và sai số, v.v… những kiến thức được đưa thêm vào đó không chỉ phục vụ cho việc làm khóa luận này mà còn có thể giúp cho bạn đọc có thêm kiến thức để học tốt học phần Giải tích hàm. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành các chương. Chương 1: Kiến thức cơ sở Chương này hệ thống lại một số lý thuyết trên không gian Hilbert và toán tử trên không gian Hilbert, phương trình tích phân tuyến tính và các ví dụ về phương trình tích phân, số gần đúng và sai số làm cơ sở cho các chương sau. Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm Chương này trình bày một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm loại 2 như: Phương pháp Nystrom (thay nhân bằng tổng hữu hạn), 3 phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân suy biến, phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân không suy biến, phương trình tích phân tuyến tính loại II với nhân đối xứng, phương pháp xấp xỉ liên tiếp,. Chương 3: Các bài tập áp dụng Chương này trình bày một số bài tập có lời giải cụ thể và đưa ra một số bài tập không có lời giải. 4 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Các khái niệm cơ bản của Giải tích hàm 1.1.1. Không gian định chuẩn 1.1.1.1. Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực hoặc phức), hàm thực × : X → ¡ thoả mãn ba tính chất: (i) x ≥ 0 , 0 0,∀ ∈Χ = ⇔ = ∀ ∈Χx x x x (ii) ,+ ≤ +x y x y ,∀ ∈Χx y (iii) . ,x x λ λ = ,∀ ∈Χx λ ∀ ∈Κ Được gọi là một chuẩn trên Χ , cặp ( Χ , × ) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn, hay không gian định chuẩn. 1.1.1.2. Ví dụ 1.1. Không gian vectơ tất cả các hàm số ( ) x x t= xác định và đo được trên [ ] ;a b với bình phương môđun khả tích trên [ ] ;a b , ( ) −∞ < < < +∞a b ta kí hiệu là [ ] 2 ,a b L . [ ] 2 ,a b L = 2 ( ) ( )     = < +∞       ∫ b a x x t x t dt Khi đó ( [ ] 2 ,a b L , × ) là không gian định chuẩn, với chuẩn × xác định bởi x = ( ) 1 2 2    ÷   ∫ b a x t dt , [ ] 2 ,a b x L∈ 1.1.1.3. Tính chất • ( ) ,d x y = −x y , ( ) , ,∀ ∈ Χ ×x y là một mêtric trên X • Trong một không gian tuyến tính định chuẩn X ( ) i Phép cộng và phép nhân vô hướng là một ánh xạ liên tục 5 ( ) ii Chuẩn × là một hàm số liên tục trên X Chứng minh. ( ) i : Giả sử hai dãy { } { } , n n x y trong không gian định chuẩn X, lần lượt hội tụ tới 0 0 ,x y thuộc X, tức 0 lim ,= n x x 0 lim = n y y và { } λ n là dãy số trong trường K với lim 0 λ λ = ∈Κ n Khi đó: ∗ ( ) 0 0 0 0 0 0 0 + − + = − + − ≤ − + − → n n n n n n x y x y x x y y x x y y (khi → ∞n ) ⇒ lim ( ) 0 0 + = + n n x y x y . ∗ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0n n n n n n n n x x x x x x x x λ λ λ λ λ λ λ λ − = − + − ≤ − + − 0 0 0 0 λ λ λ ≤ × − + − × → n n n x x x (khi → ∞n ) ( ) 0 0 lim λ λ ⇒ = n n x x . ( ) ii : Với mọi , ∈Χx y ta có: * = − + ≤ − +x x y y x y y ⇒ − ≤ −x y x y (1.1) * = − + ≤ − + = − +y y x x y x x x y x ⇒ − ≤ −y x x y (1.2) Từ (1.1.1) và (1.1.2) suy ra: − ≤ −x y x y . Do đó, với { } n x là một dãy phần tử trong X mà hội tụ tới 0 ∈Χx thì 0 0 0− ≤ − → n n x x x x (khi → ∞n ) 0 lim⇒ = n x x , hay ta có chuẩn × là một hàm số liên tục trên X. 6 1.1.2. Không gian Banach 1.1.2.1. Định nghĩa1.2. Một không gian định chuẩn ( ) , .X đầy đủ đối với mêtric xác định bởi chuẩn được gọi là một không gian Banach. ∗ Dãy { } n x trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu: ε ∀ > 0 cho trước, 0 n ∗ ∃ ∈Ν để , o m n n ∀ ≥ ta đều có − n m x x < ε . 1.1.2.2. Ví dụ 1.2. • Không gian ¡ n và n £ là những không gian Banch với chuẩn xác định bởi: 2 1= = ∑ n i i x x , trong đó ( ) 1, n i i n x x K = = ∈ • ¡ , £ là những không gian Banach với chuẩn xác định bởi ,x x= với mọi x∈¡ hoặc x∈£ • B(T) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi ( ) sup t T x x t ∈ = , với mọi ( ) ( ) x t B T∈ 1.1.2.2. Định lý 1.1. Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Chứng minh Giả sử X là không gian Banach, chuỗi 1 ∞ = ∑ n n x hội tụ tuyệt đối, tức chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ. Gọi { } n S là dãy tổng riêng của chuỗi 1 ∞ = ∑ n n x với n S = 1= ∑ n k k x , khi đó với mọi số tự nhiên ,n p ta có: 1 1 0 + + + = + = + − = ≤ → ∑ ∑ n p n p n p n k k k n k n S S x x khi ,n p → ∞ (do 1 ∞ = ∑ n n x hội tụ) 7 Suy ra { } n S là một dãy cơ bản trong không gian X, vì X là không gian Banach nên dãy này hội tụ, do đó chuỗi 1 ∞ = ∑ n n x hội tụ. Ngược lại, giả sử X là không gian định chuẩn thỏa mãn mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ, ta chỉ ra X là không gian Banach. Thật vậy, giả sử { } n x là một dãy cơ bản bất kì của không gian tuyến tính định chuẩn X, khi đó với mỗi số tự nhiên n, tồn tại số tự nhiên n k sao cho ≥ n m k , ≥ n l k Thì 1 2 − ≤ l m n x x (1.3) Ta chọn các n k sao cho: 1 2 3 < < < < < n k k k k thì ta sẽ có dãy con { } n k x của dãy { } n x hội tụ trong X, vì từ (1.1.3) suy ra 1 1 2 + − < n n k k n x x , ∗ ∀ ∈¥n Suy ra chuỗi ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 1 + + − + − + + − + n n k k k k k k k x x x x x x x (1.4) có 1 0 + − → n n k k x x khi → ∞n Do vậy (1.1.4) hội tụ tuyệt đối, theo giả thiết thì chuỗi (1.1.4) hội tụ. Mặt khác, = n n k S x , với mọi n ∈¥ . Do vậy { } n k x hội tụ trong X, vì { } n x là dãy cơ bản suy ra chuỗi { } n x hội trong X. ( ) ,⇒ Χ × là không Banach. 1.1.3. Không gian Banach khả li 1.1.3.1. Định nghĩ 1.3. Không gian Banach X được gọi là khả li (hay tách được) nếu tồn tại một dãy { } n n x các phần tử của X trù mật khắp nơi trong X. 8 1.1.3.2. Ví dụ 1.3. Không gian các hàm số liên tục trên [ ] 0,1 kí hiệu là [ ] 0,1 C , là không gian khả li với dãy { } [ ] 0,1 ⊂ n x C xác định bởi: 0 1=x , ( ) ,= ∈¥ n n x t t n trù mật khắp nơi trong [ ] 0,1 C . 1.1.4. Không gian Hibert 1.1.4.1. Khái niệm không gian tiền Hilbert Cho E là một không gian vectơ trên trường K, hàm : E Eϕ × → ¡ thỏa mãn: (i) ( ) ( ) x,y y,x , x,y E.ϕ = ϕ ∀ ∈ (ii) ( ) ( ) ( ) x y,z x,z y,z , x,y,z Eϕ + = ϕ + ϕ ∀ ∈ . (iii) ( ) ( ) , , , , ,x y x y x y E ϕ λ λϕ λ = ∀ ∈ ∈Κ . (iv) ( ) ( ) x,x 0, x E, x,x 0 x 0 Eϕ ≥ ∀ ∈ ϕ = ⇒ = ∈ . Khi đó ϕ được gọi là một tích vô hướng trên E, thường kí hiệu là , ( ) , ,Ε được gọi là không gian tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert hoặc không gian Unita. 1.1.4.2. Bất đẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền hilbert Kí hiệu , = x x x , với mọi ∈Εx thì ta có: , , ,x y x y x y≤ ∀ ∈Ε Bất đẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức Schwarz. • Công thức , = x x x là một chuẩn trên không gian tích vô hướng E ∗ Nhận xét. Mọi không gian tích vô hướng đều là không gian định chuẩn và chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng ,×× . ∗ Đẳng thức hình bình hành ,∀ ∈Εx y : ( ) 2 2 2 2 2 + = + + −x y x y x y 9 1.1.4.3. Khái niệm không gian Hilbert * Định nghĩa 1.3. Ta gọi không gian Hilbert là không gian tích vô hướng đầy đủ (tức mọi dãy cơ bản đều hội tụ trong nó). * Một số không gian Hilbert + Không gian tích vô hướng các số phức £ , với tích vô hướng , ' 'z z zz= là không gian Hilbert. + Không gian ,£ ¡ k k là những không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định lần lượt là: • ' 1 , ' = = ∑ k j j j z z z z , ( ) ( ) 1 ' ' 1 , , , ' , , k k z z z z z z= = . • 1 , = = ∑ k i i i x y x y , ( ) 1,= = i i k x x , ( ) 1,= = i i k y y + Không gian [ ] 2 ,a b L các hàm số xác định và đo được trên [ ] ,a b và có bình phương mođun khả tích trên [ ] ,a b là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định: ( ) ( ) , = ∫ b a x y x t y t dt , [ ] 2 , , ∈ a b x y L . + Không gian 2 l (các dãy số thực hoặc phức ( ) n n x thỏa mãn 2 1 ∞ = < ∞ ∑ n n x ) là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định như sau ( ) 1 , ∞ = = ∑ n n n x y x y , ( ) ( ) 2 ,= = ∈ n n n n x x y y l . 1.1.4.4. Hệ thống trực giao và trực chuẩn a) Vectơ trực giao. Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng, ta có thể định nghĩa khái niệm trực giao giống như trong không gian 3 ¡ thông thường. Ta nói hai vectơ ,x y của một không gian Hilbert Η trực giao với nhau, và kí hiệu ⊥x y nếu , 0=x y . 10 [...]... s + s − e s = s 2.3 Phương trình tích phân với nhân không suy biến 2.3.1 Phương pháp giải Phương trình tích phân có nhân suy biến được giải chính xác bằng cách đưa về một hệ đại số tuyến tính Đối với phương trình tích phân có nhân không suy biến ta có thẻ xấp xỉ nhân của nó bằng một nhân suy biến và lấy nghiệm đúng của phương trình nhân suy biến làm nghiệm gần đúng của phương trình xuất phát, nghĩa... CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM 2.1 Phương pháp Nystrom (thay nhân bằng tổng hữu hạn) Xét phương trình tích phân dưới dạng Fredholm: Tìm hàm ϕ = f ( s ) , s ∈ [ a; b ] thỏa mãn phương trình loại I: 25 b ∫ K ( s, t ) ϕ ( t ) dt = f ( s ) (2.1) a b Và loại II: ϕ ( s ) − λ ∫ K ( s, t ) ϕ ( t ) dt = f ( s ) (2.2) a Trong đó K, f là các hàm biết trước Có nhiều phương pháp giải. .. dấu tích phân có thể nằm cả ở ngoài dấu tích phân - Một phương trình tích phân được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm là bậc một (ví dụ như các phương trình (1.9) và (1.10) là tuyến tính còn phương trình (1.11) không phải) 18 - Bằng biến đổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng đưa được về dạng ( A − λ I ) ϕ = f trong đó A là toán tử tích phân, khi đó nếu A là toán tuyến tính thì phương. .. hoàn toàn liên tục 2 trong L[ a ,b] * Định lý 1.4 Toán tử Fredholm sinh bởi một hạch đối xứng là một toán tử đối xứng 1.2 Phương trình tích phân 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.1.1 Định nghĩa 10 Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm trong dấu tích phân * Ví dụ 1.9 Với a ≤ s, t ≤ b ta có các phương trình tích phân: b f ( s ) = λ ∫ Κ ( s, t )ϕ (t )dt (1.9) a b ϕ ( s ) = λ ∫ Κ ( s, t )ϕ... là toán tuyến tính thì phương trình tích phân đó là tuyến tính Sau đây ta chỉ quan tâm tới phương trình tích phân tuyến tính 1.2.1.2 Định nghĩa 1.11 +) Phương trình tích phân có dạng b f ( s ) = λ ∫ Κ ( s, t )ϕ (t )dt (1.13) a được gọi là phương trình Fredhlom loại I, trong đó f ( s ) là hàm chưa biết, Κ ( s, t ) là những hàm cho trước, λ là tham số +) Phương trình tích phân có dạng b ϕ ( s ) = f (... s, t )ϕ (t )dt (1.14) a được gọi là phương trình Fredholm loại II, trong đó ϕ ( s ) là hàm chưa biết, f ( s ) và Κ ( s, t ) là những hàm cho trước, λ là tham số +) Nếu f(s) = 0 thì phương trình (1.14) trở thành b ϕ ( s ) = λ ∫ K ( s, t )ϕ ( t ) dt (1.15) a Phương trình (1.15) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.14) 1.2.1.3 Ví dụ 1.10 a) Phương trình tích phân Fredholm loại I ∞ f ( s ) = ∫ cos(ts... sai số tương đối 1.3.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số Xét một số thập phân dạng tổng quát: 20 a = ± ( α p 10 p + + α i 10i + + α p −s 10 p −s ) (1.17) trong đó α j ∈ Ν, ∀j ,α p ≠ 0,0 ≤ α j ≤ 9 Nếu (p – s) ≥ 0 thì a là số nguyên; nếu (p – s) = - k (k > 0) thì a là phần lẻ gồm k chữ số, nếu ( p − s ) → −∞ thì a là thập phân vô hạn Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số. .. f1 = ∫ t tdt = , b2 = ∫ t.tdt = 4 3 0 0 2 Phương trình (2.19) dẫn đến hệ phương trình tuyến tính 1 1 3 c1 − c2 = 4  5 4  2 c − 1 c = 1 3 1 4 2 3  (2.20) Nghiệm của hệ phương trình (2.20) là c1 = 61 80 , c2 = 119 119 Do đó nghiệm của hệ phương trình (2.18) là: ϕ ( s) = 61 80 2 180 80 2 s+ s +s= s+ s 119 119 119 119 * Ví dụ 2.4 Giải phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân suy biến 34 1... 2,5516 1 2  ϕo = 1  ⇔ ϕ1 = 1,002 ϕ = 0,9995  2 Vậy nghiệm của phương trình (2.7) là: ϕ ( s ) = 1 Sử dụng công thức (2.6) ta có thể viết nghiệm gần đúng của phương trình đã cho: s  s 2 ϕ ( s ) = e − 1 + 4.1,002.e + 0,9995.e s ÷ 6  s 2.2 Phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân suy biến Xét phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II b ϕ ( s ) = f ( s ) + λ ∫ K ( s, t ) ϕ ( t ) dt... phương pháp giải gần đúng phương trình (2.1.1) và (2.1.2) theo cách tiếp cận giải tích hoặc số trị Sau đây ta nghiên cứu phương pháp Nystrom (phương pháp tổng hữu hạn) Chọn một công thức tính gần đúng tích phân xác định Công thức này có dạng: b n a k =0 ∫ φ (s)ds =∑ Akφk (2.3) trong đó: +) φk = φ ( sk ) , k = 0, 1, 2,…, n +) sk = a +k.h; h = b−a ; k = 0, 1, 2,…, n n +) Ak là các hệ số trong công thức (2.3) . về phương trình tích phân Fredholm: • Nghiên cứu phương trình tích phân Fredholm và hệ thống lại một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm. • Vận dụng các phương pháp giải phương. Hilbert, phương trình tích phân tuyến tính và các ví dụ về phương trình tích phân, số gần đúng và sai số làm cơ sở cho các chương sau. Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm Chương. các phương pháp: • Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình tích phân Fredholm và một số phương pháp giải phương trình tích phân