MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN y ''+ 10 y '+ 25 y = 4e −5 x y ''+ y = cos x y ''+ y = cos x y ''+ y '+ y = y ''− y '+ y = 25e x sin x y ''+ y = x 2cos x y ''+ y = cos3 x y ''− y ' = e3 x − 18 x y ''− y '+ 20 y = x 2e x 10 y ''+ y '+ y = 3e − x x + 11 y ''+ y '+ y = e − x sin x 12 y ''+ y '+ y = 2sin x + cos x 13 y ''− y ' = e x 14 y ''− y '− y = e x x 15 y ''+ y = cos2 x 16 y ''− y '+ y = e x (3 − x ) 17 y ''− y ' = x + e x 18 y ''+ y = x sin x 19 y ''+ y ' = x 2e x 20 yy '' = ( y ') + y 21 xy ''− y ' = x ln x ; Tìm nghiệm riêng thỏa mãn: y (1) = − , y '(1) = −1 22 y '''− y '' = 12 x + x 23 y ''+ y '+ y = e − x sin x 24 y ''− y' − x( x − 1) = 0; Điều kiện ban đầu: y (2) = 1, y '(2) = −1 x −1 25 y '''− y ''+ y '− y = x + x 26 1 x y '''+ x y '' = ; Điều kiện ban đầu: y (1) = , y '(1) = , y ''(1) = −1 2 27 y''– 4y' = –12x – 6x – 28 y "+ 2x y ' − y = , biết nghiệm riêng y1 ( x ) = x − x2 − x2 29 y ''− y '+ y = e x + sin x 30 y ''− y '+ y = + x 31 y ''− y ' = − x 32 y ''− y ' = e3x − 18x 33 y ''+ y '+ y = 1 + e2 x 34 xyy′′ − xy′2 − yy′ = 35 y ''+ y 't anx − y cos x = , biết phương trình có nghiệm y1 ( x ) = eα s inx 36 y ''+ y = sinx + cos2 x 37 x (ln x − 1) y ''− xy '+ y = , biết phương trình có nghiệm y1 ( x ) = xα ,α ∈ ¡ 38 y '''− y ' = e x 39 y '''+ y ' = tan x 40 y ''− y ' = e x + x 41 y ''− y '+ y = x + e x 42 xy ''− y ' = x 2e x 43 y ''+ y = x sin x 44 y ''− y '+ y = xe3 x 45 y '' = y' x LỜI GIẢI Giải phương trình đặc trưng k + 10k + 25 = , k1 = k2 = −5 Nghiệm tổng quát phương trình y = (C1 + C2 x)e −5 x α = −5 nghiệm kép phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng y * phương trình không có dạng y * =Ax 2e −5 x Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có A = y * = x 2e −5 x Nghiệm tổng quát phương trình cho y = (C1 + C2 x)e −5 x + x 2e −5 x Phương trình tương ứng y = C1 cos x + C2 sin x y′′ + y = có nghiệm tổng quát là: Coi C1 , C2 hàm số: y = C1 ( x) cos x + C2 ( x)sin x Các hàm số C1 , C2 xác định từ hệ: C1′ cos x + C2′ sin x =   Từ : −C1′ sin x + C2′ cos x = cos x sin x  ′ C1 = ln cos x C1 = − cos x ⇒   C2 = x C2′ = * Nghiệm riêng cần tìm y = cos x ln cos x + x sin x Nghiệm tổng quát phương trình : y = C1 cos x + C2 sin x + cos x ln cos x + x sin x Giải phương trình đặc trưng k + = , k1 = 2i; k2 = −2i Ta có ±2i nghiệm đơn phương trình đặc trưng Vậy nghiệm phương trình vi phân có dạng: Y = x( A cos x + B sin x) Đạo hàm: Y ′ = A cos x + B sin x + x(−2 A sin x + B cos x) Y ′′ = −4 A sin x + B cos x + x( −4 A cos x − B sin x) Thay vào phương trình ta được: −4 A sin x + B cos x = cos x ⇒ A = 0; B = Vậy nghiệm riêng phương trình là: Y= x sin x 4 Giải phương trình đặc trưng k + 5k + = , k1 = −2; k2 = −3 Nghiệm tổng quát phương trình y = C1e −2 x + C2e −3 x Vì α = không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng y * phương trình không có dạng: y * = A Tính y *′ ; y*′′ , vào phương trình đầu ta được: 1 A = ⇔ A = Do đó: y * = 2 Nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = C1e −2 x + C2e −3 x + Giải phương trình đặc trưng k − 6k + = , k1 = k2 = Nghiệm tổng quát phương trình y = (C1 + C2 x)e3 x Vì α = 1; β = số phức λ = ± i không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng y1 phương trình không có dạng: y1 = e x ( A cos x + B sinx) Tính y1′; y1′′ , vào phương trình đầu ta được: (3 A − B) cos x + (4 A + 3B )sinx = 25sinx ⇔ A = 4; B = Do đó: y1 = e x (4cos x + 3sinx) Nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = (C1 + C2 x)e3 x + e x (4cos x + 3sinx) Phương trình đặc trưng k + = có nghiệm k = ±i Do nghiệm tổng quát phương trình tương ứng là: y = C1 cos x + C2 sinx x x cos x Vì x cos x = + Nên ta phải tìm nghiệm riêng y1′; y2′ hai 2 2 phương trình: y′′ + y = x2 x cos x x2 ′′ ′ y + y = Ta tìm được: y1 = − 2  13 x  x sin x y2′ =  − ÷cos x +  27  Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = C1 cos x + C2 sinx +  13 x  x2 x sin x − +  − ÷cos x +  27  Ta có nghiệm tổng quát phương trình tương ứng là: y = C1 cos x + C2 sinx Vì cos3 x = cos x + cos x Nên ta phải tìm nghiệm riêng y1* phương trình 4 y′′ + y = cos3 x y2* phương trình y′′ + y = cos x 4 Ta tìm được: y * = y1* + y2* = − 3cos x x sinx + 32 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = C1 cos x + C2 sinx − 3cos3 x x sinx + 32 8 Giải phương trình đặc trưng k − 3k = ⇔ k1 = 0; k = Nghiệm tổng quát phương trình là: y = C1 + C2e3 x Tìm nghiệm riêng y1′ phương trình: y′′ − y′ = e3 x (1) Vì α = nghiệm đơn phương trình (1) nên y1′ = Axe3 x 1 Thay vào (1) A = Vậy y1′ = xe3 x 3 Tìm nghiệm riêng y2′ phương trình: y′′ − y′ = −18 x (2) Vì α = nghiệm đơn phương trình (2) nên y2′ = x( Bx + C ) Thay vào (2) B = 3; C = Vậy y2′ = x(3x + 2) Nghiệm tổng quát phương trình cho y = C1 + C2e3 x + xe3 x + x (3x + 2) y ''− y '+ 20 y = x 2e x Giải phương trình đặc trưng k − 9k + 20 = , k1 = k2 = Nghiệm tổng quát phương trình y = C1e x + C2e5 x α = nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y1 = x(Ax +Bx+C)e x Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có 1  A = − ; B = −1; C = −2 y1 = −  x +x + x ÷e x 3  Nghiệm tổng quát phương trình cho 1  y = C1e x + C2e5 x −  x +x + x ÷e x 3  10 Giải phương trình đặc trưng: k + 2k + = ⇔ k1 = k2 = −1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình tương ứng là: y = (C1 + C2 x)e − x Coi C1′e − x + C2′ xe − x = C1 ; C2 hàm x Xác định hàm từ hệ:  −x −x −x −x x +1 −C1′e + C2′e − C2′ xe = 3e Ta được: C1′ = −3x x + 1; C2′ = x + Do ta có: C1 = 2( x + 1) − (1 + x) + C1* ; C2 = 2( x + 1) + C2* Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = e (C + C x + (1 + x) ) −x * * 11 Giải phương trình đặc trưng k + 2k + = , k1,2 = −1 + 2i Nghiệm tổng quát phương trình y = (C1cos2 x + C2 sin x)e − x , f ( x) = e − x sin x Tìm nghiệm riêng α = −1 + 2i nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y* = xe − x (Acos2 x + B sin x) Tính y * ', y * '' thay y * ', y * '', y * vào phương trình cho ta xác định A = 0, B = 1 y* = xe − x sin x 4 Nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = (C1cos2 x + C2 sin x)e − x + −x xe sin x 12 y ''+ y '+ y = 2sin x + cos x Giải phương trình đặc trưng k + k + = , k1,2 = − ± i 2 Nghiệm tổng quát phương trình là: y=e − x  7  x + C2 sin x÷  C1cos 2   f(x) = 2sin x + cos x nên nghiệm riêng có dạng y* = A sin x + B cos x , Tính y*', y*'' thay vào phương trình cho ta có A = − , B = , 2 suy y* = − sin x + cos x 2 Nghiệm tổng quát phương trình cho y=e − x  7  x + C2 sin x ÷− sin x + cos x  C1cos 2  2  13 y ''− y ' = e x Phương tương ứng có dạng y ''− y ' = , phương trình đặc trưng có nghiệm 0,1 Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 + C2e x f ( x) = e x α = nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y* = Axe x Tính y * ', y * '' thay vào phương trình cho ta có A = y* = xe x Nghiệm tổng quát phương trình cho y = C1 + C2e x + xe x 14 y ''− y '− y = e x x • Xét phương trình y ''− y '− y = Phương trình đặc trưng k − 2k − = , k1 = −1, k2 = Nghiệm tổng quát phương trình là: y = C1e − x + C2 e3 x Vì α = không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình cho có dạng Y = e x ( Ax + Bx + C ) , Tính Y', Y'' thay vào phương trình cho ta tìm 1 A = − , B = 0, C = 4 1 x  −1 • Phương trình có nghiệm riêng Y = e  x + ÷ 4  Vậy, nghiệm tổng quát phương trình cho : 1  −1 y = y + Y = e x  x + ÷+ C1e − x + C2e3 x 4  15 y ''+ y = cos2 x Phương tương ứng có dạng y ''+ y = , phương trình đặc trưng có nghiệm i,-i Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 cos x + C2 sinx f ( x) = cos x α = không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y* = Acos2 x + B sin x Tính y * ', y * '' thay vào phương 1 trình cho ta có A = − , B = y* = − cos2 x 3 Nghiệm tổng quát phương trình cho y = C1 cos x + C2 sinx − cos2 x 16 y ''− y '+ y = e x (3 − x) Phương trình đặc trưng có dạng: k − 3k + = ⇒ k1 = 1; k2 = Nghiệm tổng quát phương trình là: y = C1e x + C2e x Vì α = nghiệm phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng y * * x x phương trình cho dạng: y = xe ( Ax + B ) = e ( Ax + Bx ) Ta tính y *′ y *′′ Thay y * ; y*′ ; y *′′ vào phương trình cho rút gọn ta được: e x ( 2Ax + A − B ) = e x ( − x ) hay − 2Ax + A − B = − x Đồng thức hai vế ta có −2 A = −4 ⇒ A = 2; B =  A − B =  * x Vậy nghiệm riêng phương trình dã cho có dạng: y = e ( 2x + x ) Suy x x 2x nghiệm tổng quát phương trình cho y = e ( 2x + x ) + C1e + C2e 17 y ''− y ' = x + e x Phương tương ứng có dạng y ''− y ' = , phương trình đặc trưng có nghiệm 0,1 Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 + C2e x f ( x) = x + e x Tìm nghiệm riêng ứng với f1 ( x) : y ''− y ' = x (1) α = nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y1 = x(Ax+B) Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có A = − , B = −1 y1 = x (− x-1) Tìm nghiệm riêng ứng với f ( x) : y ''− y ' = e x (2) α = không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 = Ae x , Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A = 1 y2 = e x 2 Nghiệm tổng quát phương trình cho 1 y = C1 + C2e x + x (− x-1) + e x 2 18 Phương trình đặc trưng có hai nghiệm k = ±i , nghiệm tổng quát phương trình tương ứng là: y = C1cosx + C2sinx Mặt khác α ± iβ = ±i nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình có dạng Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx] Từ tính Y', Y'' thay vào phương trình cho ta được: (4Cx + 2A + 2D)cosx + (– 4Ax – 2B + 2C)sinx = 4xsinx Đồng ta được:  4C =  A = −1  A + 2D =  B=0   ⇔   −4 A = C =0 −2 B + 2C =  D = Từ Y = x(– xcosx + sinx) nghiệm tổng quát phương trình là: C2sinx + x(– xcosx + sinx) y = C 1cosx + 19 Giải phương trình đặc trưng k + k = , k1 = 0, k2 = −1 Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 + C2e − x , f ( x) = x 2e x Tìm nghiệm riêng α = không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y* = e x (Ax +Bx+C) Tính y * ', y * '' thay y * ', y * '', y * vào x phương trình cho ta xác định A = 2, B = −6, C = y* = ( 2x − x + ) e Nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = C1 + C2e − x + ( 2x − x + ) e x 20 Đặt y ' = z ta phương trình yz y du u = u + y ⇔ u '− = y (*) Giải dy y u '− dz = z + y Đặt u = z ta có dy phương trình tương ứng u = ta nghiệm u = Cy , coi C hàm số theo biến y tính u ' thay y vào phương trình (*) ta tìm trình (*) u = C1 y + y C = C1 + y Nghiệm tổng quát phương nên ta có z = C1 y + y Hay y '2 = C1 y + y Nghiệm tổng quát phương trình ln y + C1 + C1 y + y = ± x + C2 y = nghiệm riêng 21 Đặt y' = p ta phương: xp'-p = x lnx Phương trình tuyến tính cấp hàm p Nghiệm tổng quát : p= x lnx - x + C Theo cách đặt ta có: y' = p hay y' = x lnx - x + C x3 x3 x ln x − − + C1 Suy y = Từ điều kiện y (1) = − ; y'(1)=-1 → C1 = Vậy nghiệm riêng phương trình là: y = x3 x3 x3 ln x − − 22 y '''− y '' = 12 x + x Giải phương trình tương ứng y '''− y '' = Phương trình đặc trưng λ − λ = có nghiệm λ = 0, ±1 Phương trình có nghiệm tổng quát y = C1 + C2 x + C3e x Với α = nghiệm kép phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình cho có dạng y* = x ( A1 x + A2 x + A3 ) tính y*’; y*’’;y*’’’ sau vào phương trình cho đồng hai vế ta thu được: A1 = −1; A2 = −5; A3 = −15 Nghiệm riêng phương trình cho y* = x (− x − x − 15) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = C1 + C2 x + C3e x − x − 5x − 15x 23 Giải phương trình đặc trưng k + 2k + = , k1,2 = −1 + 2i Nghiệm tổng quát phương trình y = (C1cos2 x + C2 sin x)e − x , f ( x) = e − x sin x Tìm nghiệm riêng α = −1 + 2i nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y* = xe − x (Acos2 x + B sin x) Tính y * ', y * '' thay y * ', y * '', y * vào phương trình cho ta xác định A = 0, B = 1 y* = xe − x sin x 4 Nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = (C1cos2 x + C2 sin x)e − x + −x xe sin x p = x( x − 1) (1) (phương trình tuyến tính cấp hàm p) Giải x −1 phương trình tương ứng 24 Đặt y' = p ta p '− p '− p = ta có p = C ( x − 1) , coi C = C(x) thay p, p' vào phương trình (1) tính C x −1  x2  từ nghiệm tổng quát (1) p =  + C1 ÷( x − 1) Từ điều kiện y'(2)= -1 ⇒ C = -3    x2  x x3 3x + 3x + C2 Từ điều kiện y'(2)=1 → Do y ' =  − ÷( x − 1) ⇒ y = − −   1 C2 = Nghiệm riêng phương trình là: y = (3x − 4x − 36x + 72x + 8) 24 25 Phương trình đặc trưng λ − λ + λ − = có nghiệm λ1 = 1; λ2 = i; λ3 = −i suy nghiệm tổng quát phương trình y = C1e x + C2cosx + C3sinx Vì α = không nghiệm phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng phương trình cho dạng y* = a1 x + a2 x + a3 Tính y*’,y*’’ sau thay y*, y*’,y*’’ vào phương trình cho ta tìm a1 = −1;a = −3;a = −1 , ⇒ y* = − x − 3x − Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = C1e x + C2cosx + C3sinx-x − 3x − 26 Đặt y '' = p ⇒ y ''' = p ' thay vào phương trình cho ta có phương trình dp + p = (phương trình tuyến tính cấp 1) dx x x Giải phương trình tương ứng Ta có nghiệm p = dp + p=0 dx x C dp + p= coi C = C(x) tính p' Thay p, p' vào phương trình x dx x x (1) ta tính C từ tìm nghiệm tổng quát phương trình (1) p = − y ''(1) = −1 ⇒ C1 = suy y '' = − y=− C1 + Từ x3 x 1 y ' = + C2 Từ y '(1) = ⇒ C2 = suy suy x 2x 1 + C3 Từ điều kiện y (1) = ⇒ C3 = Vậy nghiệm riêng cần tìm y = − + 2x 2x • Phương trình đặc trưng: k2 – 4k = 0, có hai nghiệm phân biệt k = k = 27 • Do α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng nên phương trình cho có nghiệm riêng Y = x(Ax2 + Bx + C) = Ax3 + Bx2 + Cx Từ tính Y', Y'' Thay vào phương trình cho ta được, đồng hóa hệ số suy A = 1; B = ; C= Y = x3 + x + x • Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng với phương trình cho là: y = C1 + C2e4x • Nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = y + Y = C1 + C2e4x + x3 + x2 + x 28 Ta tìm nghiệm riêng y2 = x.u ( x ) Xác định u ( x ) ? Ta tính y '2 , y ''2 thay vào phương trình cho ta được: x ( − x ) u "+ 2u ' = Đặt u ' = z ⇒ u " = z ' ⇒ x ( − x ) z '+ z = ⇒ dz 2dx − x2 =− , z = c1 , chọn z x ( − x2 ) x − x2 c1 = ⇒ z = x du 1   = − ⇒ du =  − 1÷dx ⇒ u = − − x + c2 dx x x x  Ta cần lấy nghiệm riêng u ( x ) ≠ const nên chọn c2 = , 1 1   u = −  x + ÷ ⇒ y2 = − x  x + ÷ = − ( x + 1) x x   rõ ràng y1 y2 độc lập tuyến tính Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: y = c1 x − c2 ( x + 1) 29 Phương trình đặc trưng k − 4k + = (*) có nghiệm phức liên hợp k1,2 = ± 2i Nghiệm tổng quát phương trình là: y = C1e x sin x + C2 e x cos x Xét phương trình y ''− y '+ y = e x (1) ta thấy α = không nghiệm phương trình (*) nên ta tìm nghiệm riêng dạng Y1 ( x) = A.e x Tính đạo hàm cấp 1,2 thay vào 1 Vậy nghiệm riêng tìm Y1 ( x) = e x Xét phương trình 4 y ''− y '+ y = sin x (2) Ta thấy α ± β i = 2i không nghiệm phương trình (*) nên ta tìm nghiệm dạng Y2 ( x) = B.sin x + C.cos x (1) ta tìm A = Tính đạo hàm cấp 1,2 thay vào phương trình (2) ta tìm B = riêng phương trình (2) tìm Y2 ( x) = quát phương trình cho y = 1 ; C = Nghiệm 20 10 1 sin x + cos x Vậy nghiệm tổng 20 10 2x 1 e + sin x + cos x + y 20 10 30 Phương trình đặc trưng có nghiệm kép k = nghiệm tổng quát phương trình y = (C1 + C2 x)e x , α = ≠ , P(x) = + x đa thức bậc Vậy nghiệm riêng phương trình cho có dạng Y = e0 x ( Ax + B ) , hay Y = Ax + B thay Y', Y'' vào phương trình cho ta tìm A = B – 2A = 1, suy A = 1, B = nên Y = x + Từ nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = (C1 + C2 x)e x + x + 31 y ''− y ' = − x Giải phương trình tương ứng y ''− y ' = Phương trình đặc trưng k − 3k = có nghiệm k1 = 1, k2 = nghiệm tổng quát phương trình y = C1 + C2e3 x , α = nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình cho có dạng P(x) = x (Ax + B) thay Y', Y'' vào phương trình cho ta tìm A = 1, B = nên Y = x Từ nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = C1 + C2e3 x + x 32 PT đặc trưng k − 3k = ⇔ k1 = 0, k = Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 + C2e3x Tìm nghiệm riêng y1* phương trình y ''− y ' = e3x (1) Vì α = nghiệm PT đặc trưng nên nghiệm riêng y1* PT (1) có dạng y1* = Ax.e3x thay y1* , y1* ', y1* '' vào (1) ta tìm A = Tìm nghiệm riêng y2* PT : y ''− y ' = −18xe0x (2) Vì α = nghiệm đơn PT đặc trưng nên nghiệm riêng y2* PT (2) có dạng : y2* = x( Bx + C ) tương tự ta tìm C = 2, B = Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y = C1 + C2e3x + xe3x + x (3x + 2), C1,2 = const 33 Phương trình tương ứng y "+ y '+ y = có nghiệm tổng quát y = C1e −3 x + C2e−2 x Vì f ( x) = e +1 2x dạng đặc biệt nên ta tìm nghiệm riêng dạng y * ( x) = α1 ( x)e −3 x + α ( x)e −2 x , α1 ( x) , α ( x) xác định từ hệ suy α '1 ( x)e −3 x + α '2 ( x)e −2 x =   −3 x −2 x −3α '1 ( x)e − 2α '2 ( x)e = x e +1   −e3 x α1 ( x) = −e x + arctan e x + C1 α '1 ( x) = (e x + 1)   ⇔  2x 2x α ' ( x) = e α ( x) = ln(1 + e ) + C2   (e x + 1) Do ta cần tìm nghiệm riêng nên số sau tích phân chọn Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y = C1e −3 x + C2e −2 x + ( − e x + arctan e x ) e −3 x + ln(1 + e x )e −2 x 34 y ' = yz Đặt ta có y′′ = y ( z + z ' ) Bởi sau thay giá trị y ', y " phương trình cho đơn giản cho hay y2 ta x ( z + z ') − xz − z = 0, xz '− z = Tích phân phương trình ta z = C1 x, Do nghiệm tổng quát phương trình cho vào y = C2 e C1 x hay y' = C1 x y y = nghiệm phương trình (nhận từ biểu thức tích phân tổng quát với C2 = ) 35 Tính đạo hàm: Thay y '1 = α cos xeα s inx y ''1 = α cos xeα s inx − α sin xeα s inx y ''1 , y '1 , y1 vào phương trình cho ta đồng thức (α -1)cosx x = ⇒ α = ±1 2 Vậy phương trình có hai nghiệm riêng y1 = es inx ; y2 = e − s inx Rõ ràng y1 ( x), y2 ( x) hai nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát phương trình cần giải y = C1es inx + C2 e − s inx 36 Phương tương ứng có dạng y ''+ y = , phương trình đặc trưng có nghiệm i,-i Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 cos x + C2 sinx f1 ( x) = sin x , α ± iβ nghiệm phương trình đặc trưng nên PT có nghiệm riêng có dạng y1* = x(Acosx + B sin x) Tính y *1 ', y *1 '' thay vào phương 1 y1* = − xcosx f ( x) = cos x , α ± iβ không 2 nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 * = Acos2 x + B sin x trình cho ta có A = 0, B = − Tính y *2 ', y *2 '' thay vào phương trình cho ta có A = − , B = y2 * = − cos2 x Nghiệm tổng quát phương trình cho 1 y = C1 cos x + C2 sinx − cos2 x − xcosx 37 Tính đạo hàm: y '1 = α xα −1; y ''1 = α (α − 1) xα − Thay vào phương trình đẫ cho ta có đồng thức: x (ln x − 1)α (α − 1)x α − − xα x α −1 + xα ≡ α (α − 1) = Suy ra:  Hệ có nghiệm α = Vậy y1 = x nghiệm riêng 1 − α = Theo công thức Liouville ta có y2 = x ∫ e − −x ∫ x2 (ln x −1) dx x y = C1 x + C2 ln x 38 Giaỉ ⇔ y2 = − ln x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cần giải phương trình vi phân: y (3) − y ' = , phương trình có y = C1 + C2e x + C3e − x , C1 , C2 , C3 : số tùy ý Ta tìm nghiệm riêng dạng: y* = Ae 2x ; y ' = Ae 2x ; y '' = Ae 2x , y (3) = Ae 2x Khi Ae 2x − Ae 2x = e 2x ⇔ 6A = ⇔ A = e 2x Vậy nghiệm riêng y* = nghiệm tổng quát phương trình cho e2 x y = C1 + C2e + C3e + x −x 39 PT đặc trưng : k + k = ⇒ k1 = 0, k = −i, k3 = i Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng : y = C1 + C2cosx + C3sinx nghiệm Tìm nghiệm riêng phương trình không phương pháp Lagrang Xác C1 '+ C2 ' cosx + C3'sinx=0 C1 ' = tan x   định hàm C1 ( x), C2 ( x), C3 ( x) từ hệ −C2 'sin x + C3'cosx=0 ⇒ C2 ' = − sin x −C ' cosx-C 'sinx=tgx   C3 ' = −(sin x) / (cosx) Do C1 = ∫ tgxdx = − ln cosx , C2 = − ∫ sinxdx = cosx C3 = − ∫ sinx − sin xdx -1 dx = sinx+ ∫ dx = ln + sinx s inx+1 cosx cosx Vậy nghiệm riêng : y* = − ln cos x + + sinx.ln s inx − sinx+1 Do nghiệm tổng quát y = − ln cos x + + sinx.ln sinx − + C1 + C2cosx + C3sinx sinx+1 40 Phương tương ứng có dạng y ''− y ' = , phương trình đặc trưng có nghiệm 0,1 Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 + C2e x f ( x) = x + e x Tìm nghiệm riêng ứng với f1 ( x) : y ''− y ' = x (1) α = nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y1 = x(Ax+B) Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có 1 A = − , B = −1 ⇒ y1 = x(− x-1) 2 Tìm nghiệm riêng ứng với f ( x) : y ''− y ' = e x (2) α = nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 = Axe x , Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A = y2 = xe x Nghiệm tổng quát phương trình cho y = C1 + C2e x + x (− x-1) + xe x 41 Giải phương trình đặc trưng k − 4k + = , k1 = k2 = Nghiệm tổng quát phương trình y = C1e x + C2 xe x , f ( x) = f1 ( x) + f ( x) = x + e x Tìm nghiệm riêng ứng với f1 ( x) : y ''− y '+ y = x (1) α = không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y1 = Ax+B Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có A=B= 1 y1 = x+ 4 Tìm nghiệm riêng ứng với f ( x) : y ''− y '+ y = e x (2) α = nghiệm kép phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 = Ax 2e x , Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A = 1 y2 = x 2e x Nghiệm tổng 2 1 quát phương trình cho y = C1e x + C2 xe x + x+ + x 2e x 4 42 Đặt y' = p ta pt: xp' - p = x2ex (1)(Phương trình tuyến tính cấp 1) Phương trình tương ứng xp' - p= có nghiệm p = Cx, coi C = C(x) thay p, p' vào phương trình ta tìm C= ex+ C1 Nghiệm tổng quát phương trình (1) p =xex+ C1 x hay y'=xex+ C1 x suy y = ex(x-1)+ C1 x2+ C2 43 Phương trình đặc trưng có hai nghiệm k = ±i , nghiệm tổng quát phương trình tương ứng là: y = C1cosx + C2sinx Mặt khác α ± iβ = ±i nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình có dạng Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx] Từ tính Y', Y'' Thay vào phương trình cho ta được: (4Cx + 2A + 2D)cosx + (– 4Ax – 2B + 2C)sinx = 4xsinx Đồng ta được:  4C =  A = −1  A + 2D =  B=0   ⇔    −4 A = C =0 −2 B + 2C =  D = Từ Y = x(– xcosx + sinx) nghiệm tổng quát phương trình là: y = C1cosx + C2sinx + x(– xcosx + sinx) 44 Phương trình tương ứng y ''− y '+ y = Phương trình đặc trưng k − k + = Phương trình có nghiệm kép k1 = k2 = 3x Nghiệm tổng quát phương trình y = ( C1 x + C2 ) e Tìm nghiệm riêng phương trình cho y* = x e3 x ( Ax + B ) ( ) ( 3x 3x Ta có y * ' = 3e Ax + Bx + e Ax + Bx ( ) ( ) ) y * '' = 9e3 x Ax + Bx + 6e3 x Ax + Bx + e x ( Ax + B ) Thế vào phương trình ta có e3 x ( A − 10 B ) x + B  = xe x  6 A − 10 B =  A = ⇒ ⇔ B =   B = x3 3x Vậy nghiệm riêng y * ( x ) = e x 3x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y = ( C1 x + C2 ) e + e 3x 45 y '' = y' x Đặt z = y ' ⇒ z ' = y '' Ta có phương trình z ' = z x Giải phương trình ta z = C1 x hay y ' = C1 x x2 ⇒ y = ∫ C1 xdx = C1 + C2 2 Vậy nghiệm phương trình y = Cx + C2 ( với C = C1 ) [...]... dạng y2 = Ax 2e 2 x , Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A = 1 1 do đó y2 = x 2e 2 x Nghiệm tổng 2 2 1 1 1 quát của phương trình đã cho là y = C1e 2 x + C2 xe 2 x + x+ + x 2e 2 x 4 4 2 42 Đặt y' = p ta được pt: xp' - p = x2ex (1) (Phương trình tuyến tính cấp 1) Phương trình thuần nhất tương ứng xp' - p= 0 có nghiệm p = Cx, coi C = C(x) thay p, p' vào phương trình trên ta tìm được C= ex+... với f 2 ( x) : y ''− y ' = e x (2) α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 = Axe x , Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A = 1 do đó y2 = xe x Nghiệm tổng quát của 1 phương trình đã cho là y = C1 + C2e x + x (− x-1) + xe x 2 41 Giải phương trình đặc trưng k 2 − 4k + 4 = 0 , k1 = k2 = 2 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y = C1e 2 x + C2 xe 2 x... C.cos 2 x (1) ta tìm được A = Tính đạo hàm cấp 1 ,2 thay vào phương trình (2) ta tìm được B = riêng của phương trình (2) tìm được là Y2 ( x) = quát của phương trình đã cho là y = 1 1 ; C = Nghiệm 20 10 1 1 sin 2 x + cos 2 x Vậy nghiệm tổng 20 10 1 2x 1 1 e + sin 2 x + cos 2 x + y 4 20 10 30 Phương trình đặc trưng có một nghiệm kép k = 1 do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y = (C1 + C2... sau đó thế vào phương trình đã cho và đồng nhất hai vế ta thu được: A1 = −1; A2 = −5; A3 = −15 Nghiệm riêng của phương trình đã cho là y* = x 2 (− x 2 − 5 x − 15) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = C1 + C2 x + C3e x − x 4 − 5x 3 − 15x 2 23 Giải phương trình đặc trưng k 2 + 2k + 5 = 0 , k1 ,2 = −1 + 2i Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y = (C1cos2 x + C2 sin 2 x)e − x... của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 = Ae 2 x , Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A = 1 1 do đó y2 = e 2 x 2 2 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 1 1 y = C1 + C2e x + x (− x-1) + e 2 x 2 2 18 Phương trình đặc trưng có hai nghiệm k = ±i , do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: y = C1cosx + C2sinx Mặt khác α ± iβ = ±i là nghiệm của phương. .. = x là một nghiệm riêng 2 1 − α = 0 Theo công thức Liouville ta có y2 = x ∫ e − −x ∫ x2 (ln x −1) dx 2 x y = C1 x + C2 ln x 38 Giaỉ ⇔ y2 = − ln x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình cần giải là phương trình vi phân: y (3) − y ' = 0 , phương trình có y = C1 + C2e x + C3e − x , C1 , C2 , C3 : hằng số tùy ý Ta tìm nghiệm riêng dạng: y* = Ae 2x ; y ' = 2 Ae 2x ; y '' = 4 Ae 2x , y (3) = 8 Ae 2x Khi... lấy một nghiệm riêng u ( x ) ≠ const nên chọn c2 = 0 , 1 1   u = −  x + ÷ ⇒ y2 = − x  x + ÷ = − ( x 2 + 1) x x   rõ ràng y1 và y2 là độc lập tuyến tính Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y = c1 x − c2 ( x 2 + 1) 29 Phương trình đặc trưng k 2 − 4k + 8 = 0 (*) có nghiệm phức liên hợp k1 ,2 = 2 ± 2i Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y = C1e 2 x sin 2 x + C2 e 2 x cos 2 x... vào phương trình đã cho ta tìm được a1 = −1;a 2 = −3;a 3 = −1 , ⇒ y* = − x 2 − 3x − 1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = C1e x + C2cosx + C3sinx-x 2 − 3x − 1 26 Đặt y '' = p ⇒ y ''' = p ' thay vào phương trình đã cho ta có phương trình dp 2 1 + p = 4 (phương trình tuyến tính cấp 1) dx x x Giải phương trình thuần nhất tương ứng Ta có nghiệm p = dp 2 + p=0 dx x C dp 2 1 + p= 4 2 coi C... là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên phương trình đã cho có một nghiệm riêng Y = x(Ax2 + Bx + C) = Ax3 + Bx2 + Cx Từ đó tính Y', Y'' Thay vào phương trình đã cho ta được, đồng nhất hóa các hệ số suy ra A = 1; B = 3 ; 2 C= 7 4 và do đó Y = x3 + 3 2 x 2 + 7 x 4 • Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình đã cho là: y = C1 + C2e4x • Nghiệm tổng quát của phương trình. .. đã cho là: 3 2 7 4 y = y + Y = C1 + C2e4x + x3 + x2 + x 28 Ta tìm nghiệm riêng y2 = x.u ( x ) Xác định u ( x ) ? Ta tính y '2 , y ' '2 thay vào phương trình đã cho ta được: x ( 1 − x 2 ) u "+ 2u ' = 0 2 Đặt u ' = z ⇒ u " = z ' ⇒ x ( 1 − x ) z '+ 2 z = 0 ⇒ dz 2dx 1 − x2 =− , z = c1 2 , chọn z x ( 1 − x2 ) x 1 − x2 c1 = 1 ⇒ z = 2 x du 1 1  1  = 2 − 1 ⇒ du =  2 − 1÷dx ⇒ u = − − x + c2 dx x x x  ... kép phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 = Ax 2e x , Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A = 1 y2 = x 2e x Nghiệm tổng 2 1 quát phương trình cho y = C1e x + C2 xe... Tính đạo hàm cấp 1 ,2 thay vào phương trình (2) ta tìm B = riêng phương trình (2) tìm Y2 ( x) = quát phương trình cho y = 1 ; C = Nghiệm 20 10 1 sin x + cos x Vậy nghiệm tổng 20 10 2x 1 e + sin... phương trình : y = C1 cos x + C2 sin x + cos x ln cos x + x sin x Giải phương trình đặc trưng k + = , k1 = 2i; k2 = −2i Ta có ±2i nghiệm đơn phương trình đặc trưng Vậy nghiệm phương trình vi phân