Một số phương pháp giải phương trình tích phân fredholm

Nó có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân với các điều kiện xác định hoặc để giải quyết một số

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài khóa luận

Nhiều vấn đề toán học (phương trình vi phân với điều kiện ban đầu hay điều kiện biên), cơ học, vật lý, dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết ở dưới dấu tích phân Những loại phương trình đó gọi là phương trình tích phân Phương trình tích phân được xem như là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp xỉ, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa, Nó có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân với các điều kiện xác định hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân không thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền Vì vậy việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học

Phương trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong giải tích hàm được xây dựng từ các bài toán thực tế trong vật lý, hóa học và nhiều ngành khoa học ứng dụng khác Vận dụng lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert vào việc khảo sát các phương trình tích phân thường gặp nhất, gọi là phương trình Fredholm

- Phương trình tích phân có dạng

( ) ( , ) ( )

b a

được gọi là phương trình Fredholm loại II, trong đó ( )ϕ s là hàm chưa biết, ( )

f s và ( , )Κ s t là những hàm cho trước, λ là tham số

Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Đồng thời, đóng góp thêm một số lời giải chi tiết cho một vài bài toán cụ thể có liên quan đến phương trình tích phân

Fredholm, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương

trình tích phân Fredholm” làm khóa luận tốt nghiệp Đại học.

2 Mục tiêu khóa luận

Khóa luận tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về phương trình tích phân Fredholm:

• Nghiên cứu phương trình tích phân Fredholm và hệ thống lại một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm

• Vận dụng các phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm để giải một số bài tập liên quan đến phương trình tích phân Fredholm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của giải tích hàm, phương trình tích phân Fredholm

• Làm rõ một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm

• Minh họa qua các ví dụ, bài tập cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được những kết quả cần thiết, tôi sử dụng các phương pháp:

• Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình tích phân Fredholm và một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm Sau đó phân hóa, hệ thống các kiến thức

• Một số phương pháp và công cụ của giải tích hàm, phương pháp giải phương trình tích phân, phương pháp số gần đúng

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân Fredholm

• Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chủ yếu nghiên cứu về một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm

6 Ý nghĩa khoa học

Khóa luận được hoàn thành sẽ đóng góp một tài liệu tham khảo hữu ích cho các thầy cô giáo, các bạn sinh viên khoa Toán Về bản thân bên cạnh việc được tìm hiểu sâu hơn về phương trình tích phân Fredholm còn được nâng cao kiến thức cơ sở về Giải tích hàm

Nội dung khóa luận chủ yếu đề cập tới một số phương pháp giải phương

trình tích phân Fredholm Song bên cạnh đó, ở phần kiến thức cơ sở, khóa

luận cũng đề cập tới một số vấn đề liên quan khác như: Các kiến thức về giải tích hàm, số gần đúng và sai số, v.v… những kiến thức được đưa thêm vào đó không chỉ phục vụ cho việc làm khóa luận này mà còn có thể giúp cho bạn đọc có thêm kiến thức để học tốt học phần Giải tích hàm

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành các chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này hệ thống lại một số lý thuyết trên không gian Hilbert và toán

tử trên không gian Hilbert, phương trình tích phân tuyến tính và các ví dụ về phương trình tích phân, số gần đúng và sai số làm cơ sở cho các chương sau

Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm

Chương này trình bày một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm loại 2 như: Phương pháp Nystrom (thay nhân bằng tổng hữu hạn),

phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân suy biến, phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân không suy biến, phương trình tích phân tuyến tính loại II với nhân đối xứng, phương pháp xấp xỉ liên tiếp,.

Chương 3: Các bài tập áp dụng

Chương này trình bày một số bài tập có lời giải cụ thể và đưa ra một số bài tập không có lời giải

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ1.1 Các khái niệm cơ bản của Giải tích hàm

1.1.1 Không gian định chuẩn

1.1.1.1 Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực

hoặc phức), hàm thực × : X→¡ thoả mãn ba tính chất:

(i) x ≥ 0 ∀ ∈ Χx , x = ⇔ = ∀ ∈ Χ0 x 0, x

(ii) x y+ ≤ x + y , ∀x y, ∈ Χ

(iii) λx = λ. x , ∀ ∈ Χx , ∀ ∈Κλ

Được gọi là một chuẩn trên Χ, cặp (Χ, ×) được gọi là không gian tuyến

tính định chuẩn, hay không gian định chuẩn.

• Trong một không gian tuyến tính định chuẩn X

( )i Phép cộng và phép nhân vô hướng là một ánh xạ liên tục

( )ii Chuẩn × là một hàm số liên tục trên X

Chứng minh.

( )i : Giả sử hai dãy { } { }x n , y trong không gian định chuẩn X, lần lượt n

hội tụ tới x y thuộc X, tức 0, 0 limx n =x 0, limy n = y và 0 { }λn là dãy số trong trường K với limλn = ∈Κλ0

Từ (1.1.1) và (1.1.2) suy ra: x − y ≤ −x y Do đó, với { }x là một dãy phần n

tử trong X mà hội tụ tới x0∈ Χ thì

1.1.2 Không gian Banach

1.1.2.1 Định nghĩa1.2 Một không gian định chuẩn (X, ) đầy đủ đối với mêtric xác định bởi chuẩn được gọi là một không gian Banach

∗ Dãy { }x trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu: n

n

i i n

• ¡ , £ là những không gian Banach với chuẩn xác định bởi

x = x, với mọi x∈¡ hoặc x∈£

• B(T) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi

1.1.2.2 Định lý 1.1 Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và

chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

x , khi đó với mọi số

Suy ra { }S là một dãy cơ bản trong không gian X, vì X là không gian n

Banach nên dãy này hội tụ, do đó chuỗi

x x (1.3)

Ta chọn các k sao cho: n k1 <k2 < < <k3 k n < thì ta sẽ có dãy con { }x k n

của dãy { }x hội tụ trong X, vì từ (1.1.3) suy ra n

1

12

1.1.3 Không gian Banach khả li

1.1.3.1 Định nghĩ 1.3 Không gian Banach X được gọi là khả li (hay tách được)

nếu tồn tại một dãy { }x các phần tử của X trù mật khắp nơi trong X.

1.1.3.2 Ví dụ 1.3 Không gian các hàm số liên tục trên [ ]0,1 kí hiệu là C[ ]0,1 , là

không gian khả li với dãy { }x n ⊂C[ ]0,1 xác định bởi: x0 =1, x t n( ) =t n n, ∈¥ trù mật khắp nơi trong C[ ]0,1 .

1.1.4 Không gian Hibert

1.1.4.1 Khái niệm không gian tiền Hilbert

Cho E là một không gian vectơ trên trường K, hàm : E Eϕ × →¡ thỏa mãn:

(i)ϕ(x, y) = ϕ(y, x , x, y E.) ∀ ∈

(ii) ϕ +(x y,z) = ϕ( )x,z + ϕ( )y,z , x, y,z E∀ ∈

(iii) ϕ λ( x y, ) =λϕ( )x y, ,∀x y E, ∈ ,λ∈Κ

(iv) ϕ(x,x) ≥ ∀ ∈ ϕ0, x E, (x, x) = ⇒ = ∈0 x 0 E

Khi đó ϕ được gọi là một tích vô hướng trên E, thường kí hiệu là ,

(Ε, , ) được gọi là không gian tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert hoặc không gian Unita

1.1.4.2 Bất đẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền hilbert

Kí hiệu x = x x, , với mọi x∈Ε thì ta có:

Bất đẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức Schwarz

•Công thức x = x x, là một chuẩn trên không gian tích vô hướng E

∗ Nhận xét Mọi không gian tích vô hướng đều là không gian định chuẩn và

chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng ,××.

∗ Đẳng thức hình bình hành

,

2 x + y = +x y + −x y

1.1.4.3 Khái niệm không gian Hilbert

* Định nghĩa 1.3 Ta gọi không gian Hilbert là không gian tích vô hướng đầy

đủ (tức mọi dãy cơ bản đều hội tụ trong nó)

* Một số không gian Hilbert

+ Không gian tích vô hướng các số phức £ , với tích vô hướng , 'z z =zz' là không gian Hilbert

+ Không gian £ ¡k, k là những không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định lần lượt là:

x y x y , x=( )x n n,y=( )y n n∈l 2

1.1.4.4 Hệ thống trực giao và trực chuẩn

a) Vectơ trực giao Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng, ta có thể

định nghĩa khái niệm trực giao giống như trong không gian ¡ thông thường.3

Ta nói hai vectơ ,x y của một không gian Hilbert Η trực giao với nhau, và kí

⊥

x y nếu , x y =0

b) Một số tính chất đơn giản

+) Nếu x ⊥ y thì y⊥ x Ta nói x⊥ x khi và chỉ khi x=0, vectơ 0r trực giao với mọi vectơ

{ }x n ∈Μ:x =limx vậy n x ⊥ Μ kéo theo x⊥ x với mọi n , và do đó n x ⊥ x ,

rồi kéo theo x =0

∗ Nếu x ⊥ y thì 2 2 2

x y x y (đinh lý Pythago) Mở rộng { }y i i= 1,k

là một dãy các phần tử của H đôi một trực giao nhau thì khi đó

Một họ S các vectơ khác 0 trong không gian tích vô hướng E được gọi là một

hệ thống trực giao nếu x⊥ y với mọi , x y S x∈ , ≠ y

d) Hệ thống trực chuẩn

Hệ thống trực giao S thỏa mãn điều kiện x =1 với mọi x S thì S được ∈

gọi là một hệ trực chuẩn của Ε

* Ví dụ 1.4.

+) Trong không gian tích vô hướng l dãy các véctơ 2 x n =( )δmn n

(m n, ∈ Ν∗)

( )

1 2

π −∫ dx=

∗Nhận xét Mọi hệ trực giao đều độc lập tuyến tính.

e) Hệ trực chuẩn đầy đủ

Một hệ trực chuẩn { }e n n trong không gian tích vô hướng E gọi là đầy đủ

khi chỉ duy nhất vectơ 0r trực giao với tất cả các phần tử của hệ nghĩa là: x⊥e ( n

1, 2,

=

n ) theo x = 0.

f) Cở sở trực chuẩn

Hệ trực chuẩn B trong không gian tích vô hướng E được gọi là một cở sở trực chuẩn của E, nếu mọix E có biểu diễn duy duy nhất:∈

trong đó α ∈n E, x là các phần tử đôi một phân biệt trong B n

∗ Nhận xét Mỗi dãy trực chuẩn đầy đủ là một cơ sơ trực chuẩn.

1.1.4.5 Giá trị riêng, vectơ riêng

* Định nghĩa 1.4 Cho A là toán tử tuyến tính trong không gian vectơ E Số λ ∈Κ

được gọi là một giá trị riêng của A, nếu tồn tại vectơ u≠0 sao cho Au =λu,

vectơ ấy được gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.

* Nhận xét Tập hợp tất cả các vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ làm

thành một không gian con của E ứng với giá trị riêng λ.

* Ví dụ 1.5.

Cho H là không gian Hilbert, S⊂ Κ, P : S Η → S là phép chiếu trực giao tìm tất cả các giá trị riêng của P S

Xét phương trình: P u S =λu , λ ∈£ Tác động P vào hai vế của phương S

trình trên ta có:

Như vậy đối với toán tử chiếu thì chỉ có hai giá trị riêng là λ=1, λ=0

1.1.4.6 Không gian Hilbert tách được.

* Định nghĩa 1.5 Một không gian Hilbert gọi là tách được nếu nó có chứa

một dãy trực chuẩn đầy đủ Mọi không gian Hilbert hữu hạn chiều xem như là tách được

+) Không gian L[2− π π , ] là không gian Hilbert tách được với hệ trực chuẩn

1.1.4.7 Phiếm hàm song tuyến tính trên không gian Hilbert H

* Định nghĩa 1.6 Giả sử cho E là không gian vectơ trên trường phức £ Ánh xạ : E Eϕ × → Κ =£ được gọi là dạng song tuyến phức nếu thỏa mãn điều kiện sau:

(i) ϕ α( x1 +βx y = 2, ) αϕ( , )x y1 +βϕ( , )x y2

(ii)ϕ α( ,x y1 +βy2)=αϕ( , )x y1 +βϕ( , )x y2

trong đó ,α β ∈£ ; x x x y y y1, , , , ,2 1 2 ∈Ε

* Ví dụ 1.7.

+) Tích vô hướng là 1 dạng song tuyến tính phức

+) Cho A, B là các toán tử tuyến trên không gian tích vô hướng E, khi đó

ϕ1( x y, ) = Ax y , ; ϕ2( x y, ) = x By , ; ϕ =3 Ax Ay, ,∀x y, ∈Ε

là các dạng song tuyến tính phức trên E

* Định nghĩa 1.7 Cho ϕ là một dạng song tuyến tính trên không gian vectơ

E khi đó:

(i) ϕ được gọi là đối xứng nếu ϕ(x y, ) =ϕ( x y, ,) ∀x y, ∈Ε

(ii) ϕ được gọi là dạng song tuyến tính dương nếu ϕ( )x x, ≥ ∀ ∈Ε0, x (iii)ϕ được gọi là dạng song tuyến tính dương chặt nếu:

( )x x, 0, x 0

(iv) Nếu E là một không gian định chuẩn, ϕ được gọi là bị chặn nếu

1.1.4.8 Toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert

Giả sử Η1,Η2 là hai không gian Hilbert trên cùng trường K ánh xạ A từ

1

Η vào Η2là một toán tử tuyến tính liên tục, khi đó mọi kết quả của toán tử tuyến tính liên tục của không gian Banach đều được áp dụng ở đây

a) Toán tử tự liên hợp

Biết nếu A là một toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H vào chính

nó thì Ax y, ,∀x y, ∈Η là một phiến hàm song tuyến tính liên tục cho nên có

một toán tử tuyến tính liên tục duy nhất A∗ để cho:

, = , ∗ ,∀ , ∈Η

Toán tử A gọi là toán tử liên hợp của A ∗

Vì A bằng chuẩn của phiến hàm ∗ Ax y mà chuẩn của phiếm hàm này ,

lại bằng A nên A = A ∗

b) Toán tử đối xứng

Một toán tử liên tục A từ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là đối

xứng nếu toán tử liên hợp của nó chính là nó

c) Toán tử hoàn toàn liên tục

* Định nghĩa 1.8 Toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert H được gọi

là toán tử hoàn toàn liên tục nếu với mọi dãy bị chặn { }x các phần tử trong n

H, dãy { }Ax có dãy con hội tụ n

* Định lý 1.2 (Fubini )

Cho µ là độ đo σ - hữu hạn trên một σ - đại số M trong không gian X, γ

là độ đo σ- hữu hạn trên một σ - đại số N trong không gian Y, ( , )f x y là

một hàm đo được theo độ đo λ µ γ= × Nếu ( , )f x y không âm hoặc khả tích

Và khi ( , )f x y khả tích trên A B× thì, và hầu hết mọi y B , hàm số ( , )∈ f x y

xem như hàm số theo một biến x là khả tích trên A Đồng thời, với hầu hết mọi x A , hàm số ( , )∈ f x y xem như hàm số theo một biến y, là khả tích trên

B

1.1.4.9 Toán tử tích phân

* Định nghĩa 1.9 Cho một hàm hai biến K : [ ] [ ]a b, × a b, →£ là một hàm giá trị phức với lũy thừa bậc hai của mođun khả tích trên hình vuông [ ] [ ]a b, × a b,, tức là

Toán tử này được gọi là toán tử tích phân Fredholm sinh bởi ( , )Κ s t , ( , )Κ s t

được gọi là nhân hay hạch của toán tử này

Trước hết ta có thể thấy rằng đó là một toán tử tuyến tính liên tục trong

Κ khả tích theo t, với hầu hết mọi s, nghĩa là ( , )Κ s t xét như một hàm

của t, thuộc L[ ]2a b, Do đó tích phân (1.6) tồn tại với hầu hết mọi ϕ Cũng theo

định lý Fubini, hàm

2( ) ( , )2

b a

b a

Aϕ = A s dsϕ ÷ ≤ ϕ N

⇒ A là toán tử tuyến tính bị chặn ( hay A liên tục ), và:

1 2 2

1.2.1.1 Định nghĩa 10 Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm

chưa biết nằm trong dấu tích phân

* Ví dụ 1.9 Với a s t b ta có các phương trình tích phân:≤ , ≤

( ) ( , ) ( )

b a

f s =λ∫Κ s t ϕ t dt (1.9)( ) ( , ) ( )

b a

ϕ =λ∫Κ ϕ (1.11)( ) ( ) ( , ) ( )

s a

ϕ = +λ∫Κ ϕ (1.12)Thấy rằng:

- Hàm ẩn ( )ϕ s phải tìm có thể chỉ nằm trong dấu tích phân có thể nằm cả

ở ngoài dấu tích phân

- Một phương trình tích phân được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm là bậc một (ví dụ như các phương trình (1.9) và (1.10) là tuyến tính còn phương trình (1.11) không phải)

- Bằng biến đổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng đưa được về dạng ( A−λ ϕI) = f trong đó A là toán tử tích phân, khi đó nếu A là

toán tuyến tính thì phương trình tích phân đó là tuyến tính

Sau đây ta chỉ quan tâm tới phương trình tích phân tuyến tính

1.2.1.2 Định nghĩa 1.11.

+) Phương trình tích phân có dạng

( ) ( , ) ( )

b a

f s =∫e −ϕ t dt

b) Phương trình tích phân Fredholm loại II

1.3 Số gần đúng và sai số

1.3.1 Số gần đúng

Ta nói rằng a là số gần đúng của a* nếu như a không sai khác a* nhiều, hiệu

số ∆ =(a* −a) là sai số thực sự của a, nếu ∆ >0 thì a là giá trị gần đúng thiếu, cò nếu ∆ <0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a*

Vì rằng a* nói chung không biết nên cũng không biết ∆, tuy nhiên ta cũng

có thể thấy, tồn tại ∆ ≥a 0 thỏa mãn điều kiên:

δ = ∆ là sai số tương đối của a Rõ ràng ∆a,δa càng nhỏ càng tốt

Chú ý Nếu xét đoạn AB có số đo a = 100 mét và đoạn CD có số đo b = 10

mét, với ∆ = ∆a b = 0,01 mét Khi đó 0,01, 0,01

100 10

δ = δ = , vậy δb =10δa và phép đo đoạn AB chính xác hơn phép đo đoạn CD Từ đó ta thấy độ chính xác của một phép đo thường được phản ánh qua sai số tương đối

1.3.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số

Xét một số thập phân dạng tổng quát:

Nếu (p – s) ≥ 0 thì a là số nguyên; nếu (p – s) = - k (k > 0) thì a là phần lẻ gồm k chữ số, nếu ( p s− → −∞) thì a là thập phân vô hạn.

Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được số a gọn hơn và gần đúng với số a

Quy tắc làm tròn: xét số a ở dạng (1.17) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ I, phần bỏ đi là µ thì:

Xét số a ở dạng (1.17) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó chữ

số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những số 0 bị kẹp giữa hai chữ số khác 0

hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại

∆ ≤a ω.10 ,j ω là tham số cho trước

Tham số ω sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi

làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng αi là chữ số chắc thì αi+1 cũng là chữ số chắc

* Ví dụ 1.12 a = 0,01700030

Ta thấy hai chữ số 0 đầu tiên không có nghĩa, tất cả các chữ số còn lại kể từ

số 1 sang phải đều có nghĩa

Bây giờ ta sẽ bàn đến vấn đề chọn ω

Giả sử a viết ở dạng (1.17) và αi là chắc, vậy αi+1 vốn là chắc

Ta chọn ω sao cho khi làm tròn đến đúng bậc ( i+1) thì có αi+1 vẫn là chắc, muốn vậy ta phải có:

ω = thì người ta thường nói chữ số là chắc theo nghĩa hẹp.

Trong cuốn này, kể từ nay về sau nếu không chú thích gì thêm, ta chỉ cần xét chữ số chắc theo nghĩa rộng, đồng thời ta cũng quy ước rằng, khi viết chữ

số gần đúng thì hoặc là mọi chữ số đều chắc hoặc là chỉ rõ sai số

i

=

∆ =∑ ∆ (1.18)Vậy:

=

=∑ thì 'y x i =1, vì vậy ta có:

1

n i i

=

=∑ bé về giá trị tuyệt đối thì ∆y y

lớn, phép tính sẽ kém chính xác Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến hiệu của hai số gần nhau

α = k∈¥ (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.*

d) Sai số của phép tính logarit: y = lnx.

Xét y = lnx, ta có ∆ =y δx

* Ví dụ 1.15

Biết diện tích hình vuông S = 12,34 và ∆ =S 0,01 Hãy tính cạnh của hình vuông

1.3.5 Bài toán ngược của sai số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức :y= f x x( 1, , ,2 x n)

Yêu cầu đặt ra là cần tìm ∆x i như thế nào để y∆ ≤ε , với ε là cho trước

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có :

PHÂN FREDHOLM2.1 Phương pháp Nystrom (thay nhân bằng tổng hữu hạn)

Xét phương trình tích phân dưới dạng Fredholm: Tìm hàm ϕ = f s( ),

[ ];

s∈ a b thỏa mãn phương trình loại I:

( ) ( ), ( )

b a

∫ (2.1)

Và loại II: ( ) ( ) ( ), ( )

b a

ϕ −λ∫ ϕ = (2.2)

Trong đó K, f là các hàm biết trước.

Có nhiều phương pháp giải gần đúng phương trình (2.1.1) và (2.1.2) theo cách tiếp cận giải tích hoặc số trị Sau đây ta nghiên cứu phương pháp Nystrom (phương pháp tổng hữu hạn)

Chọn một công thức tính gần đúng tích phân xác định Công thức này có dạng:

Như vậy ta có thể viết nghiệm gần đúng của phương trình (2.1) dưới dạng

đa thức nội suy và nghiệm gần đúng của phương trình (2.1.2) dưới dạng:

0 4.0.e 0

610,5 4.0,5.e 0,5

61

11

4.e12

1

4e6

1 2

11,428 0,1374 1,56541,099 1,453 2,5516

o

ϕϕϕ

Vậy nghiệm của phương trình (2.7) là: ϕ( )s =1

Sử dụng công thức (2.6) ta có thể viết nghiệm gần đúng của phương trình

2.2 Phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân suy biến

Xét phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II

( ) ( ) ( ) ( ),

b a

hữu hạn, thì ta nói nhân Kn(s, t) là nhân suy biến

Ở đây Ai(s), Bi(t), i = 1, 2, , n, được giả thiết là những hệ độc lập tuyến tính trong không gian C[a, b]

Nhân suy biến bao gồm các đa thức và nhiều hàm siêu việt chẳng hạn các nhân t + s, t – s, sin(t + s), et – s, là các nhân suy biến

Chú ý rằng nhân K(s, t) = ets tuy là nhân không suy biến nhưng ta có thể xấp xỉ K(s, t) bằng nhân suy biến với độ chính xác tùy ý bằng khai triển Taylor

( )

k n ts k

ts e

n n

= ∑ là giả thức của nhân Kn (s, t).

Như vậy, thuật toán giải phương trình (2.9) với nhân suy biến gồm các bước sau:

là nghiệm của phương trình đã cho.

* Ví dụ 2.3 Giải phương trình tích phân Fredholm loại II

1

4

a =∫t tdt = ,

1

2 2 12

0

1

5

a =∫t t dt = ,

1 21

0

1

3

a =∫t tdt = ,

1 2 22

0

1

4

a =∫t t dt = ,

1 2 1

0

1

4

f =∫t tdt = ,

1 2 0

1

Ta có nhân K(s, t) = - et+s = - et.es cho A(s) = - es và B(t) = et.

Ta tìm nghiệm của phương trình dưới dạng,

( ) ( ) ( ) ( ),

b a

ϕ = +λ∫ ϕ (2.22)

Giả sử ( , )K s t =K s t n( , )+δn( , );s t lim max, n( , )

n a s t bδ s t

→∞ ≤ ≤ =0 (2.23)Khi đó phương trình (2.22) có dạng:

là nghiệm gần đúng của phương trình tích phân tuyến tính (2.22)

Bây giờ ta đánh giá sai số của phương pháp nhân không suy biến

đây là phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến

Do đó, dựa vào công thức (2.13) ta có:

= ∑ là giả thức của nhân Kn (s, t)) thì nghiệm

của phương trình này được xác định theo công thức:

F s = f s −λ∫K s t −K s t ϕ t dt ∀ ∈s b

Dựa vào công thức (2.13) ta có:

( ) ( ) ( , , ) ( )

b n a

Như vậy ta có định lý sau:

Định lý 2.1 Giả sử điều kiện (2.23) được thỏa mãn, D( )λ ≠0 và

λ (b a− )δn1+ λ R b a n*( − )<1

Khi đó dãy các hàm số ϕn( )s được xác định theo công thức (2.13) hội tụ tới nghiệm của phương trình (2.22) và tốc độ hội tụ được đánh giá theo công thức (2.27).

2.3.2 Một số ví dụ

Ví dụ 2.4 Giả phương trình

( ) s ( ) s

b t a

ϕ =λ∫ ϕ + (2.28)

Lời giải

Ta có: K s t( , )=est, f s( )=es

Nhân K s t là nhân không suy biến.( ),

Sử dụng khai triển taylor ta có:

e r

n k

k

st e